Ảnh hưởng của thăng giáng pha lên thời gian hồi phục của hệ lượng tử khi có mặt trường kích thích luận văn thạc sỹ vật lý

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHNGUYỄN THỊ LÝ ẢNH HƯỞNG CỦA THĂNG GIÁNG PHA LÊN THỜI GIAN HỒI PHỤC CỦA HỆ LƯỢNG TỬ KHI CÓ MẶT TRƯỜNG KÍCH THÍCH VINH , 2011... LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN THỊ LÝ

ẢNH HƯỞNG CỦA THĂNG GIÁNG PHA LÊN THỜI GIAN HỒI PHỤC CỦA HỆ LƯỢNG TỬ KHI CÓ MẶT TRƯỜNG KÍCH

THÍCH

VINH , 2011

MỤC LỤC

Trang

LỜI CẢM ƠN……….02

CÁC KÝ HIỆU VÀ VIẾT TẮT………03

MỞ ĐẦU……… ……….04

Chương 1: PHƯƠNG TRÌNH BLOCH QUANG HỌC TRONG LÝ THUYẾT BÁN CỔ ĐIỂN……….………… 06

1.1 Khái niệm hàm tương quan ……… 06

1.1.1 Hàm tương quan……… 06

1.1.2 Hàm tương quan cổ điển……… 08

1.1.3 Hàm tương quan lượng tử……….08

1.1.4 Hàm tương quan của nhiễu trắng và nhiễu màu……… 09

1.2 Phương trình Bloch quang học……… 12

1.2.1 Phương trình Bloch quang học trong lý thuyết bán cổ điển………….12

1.2.2 Các thời gian hồi phục dọc, ngang………15

1.3 Phương trình Bloch quang học hiệu dụng khi có mặt một thăng giáng của trường kích thích……… 19

1.3.1 Phương trình Bloch quang học ngẫu nhiên……… 19

1.3.2 Phương trình Bloch quang học hiệu dụng………20

Chương 2: ẢNH HƯỞNG CỦA THĂNG GIÁNG PHA LÊN CÁC THỜI GIAN HỒI PHỤC DỌC VÀ NGANG……… 23

2.1 Phương trình Bloch quang học ngẫu nhiên khi có thăng giáng pha……… 23

2.2 Ảnh hưởng của thăng giáng pha lên các thời gian hồi phục……… 26

KẾT LUẬN CỦA LUẬN VĂN……….29

TÀI LIỆU THAM KHẢO……….30

Tôi cũng xin được bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy giáo trong Hội đồng khoa học đã có nhiều ý kiến đóng góp và chỉ dẫn quý báu để giúp tôi hoàn thành luận văn này.

Nhân dịp này tôi cũng xin chân thành cảm ơn tới các bạn học viên cao học khóa 17 chuyên nghành quang học đã giúp tôi một số lĩnh vực trong quá trình học

Vinh, tháng10 năm 2011

Tác giả

Nguyễn Thị Lý

τ : thời gian kết hợp của nhiễu.

a(1/s): Biên độ của nhiễu

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Trong quang học lượng tử, để nghiên cứu tương tác giữa trường điện từ với môi trường ngoài thường sử dụng phương trình Bloch Tuy nhiên, nếu dùng phương trình Bloch thông thường với các thông số biên độ, pha và độ lệch tần không đổi (có nghĩa trường kích thích là một nguồn hoàn toàn đơn sắc) thì chúng ta không thể giải thích một cách trọn vẹn và đầy đủ kết quả thực nghiệm được Trong thực tế, ánh sáng kích thích thậm chí như là chùm laser cũng không phải là tuyệt đối đơn sắc nên trong quá trình tương tác vẫn có sự thay đổi về biên độ, tần số và pha Nghĩa là chúng ta phải để ý tới các thăng giáng đó Khi để ý tới các nhiễu loạn đó, phương trình quang học Bloch trở thành các phương trình vi phân ngẫu nhiên Để giải chúng ta phải lấy trung bình các phương trình đó, nghĩa là chúng ta thu được các phương trình Bloch hiệu dụng, trong đó có chứa các ma trận suy giảm ngẫu nhiên với các thông số đặc trưng cho nhiễu

Nếu cùng một lúc, chúng ta xét đồng thời với sự có mặt của nhiều thăng giáng, chúng ta không thể giải được một cách giải tích các phương trình Bloch

Vì vậy, chúng ta chỉ xét lần lượt sự có mặt của từng thăng giáng Thăng giáng của biên độ trường hay của độ lệch tần thì đã có nhiều luận văn đề cập đến Riêng đối với thăng giáng của pha thì chưa được đề cập đến nhiều do tính phức tạp của nó.Vấn đề đặt ra ở đây là khi có mặt thăng giáng pha, các thời gian hồi phục dọc và ngang có mặt trong các phương trình Bloch sẽ thay đổi như thế nào? Đây là vấn đề

mà chúng tôi quan tâm Chính vì vậy, chúng tôi chọn đề tài là:

“ Ảnh hưởng của thăng giáng pha lên các thời gian hồi phục của hệ lượng tử khi

có mặt trường kích thích ”.

1.2 MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU CỦA ĐỀ TÀI:

- Tìm hiểu về các thăng giáng của trường kích thích

- Tìm hiểu ảnh hưởng của thăng giáng pha của trường kích thích lên

các thời gian hồi phục của các thông số của hệ lượng tử.

1.3 ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:

Nghiên cứu trong phạm vi lý thuyết bán cổ điển, tức là lý thuyết về tương tác

giữa trường kích thích với môi trường vật chất, trong đó trường kích thích vẫn là trường cổ điển (các véc tơ trường vẫn được mô tả bằng các hàm sóng sin, cos và phương trình của các véc tơ trường vẫn là các phương trình Maxwell) còn môi trường vật chất là một hệ lượng tử, sự tiến hoá theo thời gian của các thông số môi trường tuân theo phương trình Schrodinger

1.4 CÁC NỘI DUNG CHÍNH:

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, trong phần nội dung, luận văn đề cập đến các vấn đề sau :

• Phương trình Bloch quang học trong lý thuyết bán cổ điển

• Khái niệm về nhiễu lượng tử và hàm tương quan

• Phương trình Bloch quang học hiệu dụng khi có mặt nhiễu

• Phương trình quang học Bloch hiệu dụng khi có mặt nhiễu pha

• Các thời gian phục hồi dọc và ngang khi có mặt nhiễu pha

• Các nhận xét về ảnh hưởng của nhiễu lên các thời gian hồi phục này

1.5 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU.

Nghiên cứu lý thuyết kết hợp với so sánh các kết quả thu được từ thực nghiệm rồi rút ra kết luận

PHẨN II NỘI DUNG.

Chương I PHƯƠNG TRÌNH BLOCH QUANG HỌC

TRONG LÝ THUYẾT BÁN CỔ ĐIỂN.

1.1 Khái niệm hàm tương quan

Muốn khảo sát tương tác của trường kích thích với hệ lượng tử thì phải tìm được thay đổi của các thông số đặc trưng cho hệ thông qua việc giải các phương trình chuyển động Phương trình này được viết dưới dạng ma trận và biễu diễn như sau:

) ( )

(

t MV dt

t dV

= (1.1)Phương trình này được gọi là phương trình Bloch quang học, với V(t) là vectơ chứa một thông số của hệ lượng tử M là ma trận có các thành phần chứa các đại lượng: tần số Rabi (Ω), độ lệch tần (∆), hệ số Einstein (A) đặc trưng cho sự phân rã ngẫu nhiên Tên gọi phương trình Bloch quang học có nguồn gốc từ phương trình quang học Bloch trong cộng hưởng thuận từ

Trong hệ lượng tử có nhiều mức năng lượng nên nếu để ý đến tất cả các mức thì sẽ khó khăn về mặt toán học và không giải quyết được bằng phương pháp giải tích Vì vậy người ta thường dùng phương pháp gần đúng xem nguyên tử có hai mức này không làm thay đổi bản chất tương tác giữa trường kích thích với hệ lượng tử và dễ dàng khảo sát được ảnh hưởng của các thăng giáng của trường kích thích lên hệ lượng tử về mặt định lượng Những kết quả thu được từ điều kiện gần đúng này khá phù hợp với thực nghiệm giúp giải thích được nhiều bản chất vật lý liên quan

Trong quang lượng tử có hai loại nhiễu: nhiễu trắng và nhiễu màu (nhiễu telegraph)

có tính chất được phản ánh qua các hàm tương quan Để hiểu rõ hơn các hàm tương quan của nhiễu trắng và nhiễu màu, trước hết chúng ta đề cập đến khái niệm hàm tương quan

1.1.1 Hàm tương quan:

Giả sử x là một biến ngẫu nhiên Hàm số f(x) gọi là hàm ngẫu nhiên nếu giá trị của

nó không phụ thuộc đơn giá vào biến số x Nghĩa là với một giá trị x thì hàm f(x)

có thể nhận ngẫu nhiên các giá trị khác nhau Khi đó ta chỉ có thể nói về xác suất các giá trị x cho trước thì hàm f(x) có thể nhận giá trị từ f(x) đến f(x) + df(x) là bao nhiêu Nếu đại lượng ngẫu nhiên x là hàm của thời gian thì khi đó quá trình được

mô tả là hàm ngẫu nhiên theo thời gian (thường gọi là quá trình ngẫu nhiên) Đại lượng quan trọng nhất và đặc trưng cho quá trình ngẫu nhiên là hàm tương quan

Hàm tương quan K(τ) được định nghĩa là giá trị trung bình tích của các hàm ngẫu

nhiên ở hai thời điểm khác nhau t và t’ (t’ = t +τ):

K (1.3)Trong đó: τ có thể nhận giá trị âm hoặc dương

Hàm tương quan chính là số đo định lượng mối liên kết giữa các giá trị của hàm ngẫu nhiên ở các thời điểm kế tiếp Nếu τ đủ lớn để các giá trị của hàm ngẫu nhiên

ở thời điểm t và t + τ không phụ thuộc vào nhau thì:

0 ) ( ) ( )

( ) ( ) ( τ = f t f t+ τ = f t f t+ τ =

K (1.4)Còn τ = 0 thì:

) ( )

0

K = (1.5)

Nghĩa là K(τ) trùng với bình phương hàm ngẫu nhiên f(t) Dạng cụ thể của hàm

tương quan phụ thuộc vào tính chất của quá trình ngẫu nhiên Ta có thể triển khai hàm ngẫu nhiên f(t) qua tích phân Fourier:

Khi đó:

[ ( ' ) ] ( ) ( ' ) exp

' 4

1 ) ' ( )

1.1.2 Hàm tương quan cổ điển

Nếu đại lượng ta cần tìm hàm tương quan là một đại lượng cổ điển (vĩ mô) thì ta gọi hàm tương quan của đại lượng đó là hàm tương quan cổ điển Chẳng hạn ta cần xác định hàm tương quan của cường độ dòng điện ở hai thời điểm khác nhau

1.1.3 Hàm tương quan lượng tử.

Nếu đại lượng ta cần tính hàm tương quan là một đại lượng vi mô (lượng tử) thì

ta gọi hàm tương quan của đại lượng đó là hàm tương quan lượng tử Chẳng hạn ta cần xác định hàm tương quan của xác suất chuyển hạt giữa hai mức của một hệ lượng tử nào đó thì đại lượng σ21(t) σ12(t' ) được gọi là hàm tương quan lượng tử

1.1.4 Hàm tương quan của nhiễu trắng và nhiễu màu.

Gọi x(t) là một đại lượng thăng giáng ngẫu nhiên (nhiễu ngẫu nhiên) Nếu x(t) được xem là một nhiễu trắng thì nó phải có trung bình bằng không và hàm tương quan thỏa mãn điều kiện sau:

) ' ( 2 ) ' ( ) (

0 ) (

t t D t

x t x

t x

Nếu x(t) được xem là một telegraph thì nó phải có trung bình bằng không và hàm tương quan thỏa mãn điều kiện:

t x t x

t x

τ

' exp

) ' ( ) (

0 ) (

Trong đó: a là biên độ nhiễu; τc là thời gian kết hợp nhiễu, tức là thời gian khi hai

giá trị nhiễu ở hai thời điểm kế tiếp còn có quan hệ với nhau Như vậy, đại lượng ngẫu nhiên này thay đổi theo hai giá trị a và –a, x (t) =0

Hàm tương quan của loại nhiễu telegraph là: 

t x t x

τ

' exp

) ' ( )

Hình 1.1

Từ hình ảnh của nhiễu telegraph, chúng ta thấy rằng, nhiễu không thay đổi về độ lớn (trong từng khoảng thời gian một, nó nhận một giá trị không đổi) mà chỉ có sự thay đổi về dấu khi đi từ khoảng thời gian này sang khoảng thời gian khác Điều này cũng có nghĩa là chúng ta xem vận tốc của va chạm có độ lớn không đổi mà chỉ

có sự thay đổi hướng (ngược 1800) của va chạm mà thôi Dù sao, nhiễu telegraph cũng đã có sự bổ sung tốt hơn và gần với thực tế hơn so với nhiễu trắng

Hình 1.2: Ba telegraph độc lập

Nếu để ý thêm trong trường hợp nhiễu telegraph, khi xét đồng thời một lúc (cộng lại) vài nhiễu telegraph thì ta được một nhiễu mới có dạng khá gần với nhiễu Gaussian tùy ý Khi đó ta có khái niệm nhiễu tiền Gaussian Điều này chứng tỏ nếu

ta mô tả thăng giáng bằng nhiễu tiền Gaussian thì ta đã tiệm cận gần đến với ảnh hưởng của một nhiễu ngẫu nhiên tùy ý

Hình 1.3: Nhiễu được tạo thành từ 3 telegraph ở trên.

Khi có mặt nhiễu ngẫu nhiên x(t) thì phương trình quang học Bloch (1) có thể viết lại dưới dạng:

[ ( ( ))] ( ) [ ( ( ))] ( ) )

(

t V t x M iM t

V t x iM dt

t dV

lệch tần số ∆, về tần số Rabi Ω liên quan đến cường độ trường ngoài và hệ số Einstien A

M nh là ma trận của nhiễu ngẫu nhiên.

V(t) là ma trận một cột chứa các thành phần của véctơ Bloch.

1.2 Phương trình Bloch quang học.

1.2.1 Phương trình Bloch quang học trong lý thuyết bán cổ điển.

Chúng ta khảo sát hệ nguyên tử hai mức bằng lý thuyết bán cổ điển Khi đặt hệ trong trường, Hamilton toàn phần của hệ là: H = H0 + Ht Trong đó H0 là Hamilton của nguyên tử tự do (không có tương tác), H t = −d E ( t r, ) là Hamilton tương tác giữa nguyên tử với trường, E là cường độ điện trường tại điểm đặt lưỡng cực, d

là toán tử mômen lưỡng cực biễu diễn phép chuyển giữa hai mức của nguyên tử Trong trường hợp tổng quát d là một đại lượng phức, ở đây để đơn giản ta chọn d là thực Giả sử hai mức 1 và 2 có năng lượng là E1 và E2, hai trạng thái riêng của toán

tử H0 kí hiệu là 1 và 2 Ta có mô hình hệ nguyên tử hai mức như hình 2.1

Hình 2.1: Mô hình hệ nguyên tử hai mức.

=

σ đặc trưng cho phép chuyển từ mức 2 về mức 1

1 2

=

+

σ đặc trưng cho phép chuyển từ mức 1 lên mức 2

1 1 2

1 2

2 1

; E

1

E E

H =  ω σz + +

Vì trong thực tế chúng ta chỉ quan tâm đến hiệu năng lượng giữa hai mức nên ta có quyền chọn gốc để tính năng lượng mà không làm thay đổi bản chất của các hiện tượng được nghiên cứu Nghĩa là năng lượng có thể chọn sai khác một hằng số Bởi vạy ta có quyền chọn gốc năng lượng sao cho có thể bỏ đi đại lượng thứ hai của biểu thức trên Với cách lập luận đó thì biểu thức toán tử năng lượng của nguyên tử chỉ còn lại số hạng thứ nhất mà thôi, nghĩa là:

z

H0 ω 0 σ 2

1



=Tương tự ta cũng có:

2

1

0 z dE



Đại lượng Ω =2dE gọi là tần số Rabi đặc trưng cho cường độ trường ngoài Vì ở trên ta giả thiết rằng d là thực nên Ω là đại lượng thực, do vậy Ω = Ω*.

2

− +

w i r i r

2

Ω +

1

iv u

r= − ; ( )

2

1

iv u

r+ = +Khi đó ta có:

+ +

=r r

u v=i(r−r+)

Từ đó hệ phương trình (1.28) trở thành:

v w

w u v

u u

Ω

−

=

Ω +

Hệ phương trình (1.29) được gọi là phương trình Bloch quang học

1.2.2 Các thời gian hồi phục dọc, ngang.

Ta xét trường hợp đơn giản là coi nguyên tử chỉ có hai mức năng lượng tham giavào quá trình tương tác Khái niệm nguyên tử hai mức giống như hạt có spin s =21.Gọi M là tổng mômen từ của tất cả các hạt trong một đơn vị thể tích Các mômen

từ này tương tác với nhau và với môi trường xung quanh Bởi vậy, ta phân thành hai loại tương tác: tương tác spin – spin, tức là tương tác giữa các mômen từ với nhau và tương tác spin – mạng là tương tác giữa mômen từ với môi trường

Đặt mẫu thuận từ vào trong từ trường ngoài không đổi, giả sử từ trường B song song với trục OZ

Khi chưa có từ trường B thì các hạt thuận từ của mẫu ở trạng thái cân bằng nhiệt Trong từ trường ngoài, các mômen từ sắp xếp lại: một phần định hướng theo từ trường, một phần có hướng ngược lại Khi đó, mẫu thuận từ có sự cân bằng mới

Sự định hướng lại của các mômen từ trong từ trường và thiết lập trạng thái cân

bằng mới không xẩy ra tức thời mà phải sau một thời gian T 1 nào đó có độ lớn phụ

thuộc vào bản chất của mẫu thuận từ Quá trình thiết lập sự cân bằng mới gọi là quá

trình hồi phục và thời gian T 1 gọi là thời gian hồi phục dọc Theo Bloch về sự định

xứ lại của thành phần véctơ từ hóa dọc theo phương của từ trường ngoài MZ tuân theo phương trình sau:

1

0

T

M M dt

0 1 exp exp

T

t M

T

t M

Với M Z0 =M Z(t= 0 ) Như vậy, sự thay đổi thành phần véctơ từ hóa dọc theo phương

từ trường ngoài xảy ra theo quy luật của hàm số mũ Cơ chế của sự định xứ lại này của véctơ từ hóa là trong các tinh thể, sự định xứ này xảy ra do tương tác của các spin của các hạt thuận từ với dao động nhiệt của mạng Tương tác này gọi là tương tác spin – mạng, dẫn đến sự cân bằng nhiệt giữa mạng và hệ Trên cơ sở đó, ta tính

được giá trị của T 1 và nhận thấy giá trị của T 1 phụ thuộc vào nhiệt độ T Ở những

nhiệt độ thấp T1 ∼ T1 , còn ở những nhiệt độ cao hơn thì T1 ∼ 7

1

T Trong từ trường không đổi, sự từ hóa được thiết lập dọc theo phương của từ trường

Vì vậy, ở trạng thái cân bằng thì các thành phần của M 0 theo phương x, y biến mất Tương tự (1.30) ta có phương trình cho các thành phần ngang của véctơ mômen từ là:

2

2

T

M dt

dM

T

M dt

dM

y y

x x

T

t M

M y y (1.33)

Trong đó 0 , ( 0 )

, =M t =

M x y y và T 2 gọi là hồi phục spin – spin Vì đây là thời gian hồi

phục tương ứng với hai thành phần ngang của mômen từ nên T 2 còn được gọi là

thời gian hồi phục ngang Nói chung T 2 ≠ T 1

Nguyên nhân của việc xuất hiện các thời gian hồi phục này chính là các dao động nhiệt của mạng tinh thể và của sự dao động của các nút mạng và của các điện

tử trong nguyên tử

Nếu xét đến sự có mặt các dao động nhiệt, khi đó trong phương trình Bloch quang học (1.29) có xuất hiện thêm các hằng số tắt dần đặc trưng cho quá trình này Lúc đó phương trình (1.29) được viết lại dưới dạng:

) (

2 1

2 1

eq

w w v

w

w T

v u v

T

u u u

−

− Ω

−

=

Ω +

Trong đó: w eq là giá trị của w trong trạng thái cân bằng với bể nhiệt Thường lấy w eq

= - 1 T 1 , T 2 là thời gian sống dọc và thời gian sống ngang

Hệ phương trình (1.34) có thể được viết dưới dạng ma trận:

2

1 0 0

1 00

0

1 0

00 1

00 0 00

T w v u

T T

T

w v