ung dung tinh don dieu giai phuong trinh bat phuong trinh va he phuong trinh nang cao

Tính chất 2 – Đơn điệu và nghiệm duy nhất Nếu hàm số y f x  luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên K thì phương trình f x C C là hằng số chỉ có nhiều nhất một nghiệm trên K.. Hay n

"Cácthầytoáncóthểlàm video vềtoán 10 nângcaophầnlượnggiác dc ko ạ"

họcsinhcógửinguyệnvọngđến page

A LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP LÀM BÀI

I CƠ SỞ LÝ THUYẾT

1 Tính chất 1 – Hàm đặc trưng

 

   

 

   

/

/

u v

f u f v

u v

f u f v













Hàm số y f t  hay còn gọi làm hàm “đặc trưng”

Dấu hiệu “Biển một bên và em một bên”

 

   

 

   

/

/

u v

f u f v

u v

f u f v













Chú ý: Hàm số f x phải đảm bảo là liên tục luôn đơn điệu trên   K

2 Tính chất 2 – Đơn điệu và nghiệm duy nhất

Nếu hàm số y f x  luôn đồng biến hoặc nghịch biến trên K thì phương trình f x C (C là hằng số) chỉ

có nhiều nhất một nghiệm trên K

Hay nói cách khác y f x  luôn đơn điệu trên K khi đó phương trình f x C nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất

 

0

!

y f x don dieu tren K

x x





 

3 Tính chất 3 – Đơn điệu khác nhau và nghiệm

Nếu hàm số y f x  luôn đồng biến, hàm số yg x  luôn nghịch biến trên K thì phương trình

   

f x g x chỉ có nhiều nhất một nghiệm trên K

Hay tổng quát hai hàm số f x g x luôn đơn điệu ngược chiều trên    , K khi đó phương trình f x g x  nếu có nghiệm thì đó là nghiệm duy nhất

BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TÍNH ĐƠN ĐIỆU GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG

TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH – NÂNG CAO CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

MÔN TOÁN: LỚP 12 THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM

   

   

   

 

0

!







4 Tính chất 4 – Số nghiệm dựa vào đạo hàm cấp 2

Nếu hàm số y f x  có đạo hàm đến cấp n trên K và phương trình f n  x 0 có m nghiệm thì phương

trình   1  

0

n

f  x  có nhiều nhất m1 nghiệm

Nếu hàm số y f x  xác định trên K và có f '' x 0 hoặc f '' x 0 trên K thì f ' x đồng biến hoặc

nghịch biến trên K Khi đó phương trình f ' x 0 có nhiều nhất một nghiệm suy ra phương trình f x 0

có nhiều nhất hai nghiệm

II PHƯƠNG PHÁP LÀM BÀI

1 Giải phương trình

Ta đưa về một trong các dạng sau:

 

   

   

0

f x

f x g x

f u f v

Sau đó khảo sát tính đơn điệu của mỗi hàm số trên

Dựa vào các tính chất đã học, ta dự đoán được số nghiệm phương trình và đưa ra tập nghiệm nhanh chóng Chú ý: Với những phương trình có ít nghiệm, nghiệm nguyên đẹp ta có thể tính nhẩm hoặc nhờ máy tính trợ giúp (SOLVE, TABLE)

2 Giải bất phương trình

Ta đưa về một trong các dạng sau:

   

    nếu f t  và ngược lại

Ta khảo sát tính đơn điệu của mỗi hàm số trên và kết luận tập nghiệm nhanh chóng

Chú ý: Trong quá trình làm bài có thể kết hợp linh hoạt các phương pháp như đặt ẩn phụ, nhân lượng liên hợp, chia các trường hợp để giải

3 Giải hệ phương trình

Ta thường biến đổi và đưa hệ về dạng trong đó có một phương trình chứa hàm đặc trưng

Lưu ý về tính liên tục của hàm đó trên D để tránh mắc sai lầm

+ Bước 1: Đặt điều kiện nếu có

+ Bước 2: Biến đổi một hoặc kết hợp nhiều phương trình của hệ về dạng f u  f v 

+ Bước 3: Khảo sát tính chất đơn điệu của y f x 

+ Bước 4: Giải phương trình u v và kết luận

B BÀI TẬP ÁP DỤNG

VẤN ĐỀ 1: ỨNG DỤNG ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

Bài 1: Giải phương trình: x55x 6 0

Giải:

Xét hàm số   5

5 6,

f x x  x x

f x  x   x    x

 

f x

 đồng biến trên

Mặt khác f  1 0 nên phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất x1

Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1

Bài 2: Giải phương trình: 3 2

Giải:

Xét hàm số   3 2

f x   x x  x x

Ta có:

 

2

2

2

 

f x

 nghịch biến trên

Mặt khác f   1 0 nên phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất x 1

Vậy tập nghiệm của phương trình là S   1

Bài 3: Giải phương trình: 4x 1 4x2 1 1

Giải:

Điều kiện: 2

1

x x

x x

 



 

 



2

f x  x  x  x

Ta có:   4 8 2 2 42 1

2

 

f x

 đồng biến trên 1;

2



 

Mặt khác 1 1

2

f    

  nên phương trình f x 1 có nghiệm duy nhất 1

2

x

Vậy tập nghiệm của phương trình là 1

2

S    

 

Bài 4: Giải phương trình: x2153x 2 x28

Giải:

f x  x  x   x 

+ Nếu 2

3

x thì f x  0 phương trình vô nghiệm

+ Nếu 2

3

3

f x    x f x đồng biến trên 2;

3

 

 

Mặt khác f  1 0 nên phương trình f x 0 có nghiệm duy nhất x1

Vậy tập nghiệm của phương trình là S 1

Bài 5: Giải phương trình: 3 2  

2x x 3x 1 2 3x1 3x1

Giải:

Điều kiện: 1

3

x

2x x 1 2 3x 1 3x

f x f x

Xét hàm số   3 2

f t  t  t liên tục  t 0

Ta có:   2

f t  t    t t  f t  đồng biến trên 0;

Vậy phương trình      

/ 0;

2

f t

f x f x



 

/ 2

/ 2













Vậy tập nghiệm của phương trình là 3 5 3; 5

S    

Bài 6: Giải phương trình:  2     2 

3x 2 9x 3  4x2 1 x x  1 0

Giải:

Điều kiện: x Phương trình đã cho tương đương với:

   

f u f v

Đặt u 3 ,x v2x1 với u v, 0

u  u  v  v 

f t  t t  t liên tục trên 0;

Có   243 32

3



 

f t

 đồng biến trên 0;

Vậy phương trình      

   

/ 0;

f u f v



 



1

5

Vậy tập nghiệm của phương trình là 1

5

S  

 

Bài 7: Giải phương trình: sin9 cos9 2 sin 0

4

Giải:

Điều kiện: x

Phương trình đã cho tương đương:

 

   

f u f v

Xét   9

f t  t t liên tục trên 1;1

f t  t     t

 

f t

 đồng biến trên 1;1

4

x x  k k

Vậy tập nghiệm của phương trình là  

4

S  k k 

VẤN ĐỀ 2: ỨNG DỤNG ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Bài 8: Giải bất phương trình: 5x 1 x 3 4

Giải:

Điều kiện:

1

5

3

x x

x



Xét f x  5x 1 x3 liên tục trên 1;

5



 

3

 

f x

 đồng biến trên 1;

5

 

 

Mặt khác f  1 4 nên bất phương trình đã cho  f x  f  1  x 1

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S  1; 

Bài 9: Giải bất phương trình: x22x 3 x26x11 3 x x1

Giải:

Điều kiện: 3 0 3 1 3

x

Bất phương trình đã cho tương đương:

Xét   2

2

f t  t   t liên tục trên 0;

Ta có:   21 1

2 2

t t

 

f t

 đồng biến trên 0;

x x

x



Vậy tập nghiệm của bất phương trình là S 2; 3 

VẤN ĐỀ 3: ỨNG DỤNG ĐƠN ĐIỆU ĐỂ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH

Bài 10: Giải hệ phương trình:



Giải:

 

1



 

Xét f t   t5 t3 t liên tục trên

Ta có:   4 2

f t  t  t    t

 

f t

 đồng biến trên

Do đó  1  f x  f y  x y



Vậy nghiệm của hệ phương trình là    x y;  1;1

Bài 11: Tìm , 0;

2

x y  

  thỏa mãn hệ phương trình: tan tan

3

x y 



  

Giải:

Hệ phương trình  

 

x y 



 

 

Xét f t tant1 liên tục trên 0;

2



 

2

 

f t

 đồng biến trên 0;

2



 

Do đó  1  f x  f y  x y

3

4

x

x y

x y

y



 









Vậy nghiệm của hệ phương trình là  ; ;

4 4

x y   

  

Bài 12: Giải hệ phương trình:  

 

3

1

y x

   







Giải:

Cách 1:

+ Xét   1

f t t t

t

+ Ta có:   2

1

t

    

 

f t

 đồng biến trên ; 0 và 0;

Do đó  1  f x  f y  x y

Cách giải thích trên là sai do hàm số f t ở trên bị gián đoạn; đơn điệu trên hai khoảng rời nhau  

 Cách giải thích đúng là chuyển vế và nhóm thừa số chung xy

Cách 2:

Điều kiện: x0 ; y0

 

 

 

3

4

1

1

2 1

y x

x

x

x



      







 



Xét hàm số   4

2

f x x  x

3

1

4

f

Bảng biến thiên:

x



3

1 4

 

 

'

f x  0 

 

f x

 

3

3 2

4 4

Vậy f x   0 x hay phương trình 4

x   x vô nghiệm

Vậy nghiệm của hệ phương trình là   1 5 1 5 1 5 1 5

x y          

Bài 13: Giải hệ phương trình:  

 

3

3





Giải:

Cách 1:

Xét   3

2 ,

f t  t t t

Ta có:   2

f t  t    x

Hệ phương trình trở thành:    

   

1 2

f x y

f y x









+ Nếu x y f x  f y  y x (mâu thuẫn)

+ Nếu x y f x  f y  y x (mâu thuẫn)

Suy ra x y, thế vào   3  2 

1 :x   x 0 x x    1 0 x 0

Vậy hệ phương trình nghiệm duy nhất  0; 0

Cách 2:

Trừ vế  1 cho vế  2 ta được:

3

3

x y x y y x

x y x xy y

x y x

x y do x

       

         

Thế x y vào hệ ta được nghiệm  0; 0

Vậy hệ phương trình nghiệm duy nhất  0; 0

Bài 14: Giải hệ phương trình:      

 

2





Giải:

Điều kiện: 3 ; 5

x y

2

2

Xét    2  3

1

f t  t  t t t liên tục trên

Có   2

f t  t    t  f t  đồng biến trên

3 0

4

5 4 2

x

y y

  





 



Khi đó  2 trở thành: 2 5 4 2 2  

2

x

x      x 

Xét hàm số   2 5 4 2 2

2

x

3 0;

4

 

x

 2

3

4

3 4

4

3 4

x

x



 

g x

 nghịch biến trên 0;3 ,

4

  mặt khác

1 0 2

g   

  nên phương trình  3 có nghiệm duy nhất

1

2

2

x  y

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm   1

2

x y  

  

Bài 15: Giải hệ phương trình:

 

 

 



    



Giải:

Xét   3 2

,

f t   t t t t

f t  t   t t  t 

Suy ra f t đồng biến trên  

Không mất tính tổng quát giả sử x  y z f x  f y  f z 

Vậy x   y z 1

C CÁC BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải phương trình: x5x3 1 3 x 4 0

Đáp số: x 1

Bài 2: Giải phương trình: 3x 1 6 x 3x214x 8 0

Đáp số: x5

Bài 3: Giải phương trình: 3 sin x 2 sin x 1

2

x  k  k

Bài 4: Giải phương trình: 2    

x

Gợi ý: Xét   3 2

f x  t t t t

f x  f x

Đáp số: S  1; 2

Bài 5: Giải phương trình: 2  

2

3 1

x x

Gợi ý: Xét   3 2

f t   t t t t

Đặt u x3, v  x 1 f u  f v 

Đáp số: 3 17

2



Bài 6: Giải phương trình: 3 2  

2x 7x 5x 4 2 3x1 3x1 Gợi ý: Đặt y 3x1

f t  t t f x  f y

Đáp số: Phương trình vô nghiệm

Bài 7: Giải phương trình: x34x25x 6 37x29x4

Gợi ý: Đặt y 37x29x4

f t  t t f x  f y

Đáp số: 5; 1 5

2

S    

Bài 8: Giải phương trình:  3  23 2  

x  xx  xx  x Gợi ý: Đặt u 5xx2,v x 1

3 ,

f t  t t f u  f v

Đáp số: 1;1

2

S    

 

Bài 9: Giải phương trình: 3 2 3

8x 60x 151x128 x2 Gợi ý: Đặt 3

2

y x

f t  t t f x  f y

Đáp số: S  3

Bài 10: Giải bất phương trình: x 9 2x 4 5

Đáp số: x0

Bài 11: Giải bất phương trình: 3 4 5

x  x  x  x 

Đáp số: 5 3

7 x

Bài 12: Giải bất phương trình: 2x33x26x16 2 3 4x

Đáp số: x0

Bài 13: Giải bất phương trình: 3 3 2 5 2 6

x

Đáp số: 1 3

2

x

 

Bài 14: Giải bất phương trình: x2 2 x 1 3 x  6 4 x6 2 x 1 3 x2

Đáp số: 1 7

2 x

Bài 15: Tìm x y,  0; thỏa mãn hệ phương trình: cot cot



  

4

x y 

Bài 16: Giải hệ phương trình:

2

x xy

   







Đáp số:   1;1 ;  1; 1 

Bài 17: Giải hệ phương trình:

1

x y





Đáp số

6

1 2

x  y

Bài 18: Giải hệ phương trình:

2

2

2 2





Đáp số:     3 5 3 5

Bài 19: Giải hệ phương trình: 2 3 4 4





Đáp số:   11 11

 

Bài 20: Giải hệ phương trình:  3  





f t  t t f x  f y

Đáp số: 1; 6

2

 

Bài 21: Giải hệ phương trình:  

 3





Gợi ý: Đặt u 2x v,  2y1

,

f t  t t f u  f v

Đáp số: 1; 6 ; 1 5 5; 5