Ảnh hưởng của một vài tham số cấu trúc lên đặc trưng lưỡng ổn định trong môi trường tuần hoàn phi tuyến kiểu kerr luận văn thạc sỹ vật lý

Ngay từ những năm 1976 hiệu ứng lưỡng ổn địnhquang học trong các hệ quang phi tuyến đã dành được một sự quan tâm chú ý đặcbiệt về học thuật cũng như về thực tiễn vì những khả năng đầy hứ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LÊ VĂN HIỆU

ẢNH HƯỞNG CỦA MỘT VÀI THAM SỐ CẤU TRÚC LÊN ĐẶC TRƯNG LƯỠNG

ỔN ĐỊNH TRONG MÔI TRƯỜNG TUẦN

HOÀN PHI TUYẾN KIỂU KERR

VINH , 2011

LỜI CẢM ƠN

Luận văn được thực hiện và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của Thầygiáo TS Nguyễn Văn Phú Nhân dịp này tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn vàkính trọng sâu sắc tới Thầy giáo TS Nguyễn Văn Phú, thầy đã dành nhiều thờigian, công sức và tận tình giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo Khoa Vật lý,Khoa Sau đại học, Trường đại học Vinh và các anh/chị học viên Cao học 17ngành Vật lý đã giúp đỡ động viên tác giả rất nhiều trong quá trình học tậpcũng như thời gian làm luận văn

Cuối cùng tác giả xin bày tỏ lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã quan tâmđộng viên và giúp đỡ trong quá trình hoàn thành luận văn này

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

Chương I: Hiệu ứng lưỡng ổn định quang học và môi trường phi tuyến kiểu Kerr 3

1.1 Hiệu ứng lưỡng ổn định quang học 3

1.2 Nguyên lý ổn định quang học 9

1.3 Môi trường Kerr 11

1.4 Kết luận chương 16

Chương II: Ảnh hưởng của một vài tham số cấu trúc lên đặc trưng lưỡng ổn định trong môi trường tuần hoàn phi tuyến kiểu Kerr. 2.1 Sự lan truyền sóng điện từ trong điện môi 17

2.2 Hệ phương trình liên kết mode 19

2.2.1 Mô hình môi trường tuần hoàn một chiều 19

2.2.2 Hệ phương trình liên kết mode tổng quát 21

2.2.2.1 Hệ phương trình liên kết mode tuyến tính 24

2.2.2.2 Hệ phương trình liên kết mode phi tuyến 28

2.2.3 Các trạng dừng 29

2.2.3.1 Sự điều khiển cân bằng phi tuyến: n nl = 0 31

2.2.3.2 Sự điều khiển sự phi tuyến không cân bằng: nnl 0 35

2.3 Ảnh hưởng của một vài tham số cấu trúc lên đặc trưng lưỡng ổn định của tinh thể CdSe 2.3.1 Mô hình thực nghiệm 37

2.3.2 Ảnh hưởng của chiết suất phi tuyến lên đặc trưng lưỡng ổn định của tinh thể CdSe 40

2.3.3 Ảnh hưởng của chiều dài cách tử lên lên đặc trưng lưỡng ổn định của tinh thể CdSe 42

2.4 Kết luận chương 44

KẾT LUẬN CHUNG 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

MỞ ĐẦU

Cùng với sự phát triển của cuộc sống thì nhu cầu truyền tải thông tin ngàycàng lớn dẫn đến những hệ thống thông tin thông thường không đáp ứng kịp Một

công nghệ mới có tính cách mạng là truyền dẫn thông tin bằng ánh sáng đã ra đời

và cải tạo mạng lưới thông tin trên toàn thế giới Các linh kiện quang tử với tốc

độ đáp ứng cao và kích thước gọn nhẹ đã góp phần làm thay đổi phương thứctruyền dẫn tin truyền thống bằng cáp đồng trục Nhờ đó, một khối lượng thông tinkhổng lồ bao gồm các tín hiệu hình ảnh, tín hiệu âm thanh được xử lý và truyền

đi một cách đồng thời Trong quá trình truyền dẫn bằng hệ thống thông tin quang,thiết bị lưỡng ổn định quang học đóng vai trò quan trọng trong việc thiết lập một

hệ thống truyền toàn quang Ngay từ những năm 1976 hiệu ứng lưỡng ổn địnhquang học trong các hệ quang phi tuyến đã dành được một sự quan tâm chú ý đặcbiệt về học thuật cũng như về thực tiễn vì những khả năng đầy hứa hẹn của nótrong lĩnh vực điều khiển, xử lý thông tin quang và phát triển thế hệ máy tínhthuần túy quang học Về mặt khoa học cơ bản, hiệu ứng lưỡng ổn định quang học

là một ví dụ điển hình về động thái tập thể và sự tự tổ chức trong một hệ mở nằm

ở xa trạng thái cân bằng nhiệt động Chu trình trễ của hoạt động lưỡng ổn địnhquang học cho thấy sự tương tự với quá trình chuyển pha loại I trong các hệ cânbằng Bằng cách thay đổi các tham số điều khiển bên ngoài, người ta có thể làmcho cường độ bức xạ lối ra không còn là một đại lượng dừng nữa mà trở thànhmột chuỗi xung không tắt dần, hoặc tuần hoàn theo thời gian (tự phát xung đềuđặn) hoặc tuần hoàn ngẫu nhiên (hỗn loạn quang) Về mặt ứng dụng công nghệ,quang hệ lưỡng ổn định có thể được dùng làm yếu tố nhớ quang học lưu giữthông tin – cơ sở để xây dựng hệ máy tính quang học Những hệ lưỡng ổn địnhquang học còn có thể dùng làm tất cả những yếu tố cần thiết cho xử lý số thôngtin quang học như bộ tạo xung, bộ nén xung, bộ phân biệt xung, bộ hạn chế xung

và bộ biến hoá bức xạ kết hợp từ chế độ liên tục sang chế độ xung Sự có mặt củacác linh kiện này đã thúc đẩy quá trình thương mại hoá và góp phần đáng kể

trong việc hạ giá thành của hệ thống Vì vậy nghiên cứu cấu trúc và các yếu tốảnh hưởng đến thiết bị lưỡng ổn định quang học là một vấn đề mang tính thời sự.

Đề tài luận văn “Ảnh hưởng của một số tham số cấu trúc lên đặc trưng lưỡng ổn định trong môi trường tuần hoàn phi tuyến kiểu Kerr” sẽ nghiên cứu

Chương II Ảnh hưởng của một vài tham số cấu trúc lên đặc trưng lưỡng

ổn định trong môi trường tuần hoàn phi tuyến kiểu Kerr.

Trong chương này khảo sát một cách tổng quát sự lan truyền ánh sángtrong môi trường có cấu trúc tuần hoàn Xuất phát từ hệ phương trìnhMaxwell, các hiệu ứng tuyến tính và phi tuyến xảy ra trong môi trường đãđược khảo sát Các đặc trưng truyền qua và giới hạn của hiệu ứng lưỡng ổnđịnh cũng đã được đề cập đến Khi nghiên cứu chi tiết ảnh hưởng của một sốtham số cấu trúc lên đường cong lưỡng ổn định trong môi trường có cấu trúc tuầnhoàn phi tuyến kiểu Kerr thì mô hình của các chất bán dẫn cụ thể cũng đã đượcđưa vào

Kết luận chung: Nêu lên một số kết quả đạt được trong quá trình nghiên cứu đề

tài

CHƯƠNG I HIỆU ỨNG LƯỠNG ỔN ĐỊNH QUANG HỌC VÀ MÔI

TRƯỜNG PHI TUYẾN KIỂU KERR

1.1 Hiệu ứng lưỡng ổn định quang học

Lưỡng ổn định quang học (Optical Bistability - OB) là hiện tượng mà trong

đó có thể xuất hiện 2 trạng thái quang học ra ổn định của một hệ quang học đốivới cùng một trạng thái quang học vào Nói cách khác trong hiện tượng này tồntại một sự phụ thuộc kiểu trễ của đặc trưng quang học vào - ra của hệ Nguyênnhân gây ra hiện tượng này là sự thay đổi đột biến của các trạng thái vật lý của hệkhi các điều kiện vật lý (các tham số vật lý) biến đổi trong những giới hạn nhấtđịnh Để thu được lưỡng ổn định quang học (OB) có nhiều phương pháp lý thuyếtcũng như thực nghiệm, song nguyên tắc cơ bản của hiện tượng này có thể trìnhbày dưới dạng tổng quát như sau [1]:

Hãy xét một “máy” quang học có hệ số truyền qua là T = I ra /I vao (I ra là

cường độ ánh sáng ra, I vao là cường độ ánh sáng vào) phụ thuộc phi tuyến vào

chiết suất n của nó Hệ số này có thể viết n = n(U); U là các tham số của môi

trường (như mật độ điện tích, nhiệt độ ) Hệ này có đặc tính khác biệt với các hệ

quang học thông thường ở chỗ dòng ánh sáng truyền qua hệ Ira có một phần kI ra

được hồi tiếp trở lại hệ theo một cách thức nào đó, kết quả là tham số trạng thái

U của hệ biến đổi một lượng là:

Trong đó: Q là hệ số biến đổi và k là hệ số hồi tiếp.

Khi đó U = U 0 +kQI ra sẽ dẫn đến chiết suất cũng biến đổi một lượng:

n = n - n 0 = nQkI ra (1.1)

với n 0 là chiết suất ban đầu của môi trường phi tuyến và:

0

U U

U

n n



n





Đồ thị mô tả quan hệ (1.3) được mô tả trên hình hình 1.1

Như vậy trong một miền xác định của Ivao sẽ tồn tại 3 giá trị của T và n ứng với một giá trị của Ivao Kết quả cho ta một dạng đặc trưng đồ thị hình chữ S biểu

ra

n(U0) +

Hình 1.1 (a) Sự phụ thuộc đầu ra vào đầu vào

Đường đứt nét đặc trưng không ổn định.

(b) Điểm N 0 là điểm hoạt động của máy “quang học”.

Ira

Ivao

diễn dòng ra Ira phụ thuộc vào các tham số của hệ mô tả khả năng hồi tiếp và độ

phi tuyến của chiết suất Trong 3 nghiệm hình thức của n và từ đó của T có 2

nghiệm nằm vào các nhánh trên và dưới, nghiệm thứ 3 nằm ở nhánh giữa (biểu

thị bởi đường chấm chấm, ở đây dI ra /dI vao < 0) Miền chấm chấm của đồ thị ứng

với các nghiệm không ổn định, nghĩa là nếu tồn tại một thăng giáng hoặc mộtnhiễu loạn nhỏ thì trạng thái của hệ sẽ chuyển lên nhánh trên hoặc nhánh dướicủa đồ thị Giá trị cường độ vào biểu diễn trên trục hoành, các giá trị cường độ ra

sẽ dịch chuyển theo nhánh dưới cho đến khi giá trị Ivao đạt đến Ivao = I2, khi đó

dòng truyền qua Ira sẽ nhảy lên nhánh trên của đồ thị Vào thời điểm Ira đang nằm

ở nhánh trên của đường cong vào - ra, muốn trở về nhánh dưới thì cường độ Ivao

phải giảm xuống thấp hơn một giá trị tới hạn khác I 1 < I 2 Như vậy một đường

cong trễ đã được xác lập Ngoài hai giá trị tới hạn I 1 , I 2 thì hệ là ổn định quang

học Điểm N0 trên hình 1.1.b) có thể coi là điểm hoạt động của "máy", tuỳ thuộc

vào vị trí N0 mà OB có thể xảy ra hay không Hiện tượng lưỡng ổn định quang

học(OB) chỉ xảy khi ra khi n0 có giá trị sao cho độ nghiêng của đường cong T(n)

Bằng cách khác ta có thể chứng minh biểu thức (1.4) chính là điều kiện đểxảy ra ngưỡng của lưỡng ổn định quang học Thật vậy để hiệu ứng lưỡng ổn

định xuất hiện phải tạo ra bước nhảy Giả sử n và T(n) lần lượt là chiết suất và

hệ số truyền qua của trạng thái ổn định ứng với dòng vào Ivao nào đó, khi cường

độ dòng vào Ivao tăng một lượng Ivao theo phương trình (1.3) thì sẽ gây nên một

sự biến đổi với chiết suất: n 1 =  nQkT(n) I vao

Nhờ đó hệ số truyền qua tăng một lượng:

Khi T1 xuất hiện sẽ có sự thay đổi chiết suất như sau:

OB sẽ xảy ra ở mức độ khác nhau, nhưng sự mô tả định tính ở trên có tính tổngquát và hợp lý Như vậy "máy" quang học sinh ra và chi phối OB cũng tương tựnhư "máy" tai biến, tạo ra tai biến đỉnh với bước nhảy xác định được mô tả trongcác công trình trước đây

Thiết bị lưỡng ổn định có vai trò quan trọng trong các mạch số được ứngdụng trong thông tin, xử lí tín hiệu số và trong máy tính Chúng được sử dụngnhư là các khóa đóng mở, các cổng lôgic, các phần tử nhớ Các tham số của thiết

bị cũng có thể được điều khiển sao cho hai giá trị ngưỡng của đầu vào trùng nhau( 1= 2) Thiết bị một ngưỡng như vậy có mối quan hệ giữa đầu vào với đầu radạng chữ S Với đặc điểm này, nó có độ khuếch đại vi phân rộng và được sửdụng như là các thiết bị khuếch đại (hình 1.2) hoặc có thể sử dụng để làm phần tửngưỡng, phần tử nắn xung (hình 1.4)

Đối với các phần tử lôgic sử dụng thiết bị lưỡng ổn định, các dữ liệu nhịphân được thể hiện bằng các xung và được đưa đồng thời vào thiết bị Với sự lựachọn chính xác độ cao xung phù hợp với các giá trị ngưỡng, hệ sẽ mở hoặc đóngtùy thuộc tín hiệu đầu vào Khi xuất hiện đồng thời hai xung thì đầu ra nhảy lêntrạng thái cao (hệ mở) và nó nhảy về trạng thái thấp (hệ đóng) nếu điều kiện này

không thỏa mãn Vì thế, trong trường hợp này hệ hoạt động như là một phần tửlogic AND (hình 1.3).

Hình 1.3 Thiết bị lưỡng ổn định hoạt động như là một cổng logic

AND Đầu vào I i = I 1 + I 2 với I 1 và I 2 biểu diễn các dữ liệu nhị phân

t Xung vào

Một mạch lưỡng ổn định điện tử được chế tạo bằng cách kết nối cácTransistor với nhau, còn thiết bị lưỡng ổn định quang học là sự kết hợp giữa cácvật liệu phi tuyến và quá trình phản hồi quang học Chúng ta sẽ xét kỹ hơnnguyên lý ổn định quang học ở phần dưới đây.

1.2 Nguyên lý ổn định quang học

Hai nhân tố quan trọng cần thiết để chế tạo linh kiện lưỡng ổn định quanghọc đó là tính phi tuyến (nonlinearity) và phản hồi ngược (feedback) Hai nhân tốnày hoàn toàn có thể có trong quang học Khi tín hiệu quang học đi ra từ một môitrường phi tuyến (phần tử phi tuyến) được lái trở lại (sử dụng gương phản xạ) và

sử dụng nó để điều khiển khả năng truyền ánh sáng của chính môi trường đó thìđặc trưng lưỡng ổn định sẽ xuất hiện

Ta xem xét hệ quang học tổng quát trên hình 1.5 Nhờ quá trình phản hồi

ngược cường độ ra I ra bằng cách nào đó sẽ điều khiển được hệ số truyền qua T của hệ, sao cho T là một hàm phi tuyến: T = T(I ra ) Do I ra = TI vao, nên:

Ivào = ( )

ra

ra

I T

I

Biểu thức (1.5) mô tả quan hệ vào ra của hệ lưỡng ổn định [1]

Hình 1.5 Hệ quang học trong đó hệ số truyền qua là hàm của cường độ ra I ra

Khi T = T(I ra) là một hàm không đơn điệu, có dạng hình chuông (hình 1.6a), thì

I ra cũng là hàm không đơn điệu của I vao (hình 1.6.b) Như vậy I ra là hàm nhiều

biến của I vào (hình 1.6c)

Rõ ràng hệ này có đặc trưng lưỡng ổn định Với cường độ vào nhỏ (I vào < I 1)

hoặc lớn (I vào > I 2), mỗi giá trị vào chỉ ứng với một giá trị đầu ra Trong vùng

trung gian I 1 < I vào < I 2 mỗi giá trị vào ứng với 3 giá trị ra, trong đó 2 giá trị củacường độ ở nhánh trên và nhánh dưới là các giá trị ổn định và giá trị trung gian

ở nhánh giữa là không ổn định được biểu thị bởi đường nét đứt (trên đoạn I 1 - I 2

trên hình 1.6.c là giá trị không ổn định) Nếu một thăng giáng hoặc một nhiễuloạn nhỏ nào đó được thêm vào ở đầu vào sẽ làm cho trạng thái đầu ra của hệchuyển lên nhánh trên hoặc nhánh dưới của đồ thị

Bắt đầu từ tín hiệu đầu vào nhỏ và tăng đầu vào khi đạt được ngưỡng I 2

đầu ra sẽ nhảy lên trạng thái trên mà không qua trạng thái trung gian Khi đầu

vào giảm, đầu ra giảm theo nhánh trên cho đến khi đạt được giá trị ngưỡng I 1

đầu ra sẽ nhảy xuống trạng thái dưới như hình 1.7

Để hiểu rõ hơn về sự không ổn định của trạng thái trung gian P (P nằmtrên đường nét đứt nối hai điểm 1 và 2 như hình 1.7), khi có một sự tăng nhỏ

của I r cũng gây nên sự tăng đột ngột của hàm truyền T(I r ) thậm chí lúc đó I r

không tăng nữa thì hàm truyền vẫn tiếp tục tăng mạnh (độ dốc của đồ thị hàmtruyền dương và lớn gần như là thẳng đứng hình 1.6a), kết quả là có sự chuyểntiếp từ P lên trạng thái ổn định nhánh trên Tương tự, khi có một sự giảm nhỏ của

I

vao

I 2 I

1

2

1 P

I ra

Hình 1.7 Đồ thị mô tả tiến trình thay đổi trạng thái Đường đứt nét biểu diễn

trạng thái không ổn định.

I r cũng gây ra sự giảm đột ngột của hàm truyền T(I r) , do đó có sự chuyển tiếp từ

P xuống trạng thái ổn định nhánh dưới

Như ta đã nghiên cứu ở trên, tính lưỡng ổn định có được nhờ quá trìnhchuyển pha loại II trong quá trình vật lý Sự chuyển pha trong các thiết bị lưỡng

ổn định điện - quang và quang - quang dựa trên sự thay đổi chiết suất do cường

độ mạnh của trường ngoài Sự thay đổi chiết suất này dựa trên hiệu ứng phi tuyếnxẩy ra trong môi trường phi tuyến có độ cảm phi tuyến bậc ba Hiệu ứng thay đổichiết suất này còn gọi là hiệu ứng Kerr và môi trường có tính chất trên gọi là môitrường Kerr Sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu một cách cụ thể hơn về hiệu ứng Kerr

và tính chất của môi trường Kerr

1.3 Môi trường Kerr

Chiết suất của nhiều vật liệu quang học ngoài sự phụ thuộc vào bước sóngcòn phụ thuộc vào cường độ của ánh sáng truyền qua nó, khi đó chiết suất củamôi trường trở thành chiết suất phi tuyến Trong phần này chúng ta sẽ khảo sátbiểu diễn toán học của chiết suất phi tuyến và nghiên cứu các quá trình vật lý dẫntới hiệu ứng này

Khi chùm ánh sáng đơn sắc có cường độ lớn rọi vào môi trường, chiết suấtcủa môi trường có thể biểu diễn bởi công thức [1]:

Trong đó n 0 là chiết suất của môi trường khi được chiếu bởi chùm sáng có cường

độ yếu và n2 là chỉ số khúc xạ bậc 2 (còn gọi là hằng số quang mới) Biểu thức(1.6) cho thấy chiết suất của môi trường này tăng lên theo sự tăng của cường độ.Dấu ngoặc nhọn bao quanh E2 biểu diễn trung bình theo thời gian Chẳng bạnnếu trường quang học có dạng:



E (t) = E( )eit + c.c

(1.7)

thì

E (t)2 = 2 E( )E( )* =2|E()|2 (1.8)Chúng ta tìm được:

Công thức (1.6) và (1.9) mô tả sự thay đổi của chiết suất của môi trường phituyến dưới tác dụng của chùm sáng có cường độ lớn

Dưới tác động của trường ánh sáng có cường độ lớn các hiệu ứng phi tuyến

sẽ xẩy ra khi ánh sáng đi qua môi trường Mỗi hiệu ứng phi tuyến gắn với mộtthành phần phân cực bậc cao của môi trường Hiệu ứng Kerr gắn với thành phầnphân cực bậc ba sau đây:

trong đó  là tần số ánh sáng tương tác, E() là véc tơ cường độ điện trường,

χ 3 (ω) là thành phần ten xơ bậc ba của độ cảm phi tuyến của môi trường

Giả thiết rằng các hiệu ứng phi tuyến khác có thể bỏ qua Để đơn giản, ở đâygiả thiết ánh sáng là phân cực tuyến tính và bỏ qua chỉ số ten xơ của (3) Khi đóphân cực tổng của một trường có dạng:

P TONG() = (1) E() + 3(3) E  2E()  eff E() (1.11)Trong đó eff là độ cảm hiệu dụng của môi trường:

) ( 

được:

n

là hệ số chiết suất phi tuyến của môi trường

Khi tính toán có thể hoàn toàn giả định chiết suất đo được nếu sử dụngchùm laser đơn sắc hình 1.5a Bằng cách khác có thể tìm được sự phụ thuộc củachiết suất vào cường độ là sử dụng 2 chùm riêng rẽ thể hiện ở hình 1.5b Ở đây

sự có mặt của chùm mạnh với biên độ E() làm thay đổi chiết suất của chùmyếu với biên độ E(’) Độ phân cực phi tuyến tác động đến sóng có dạng:

P NL (’) = 6χ(3) (’ = ’ +  - )   2



Chú ý hệ số 6 trong trường hợp bằng 2 lần trường hợp chùm đơn phương

trình (1.10) Thật ra với trường hợp 2 chùm, hệ số suy giảm bằng 6 nếu  = ’,

vì chùm sóng được bắn ra từ một nguồn bơm theo những hướng truyền khác nhau

có tính chất vật lý khác nhau Từ đây chiết suất của môi trường được cho bởi:



a)

b)

Hình 1.8 Sơ đồ xác định độ cảm bậc ba

Như vậy, một sóng mạnh làm cho chiết suất của một sóng yếu cùng tần sốtăng lên gấp đôi so với chiết suất của riêng nó Hiệu ứng này được biết như làtính trễ của sóng yếu [1].

Một cách khác biểu thị mối quan hệ của chiết suất vào cường độ là phươngtrình:

1.4 Kết luận chương

Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm hiệu ứng lưỡng ổn địnhquang học, nguyên lý ổn định quang học, ứng dụng của hiệu ứng lưỡng ổn địnhquang học, môi trường Kerr, đưa ra phương trình mô tả quan hệ vào ra của cácthiết bị quang học sử dụng trong môi trường phi tuyến Kerr.

CHƯƠNG II ẢNH HƯỞNG CỦA MỘT VÀI THAM SỐ CẤU TRÚC LÊN ĐẶC TRƯNG LUỠNG ỔN ĐỊNH TRONG MÔI TRƯỜNG TUẦN

HOÀN PHI TUYẾN KIỂU KERR

Để giải thích các hiện tượng quang học chúng ta có thể sử dụng hai lýthuyết: Lý thuyết điện từ của Maxwell và lý thuyết lượng tử ánh sáng Trong khi

lý thuyết lượng tử dựa vào nguyên lý hấp thụ và phát xạ của ánh sáng để mô tả sựtương tác giữa vật chất và ánh sáng thì lý thuyết điện từ của Maxwell lại dựa vàocác phương trình Maxwell để mô tả sự tương tác đó Trong khuôn khổ của luậnvăn chúng tôi sử dụng lý thuyết điện từ của Maxwell để giải thích các hiện tượngquang học Mục đích của chúng tôi là dựa vào hệ phương trình Maxwell để đưa

ra được phương trình sóng mô tả sự lan truyền sóng ánh sáng trong môi trườngchất điện môi Từ đó chúng ta rút ra các phương trình lan truyền của sóng trongcác môi trường khác nhau và các chế độ khác nhau

2.1 Sự lan truyền sóng điện từ trong điện môi

Sự lan truyền của sóng điện từ trong môi trường được mô tả bằng hệphương trình Maxwell:

Trong đó P là mô men lưỡng cực điện trong đơn vị thể tích (độ phân cực điện)

và M là mô men lưỡng cực từ trong đơn vị thể tích (độ phân cực từ) Chúng tabiết rằng trong môi trường điện môi, các hạt mang điện không chuyển động, vì

vậy = 0 Chúng ta cũng giả sử rằng môi trường được tạo bởi các vật liệu không

ở đây e là độ cảm điện môi của môi trường và (i) là các tenxơ độ cảm điện môi

phi tuyến bậc i Trong môi trường hoàn toàn đồng chất, (2) = 0 do tính chất đốixứng P( E)  P(E) Vì vậy tenxơ phi tuyến bậc ba (3) khác không và là lý dolàm xuất hiện hiệu ứng phân cực phi tuyến (môi trường Kerr phi tuyến)

Trong trường hợp trường phân cực phi tuyến, giả sử rằng véc tơ cường độđiện trường nằm trong mặt phẳng phân cực (chẳng hạn trong mặt phẳng x – z),

chúng ta có thể viết véc tơ phân cực P dạng:

Chúng ta giả sử rằng cường độ điện trường E vuông góc với trục Z và đặt

E = (E, 0, 0), với E = E(z, t).

Để thu được phương trình sóng cho thành phần E của trường điện từ, chúng

ta lấy rôta phương trình (2.4) và chú ý phương trình (2.3) chúng ta có:

0 0

1

2 2 0 2

2

0 z E E

t t

 Ñ Ñ



´ Ñ

0 0

1 )

E

Chúng ta giả sử rằng sự biến đổi của cường độ sóng |E|2 là chậm và có thể sosánh được với sự biến đổi của trường E Khi đó so sánh (2.11) và (2.12) chúng tanhận được phương trình sóng Maxwell phi tuyến dưới dạng:







2 2

z

2 2 2

2 2

E z

ở đây E(z,t) là thành phần điện trường vô hướng và c = 1/  0  0 là vận tốc ánhsáng trong chân không

Phương trình (2.13) mô tả một sóng phẳng, đơn sắc lan truyền theo phương

của trục Z trong môi trường điện môi Trong các mục tiếp theo chúng ta sẽ thiết

lập các phương trình sóng kết hợp tuyến tính và phi tuyến

2.2 Hệ phương trình liên kết mode

2.2.1 Mô hình môi trường tuần hoàn một chiều

Trước hết chúng ta xét môi trường quang học có cấu trúc một chiều và giả

sử ánh sáng tới là kết hợp và phân cực tuyến tính Hướng của ánh sáng lan truyềnđược lựa chọn dọc theo trục Z Ta cũng giả sử rằng môi trường tuần hoàn mộtchiều (on - dimensional periodic medium) có chiết suất trung bình n0 và độ biến

thiên chiết suất tuần hoàn n với chu kỳ  như hình 2.1.

Trong một số trường hợp, ta giả sử sự biến thiên biên độ của chiết suất là

nhỏ (n << n) điều này sẽ đưa lại một số đơn giản hơn

Như vậy khi sóng lan truyền trong môi trường có cấu trúc tuần hoàn như

mô tả trên hình 2.1, các sóng sẽ bị phản xạ tại các bề mặt cách tử Các sóng tới vàsóng phản xạ sẽ giao thoa với nhau Điều kiện Bragg cho cực đại giao thoa sẽ là:

2n0 = mB (2.14)Khi đó điều kiện với bước sóng tương ứng là:

vậy ở một bậc Bragg xác định (chẳng hạn m = 2) bằng cách lựa chọn giá trị của

chu kỳ cách tử Bragg , chúng ta sẽ nhận được giá trị của bước sóng m phù hợp.Những sóng không thỏa mãn (2.14) sẽ bị triệt tiêu

Biểu thức đối với tần số Bragg trong bậc nhất của nhiễu xạ có thể nhậnđược từ phương trình (2.15) dạng [12]:

0 0

c n



 



Trong đó c là tốc độ ánh sáng trong chân không

2.2.2 Hệ phương trình liên kết mode tổng quát

Khảo sát một cấu trúc quang học một chiều và giả sử ánh sáng tới là ánhsáng kết hợp và bị phân cực tuyến tính Hướng của sự truyền ánh sáng được chọndọc theo trục Z Điện trường vô hướng được mô tả bởi phương trình sóngMaxwell tuyến tính dạng [11]:





2 2

z

2 2 2

2 2

E z n

(2.16)

trong đó n2(Z, |E| 2) là một hàm tuần hoàn

Ta giả sử điện trường gần đơn sắc và sẽ mô tả giống như hàm bao biếnthiên chậm của một sóng mang dao động cao Nếu môi trường có cấu trúc nhưđược mô tả trên hình 2.1, thì sự biến đổi của chiết suất có dạng chữ nhật và giả sửrằng sự biến thiên của chiết suất trong cách tử nhỏ hơn rất nhiều chiết suất trung

bình và các biến đổi không gian của các thành phần chiết suất n 0 (z) và n 2(z) cócùng dạng đối xứng hình học tại Z = 0 (nghĩa là sự biến thiên của chiết suất làmột hàm chẵn của Z) Khi đó sự biến thiên của chiết suất có thể được mô tả dướidạng khai triển theo chuỗi Fourier của sóng cầu

Biểu thức tổng quát của chiết suất có dạng [9]:

4 1

2

2 ) 1 2 cos(

kZ m

01 02 01

2

1 4

; 2

1 4 )

( 2

p p

Z n

Z J n n n n

11 2 1

2

1 4

; 2

1 4 )

( 2

2

nl

nl nl

n nl nl

n

p p

Z n

Z J n n n n

Thay thế các biểu thức này vào (2.17) và dừng lại ở giá trị của J(Z) với

m = 1 chúng ta nhận được:

nếu trong các trường hợp khác.

nếu trong các trường hợp khác.