Lưu ý: Bài toán có thể hỏi chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm trong đó một nghiệm lớn hơn 1, một nghiệm nhỏ hơn 1 Biểu thức A =.. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là..[r]
Trang 1KIỂM TRA MÔN TOÁN – ĐỀ SỐ 1
Thời gian: 120 phút
Bài 1 (2 điểm)
1) Thực hiện phép tính
.
2) Rút gọn biểu thức: M = 1-
với x 0, x 1
Bài 2 (2 điểm) Cho phương trình 2 x2−(m+3) x+ m=0 (1) với m là tham số
1) Giải phương trình khi m=2
2) Chứng tỏ phương trình (1) có nghiệm với mọi giá trị của m Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình (1)
a) Tìm m để x1 1 x2
b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau: A = |x1− x2|
Bài 3 (2,5 điểm)
1) Giải hệ phương trình
2 x - 1 y = 3
x - 3y = - 8
2) Một xe lửa cần vận chuyển một lượng hàng Người lái xe tính rằng nếu xếp mỗi toa 15 tấn hàng thì còn thừa lại 5 tấn, còn nếu xếp mỗi toa 16 tấn thì có thể chở thêm 3 tấn nữa Hỏi xe lửa có mấy toa và phải chở bao nhiêu tấn hàng
Bài 4 (3 điểm) Cho đường trong (O, R) và đường thẳng d không qua O cắt đường tròn tại hai
điểm A, B Lấy một điểm M trên tia đối của tia BA kẻ hai tiếp tuyến MC, MD với đường tròn (C, D là các tiếp điểm) Gọi H là trung điểm của AB
1) Chứng minh rằng các điểm M, D, O, H, C cùng nằm trên một đường tròn
2) Đoạn OM cắt đường tròn tại I Chứng minh rằng I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD
3) Đường thẳng qua O, vuông góc với OM cắt các tia MC, MD thứ tự tại P và Q Tìm vị trí của điểm M trên d sao cho diện tích tam giác MPQ bé nhất
Bài 5 (1 điểm) Chứng minh rằng:
2
a 3a + b b 3b + a
với a, b là các số dương - Hết
Trang 2Câu 2
1) Với m=2 phương trình trở thành 2 x2−5 x+2=0
2
5 4.2.2 9
nên phương trình có hai nghiệm x1=2 , x2=1
2 .
2)
Phương trình có biệt thức Δ=(m+3)2− 4 2 m=m2−2 m+9=(m−1 )2+8>0 với mọi m
Do đó phương trình luôn có hai nghiệm x1, x2 Khi đó theo định lý Viet thì
¿
x1+x2=m+3
2
x1x2=m
2
¿{
¿
a) Biến đổi x1 1 x2 thành (x1 1)(x2 1) 0 Sử dụng hệ thức Viet có kết quả luôn đúng với mọi m Đối chiếu điều kiện và kết luận
(Lưu ý: Bài toán có thể hỏi chứng minh rằng phương trình có hai nghiệm trong đó một nghiệm lớn hơn 1, một nghiệm nhỏ hơn 1)
Biểu thức A = |x1− x2| = √ (x1− x2)2 = √ (x1+x2)2− 4 x1x2 = √ (m+32 )2− 4 m
2 = 1
2√m2−2 m+9=1
2√(m− 1)2+8 .
Do (m− 1)2≥ 0 nên √(m−1)2+8 ≥√8=2√2 , suy ra A √2
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là √2 , đạt được khi m=1
Câu 4
1) Vì H là trung điểm của AB nên OH AB hay OHM 900 Theo tính chất của tiếp tuyến ta lại có ODDM hay ODM 900 Suy ra các điểm M, D, O, H cùng nằm trên một đường tròn 2) Theo tính chất tiếp tuyến, ta có MC = MD MCD cân tại M MI là một đường phân giác của CMD Mặt khác I là điểm chính giữa cung nhỏ CD nên
1 2
DCI
sđDI =
1
2sđCI = MCI
Trang 3 CI là phân giác của MCD Vậy I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác MCD.
3) Ta có tam giác MPQ cân ở M, có MO là đường cao nên diện tích của nó được tính:
1
2
OQM
S S OD QM R MD DQ
Từ đó S nhỏ nhất MD + DQ nhỏ nhất Mặt khác, theo hệ thức lượng trong tam giác vuông OMQ ta có DM DQ OD. 2 R2 không đổi nên MD +
DQ nhỏ nhất DM = DQ = R Khi đó OM = R 2 hay M là giao điểm của d với đường tròn tâm O bán kính R 2
d
I B A
C
D H
Q P
(1)
a 3a + b b 3b + a 4a 3a + b 4b 3b + a
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số dương ta được:
4a + (3a + b) 7a + b
4b + (3b + a) 7b + a
Từ (2) và (3) suy ra: 4a 3a + b 4b 3b + a 4a + 4b 4
Từ (1) và (4) suy ra:
a + b 2(a + b) 1
4a + 4b 2
a 3a + b b 3b + a
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b