Nếu họ làm riêng thì người thợ thứ nhất hoàn thành công việc chậm hơn người thợ thứ hai là 9 ngày.. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người thợ phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc.[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
HÀ TĨNH KÌ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2013 – 2014
Môn thi: TOÁN (không chuyên)
Thời gian làm bài: 120 phút Ngày thi 19 tháng 6 năm 2013
Câu I (2,0 điểm)
1) Giải phương trình (2x + 1)2 + (x – 3)2 = 10
2) Xác định các hệ số m và n biết hệ phương trình
x my
mx ny
có nghiệm (1; – 2)
Câu II ( 2,0 điểm)
1) Rút gọn biểu thức
x +1 x- 1 x 1
với x 0 2) Hai người thợ quét sơn một ngôi nhà Nếu họ cùng làm thì trong 6 ngày xong việc Nếu họ làm riêng thì người thợ thứ nhất hoàn thành công việc chậm hơn người thợ thứ hai là 9 ngày Hỏi nếu làm riêng thì mỗi người thợ phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc
Câu III (2,0 điểm) Cho phương trình x2 2(m 1)x2m 5 0
1) Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1; x2 với mọi m
2) Tìm các giá trị của m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn điều kiện: (x12 2mx12m1)(x22 2mx22m1) 0
Câu IV (3,0 điểm)
Cho ba điểm A, B, C cố định và thẳng hàng theo thứ tự đó Đường tròn (O; R) thay đổi
đi qua B và C sao cho O không thuộc BC Từ điểm A vẽ hai tiếp tuyến AM và AN với đường tròn (O) Gọi I là trung điểm của BC, E là giao điểm của MN và BC, H là giao điểm của đường thẳng OI và đường thẳng MN
1) Chứng minh bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường tròn
2) Chứng minh OI.OH = R2
3) Chứng minh đường thẳng MN luôn đi qua một điểm cố định
Câu V ( 1,0 điểm)
Cho tam giác ABC có chu vi bằng 2 Ký hiệu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
S
b c a c a b a b c
HƯỚNG DẪN GIẢI Câu I:
1) Pt: (2x + 1)2 + (x – 3)2 = 10 5x2 – 2x = 0
0 2 5
x x
2) Hệ phương trình
x my
mx ny
có nghiệm (1; – 2)
m
1 2
m n
Câu II:
1) A =
+
x +1 x- 1 x 1
1
x x
ĐỀ CHÍNH THỨC
Trang 2=
1
1 1
x 0 )
2)
+ Gọi x (ngày) là thời gian người thứ nhất làm riêng xong cơng việc (x > 9)
+ Thời gian người thứ hai làm riêng xong cơng việc: x – 9 (nga)
+ Trong một ngày người thứ nhất làm được:
1
x(cơng việc).
+ Trong một ngày người thứ hai làm được:
1 9
x (cơng việc).
+ Vì họ cùng làm thì trong 6 ngày xong việc nên ta cĩ pt:
1
x +
1 9
1 6
x2 – 21x + 54 = 0
x = 18 (thỏa)
x = 3(không thỏa)
+ Vậy: - Người thứ nhất làm riêng xong cơng việc tron 18 ngày
- Người thứ hai làm riêng xong cơng việc tron 9 ngày
Câu III:
1) '= m2 – 4m + 6 = (m – 2)2 + 2 > 0,m pt luơn cĩ 2 nghiệm phân biệt với mọi m
2) Phương trình cĩ hai nghiệm x1; x2 nên:
2
2
x 2(m 1)x 2m 5 0
x 2(m 1)x 2m 5 0
2
2
x 2mx 2m 1 4 2x
x 2mx 2m 1 4 2x
Theo định lí Vi-et ta cĩ :
1 2
1 2
x x 2m 5
Theo bài ra ta cĩ :
(x 2mx 2m 1)(x 2mx 2m 1) 0
4 2x 4 2x 0 16 8 x x 4x x 0
3
16 8 2m 2 4 2m 5 0 m
2
Câu IV:
1)
+ (O) cĩ :
OMA· =ONA·
= 900 nhìn đoạn OA (1)
I là trung điểm của BC Þ OI ^ BC Þ ·OIA = 900 nhìn đoạn OA (2)
Từ (1) và (2) Þ Bốn điểm M, N, O, I cùng thuộc một đường trịn
2) Chứng minh OI.OH = R2:
+ ·OHN và ·OAC cĩ :
ü
^ ïïý
ï
^ ïþ Þ ·OHN = ·OAC (1)
+ Đường trịn đường kính OA cĩ :
Trang 3
OAC nội tiếp chắn OI
+ Từ (1) và (2) Þ ·OHN = ·OMI
+ D OMH và D OIM cĩ:
MOH chung
ü ï
ïïïþ Þ D OMH D OIM (g-g)
Þ
OI =OM Û OI OH = OM2 = R2
3) + AMB ACM(g-g)
2
AM AB AC
+ AME AIM (g-g)
2
AM AI AE
AB.AC = AI.AE (*) + Do A, B, C cố định nên trung điểm I của BC cố định nên từ (*) suy ra E cố định Vậy đường thẳng MN luơn đi qua điểm E cố định
Câu V:
Với a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác cĩ chu vi bằng 2 nên a b c 2
+ Đặt b c a x; c a b y; a b c z
+ Do a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác nên : x, y,z 0
+ Suy ra x y z 2 (do a b c 2 ) và
Khi đĩ
S
1 y 4x z 9x 4z 9y
+ Ta cĩ:
2
2
2
1
S 4 6 12 11
2
Dấu “=” xảy ra khi
1 x
y
z 1
x y z 2
Trang 45 2 1
a ; b ; c
Khi đó: a2 b2 c2 ABC vuông Vậy Smin 11 ABC vuông
a ; b ; c