MỤC ĐÍCH : a Kiến thức : Học sinh hiểu và làm được một số dạng toán về xét tổng hoặc hiệu có chia hết cho một số không, điền chữ số thích hợp vào dấu * hoặc thay các chữ x, y bằng chữ s[r]
Trang 1A PHẦN MỞ ĐẦU
I LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI:
Toán học là một trong những môn học quan trọng nhất của học sinh nói chung vàhọc sinh trung học cơ sở nói riêng Đó là môn học rèn luyện cho học sinh các kĩ năngtính toán, phương pháp suy nghĩ độc lập sáng tạo, nó giúp các em rèn luyện tư duylôgíc, khoa học làm cơ sở cho việc học tập lên cao cũng như tạo hành trang tốt cho cuộcsống sau này
Để học tốt môn toán học sinh không chỉ cần có trí thông minh mà còn có tính cần
cù, kiên trì, cẩn thận Các em phải biết yêu toán và học môn toán một cách hiệu quảnhất Các em phải biết học toán một cách tích cực Mà các phương pháp và kĩ thuật họctích cực là : tự học lí thuyết, sưu tầm và giải hệ thống bài tập tương tự, tìm cách giảikhác cho bài tập đã giải, phân loại bài tập và tìm phương án chung để giải các bài tậpcùng dạng, mở rộng khái quát hóa bài toán đã giải
Do thời lượng tiết học trên lớp có hạn và do các em chỉ mới là học sinh lớp 6 nênnăng lực tư duy lôgíc của các em chưa phát triển cao Chỉ có một số học sinh khá, giỏimới có thể tự làm đúng hướng yêu cầu của bài toán Còn hầu hết các học sinh khác lúngtúng không biết cách làm và thực hiện như thế nào đối với dạng toán có sử dụng cáctính chất chia hết của tổng, hiệu hoặc tích và các dấu hiệu chia hết cho 2, 5, 3, 9 và mởrộng hơn là chia hết cho 4, 8, 25, 125, 11 Đây chính là trăn trở của tôi: làm sao học sinhtrung bình yếu hiểu và ham học phần toán này, và làm sao có thể bồi dưỡng cho các emhọc sinh khá, giỏi để tạo nguồn cho các kì thi học sinh giỏi và sẽ là tiền đề cho các emhọc lên lớp lớn hơn sau này
Với những lí do trên đây, trong đề tài này tôi đưa ra một số dạng bài tập về ‘’ dấuhiệu chia hết và tính chất chia hết ‘’ trong chương trình Số học lớp 6
II MỤC ĐÍCH :
a) Kiến thức :
Học sinh hiểu và làm được một số dạng toán về xét tổng ( hoặc hiệu có chia hếtcho một số không), điền chữ số thích hợp vào dấu * hoặc thay các chữ x, y bằng chữ sốthích hợp để được các số chia hết, chứng minh biểu thức chia hết cho một số, hay tìm số
tự nhiên để biểu thức này chia hết cho biểu thức kia
b) Kĩ năng :
Học sinh có kĩ năng tìm số chưa biết, chứng minh tốt các bài toán có sử dụng cáctính chất chia hết của tổng, hiệu hoặc tích và các dấu hiệu chia hết cho 2,5,3,9 và mởrộng hơn là chia hết cho 4, 8, 25, 125
III KẾT QUẢ CẦN ĐẠT:
Trang 2Giúp mọi đối tượng học sinh rèn luyện các thao tác tư duy, phương pháp suy luận
và khả năng sáng tạo trong suốt quá trình học về toán chia hết để đạt được kết quả tốt
Từ đó các học sinh có thể phát huy tối đa tính tích cực trong quá trình học toán
Mỗi dạng bài tập đều có phương pháp chung, một số ví dụ được chọn lọc cóhướng dẫn giải và kèm theo một số bài tập tương tự Tất cả đều đuợc sắp xếp theo một
hệ thống, từ dễ tới khó phù hợp với mọi đối tượng học sinh
IV ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU:
1 Phạm vi của đề tài.
Chương I: Ôn tập và bổ túc về số tự nhiên- môn Số học lớp 6
2 Đối tượng :
Học sinh lớp 6 trung học cơ sở
B NỘI DUNG ĐỀ TÀI.
Trang 3I CƠ SỞ LÍ LUẬN:
Hệ thống bài tập thể hiện dạng tốn chia hết cĩ vai trị quan trọng là nĩ giúp chohọc sinh phát triển khả năng tư duy, khả năng vận dụng kiến thức một cách linh hoạtvào giải tốn, trình bày lời giải chính xác và logic Đĩ cũng là những kỹ năng cần thiếtcủa học sinh khi cịn ngơi trên ghế nhà trường Cĩ như thế mới phù hợp với sự cải tiếndạy học là phát huy hết tính tích cực, tư duy sáng tạo của học sinh trong trường học
II CƠ SỞ THỰC TIỄN:
Cĩ thể nĩi rằng dạng tốn “chia hết” luơn là dạng tốn khĩ đối với học sinh vàkhơng ít học sinh cảm thấy sợ khi học dạng tốn này
Là một giáo viên dạy tốn tơi mong các em chinh phục được nĩ và khơng chútngần ngại khi gặp dạng tốn này Nhằm giúp các em phát triển tư duy suy luận và ĩcphán đốn, kỹ năng trình bày linh hoạt Hệ thống bài tập tơi đưa ra từ dễ đến khĩ, bêncạnh đĩ cịn cĩ những bài tập nâng cao dành cho học sinh giỏi được lồng vào các tiếtluyện tập
III GIẢI PHÁP:
1 Thực trạng trước khi thực hiện
1.1 Thuận lợi: Đa phần học sinh chăm ngoan, chịu khĩ làm bài tập một cách tích cực Các em cĩ nắm được các kiến thức về dấu hiệu chia hết và tính chất chia hết
1.2 Khĩ khăn: Các em lúng túng chưa biết vận dụng kiến thức một cách linh hoạt vào giải tốn, trình bày lời giải chính xác và logic
2 Các nội dung thực hiện
4/ Bất cứ số nào cũng chia hết cho 1
II/ Tính chất chia hết của tổng và hiệu
5/ Nếu a m và b m thì a b m và a b m (ab)6/ Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia khơng chia hết cho m thì a +b khơng chia hết cho m và a - b khơng chia hết cho m
III/ Tính chất chia hết của tích
7/ Nếu một thừa số của tích chia hết cho m thì tích chia hết cho m
8/ a m b n , ab mn
IV/ Hệ quả:
1/a b a nb n(n>0) 2/ a m a n m n , ,( , ) 1 a mn
Trang 43/ Nếu tổng hoặc hiệu của hai số chia hết cho m và một trong hai số ấy chiahết cho m thì số cịn lại cũng chia hết cho m.
4/ Nếu ac b và (a, b) =1 thì c b 5/ Nếu a b, c b và (m, n N) thì a.m + c.n b (b0) 6/ a b và c d ac bd
7/ am k.am (kN)
8/ a m; bm k1a+k2bm
B) Một số dấu hiệu chia hết
Gọi N = a a a an n 1 1 0
1 Dấu hiệu chia hết cho 2:
Một số chia hết cho 2 chữ số tận cùng của nĩ là chữ số chẵn
N 2 a0 2 a0{0; 2; 4; 6; 8}
2 Dấu hiệu chia hết cho 5:
Một số chia hết cho 5 chữ số tận cùng của nĩ là 0 hoặc 5
N 5 a0 5 a0{0; 5}
3 Dấu hiệu chia hết cho 4 và 25:
Một số chia hết cho 4 (hoặc 25) số tạo bởi 2 chữ số tận cùng của nĩ chia hết cho 4 hoặc 25
N 4 (hoặc 25) a a 1 0
4 (hoặc 25)
4 Dấu hiệu chia hết cho 8 và 125:
Một số chia hết cho 8 (hoặc 125) số tạo bởi 3 chữ số tận cùng của nĩ chia hết cho 8 hoặc 125
N 8 (hoặc 125) a a a 2 1 0 8 (hoặc 125)
5 Dấu hiệu chia hết cho 3 và 9:
Một số chia hết cho 3 (hoặc 9) tổng các chữ số của nĩ chia hết cho 3 (hoặc 9)
N 3 (hoặc 9) a0+a1+…+an 3 (hoặc 9)
CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
Dạng 1 : Xét tính chia hết của một tổng hoặc hiệu
Phương pháp:
Ta sử dụng các tính chất
Nếu a m và b m thì a b m và a b m (ab)
Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia khơng chia hết cho m
thì a +b khơng chia hết cho m và a - b khơng chia hết cho m
Bài tập 1: Áp dụng tính chất chia hết xét xem mỗi tổng (hiệu) sau cĩ chia hết cho 8
khơng?
Trang 5a) 48 + 56 + 112b) 160 – 47
Giải:
a) Áp dụng tính chất chia hết của một tổng (hiệu) ta có:
8)1125648(8112
Bài tập 2: Không thực hiện phép tính, chứng tỏ rằng:
N c
Vậy 1540 2005 chia hết cho 14
Bài tập 3: Tổng (hiệu) sau có chia hết cho 5 không?
a) 1.2.3.4.5.6 + 40b) 1.2.3.4.5.6 - 32
Hướng dẫn :
Trang 6* Nhận xét rằng tích 1.2.3.4.5.6 có chứa thừa số 5 do đó tích này chia hết cho 5 Từ
đó xét thừa số cũng lại xem có chia hết cho 5 không? Dẫn đến cách giải tương tự nhưbài tập 1
Nếu một trong hai số a và b chia hết cho m, số kia không chia hết cho m
thì a +b không chia hết cho m và a - b không chia hết cho m
Phương pháp: Tìm điều kiện của một số hạng để tổng ( hoặc ) chia hết cho một số.
Nhận xét: Ba số hạng đầu tiên trong tổng A đều chia hết cho 2 Muốn tổng A chia hết
cho 2 thì x phải là một số chia hết cho 2 Muốn tổng A không chia hết cho 2 thì x phải làmột số không chia hết cho 2
Trang 7Bài tập 1: Cho số : 21780; 325; 1980; 176 Hãy cho biết các số trên chia hết cho
những số nào trong các số sau ( 2; 3; 5; 9 )?
Trang 8a) Số * 85 có chữ số tận cùng là 5 mà 5 không chia hết cho 2
số * 85 không chia hết cho 2
Vậy ta không tìm được * để * 85 chia hết cho 2
b) Số * 85 có chữ số tận cùng là 5 Vậy ta có thể thay * bằng bất cứ số nào từ 1đến 9 thì số * 85 đều chia hết cho 5
Ta có số cần tìm là 9810
Bài tập 5: Tìm chữ số x để:(3x4- 12) 3
Hướng dẫn: Hiệu trên phải chia hết cho 3 mà 12 đã chia hết cho 3 Từ đó dựa vào dấu
hiệu chia hết cho 3 để tìm chữ số x
Trang 9Vậy x{ 2; 5; 8}
Bài tập tương tự : Thay các chữ x, y bằng chữ số thích hợp để cho:
a) Số 275x chia hết cho 5, cho 25, cho 125b) Số 9xy4 chia hết cho 2, cho 4, cho 8
Bài tập 6: Tìm các chữ số a, b sao cho a56b 45
Hướng dẫn: sử dụng dấu hiệu chia hết cho 5, cho 9 và hệ quả am, an, (m,n) =1
Bài tập 7: Tìm các chữ số x, y sao cho 34x5y 4 và 9
Hướng dẫn: sử dụng dấu hiệu chia hết cho 4, cho 9 và hệ quả am, an, (m,n) =1
Trang 10Từ lời giải của các bài toán trên kết hợp với các dấu hiệu chia hết khác có thể nêulên và giải được nhiều bài toán tương tự như : Tìm các chữ số x, y sao cho: 34x5y 15;
34x5y 18;34x5y 55
Dạng 4: Phân tích tìm ra thừa số chung để chứng minh chia hết.
4.1 Sử dụng tính chất chia hết kết hợp với cách viết một số về tổng các lũy thừa của 10.
Bài tập 2: Cho abc- deg 7 Chứng minh rằng: abc deg 7
Mà 7.143abc7 và abc- deg 7 nên 7.143.abc- (abc-deg) 7
Bài tập 3: Chứng minh rằng nếu viết thêm vào đằng sau một số tự nhiên có hai chữ số
gồm chính hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại thì được một số chia hết cho 11
Giải:
Gọi số tự nhiên có hai chữ số là: ab.( 0 < a 9, 0 b 9, a,b N)
Khi viết thêm số có hai chữ số ấy viết theo thứ tự ngược lại ta được số: abba
Trang 11 abc bca cab 37
Ta thấy: abc bca cab 37 mà abc37 và bca 37 cab 37
Bài tập 5: Chứng minh rằng: nếu ab cd eg 11thì abcdeg 11
Bài tập 6: Chứng minh rằng : ab 2cd abcd67
Trang 12Hướng dẫn : a) Sử dụng dấu hiệu chia hết cho 4 và tính chất chia hết của một tổng.
= 39bSuy ra : 10x - y ⋮ 13
Do x ⋮ 13 nên 10x ⋮ 13
Ta đã có 10x - y ⋮ 13
Do đó y ⋮ 13Vậy 10a + b ⋮ 13
Nhận xét: hệ số của a ở x là 1, hệ số của a ở y là 10 nên xét biểu thức (10x – y)
nhằm khử a tức là làm cho hệ số của a bằng 0
Cách 2: Xét biểu thức
4y – x = 4 ( 10a + b ) – ( a + 4b )
= 40a + 4b – a – 4b = 39.a
Suy ra: 4y - x ⋮ 13
Do x ⋮ 13 nên 4y ⋮ 13
Mà (4,13) = 1 nên y ⋮ 13 hay 10a + b ⋮ 13Nhận xét: hệ số của b ở x là 4, hệ số của b ở y là 1 Nên xét biểu thức (4y – x) nhằm khử b
Cách 3: Xét biểu thức
3x + y = 3 ( a + 4b ) + ( 10a + b )
=3a + 12b +10a + b = 13a + 13b
= 13.(a+b)
Trang 13Suy ra: 3x + y ⋮ 13
Do x ⋮ 13 nên 3x ⋮ 13
Mà ta đã có : 3x + y ⋮ 13Suy ra: y ⋮ 13 hay 10a + b ⋮ 13
Cách 4: Xét biểu thức
x + 9y = a + 4b + 9.( 10a + b )
= a + 4b + 90a + 9b = 91a + 13b
= 13.( 7a + b) Suy ra: x 9y 13
Do x13 nên 9y13
Ta có: (9;13)=1Nên y13 hay 10a + b13
Nhận xét: Trong các cách giải trên ta đã đưa ra các biểu thức mà sau khi rút gọn có một
số hạng chia hết cho 13 Khi đó số hạng thứ hai (nếu có) cũng là bội của 13
4.2 Chứng minh A (n) chia hết cho k, có thể xét mọi trường hợp số dư khi chia A (n) cho k.
Bài tập 1 : Chứng minh rằng:
a) Tích của hai số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 2
b) Tích của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 3
Giải:
a) Viết tích của hai số tự nhiên liên tiếp dưới dạng A(n) = n(n + 1)
Có hai trường hợp xảy ra :
+ n 2 n(n + 1) 2
+ n không chia hết cho 2 (n lẻ) (n + 1) 2 n(n +1) 2
b) Viết tích của ba số tự nhiên liên tiếp dưới dạng A(n) = n(n + 1)(n+2)
Xét mọi trường hợp: n chia hết cho 3; n chia 3 dư 1 (n =3q+1); n chia 3 dư 2 (n = 3q+2) (q N)
+ Nếu n chia hết cho 3 thì hiển nhiên A(n) chia hết cho 3
+ Nếu n = 3q+1 thì n+2 = 3q+3= 3.(q+1)
Ta có: 3.(q+1) chia hết cho 3 , do đó n+2 3 Suy ra A(n) 3
+ Nếu n = 3q+2 thì n+1 = 3q+2+1 = 3q+3 = 3.(q+1) chia hết cho 3
Ta có: 3.(q+1) chia hết cho 3 , do đó n+1 3 Suy ra A(n) 3
Vậy A(n) chia hết cho 3 (đpcm)
Bài tập 2: Cho n là số tự nhiên Chứng minh rằng:
a/ (n + 10 ) (n + 15 ) chia hết cho 2
b/ n(n + 1) (n + 2) chia hết cho 6
Giải:
Trang 14* Trong hai số tự nhiên liên tiếp có một số chẵn và một số lẻ, số chẵn chia hết cho
2 nên A chia hết cho 2
*- Trường hợp: n = 3k (k N) thì n chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3 (1)
- Trường hợp: n không chia hết cho 3 thì n = 3k + 1 hoặc n = 3k + 2
Khi n = 3k + 1 A = (3k + 1)( 3k + 2)(3k + 3) = 3(3k + 1)( 3k + 2)(k + 1) chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3 (2)
Khi n = 3k + 2 A = (3k + 2)( 3k + 3)(3k + 4) = 3(3k + 2)( k + 1)(3k + 4) chia hết cho 3 nên A chia hết cho 3 (3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra: A chia hết cho 3
Do (2, 3) = 1 Vậy A chia hết cho 6
Bài tập 3: Chứng minh rằng: Với n N, thì A(n) = n(2n + 7) (7n + 7) chia hết cho 6
Bài tập 4) Chứng minh rằng tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn
tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4
Trang 15Ta có: n + (n + 1) + (n + 2) + (n + 3) = 4n + 7 không chia hết cho 4 vì 4n chia hết cho 4 còn 7 không chia hết cho 4.
Vậy tổng của ba số tự nhiên liên tiếp thì chia hết cho 3, còn tổng của bốn số tự nhiên liên tiếp thì không chia hết cho 4
Bài tập 5) Chứng minh rằng tổng của 5 số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 10, còn tổng
của 5 số lẻ liên tiếp thì không chia hết cho 10
1 Tổng hoặc hiệu của nhiều số chẵn là một số chẵn
2 Tổng của ba số liên tiếp thì chia hết cho 3
3 Tổng của ba số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 3
4 Tổng của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 6
5 Tổng của bốn số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 8
4.3 Để chứng minh A (n) chia hết cho k, có thể phân tích k ra thừa số: k = pq
1 Tích của nhiều số lẻ là một số lẻ
2 Tích của ba số chẵn liên tiếp thì chia hết cho 48
3 Tích của ba số lẻ liên tiếp thì chia hết cho 3
Trang 164.4 Để chứng minh A (n) chia hết cho k, có thể biến đổi A (n) thành tổng (hiệu) của nhiều hạng tử, trong đó mỗi hạng tử đều chia hết cho k
Bài tập: Giải thích tại sao tổng sau đây chia hết cho 5?
M = 4+ 42 + 43 + + 415 + 416
Phân tích, tìm hiểu đề bài:
Tổng M gồm các số hạng là lũy thừa liên tiếp của 4 từ 41 đến 416 và phải giảithích tại sao M lại chia hết cho 5
Hãy ghép các số hạng trong tổng thành từng cặp là 2 lũy thừa liên tiếp bắt đầu từcặp 4 + 42 để làm xuất hiện thừa số chung 1+4 = 5
Cách giải:
M = (4+ 42 )+ (43 + 44)+ + (415 + 416) = 4(1+4)+43(1+4)+ +415(1+4) =(1+4)(4+ 43+ + 415)
= 5.(4+ 43+ + 415)Suy ra M chia hết cho 5
Khai thác bài toán:
Lưu ý, nếu cho tổng các lũy thừa của 4 thì sẽ chứng minh được tổng này chia hếtcho 4+1 = 5, nếu là lũy thừa của n thì chứng minh được tổng chia hết cho n+1 Chẳnghạn chứng minh được tổng N = 2013+ 20132 + 20133 + + 20132011 + 20132012chia hếtcho 2014
Bài tập tương tự: 1) Chứng minh : A= 2 + 22 + 23 + + 260 chia hết cho 3, 7, 15
2) Chứng minh : B= 3 + 33 + 35 + + 31991 chia hết cho 13, 41
Hướng dẫn: 1) Chứng minh : A= 2 + 22 + 23 + + 260 chia hết cho 3, 7, 15
Trường hợp 1: Chứng minh : A= 2 + 22 + 23 + + 260 chia hết cho 3
Ta có: bài toán này tương tự bài toán ở trên
A= (2 + 22 )+(23 + 24)+ +(259 + 260 )
= (1 + 2)+23 (1+ 2) + + 259 (1+ 2)
= ( 1+2).(2+23+ +259)
= 3.(2+23+ +259)
Suy ra A chia hết cho 3
Trường hợp 2: Chứng minh : A = 2 + 22 + 23 + + 260 chia hết cho 7
Hãy ghép các số hạng trong tổng thành từng nhóm là ba lũy thừa liên tiếp bắt đầu
từ 2 + 22+ 23 để làm xuất hiện thừa số chung 2 + 22+ 23 = 2.(1+ 2 + 22)= 2.7
Trang 17Trường hợp 3: Chứng minh : A= 2 + 22 + 23 + + 260 chia hết cho 15
Hãy ghép các số hạng trong tổng thành từng nhóm là bốn lũy thừa liên tiếp bắtđầu từ 2 + 22+ 23+ 24 để làm xuất hiện thừa số chung 2 + 22+ 23 +24 = 2.(1+ 2 + 22+23)=2.15
A= (2 + 22 + 23+24)+( 25 + 26 +27 +28 )+ +(257 +258 +259 + 260 )
= 2.(1 + 2+ 22+ 23)+25.(1+ 2+ 22+ 23) + + 257 (1+ 2+ 22+ 23)
= 2.(1 + 2 + 4 + 8) + 25(1 + 2 + 4 + 8) + + 257(1 + 2 + 4 + 8)
= 15.(2 + 25 + + 257) ⋮ 15
Suy ra A chia hết cho 15
Hướng dẫn: 2) Chứng minh : B= 3 + 33 + 35 + + 31991 chia hết cho 13, 41
*Trường hợp 1: Chứng minh: B= 3 + 33 + 35 + + 31991 chia hết cho 13
Hãy ghép các số hạng trong tổng thành từng nhóm là ba lũy thừa liên tiếp bắt đầu
từ 3 + 33+ 35 để làm xuất hiện thừa số chung 3+ 33+ 35 = 3.(1+ 32 + 34)= 3.91=3.7.13
B = 3 + 33 + 35 + + 31991
=(3 + 33 + 35)+(37 + 39 + 311)+ +(31987 +31989 + 31991 )
=3.(1 + 32 + 34)+37 (1 + 32 + 34)+ +31987 (1 +32 + 34 )
= 7.13.(3+ 37+…+31987)
Suy ra B chia hết cho 13
*Trường hợp 2: Chứng minh tương tự: B = 3 + 33 + 35 + + 31991 chia hết cho 41
Bằng cách ghép các số hạng trong tổng thành từng nhóm là bốn lũy thừa liên tiếpbắt đầu từ 3 + 33+ 35 + 37 để làm xuất hiện thừa số chung mà thừa số ấy chia hết cho 41
Bằng phương pháp làm như trên ta có thể giải được bài toán tương tự
Bài tập Cho S = 1+ 3+ 32+ 33 +… +311 Chứng minh rằng:
a) S 13b) S 40