phuong trinh duong thang di qua hai diem cuc tri cua ham bac ba

Với công thức giải nhanh tổng quát: 2 bc  Ngoài ra ta có thể tìm tọa độ A, B và thay vào phương trình yax b.. BÀI GIẢNG: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC

A LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP

1 Phương pháp tổng quát

Xét hàm đa thức bậc ba   3 2  

0

y f x ax bx cxd a

'

y  ax  bxc  b  ac

+ Thực hiện phép chia y cho y ta được: '

2

'

        

Hay y y q x'    r x với bậc r x 1

+ Gọi A x y 1; 1 , B x y2; 2 là điểm cực trị của đồ thị

 

1

2

y x

y x









 

 

y r x

y r x









Suy ra phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là yr x 

Với công thức giải nhanh tổng quát:

2

bc



Ngoài ra ta có thể tìm tọa độ A, B và thay vào phương trình yax b

2 Phương pháp khác

Nếu tọa đọ các điểm cực trị A x y 1; 1 , B x y2; 2 tính được dễ dàng, không chứa tham số thì:

+ Dạng đại số: Gọi phương trình đường thẳng AB có dạng yax b , thay tọa độ các điểm và giải hệ phương trình tìm ,a b

BÀI GIẢNG: PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG ĐI QUA HAI ĐIỂM

CỰC TRỊ CỦA HÀM BẬC BA CHUYÊN ĐỀ: HÀM SỐ VÀ ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

MÔN TOÁN LỚP 12

THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM

THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM

THẦY GIÁO: NGUYỄN CÔNG CHÍNH – GV TUYENSINH247.COM

+ Dạng phương trình chính tắc: A A

B A B A

x x y y

…

3 Một số kiến thức và dạng bài thường gặp

Gọi phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là AB, d cho trước:

+ AB song song d k AB k d,bb'

+ AB vuông góc d AB 1

d

k

k

  

+ AB tạo với trục Ox một góc k AB  tan

+ AB tạo với d một góc tan

AB d

AB AB d



+ ABC có diện tích S với C cho trước: 1  

2

ABC

S  AB d C AB

+ A, B đối xứng qua đường thẳng d cho trước

Gọi I là trung điểm AB, khi đó AB d

I d





 



+ A, B cách đều đường thẳng  cho trước d A ;  d B ;

+ Hệ thức liên quan y CD,y CT ta sử dụng y của AB

+ Khoảng cách AB max hoặc min, ta sử dụng phương pháp hàm số, đánh giá…

B BÀI TẬP ÁP DỤNG

Câu 1: Cho hàm số yx33x29x1 Viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên

A y8x2 B y  8x 2 C y8x2 D y  8x 2

Giải

Cách 1: Ta có y'3x26x9

+  

' 0

y



  

+ Gọi phương trình đường thẳng AB: yax b Thay A, B ta có hệ phương trình:

    

      

Chọn B

Cách 2: y'3x26x9

2

2

2

x x

x x

x x

x





y x y x

+ Gọi M x y 0; 0 là điểm cực trị thì

 

0

y x





+ Vậy phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT: y  8x 2

Chọn B

Cách 3: Sử dụng công thức giải nhanh

 

2



+ Vậy phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT: y  8x 2

Chọn B

Câu 2: Biết đồ thị hàm số yx33x1 có hai điểm cực trị A, B và phương trình đường thẳng AB có dạng

yax b Tính giá trị S  a b

A S 1 B S0 C S  1 D S 2

Giải

Cách 1: Ta có y'3x23

' 0

y



  

+ Gọi phương trình đường thẳng AB: yax b Thay A, B ta có hệ phương trình:

1

S

    

     

Chọn C

Cách 2: y'3x23

3

y x y  x

+ Gọi M x y 0; 0 là điểm cực trị thì

 

0

1

y x





+ Vậy phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT: y  2x 1

S     

Chọn C

Cách 3: Sử dụng công thức giải nhanh

 

2

2 3

3



+ Vậy phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT: y  2x 1

2 1 1

S     

Chọn C

Câu 3: Biết đồ thị hàm số y  x3 3x21 có hai điểm cực trị A, B Điểm nào sau đây thuộc đường thẳng AB?

A M 3;5 B N1;3 C P 0;1 D Q1; 1 

Giải

Cách 1: Ta có y' 3x26x

 

' 0

y



  

   

+ Gọi phương trình đường thẳng AB: yax b Thay A, B ta có hệ phương trình:

     

Chọn A

Cách 2: Sử dụng công thức giải nhanh

2

2.9

9



+ Vậy phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT: y2x1,MAB

Chọn A

Câu 4: Tìm các giá trị thực của m để đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số yx3 x m đi qua điểm M3; 1 ?

A m 1 B m1 C m3 D m 3

Giải

Cách 1: Ta có y'3x21

y x y  xm

 

+ Vậy phương trình đường thẳng đi qua CĐ, CT: 2  

3

y  x m d + M3; 1        d 2 m 1 m1

Chọn B

Cách 2: Sử dụng công thức giải nhanh

2

0

+ M3; 1        d 2 m 1 m1

Chọn B

Câu 5: Tìm các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 3   2  

y x  m x  m  m x có các điểm cực đại, cực tiểu nằm trên d y:  4x

A 1;1

3

m  

 

  B

1 0;1;

2

m  

  C

; 0;1;

  D m1 Giải

y  x  m x m  m

y  x  m xm  m 

         

0

3

m

Sử dụng CTGN phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị:

2

2 2

Để các điểm CĐ, CT nằm trên :d y 4x thì d    

2

1

m

m

   



  

Chọn D

Câu 6: Gọi d là phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x2mx2 Tìm

các giá trị thực của m để d song song với : y  4x 3

A m3 B m 3 C m2 D m 9

Giải

+ y'3x26x m

+ y' 0 3x26x m 0

+ Hàm số có CĐ, CT     0 9 3m   0 m 3

Sử dụng CTGN phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị:

 

 

2

2

2



      

Do d :y  4x 3

 

2

3 3

3 3

3

m

m

   

 



  



Chọn A

Câu 7: Gọi d là phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số yx33x2mx2 Tìm

các giá trị thực của m để d cắt hai trục tọa độ tạo thành tam giác cân

A 9; 3; 6

m   

  B

3

; 6 2

m  

 

  C

9

; 6 2

m  

 

  D

3 2

m  

 

 

Giải

+ y'3x26x m

+ y' 0 3x26x m 0

+ Hàm số có CĐ, CT     0 9 3m   0 m 3

+ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị: 2  

y   x   d

+ d cắt trục Ox, Oy lần lượt tại 6 ; 0 , 0; 6

m

   

+ OAB cân OA OB

6

3 2

m

m m

m



 









  



6

m  A B (loại), so với điều kiện nhận 3

2

m 

Chọn D

Câu 8: Gọi d là phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực trị của đồ thị hàm số yx3mx27x3 Tính

tổng các giá trị thực của m để d vuông góc với : y3x7

A 3 10

3 10 2

 C 0 D 3 10

Giải

+ y'3x22mx7

+ y' 0 3x22mx 7 0

+ Hàm số có CĐ, CT    0 m221 0  m  21

+ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị:

3

y  x    x 

     

Do d  : y3x7 nên

2

2

m

m

     

2

  

Tổng các giá trị m thỏa mãn bằng 0

Chọn C

Câu 9: Cho hàm số 3 2 2  

3

yx  x m xm C Tìm giá trị thực của m để  C có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua : 1 5

y x

0

m m

 



 

 D m1 Giải

+ y'3x26x m 2

+ y' 0 3x26x m 2 0

+ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị:

 

2

y  xm    x m d

+ Gọi A x y 1; 1 , B x y2; 2 là các điểm cực trị và I là trung điểm 1 2 2

I

x x

AB x 

+ A, B đối xứng nhau qua    d tại I

2

0

0

d

m

m

k k

m m

m



 



Chọn A

Câu 10: Cho hàm số 1 3 2  

1 3

y x mx   x m C Tìm giá trị thực của m để  C có các điểm cực đại, cực tiểu mà khoảng cách giữa chúng là nhỏ nhất

A m1 B m0 C m 1 D m 1

Giải

+ y'x22mx1

+  m2  1 0 m nên y'0 luôn có 2 nghiệm phân biệt x x hay hàm số luôn có 2 điểm cực trị 1, 2

+ Phương trình đường thẳng d đi qua 2 điểm cực trị:

 

2 2

1

m



+ Gọi A x y 1; 1 , B x y2; 2 là các điểm cực trị của  C

AB  x x  y y

2

2

2

4 1 9

4

9

2 13

3

AB

3

AB xảy ra khi m0

Chọn B

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Cho hàm số yx33x26x8 Viết phương trình đường thẳng nối hai điểm cực trị của đồ thị hàm số trên

Đáp số: y  6x 6

Bài 2: Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số

y  x mx  m xm m C

Đáp số: y2x m 2m

Bài 3: Tìm tất cả các giá trị thực của m để đồ thị hàm số 3 2  2  2  

y  x x  m  x m  C có các điểm

cực đại, cực tiểu cách đều gốc tọa độ O

Giải

TXĐ: D

Ta có: y' 3x26x3m23

Xét y'   0 x2 2xm2 1 0

Để hàm số có 2 điểm cực trị thì phương trình ' 0y  có 2 nghiệm phân biệt   ' 0

       

Khi đó phương trình 'y 0 có 2 nghiệm phân biệt

1 2

1

1 1 1

1 1

m

m

 



 

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số là:

 

 

 

2

Phương trình đường thẳng đi qua O và vuông góc với d là: 2    

1

2

m

Xét phương trình hoành độ giao điểm

2

2 4

2 2

4

1

2 1

2

2

m

m

m

x m

m

x

m

y

d d I





 



Vì A, B cách đều O nên I là trung điểm của AB, do đó ta có:

2

A B I

x x

 

4

2

1

1

4

1

2

m

m





  

Đáp số: 1

2

m 

Bài 4: Cho hàm số 3 2  

3

yx  x C Tìm tất cả các giá trị thực của m để đường thẳng qua điểm cực trị của  C

tạo với đường thẳng :x my  3 0 một góc  biết 4

cos

5

 

Đáp số: m2 hoặc 2

11

m 

yx  m x  x m C Tìm tất cả các giá trị thực của m để  C có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng 1

: 2

y x

y  x  m x

2 2

Hàm số có 2 điểm cực trị  * có hai nghiệm phân biệt   ' 0

m

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số là:

2 2

2.9

     

     

Khi đó ta có hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là:   2  

A x  m  m x  m và

B x  m  m x  m

Gọi I là trung điểm của AB 1 2  2   

1 2

2

2

Hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua đường thẳng : 1

2

y x

d

I

 



   



1

2

1

2

m

    



    



 

2

2

1

3

1 1

3, 22

0,67

m

m

m tm m

m

m



 





 



 

  











  



Vậy m1 thỏa mãn bài toán

Bài 6: Cho hàm số 3 2  

y  x mx  m C Tìm tất cả các giá trị thực của m để  C có các điểm cực đại, cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng :x8y740

Ta có: y' 3x26mx

2

0

2

x

x x m

x m







 Hàm số có 2 điểm cực trị 2m  0 m 0

Gọi A B là hai điểm cực trị của đồ thị hàm số , A0; 3 m1 và  3 

B m m  m

Gọi I là trung điểm của AB  3 

Ta có phương trình đường thẳng AB là:

2

2

18

9

m

y  x m  m x m

Ta có: A B đối xứng với nhau qua đường thẳng , : x8y740 1 37

AB d

I d





  

2 3

1

8

m

  

  

 

  

 

     



2 3

4

m



 



2 2 2

m m m

 



  

 



  2

m tm

Vậy m2 thỏa mãn bài toán

Bài 7: Tìm tất cả các giá trị thực của m để khoảng cách từ điểm M 0;3 đến đường thẳng nối hai điểm cực trị

yx  mx C bằng 2

5

Đáp số: m 1

yx  x mx m C Tìm tất cả các giá trị thực của m để  C có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành

Ta có: y'3x26xm

 

2

Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị  * có 2 nghiệm phân biệt x x 1, 2

       

Khi đó x x là hai điểm cực trị của hàm số đã cho 1, 2

Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của hàm số đã cho là:

d y  x  m

x

 Hai điểm cực trị của đồ thị hàm số đã cho là: 1; 2 6 1 2 6

;

Hai điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành  y y1 2 0

2

1 2 1 2

0

0

3

m

m

Vậy m3 thỏa mãn bài toán

Bài 9: Cho hàm số 3 2  2  2  

y  x x  m  x m  C Tìm tất cả các giá trị thực của m để  C có các

điểm cực trị A, B tạo thành OAB vuông tại O với O là gốc tọa độ

TXĐ: D

y   x  x m 

Cho y' 0 x22x m 2 1 0

Để hàm số đã cho có 2 điểm cực trị thì phương trình y'0 phải có 2 nghiệm phân biệt

        

Khi đó phương trình y'0 có 2 nghiệm phân biệt

3 1

3



 Đồ thị hàm số đã cho có 2 điểm cực trị là:  3   3 

A m m  B m  m 

OA m m  OB m  m 

Để tam giác OAB vuông tại O thì OAOB 0

     

  

1

m

  

1 4 m  m 1 m    m 1 0 m

Vậy m 1

yx  m x  m m x m C Tìm tất cả các giá trị thực của m để  C

có các điểm cực đại, cực tiểu là A, B sao cho MA MB  nhỏ nhất với M 3; 2

    

      Hàm số đã cho có 2 điểm cực trị  * có 2 nghiệm phân biệt

          1 0 m

 Hàm số đã cho có hai điểm cực trị với mọi m

Gọi A x y 1; 1 và B x 2; y2 là hai điểm cực trị của hàm số đã cho

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ,A B là: 2 3 3 2 10 8

9

y  xm  m  m

Ta có: MAMB AB Min MA MB AB MAB

2

9

Vậy với m  5; 0; 2 thỏa mãn bài toán