Hệ này chỉ là hệ bậc 2 nên ta có thể giải triệt để nó được bằng cách từ 2 phương trình cuối ta sẽ rút các ẩn để thế vào 2 phương trình bên trên và cuối cùng ta thuđược một hệ bậc 2 có h[r]
Trang 1vn
http://toanphotho
ng.vn
TOÁN PHỔ THÔNG
http://toanphothong.vn
ĐỀ SỐ 7
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2012
Môn: TOÁN
Ngày 15/05/2012
PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 điểm)
Câu 1 (2 điểm) Cho hàm sốy = x3− 3x2+ mx + 4 − mcó đồ thị(C m),vớimlà tham số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khim = 3.
b)Đường thẳngd : y = 3 − xcắt một đường cong bất kỳ(C )trong các đường cong(C m)tại ba điểm phân biệt
A, I , B(với hoành độ củaA, Bkhác1) Tiếp tuyến tạiAvà tiếp tuyến tạiBcủa(C )lần lượt cắt đường cong này tại điểm thứ haiMvàN Tìm tất cả các giá trị củamđể tứ giácAM B Nlà hình thoi
Câu 2 (2 điểm)
a) Giải phương trình lượng giác sau: h4 cos2
³
x + π
12
´
− 1
i
sin 2x = 2(sin7x − sin3x)cos
³
5x − π
3
´
b) Giải bất phương trình sau trên tập số thực: (2x − 1)
p
x + 3
2p
x +¡2 +px ¢ p1 − x + 1 − x≥ 1
Câu 3 (1 điểm) Tính tích phân: I =
Z π
2 0
sin3x cos x
1 + cos22xdx.
Câu 4 (1 điểm) Cho hình chópS.ABC Dcó đáyABC Dlà hình vuông tâmOvà cạnh bằnga.S Avuông góc với đáy
ABC D,SCtạo với mặt phẳng(S AB )một góc bằng300 GọiM , Nlần lượt là hình chiếu vuông góc củaAlên
SB, SC Tính thể tích khối chópO.AM Nvà khoảng cách từ điểmNđến mặt phẳng(AOM ).
Câu 5 (1 điểm) Cho các số thực dươnga, b, cđôi một khác nhau thỏa mãnab + bc = 2c2, 2a ≤ c.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a
a − b+
b
b − c+
c
c − a
PHẦN RIÊNG (3 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần A hoặc B
A Theo chương trình chuẩn
Câu 6A (2 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độOx ycho các điểmA(2; 3), B (5; 2),C (8; 6)và một đường thẳngd : y = x + 5.Tìm trên
dmột điểmDsao cho hình vuôngM N PQcó các cạnhM N , N P, PQ,Q Mlần lượt đi qua các điểmA, B,C , Dcó diện tích đạt giá trị lớn nhất
b) Trong không gian tọa độOx y z,cho tam giácABCcó điểmM (3; 2; 0)nằm trên cạnhBC Phương trình đường phân giác trong gócBvà đường trung trực củaBCcó phương trình lần lượt là(d1) :x − 2
2 = y − 1
−3 =
z − 1
2 ; (d2) :
x − 1
3 = y
−2=
z − 2
1 .Xác định tọa độ các đỉnh của tam giácABCbiếtAB =p867
Câu 7A (1 điểm) Tìm mô đun của số phứcw = z
3+ z + 1
z2+ 1 , biết rằng số phứczthỏa điều kiện¡z + z¢ (1 + i) + ¡z − z¢(2 + 3i) = 4 − i
B Theo chương trình nâng cao
Câu 6B (2 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độOx y,cho hai đường tròn(C1) : (x − 1)2+ (y − 2)2= 9 ; (C2) : (x + 1)2+ y2= 16và đường thẳngd : 2x + 4y − 15 = 0.TìmMtrên(C1)vàN trên(C2)sao choM Nnhận đường thẳngdlà đường trung trực
vàN có hoành độ âm
b) Trong không gian tọa độOx y z,cho hai đường thẳng(∆1) :x − 1
−2 =
y
−1=
z + 1
1 ; (∆2) :x − 2
1 =y − 1
−1 =
z
−3.Gọi
(S)là mặt cầu có tâmI (−1;−2;−1)và cắt đường thẳng(∆1)tại hai điểm phân biệtA, B sao cho tam giácI AB
vuông tạiI Tìm điểmMtrên(∆2)sao cho từ đó có thể kẻ được đến mặt cầu(S)một tiếp tuyến¡
tức đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu(S)¢
có độ dài bằng2
p 30
3 .
Câu 7B (1 điểm) Giải phương trình sau trên tập số thực :logx (2 − 2x) + log 1−x (2x) = 0
———————————————–Hết—————————————————
Trang 2vn
http://toanphotho
ng.vn
TỔNG HỢP LỜI GIẢI TRÊN DIỄN ĐÀN
Câu 1. Cho hàm sốy = x3− 3x2+ mx + 4 − mcó đồ thị(C m),vớimlà tham số
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị khim = 3.
b)Đường thẳngd : y = 3 − xcắt một đường cong bất kỳ(C )trong các đường cong(C m)tại ba điểm phân biệtA, I , B
(với hoành độ củaA, B khác1) Tiếp tuyến tạiAvà tiếp tuyến tạiBcủa(C )lần lượt cắt đường cong này tại điểm thứ haiMvàN Tìm tất cả các giá trị củamđể tứ giácAM B Nlà hình thoi
a)Lời giải ():
m = 3hàm số lày = x3− 3x2+ 3x + 1có tập xác địnhD = R;
đạo hàmy0= 3x2− 6x + 3 = 3(x − 1)2; y0= 0 ⇐⇒ x = 1 =⇒ y = 2
lim
x→−∞ y = −∞; lim
x→+∞ y = +∞;
Bảng biến thiên
x
y0
y
−∞
+∞
2
Hàm số đồng biến trên(−∞;+∞)
Tâm đối xứng(1; 2)
Đồ thị
−1
1 2 3 4 5
0
b)Lời giải ():
Câu 2.a Giải phương trình lượng giác sau: h4 cos2³x + π
12
´
− 1
i
sin 2x = 2(sin7x − sin3x)cos³5x − π
3
´
Lời giải ():
h
4 cos2³x + π
12
´
− 1
i
sin 2x = 2(sin7x − sin3x)cos³5x − π
3
´
⇔
h
2 cos³2x + π
6
´ + 1
i
sin 2x = 4cos5x.sin2x.cos³5x − π
3
´
⇔ sin 2xh2 cos³2x + π
6
´
+ 1 − 4 cos 5x cos³5x − π
3
´i
= 0 ⇔ sin 2xh2 cos³2x + π
6
´
− 2 cos³10x − π
3
´i
= 0
⇔
"
sin 2x = 0
cos³2x + π
6
´
= cos³10x − π
3
´ ⇔
2x = kπ 2x + π
6= 10x − π
3+ k2π 2x + π
6= −10x + π
3+ k2π
(k ∈ Z) ⇔
x = k π
2
x = π
16+k π
4
x = π
72+k π
6
(k ∈ Z)
Câu 2.b Giải bất phương trình sau trên tập số thực: (2x − 1)
p
x + 3
2p
x +¡2 +px ¢ p1 − x + 1 − x≥ 1
Lời giải ():
Điều kiện :0 ≤ x ≤ 1Ta có
2p
x + (2 +px)p
1 − x + 1 − x = (2 +p1 − x)(px +p1 − x)và(2x − 1) = (px +p1 − x)(px −p1 − x)
Nên bất phương trình được viết lại thành:
(p
x +p1 − x)(px −p1 − x)px + 3
(2 +p1 − x)(px +p1 − x) ≥ 1 ⇐⇒ (
p
x −p1 − x)px + 3 ≥ 2 +p1 − x
⇐⇒ px(x + 3) ≥ 2 +p(1 − x)(x + 3) +p1 − x
Trang 3vn
http://toanphotho
ng.vn
Nhận thấy rằng hàmF (x) =px(x + 3)đồng biến trên đoạn[0; 1]nên giá trị lớn nhất củaF (x) = 2tạix = 1
VậyV T ≤ 2 V P = 2 +p(1 − x)(x + 3) +p1 − x ≥ 2nênV P = 2khix = 1
Vậy bất phương trình có nghiệm duy nhấtx = 1
Câu 3. Tính tích phân: I =
Z π
2 0
sin3x cos x
1 + cos22xdx.
Lời giải ():
I =1
2
Z π
2
0
sin 2xsin2x
1 + cos22x d x =1
8
Z π
2 0
−(1 − cos 2x)
1 + cos22x d (cos 2x)
=1 8
Z 1
−1
(1 − t)
1 + t2d t =1
8
Z1
−1
d t
1 + t2− 1 16
Z 1
−1
2t
1 + t2d t =1
8u
¯
¯
1
−1− 1
16ln(1 + t2)
¯
¯
1
−1= π
16
Câu 4. Cho hình chópS.ABC Dcó đáyABC Dlà hình vuông tâmOvà cạnh bằnga.S Avuông góc với đáyABC D,
SCtạo với mặt phẳng(S AB )một góc bằng300 GọiM , N lần lượt là hình chiếu vuông góc củaAlênSB, SC Tính thể tích khối chópO.AM Nvà khoảng cách từ điểmN đến mặt phẳng(AOM ).
Lời giải ():
+/Ta có:
(
C B ⊥ AB
BC ⊥ S A ⇒ BC ⊥ (S AB), nênC SB = 30
o
Trong∆SBC ⊥ BvàSB = BC
t an30 = ap3; SC = BC
si n30 = 2a ⇒ S A =pAB2+ SB2= ap2 = AC, NênNlà trung điểm cuaSC.⇒ NO ⊥ (ABC D) ⇒ NO ⊥ O A
Ta có ON=1
2S A = a
p 2
2 ;AO = a
p 2
2 ⇒ S.AON =1
2AO.ON = a
2
4
Dễ tínhB M = a
p 3 3
d (M ; (ANO)
d (B ; (ANO) =M S
B S =2
3d (B ;(ANO)) = BO = a
p 2
2 ⇒ d (M ;(ANO)=2
3
ap 2
2 =a
p 2 3 VậyV O AM N=13.a
p 2
3 .
a2
4 =a
3p 2 36 +/ Ta có:cos SBO = BO
B S =a
p 6
6 ⇒ MO =pM B2+ BO2− 2MB.BO cosOBS = a
p 2
2 = AO M A = S A.AB SB =a
p 6 3
Từ đó dễ tính đượcS ∆M AO=a2
p 6 2
Nênd(N ; (AMO)) = 3V OM AN
S ∆MOA =a
p 2 2
Câu 5. Cho các số thực dươnga, b, cđôi một khác nhau thỏa mãnab + bc = 2c2, 2a ≤ c.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P = a
a − b+
b
b − c+
c
c − a
Lời giải (1):
Theo giả thiết:2a ≤ c,do đó: a
c ≤12Mặt khác, cũng theo giả thiết, ta có:
a
c.
b
c +b
c = 2
Vìa
c ≤1
2 nênb
c ≥4
3.Ta lại có:
a
c.
b
c+b
c = 2 ⇔a
c =2c
b − 1
Trang 4vn
http://toanphotho
ng.vn
Tới đây, ta đặt:x = c
b , (0 < x ≤34).Viết lại biểu thứcPdưới dạng:
a c a
c−b c +
b c b
c− 1+
1
1 −a c =
2x2− x 2x2− x − 1+
1
1 − x+
1
2(1 − x)
= 1 − 2
2x + 1+
7
6(1 − x)
Tới đây, ta xét hàm:
f (x) = 1 − 2
2x + 1+
7
6(1 − x)
Dễ thấy,
f0(x) > 0,∀x ∈ (0;3
4]
Do đó, ta có thể kết luận về giá trị lớn nhất của hàm số đạt tạix =34.Khi đóP max=275
Lời giải (2):
Doa ≤ c2nên ta có2c2= ab + bc ≤ c2· b + bc,từ đó suy rab ≥43c.Bây giờ, ta sẽ chứng minhP ≤275 (có thể dễ dàng dự đoán được kết quả này nhờ vào giả thiết của bài toán), tức
a
a − b+
b
b − c+
c
c − a≤
27
5 . Bất đẳng thức này tương đương với
µ
4 − b
b − c
¶ +³2 − c
c − a
´ + a
b − a≥ 6 −
27
5 , hay
3b − 4c
b − c +
c − 2a
c − a +
a
b − a≥
3
5.
Do3b − 4c ≥ 0, c − 2a ≥ 0,đồng thời0 < b − c < b − a, 0 < c − a < b − alà các bất đẳng thức đúng nên ta có
3b − 4c
b − c ≥
3b − 4c
b − a ,
c − 2a
c − a ≥
c − 2a
b − a.
Từ đó suy ra, ta chỉ cần chứng minh được
3b − 4c + c − 2a + a
3
5, hay
5(3b − 3c − a) ≥ 3(b − a).
Bất đẳng thức cuối này tương đương với
12b ≥ 15c + 2a
và đây là một kết quả hiển nhiên đúng do15c + 2a ≤ 16c ≤ 12b.
Vậy ta cóP ≤275.Mặt khác, dễ thấy dấu đẳng thức xảy ra khia = 3, b = 8vàc = 6,do đó ta có thể đi đến kết luận rằng
max P =275
Câu 6A.a Trong mặt phẳng tọa độOx ycho các điểmA(2; 3), B (5; 2),C (8; 6)và một đường thẳngd : y = x + 5.Tìm trêndmột điểmDsao cho hình vuôngM N PQcó các cạnhM N , N P, PQ,Q Mlần lượt đi qua các điểmA, B,C , Dcó diện tích đạt giá trị lớn nhất
Lời giải ():
Ta gọi vecto pháp tuyến của đường thẳng M Dlà :−→n = (a;b) (a2+ b2> 0)
+) Phương trình M N :đi quaA(2; 3)và có vecto pháp tuyến−→n M N = (b; −a)có dạng :bx − a y − 2b + 3a = 0
+) Khoảng cách từCtớiM Nlà :d (C ; M N ) = |8b − 6a − 2b + 3a|p
a2+ b2 =p6b − 3a
a2+ b2Diện tích hình vuôngM N PQlà :
S M N PQ=(6b − 3a)
2
a2+ b2
Khi đó bài toán trở về đại số : Tìm giá trị lớn nhất của hàm số :S(a; b) = (6b − 3a)
2
a2+ b2
+) Xétb = 0
+) Vớib 6= 0ta có :
S =
³
6 − 3a
b
´2
³a b
´2
+ 1
Trang 5vn
http://toanphotho
ng.vn
Xét hàm sốf (t ) = (6 − 3t)
t2+ 1 = 45 −
9(2t + 1)
t2+ 1
Do đó ta có thể thấy được :max S M N PQ= 45đạt được khit =−1
2 ⇒ b = −2aTừ đó các bạn có thể giải quyết bài toán
Câu 6A.b Trong không gian tọa độOx y z,cho tam giác ABCcó điểmM (3; 2; 0)nằm trên cạnhBC Phương trình đường phân giác trong góc B và đường trung trực của BC có phương trình lần lượt là (d1) : x − 2
2 = y − 1
−3 =
z − 1
2 ; (d2) :
x − 1
3 = y
−2=
z − 2
1 .Xác định tọa độ các đỉnh của tam giácABCbiếtAB =p867
Lời giải ():
Phương trình của phẳng (P) quaBCvà vuông gócd2cón P = u d2= (3; −2; 1)
có dạng:3(x − 3) − 2(y − 2) + z = 0hay:3x − 2y + z − 5 = 0
GọiN là giao củad2; (P ), nênN (1; 0; 2)Từ đó viết ptBClà x − 1
1 =y
1=z − 2
−1 Nên tọa độBlà giaoBCvàd1,Nlà trung điểm của BC nên tìm được tọa độC
Dựa vào khoảng cách ta tìm được tọa độA
Câu 7A. Tìm mô đun của số phứcw = z
3+ z + 1
z2+ 1 , biết rằng số phứczthỏa điều kiện¡z + z¢(1 + i) + ¡z − z¢(2 + 3i) = 4 − i
Lời giải ():
Gọiz = a + bita có phương trình
2a(1 + i ) + 2bi (2 + 3i ) = 4 − i
từ đó suy raa =1
2, b =−1
2 nênz =1
2−1
2i
màw = 1 + 1
z2+ 1thay vào ta có củaw =
9
5+2
5i Từ đó có modul củaw
Câu 6B.a Trong mặt phẳng tọa độOx y,cho hai đường tròn(C1) : (x − 1)2+ (y − 2)2= 9 ; (C2) : (x + 1)2+ y2= 16và đường thẳngd : 2x + 4y − 15 = 0.TìmMtrên(C1)vàN trên(C2)sao choM Nnhận đường thẳngdlà đường trung trực vàNcó hoành độ âm
Lời giải (1):
Xin nêu các bước làm cơ bản như sau :
+) Gọi(T1)là đường tròn đối xứng với đường tròn(C1)qua đường thẳngdDo đó ta có phương trình(T1) :
µ
x −12
5
¶2
+ µ
y −34
5
¶2
= 16
Gọi(T2)là đường tròn đối xứng với đường tròn(C2)qua đường thẳngd:
Do đó ta có phương trình(T2) : (x − 2)2+ (y − 4)2= 9Bây giờ các bạn quan sát hình vẽ sẽ nhìn ra lời giải
Trang 6vn
http://toanphotho
ng.vn
Lời giải (2):
+) Nếu ta gọiM = (a;b)vàN = (c;d)thì ta có bốn ẩn số cần phải tìm ra
+) Giờ nếu ta mà lập được bốn phương trình thì tức là ta sẽ giải được Vậy thì ta lần lượt xét :
M ∈ (C1) ⇒ (a − 1)2+ (b − 2)2= 9
N ∈ (C2) ⇒ (c + 1)2+ d2= 16
(d )là đường trung trực nên nó cho ta
(−−→M N n
d= 0
I ∈ (d) vớiIlà trung điểmM N vì thế mà ta thu được hệ phương trình
sau :
(a − 1)2+ (b − 2)2= 9
(c + 1)2+ d2= 16
2(a − c) + 4(b − d) = 0 (a + c) + 2(b + d) − 15 = 0
Hệ này chỉ là hệ bậc 2 nên ta có thể giải triệt để nó được bằng cách từ 2 phương trình cuối ta sẽ rút các ẩn để thế vào 2 phương trình bên trên và cuối cùng ta thu được một hệ bậc 2 có hai ẩn
Từ hệ :
(
2(a − c) + 4(b − d) = 0
(a + c) + 2(b + d) − 15 = 0 Ta rút được :
a =15
2 − 2d
c =15
2 − 2b
Tới đây thì ta thế vô cái hệ hai phương trình đầu ta được :
µ 13
2 − 2d
¶2
+ (b − 2)2= 9
µ 17
2 − 2b
¶2
+ d2= 16
Hệ này thì các bạn có thể xử lý đơn giản rồi
Câu 6B.b Trong không gian tọa độOx y z,cho hai đường thẳng(∆1) : x − 1
−2 =
y
−1=
z + 1
1 ; (∆2) :x − 2
1 =y − 1
−1 =
z
−3. Gọi(S)là mặt cầu có tâmI (−1;−2;−1)và cắt đường thẳng(∆1)tại hai điểm phân biệtA, B sao cho tam giácI AB
vuông tạiI Tìm điểmMtrên(∆2)sao cho từ đó có thể kẻ được đến mặt cầu(S)một tiếp tuyến¡
tức đường thẳng tiếp xúc với mặt cầu(S)¢
có độ dài bằng2
p 30
3 .
Lời giải ():
Mình xin nêu hướng cho bài này như sau:
+ Trước hết từ giả thiết ta có tam giácI ABvuông cân tạiInên nếu gọih = d(I ,∆1)rồi tínhhthì ta sẽ tính được bán kínhRcủa mặt cầu(S)làR =p2.h
+ Tiếp theo, giả sử từMta kẻ được tiếp tuyếnM T tiếp xúc với(S)tạiT, khi đó do tam giácM I T vuông tạiT nên ta tính đượcM I =pM T2+ R2+ VìM ∈ ∆2⇒ M (2 + t ; 1 − t ; −3t )Và bây giờ công việc còn lại chỉ là tính toán
Câu 7B. Giải phương trình sau trên tập số thực :logx (2 − 2x) + log 1−x (2x) = 0
Lời giải (1):
Bài này hình thức đơn giản nhưng khá hay: Điều kiện0 < x < 1Đặta = log2(1 − x); b = log2x Ta có:a +b = log2(1 − x)+
log2x = log2x(1 − x) ≤ log2
(x + 1 − x)2
4 = −2 Phương trình đã cho có dạng:
log22 + log2x
log2(1 − x) +
log22 + log2(1 − x)
log2x = 0
⇔1 + a
b +1 + b
a = 0 ⇔ a2+ b2+ a + b = 0
⇔ (a + 1)2+ (b + 1)2− (a + b + 2) = 0 (?)
Do a + b ≤ −2nên(?)xảy ra khi:
(
(a + 1)2+ (b + 1)2= 0
(a + b + 2) = 0 ⇔ a = b = −1 ⇒ x =
1 2
Lời giải (2):
Đặt:a = log2(1 − x);b = log2(x)suy raa + b ∈ [−2;0).Ta có :
1 = 2a+ 2b≥ 2.p2a+b≥ 1 Suy raa = b = −1