Mặt khác OI là đường trung bình của tam giác FAH nên AH =2.OI do đó khi A thay đổi trên đường tròn thì độ dài AH không đổi..[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT THỪA THIÊN HUẾ KÌ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 THPT
Năm học 2013 – 2014
Thời gian :120 phút
Bài 1 (2 điểm):
Cho biểu thức: M =(a−1√a+
1
√a −1): √a+1
a −2√a+1
a) Tìm điều kiện của a để M có nghĩa và rút gọn M
b) So sánh M với 1
Bài 2 (2 điểm):
Cho phương trình: x2 -3x + m = 0 (x là ẩn, m là tham số)
a) Giải phương trình với m = – 10
b) Tìm giá trị của m để phương trình trên có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn
11
3 2 1 2
3
1 x x x
Bài 3 (2 điểm):
Một mảnh vườn hình chữ nhật có chu vi là 66m Nếu tăng chiều dài lên 3 lần và giảm
chiều rộng một nửa thì chu vi hình chữ nhật mới là 128m Tính chiều dài, chiều rộng của
mảnh vườn ban đầu
Bài 4 (3,5 điểm):
Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn tâm (O;R) có cạnh BC cố định còn điểm A
thay đổi trên đường tròn (O) Các đường cao BD, CE của tam giác ABC cắt nhau tại H
a) Chứng minh tứ giác AEHD nội tiếp được đường tròn
b) Kéo dài AO cắt đường tròn tại F Chứng minh BF//CE và FAC BCE
c) Chứng minh rằng khi A thay đổi trên đường tròn (O) thì độ dài đoạn AH không đổi
Bài 5 (0,5 điểm):
Cho a + b = 2 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A = ab (a2 + b2)
ĐÁP ÁN CHẤM THI
Bài1
2 điểm
a) ĐK a>0; a≠ 1
√a − 1¿2
¿
√a − 1¿2
¿
¿
¿
M=( √a (√1a −1)+
1
√a− 1):√a+1
¿
a
Do: a > 0 với mọi giá trị a > 0 nên a
1 > 0 ⇒ 1 – a
1 < 1
0,5đ 1đ 0,5 đ
a)Với m= – 10 ta có phương trình: x2 – 3x – 10 = 0 1 đ
Trang 2Bài 2:
2 điểm
Δ = (–3)2-4.1.(–10) = 49, phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1 =5; x2 = – 2
b)Ta có Δ = 9 – 4m
Phương trình có hai nghiệm x1; x2 khi Δ 0⇔9 − 4 m ≥ 0⇔ m≤9
4 Khi đó theo hệ thức Viet ta có: x1+ x2 = 3; x1. x2 = m
Do đó 2 1 23 11
3
1 x x x
x ⇔ x1x2(x12 + x22) = – 11 ⇔ x1+x2¿
2− 2 x1x2
¿=¿
x1x2¿
– 11 ⇔ m (9 – 2m) = – 11 ⇔ 2m2 – 9m – 11 = 0 ⇔ m1 = –1 ; m2 = 112
Ta thấy m = 112 không thỏa mãn đk, còn m = – 1 thỏa mãn điều kiện
Vậy với m = – 1 thì phương trình trên có 2 nghiệm x1; x2 thỏa mãn
11
3 2 1 2
3
1 x x x
x
0,5đ
0,5đ
Bài 3
2 điểm
Gọi chiều dài mảnh vườn là x(m), chiều rộng là y (m) ( x,y > 0)
Theo bài ra ta có phương trình 2(x + y) = 66 ⇔ x + y = 33 (1)
Tăng chiều dài gấp 3 ta được 3x ; giảm chiều rộng một nửa ta được 0,5y Ta có
phương trình : 2(3x + 0,5y) = 128 (2)
Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình :
¿
x+ y=33
6 x+ y=128
¿{
¿
Giải ra ta được x =19 ; y = 14 (thỏa ĐK )
Vậy mảnh vườn ban đầu có chiều dài là 19m ; chiều rộng là 14 m
1đ 1đ
Bài 4:
3,5
điểm a)Ta có CE AB (gt) ⇒ HAE = 900
BD AC (gt) ⇒ HDA= 900
⇒ HAE+ HDA =1800
⇒ Tứ giác AEHD có tổng số đo hai góc đối diện
bằng 1800 nên nội tiếp được đường tròn
b)Ta có :ABF = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) ⇒ FB AB ⇒
BF//CE (cùng vuông góc với AB)
Do BF//CE ⇒ FBC=BCE (slt)
Mặt khác :FBC =FAC (hai góc nội tiếp cùng chắn 1 cung)
Từ đó suy ra :FAC=BCE
c) Ta có tứ giác BHCF là hình bình hành (có hai cặp cạnh đối song song) Gọi I là
giao điểm của BC và HF thì I là trung điểm của BC và HF
Do I là trung điểm BC nên OI BC (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây)
⇒ OI là khoảng cách từ tâm O đến dây BC cố định nên OI không đổi
Mặt khác OI là đường trung bình của tam giác FAH nên AH =2.OI do đó khi A
thay đổi trên đường tròn thì độ dài AH không đổi
Hình vẽ 0,5đ
1đ
0,5đ 0,5đ
1đ
A
D E
F I
Trang 3Bài 5:
0,5đ
A = ab(a2 + b2 )= a+b¿
2
− 2ab
¿
ab ¿
= ab(4 – 2ab) Đặt ab = t ta có A = t(4 – 2t) = – 2t2 + 4t = 2 – 2(t – 1)2 2
Dấu " = " xẩy ra khi t – 1 = 0 ⇔ t = 1 ⇒ ab = 1
¿
ab=1
a+b=2
⇔
b=1
¿{
¿
Vậy giá trị lớn nhất của A là 2, đạt được khi a = 1; b = 1