Bài giảng Ôtômát và ngôn ngữ hình thức: Chương 5 - ThS. Nguyễn Thị Thùy Linh

Bài giảng Ôtômát và ngôn ngữ hình thức: Chương 5 Máy turing (turing machine) cung cấp cho người học những kiến thức như: Mô tả máy Turing; Ngôn ngữ chấp nhận bởi TM; TM thực hiện hàm tính; Chương trình con. Mời các bạn cùng tham khảo!

Trang 1

CHƯƠNG 5: MÁY TURING (TURING MACHINE)

1. Mô tả máy Turing

2. Ngôn ngữ chấp nhận bởi

TM

3. TM thực hiện hàm tính

4. Chương trình con

1

2

Tham khảo: http://vi.wikipedia.org/wiki/Alan_Turing

Một máy Turing gồm:

 Một bộ điều khiển hữu hạn

 Một băng được chia thành các ô để lưu dữ liệu

 Một đầu đọc – viết, mỗi lần đọc có thể duyệt qua một ô trên băng để

đọc hay viết ký hiệu

a1 a2 … ai an B B B B …

Input, Bộ nhớ, Output

MÔ TẢ MÁY TURING (TT)

Mỗi bước chuyển của máy Turing, phụ thuộc vào ký hiệu

do đầu đọc đọc được trên băng và trạng thái của bộ điều khiển, máy sẽ thực hiện các bước sau:

Chuyển trạng thái

In một ký hiệu trên băng tại ô đang duyệt (nghĩa là thay

ký hiệu đọc được trên băng bằng ký hiệu nào đó)

Dịch chuyển đầu đọc – viết (sang trái (L), sang phải (R) hoặc đứng yên (  ))

Một cách hinh thức, ta định nghĩa máy Turing (TM) như sau:

Trang 2

Định nghĩa: TM là một hệ thống gồm các thành phần M(  , Q,

 ,  , q0, B, F), trong đó:

 : bộ ký hiệu nhập

 Q: tập hữu hạn các trạng thái

 : tập hữu hạn các ký tự được phép viết trên băng

 B: ký hiệu thuộc  dùng để chỉ khoảng trắng trên băng (Blank)

 : hàm chuyển ánh xạ: Q x  Q x  x {L, R, } ( có thể không

xác định với một vài đối với)

 q0 Q là trạng thái bắt đầu

 F  Q là tập các trạng thái kết thúc

5

Một hinh thái (thể hiện) của máy Turing M được cho bởi 1q2, trong

đó q là trạng thái hiện hành của M; 12* là nộ dung của băng tính

từ đầu băng cho tới ký hiệu khác Blank bên phải nhất của băng Giả sử

Q và  rời nhau: đầu đọc đang đọc ký hiệu bên trái nhất của 2 hoặc nếu 2 =  thì đầu đọc đọc Blank

Hàm chuyển: Ta định nghĩa một phép chuyển trạng thái của TM như sau:

Đặt X1X2…Xi-1qXi…Xnlà một thể hiện của TM

Giả sử (q, Xi) = (p, Y, L), trong đó:

Nếu i – 1 = n thì Xi là B

Nếu i= 1 thì không có ID kế tiếp, nghĩa là đầu đọc không được phép vượt qua cận trái của băng

6

Nếu i>1 ta viết:

X1X2…Xi-1qXi…Xn |M X1X2…Xi-2pXi-1YXi+1…Xn

Tương tự  (q, Xi) = (p, Y, R) thì ta viết:

X1X2…Xi-1qXi…Xn | M X1X2…Xi-1YpXi+1…Xn

 Tương tự  (q, Xi) = (p, Y,  ) thì ta viết:

X1X2…Xi-1qXi…Xn | M X1X2…Xi-1pYXi+1…Xn

Chú ý rằng nếu i-1 = n thì chuỗi Xi…Xn là rỗng và

vế phải dài hơn vế trái, nghĩa là TM M mở rộng

chuỗi ký hiệu trên băng

7

2. Ngôn ngữ chấp nhận bởi TM

8

Trang 3

NGÔN NGỮ CHẤP NHẬN BỞI TM

Ngôn ngữ được chấp nhận bởi TM: Ký hiệu L(M): tập hợp

các chuỗi trong * là nguyên nhân đưa TM M đi đến trạng

thái kết thúc khi đã thực hiện việc thay thế từ bến trái các ký

hiệu trên băng của M với trạng thái bắt đầu q0 Một cách hình

thức, ta định nghĩa tập hợp ngôn ngữ được chấp nhận bởi TM

M(  , Q,  ,  , q0, B, F) là tập:

L(M) = {w| w  * và q0w | *

M 1p 2 với p  F còn 12

*}

Ví dụ 6.1:

Thiết kế TM chấp nhận ngôn ngữ L = {0n1n | n  1 }

B1: Input : w = 0n1n Output : yes , w  L

No, w  L

B2 : ý tưởng chung:

Khởi đầu TM chứa 0n1n bên trái nhất trên băng sau đó là vô hạn khoảng trống Blank

TM lặp lại quá trình sau:

10

GIẢI THUẬT (TT)

 TM thay 0 bên trái nhất bằng X rồi chuyển sang phải tới 1 trái nhất,

TM thay 1 này bằng Y rồi dịch chuyển về bên trái cho tới khi gặp X

phải nhất nó chuyển sang phải một ô (tới 0 trái nhất) rồi tiếp tục lập

một chu trình mới

 Nếu trong khi chuyển sang phải để tìm 1 mà TM gặp Blank thì TM

dừng lại và không chấp nhận input Tương tự, khi TM đã thay hết 0

bằng X và kiểm tra còn 1 trên băng thì TM cúng dừng và không chấp

nhận input

 TM chấp nhận input nếu như cũng không còn ký hiệu 1 nào trên

băng nữa

B3: Thiết kế:

Đặt TM: M(  , Q,  ,  , q0, B, F) với các thành phần:

={0, 1}; Q={q, q, q, q, q}; ={0,1, X, Y, B} và F={q}

Ta có thể hình dung mỗi trạng thái là một câu lệnh hoặc một nhóm câu lệnh trong chương trình Trạng thái q0 là trạng thái khởi đầu và nó làm cho ký hiệu 0 bên trái nhất thay bằng X Trạng thái q1 được dùng để tiến sang phải

bỏ qua các số 0 và Y để tìm 1 bên trái nhất Nếu M tìm thấy 1 nó thay bằng 1 bằng Y rồi đi vào trạng thái q2 Trạng thái q2 đưa M tiến sang trái cho tới X đầu tiên và

đi vào trạng thái q0, dịch chuyển sang phải để tới 0 bên trái nhất và tiếp tục một chu trình mới Khi M tiến sang phải trong trạng thái q1, nếu B hoặc X được tiếp thấy trước 1 thì input bị loại bỏ (không chấp nhận) vì có chứa nhiều ký hiệu 0 hơn 1 hoặc input không có dạng 0*1*

Trang 4

Trạng thái q0 còn có vai trò khác Nếu trạng thái q2 tìm

thấy X bên phải nhất thì ngay sau đó là Y thì các con số

0 đã được xét hết, do đó ở trạng thái bắt đầu một chu

trình mới q0 không tìm thấy ký hiệu 0 nào để thay thành

X mà chỉ gặp Y thì M đi vào trạng thái q3 duyệt qua các

Y để kiểm tra có hay không có ký hiệu 1 còn lại Nếu

theo ngay sau các Y là B, nghĩa là trên băng nhập không

còn ký hiệu bào cả thì M sẽ đi vào q4 (trạng thái kết

thúc) để chấp nhận input Ngược lại input bị loại bỏ

Hàm chuyển  được cho bởi bảng sau:

13

14

B4 : Các phép chuyển hinh thái của TM M trên input 0011:

q00011 | Xq1011 | X0q111 | Xq20Y1 | q2X0Y1 | Xq00Y1

Output: Yes

B5: Thiết kế thuật toán

B6: Cài đặt thuật toán

B7: Testing Demo

15

TM

16

Trang 5

MÁY TURNG THỰC HIỆN HÀM TÍNH

Ngôn ngữ được chấp nhận bởi một máy Turing được gọi là

ngôn ngữ đệ qui liệt kê Lớp ngôn ngữ này rất rộng nó chứa

ngôn ngữ phi ngữ cảnh và một số ngôn ngữ khác

Máy Turing như một máy tính hàm số nguyên:

Máy Turing cũng có thể được xem như là một máy tính của các hàm

số nguyên (đi từ tập số nguyên đến tập số nguyên)

Mỗi số nguyên ta viết dưới dạng số trong hệ nhất phân (unary), tức

là với một số i  0 ta viết thành chuỗi 0i (gồm i chữ số 0)

Nếu hàm f có k đối số i1, i2, …, ik thì ta viết lần lượt các số nguyên

này trên băng của TM ngăn cách nhau bởi 1, nghĩa là input có dạng

0i110i2…0ik Nếu TM dừng (chấp nhận hoặc không chấp nhận) với

băng 0m thì ta nó f(i1,i2,…,ik) = m

17

MÁY TURNG THỰC HIỆN HÀM TÍNH (TT)

Ví dụ 6.2: Thiết kế máy Turing tính toán phép trừ riêng

Ta định nghĩa phép trừ riêng như sau:

Input: 0m10n

Output: 0m\n



18

m – n nếu m  n

0 nếu m<n f(m,n) = m\n =

M lặp lại việc thay thế lần lược từng số 0 ở đầu băng bằng B rồi tiến

sang phải, ra sau 1 tìm 0 và thay thế 0 này bằng 1 M lại chuyển sang

trái cho đến khi gặp B đầu tiên thì dừng lại, trở về trạng thái bắt đầu và

tiếp tục vòng lặp như trên M dừng nếu:

i. Khi tìm 0 bên phải, M gặp B Lúc này M đã thay n số 0 bên phải

0m10n thành 1 và n+1 số 0 bên trái thành B, trường hợp này xảy ra

khi trong chuỗi input có m>n Do vậy M phải thay lại tất cả n +1

số 1 sau thành B, và sau đó dịch trái thay trả lại một B về thành 0,

cuối cùng trên băng còn lại kết quả phép trừ là m-n số 0

ii Khi bắt đầu một vòng lặp mới, M không tìm thấy 0 để đổi thành B, lúc này m số 0 đầu đã bị đổi thành B, trường hợp này xảy ra khi m  n Khi đó, M thay tất cả các sô1 1 và 0 trên băng thành B để cho kết quả phép trừ thành 0 (biểu diễn gồm toàn ký hiệu B trong hệ nhất phân)

Ta xây dựng TM như sau: M({0, 1}, {q0, q1,…, q6}, {0, 1, B},  , q0, B, {q6})

TM sẽ bắt đầu bằng 0m10n trên băng và kết thúc với 0m\n

trên băng Các phép chuyển trạng thái được định nghĩa

Trang 6

1  (q0, 0) = (q1, B, R)

M thay 0 đầu băng bởi B

2  (q1, 0) = (q1, 0, R)

 (q1, 1) = (q2, 1, R)

M di chuyển sang phải qua 0 tìm 1

3  (q2, 1) = (q2, 1, R)

 (q2, 0) = (q3, 1, L)

M di chhuyển sang phải vượt qua 1 đến khi gặp 0, đổi 0 thành 1

4  (q3, 0) = (q3, 0, L)

 (q3, 1) = (q3, 1, L)

 (q3, B) = (q0, B, R)

M dịch trái tới khi gặp B, trở về trạng thái q0 và bắt đầu một vòng lặp mới

21

5. (q2, B) = (q4, B, L)

(q4, 1) = (q4, B, L)

(q4, 0) = (q4, 0, L)

(q4, B) = (q6, 0, ) Nếu ở trạng thái q2 sang phải tìm 0 để thay thành 1 nhưng chỉ gặp B thì ta xét trường hợp kết thúc i) ở trên: TM chuyển sang trạng thái

q4 và chuyển sang trái đổi tất cả 1 thành B cho đến khi gặp 1 B bên trái đầu tiên B này sẽ được thay lại thành 0 rồi M đi vào trạng thái kết thúc q6 và dừng

6. (q0, 1) = (q5, B, R)

(q5, 0) = (q5, B, R)

(q5, 1) = (q5, B, R)

(q5, B) = (q6, B, )

22

Nếu ở trạng thái bắt đầu vòng lặp mới q0 gặp 1 thay vì gặp 0,

thì khối các sô 0 bên trái đã xét hết, đây là trường hợp kết

thúc ii) nêu trên: TM sẽ đi vào trạng thái q5, xóa phần còn

lại của băng rồi đi vào trạng thái kết thúc q6 và dừng

Chẳng hạn TM tính toán phép trừ 2\1 (tức input 0010) như

sau:

q00010 |  Bq1010 |  B0q110 |  B01q20 |  B0q311 | 

Bq3011 |  q3B011 |  Bq0011 |  BBq111 |  BB1q21 | 

BB11q2 |  BB1q41 |  BBq41 |  Bq4BB |  Bq60B

23

TM

24

Trang 7

CHƯƠNG TRÌNH CON

TM có thể đóng vai trò như một đoạn chương trình con với

trạng thái bắt đầu và trạng thái kết thúc để thực hiện lặp lại

một công việc nào đó

Ví dụ 6.3: Thiết kế TM tính toán hàm nhân 2 đối số f(m,n)

= mxn

M bắt đầu với 0m10n trên băng và kết thúc với 0mn trên

băng được bao quanh bởi các Blank

Ý tưởng chung là đặt thêm 1 sau 0m10n rồi chép khối n số

0 sang phải m lần, mỗi lần xóa một con số 0 bên trái của

0m Ta được kết quả cuối cùng là 10n10mn Giờ chỉ việc xóa

Phần chính của thủ tục trên là thủ tục COPY để chép n số 0 sang phải

Thủ tục này được xác định bằng hàm chuyển sau:

q1 (q2, 2, R) (q4, 1, L)

q3 (q3, 0, L) (q3, 1, L) (q1, 2, R)

26

Ở trạng thái q1 nhìn thấy 0, M đổi 0 thành 2 và đi vào trạng thái q2 Ở trạng thái q2 M dịch phải tới Blank viết 0 rồi dịch trái trong trạng thái q3 Khi ở trạng thái q3 mà gặp 2 M đi vào trạng thái q1 để tiếp tục lặp lại quá trình trên cho tới khi gặp 1

Trạng thái q4 được dùng để biến đổi 2 thành 0 và thủ tục dừng tai q5 Để

làm đầy đủ chương trình ta phải thêm các trạng thái để biến đổi ID khởi

đầu q00m10n thành B0m-11q10n1 Tức là ta cần 3 qui tắc:

(q0, 0) = (q6, B, R)

(q6, 0) = (q6, 0, R)

(q6, 1) = (q1, 1, R)

Sau đó, ta lại thêm các trạng thái cần thiết để biến đổi ID Bi0m-i1q50n10ni

thành Bi+10m-i-11q10n10ni là trạng thái bắt đầu lại COPY và kiểm tra có

hay không i=m (tất cả các 0 của 0m đã bí xóa) Nếu i=m thì 10n1 bị xóa

và tính toán dừng lại trạng thái q12

q5 (q7, 0, L)

q11 (q11, B, R) (q12, B, R)

Vì input chỉ có 0m10n ta muốn có 0m10n1 trên băng ta cần thêm vào các hàm chuyển trạng thái như sau:

Trang 8

CHƯƠNG TRÌNH CON (TT)

 (q13, 0) = (q13, 0, R)

 (q13 ,1) = (q13, 1, R)

 (q13, B) = (q14, 1, L)

 (q14, 0) = (q14, 0, L)

 (q14, 1) = (q14, 1, L)

 (q14, B) = (q0, B, R)

Từ hàm chuyển  ta có thể vẽ sơ đồ chuyển cho TM (sinh

viên tự vẽ lấy)

Ta có thể đánh số thứ tự của các trạng thái lại theo ý muốn

29

BÀI TẬP

1 Thiết kế máy turing đoán nhận ngôn ngữ:

L={an bn cn , n  1}

L = { an b2n , n  1}

2 Thiết kế máy turing thực hiện:

a+b

5*n

n!

30

Định dạng
Số trang	8
Dung lượng	473,25 KB