Bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh ----------------------------- Lê thị hà Kiểm tra và đánh giá kết quả học tập môn toán của học sinh thpt bằng phơng pháp trắc nghiệm khách quan Luận văn thạc sĩ giáo dục học Vinh - 2006 1 Mục lục Trang Lời nói đầu . 2 1. Các khái niệm và tính chất cơ bản . 4 2. Không gian thuộc loại đếm đợc và đếm đợc theo điểm 8 3. Không gian với giả cơ sở 13 4. Không gian thuộc loại đếm đợc yếu và đếm đợc theo điểm yếu. 25 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 Lời nói đầu 2 Các khái niệm cơ sở, giả cơ sở đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu các tính chất của không gian tôpô. Trong [3], dựa vào khái niệm cơ sở lân cận của các tập, ngời ta đa ra khái niệm không gian thuộc loại đếm đợc, đếm đợc theo điểm và nghiên cứu các tính chất có đợc từ đó. Dựa vào tính chất của các giả cơ sở, trong [4], ng- ời ta đã đa ra các đặc trng của 0 không gian và - không gian . Mục đích của luận văn là thông qua các tài liệu tham khảo, dựa vào các tính chất của cơ sở, giả cơ sở để tìm hiểu và nghiên cứu các tính chất của các không gian . Với mục đích đó, đầu tiên chúng tôi tìm hiểu các kết quả đã đợc trình bày trong các tài liệu [3], [4], Tiếp theo chúng tôi đ a ra một số kết quả liên quan đến các vấn đề đã trình bày. Để thực hiện điều đó luận văn đợc trình bày thành bốn mục. Mục thứ nhất dành cho việc trình bày một số khái niệm và kết quả cơ sở cần dùng trong luận văn. Mục thứ hai: Không gian thuộc loại đếm đợc và loại đếm đợc theo điểm. Trong mục này, đầu tiên trình bày lại một số kết quả trong tài liệu tham khảo [3]. Sau đó, chúng tôi đa ra các ví dụ về không gian thuộc loại đếm đợc, đếm đợc theo điểm và chứng minh một vài điều kiện đủ để một không gian là thuộc loại đếm đợc. Đó là các Mệnh đề 2.3, 2.8, Bổ đề 2.7 và Hệ quả 2.9. Mục ba: Không gian với giả cơ sở. Chúng tôi sắp xếp lại và chứng minh chi tiết các kết quả trong [4]. Mục bốn: Không gian thuộc loại đếm đợc yếu và đếm đợc theo điểm yếu. Mục này là kết quả chính của luận văn. Dựa vào các khái niệm và kết quả chính trong các mục trớc chúng tôi đa ra khái niệm không gian thuộc loại đếm đợc yếu và đếm đợc theo điểm yếu; chứng minh một số kết quả t- 3 ơng tự nh trong mục hai vẫn còn đúng cho các lớp không gian vừa định nghĩa, đó là Mệnh đề 4.3, 4.8, 4.10 và 4.11. Sau đó, chúng tôi đa ra một số điều kiện đủ để một không gian là thuộc loại đếm đợc yếu hoặc thuộc loại đếm đợc theo điểm yếu, đó là các Mệnh đề 4.4, 4.5 và 4.7. Cuối cùng chúng tôi chứng minh không gian thuộc loại đếm đợc yếu đợc bảo tồn qua ánh xạ phủ compact, còn không gian thuộc loại đếm đợc theo điểm yếu đợc bảo tồn qua ánh xạ liên tục, đó là các Mệnh đề 4.12 và 4.13. Nhân đây tôi xin chân thành cảm ơn PGS TS Đinh Huy Hoàng, ng- ời đã tận tình hớng dẫn tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin gửi lời cảm ơn đến các thầy cô giáo trong tổ Giải tích cùng các bạn học viên CH 12 Toán đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này. Vinh, tháng 11 năm 2006 Tác giả Lê thị BắcHà 1. Các khái niệm và tính chất cơ bản 4 Trong mục này, ta trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản về tôpô đại cơng cần dùng trong luận văn. 1.1. Định nghĩa. Giả sử X là tập khác rỗng và T là họ các tập con nào đó của X. Họ T đợc gọi là một tôpô trên X nếu thỏa mãn các điều kiện sau. 1) và X thuộc T. 2) Hợp của một số tùy ý và giao của một số hữu hạn các phần tử của T là thuộc T. Tập X cùng với tôpô T trên đó đợc gọi là một không gian tôpô nói gọn là không gian và đợc ký hiệu là ( X, T ). Mỗi phần tử của T đợc gọi là một tập mở trong X. Tập con F của X đợc gọi là tập đóng nếu X \ F là tập mở. Tập con E của X đợc gọi là G - tập nếu E là giao của một số đếm đợc các tập mở trong X. 1.2. Định nghĩa. Giả sử ( X , T ) là một không gian tôpô, U X và a X. U đợc gọi là một lân cận của a nếu tồn tại V T sao cho a V U. Họ U các lân cận nào đó của a đợc gọi là cơ sở lân cận tại a ( hay của a ) nếu mọi lân cận G của a đều tồn tại U U sao cho U G. Không gian X đợc gọi là thỏa mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất nếu tại mỗi điểm của X đều có một cơ sở lân cận đếm đợc. Không gian X đợc gọi là T 1 không gian nếu với mọi cặp điểm phân biệt a, b X tồn tại lân cận U của a sao cho b U. Không gian X đợc gọi là không gian Hausdorff hay T 2 không gian nếu với mỗi cặp điểm phân biệt a, b X tồn tại các tập mở U, V sao cho a U, b V và U V = . 5 Họ con B của T đợc gọi là cơ sở tôpô ( nói gọn là cơ sở ) nếu mọi x X và mọi lân cận U của x đều tồn tại B B sao cho x B U. Không gian X đợc gọi là thỏa mãn tiên đề đếm đợc thứ hai nếu tồn tại một cơ sở tôpô đếm đợc. Không gian X đợc gọi là chính quy nếu mọi x X và mọi lân cận U của x đều tồn tại lân cận V của x sao cho V V U. 1.3. Định nghĩa. Giả sử P là họ các tập con nào đó của không gian X và A là tập con của X. Họ P đợc gọi là phủ A nếu A P, trong đó ta viết P thay cho { P : P P }. Họ P đợc gọi là phủ mở của A nếu P phủ A và mọi phần tử của P đều là tập mở. Tập con K của X đợc gọi là tập compact nếu mọi phủ mở P của K đều có phủ con hữu hạn, nghĩa là tồn tại F P sao cho F hữu hạn và K F . 1.4. Định nghĩa. Giả sử Y là tập con của không gian tôpô ( X, T ). Đặt T Y = { G Y : G T }. Khi đó T Y là một tôpô trên Y. Ta gọi ( Y, T Y ) là không gian con của X và gọi T Y là tôpô cảm sinh bởi T trên Y. Mỗi phần tử của T Y đợc gọi là tập mở trong Y. Từ Định nghĩa 1.4 suy ra Mệnh đề sau. 1.5. Mệnh đề. Giả sử Y X. Khi đó tập con E của Y là tập mở (đóng) trong X khi và chỉ khi tồn tại tập G mở ( đóng ) trong X sao cho E = G Y. 1.6. Định nghĩa. Tập con Y của không gian X đợc gọi là rời rạc nếu 6 mọi tập con của Y đều là tập đóng trong Y . Không gian X đợc gọi là 1 - compact nếu mọi tập con rời rạc, đóng của nó đều đếm đợc hoặc hữu hạn. 1.7. Định nghĩa. Giả sử P là một phủ của không gian X. 1) P đợc gọi là k l ới nếu mọi K compact và U mở trong X sao cho K U đều tồn tại họ con hữu hạn F của P thỏa mãn K F U. 2) P đợc gọi là kn l ới nếu mọi K compact và U mở trong X sao cho K U đều tồn tại họ con hữu hạn F của P thỏa mãn K (F) 0 F U. 3) P đợc gọi là một lới nếu mọi x X và mọi U mở trong X mà x U đều tồn tại P P sao cho x P U. 4) P đợc gọi là cs - lới của không gian tôpô X nếu mỗi dãy {x n } hội tụ tới x X và U là lân cận của điểm x thì tồn tại P P và m N sao cho {x} { x n : n m } P U. 5) P đợc gọi là cs * - lới của không gian tôpô X nếu với mỗi dãy {x n } hội tụ tới điểm x trong X và mọi lân cận U của x thì tồn tại P P sao cho có một dãy con { x n i : i N } của { x n } mà {x} { x n i : i N } P U. 1.8. Định nghĩa. Giả sử P là họ các tập con nào đó của không gian X. Họ P đợc gọi là đếm đợc theo điểm nếu mỗi điểm của X thuộc không quá đếm đợc các phần tử của P. Họ P đợc gọi là đếm đợc - compact nếu mỗi tập compact của X chỉ giao với không quá đếm đợc các phần tử của P. Họ P đợc gọi là hữu hạn địa phơng nếu mọi x X đều tồn tại một lân cận U của x mà U chỉ giao với một số hữu hạn các phần tử của P. 7 Họ P = { P : } đợc gọi là có tính chất HCP nếu { } ': B = { B : }, với bất kỳ và B P với mọi . Họ P đợc gọi là có tính chất WHCP nếu { x (p) P : P P } là họ có tính chất HCP. Họ P đợc gọi là - nếu biểu diễn đợc dới dạng P = = 1n P n , trong đó mỗi P n có tính chất ( là một tính chất nào đó ). 1.9. Định nghĩa. Giả sử X và Y là hai không gian tôpô. Cho f : X Y là một ánh xạ. Khi đó, f đợc gọi là ánh xạ phủ compact nếu mỗi tập compact trong Y là ảnh của một tập compact nào đó trong X. f đợc gọi là ánh xạ phủ dãy nếu mỗi dãy hội tụ của Y là ảnh của một dãy hội tụ nào đó trong X. Trong các phần tiếp theo các không gian nói tới đợc giả thiết là T 1 và chính quy còn các ánh xạ đợc giả thiết là liên tục và toàn ánh. 2. không gian thuộc loại đếm đợc và loại đếm đ- ợc theo điểm 8 Trong mục này, ta sẽ nghiên cứu một lớp không gian rộng hơn lớp không gian thỏa mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất. Đó là lớp không gian thuộc loại đếm đợc mà ta sẽ trình bày Định nghĩa ngay sau đây. 2.1. Định nghĩa ([3]). Giả sử X là một không gian tôpô, A X và P là họ các lân cận của A. Họ P đợc gọi là một cơ sở tại A nếu với mọi lân cận V của A đều tồn tại U P sao cho A U V. Tập A đợc gọi là tập có đặc trng đếm đợc nếu tồn tại một cơ sở đếm đ- ợc tại A. Không gian X đợc gọi là thuộc loại đếm đợc nếu mọi tập compact C trong X đều tồn tại tập compact K có đặc trng đếm đợc sao cho C K. Không gian X đợc gọi là thuộc loại đếm đợc theo điểm nếu tồn tại một phủ gồm các tập con compact có đặc trng đếm đợc 2.2. Mệnh đề. 1) Mọi không gian thuộc loại đếm đợc là thuộc loại đếm đợc theo điểm. 2) Mọi không gian thỏa mãn tiên đề đếm đợc thứ nhất đều thuộc loại đếm đợc theo điểm. 3) Mọi không gian mêtric đều thuộc loại đếm đợc. 4) Mọi không gian thỏa mãn tiên đề đếm đợc thứ hai đều thuộc loại đếm đợc. Chứng minh: 1) Giả sử X là một không gian thuộc loại đếm đợc. Khi đó với mỗi x X, vì {x} là tập compact nên tồn tại tập compact K x trong X sao cho K x có đặc trng đếm đợc và {x} K x . Do đó { K x : x X } là phủ gồm các tập compact có đặc trng đếm đợc của X. Vậy X thuộc loại đếm đợc theo điểm. 9 2) Vì tập một điểm là compact và tại mỗi điểm của không gian thuộc loại đếm đợc thứ nhất có một cơ sở lân cận đếm đợc nên Mệnh đề đợc suy ra từ Định nghĩa. 3) Giả sử K là tập compact trong không gian mêtric X. Ta chứng minh K có đặc trng đếm đợc, tức là tồn tại một cơ sở lân cận đếm đợc tại K. Với mỗi n = 1, 2, vì K là tập compact nên tồn tại tập hữu hạn X n K sao cho K B { ( x, n 1 ) : x X n }, trong đó B ( x, n 1 ) là hình cầu tâm x, bán kính n 1 . Đặt B n = {B ( x, n 1 ) : x X n } và B = { B n : n = 1, 2, }. Rõ ràng B là họ đếm đợc các tập mở. Giả sử U là tập mở trong X và K U. Từ K compact và U mở suy ra d ( K, U ) = r > 0. Chọn n N sao cho n 1 < r. Khi đó K ) 1 ,( n Xx n xB = B n U. Do đó B là cơ sở đếm đợc tại K. Vậy X là không gian thuộc loại đếm đợc. 4) Giả sử X là không gian thỏa mãn tiên đề đếm đợc thứ hai. Khi đó tôpô trên X có một cơ sở đếm đợc ta kí hiệu là B . Giả sử K là tập compact và U là tập mở trong X, K U. Với mọi x K ắt tồn tại B x B sao cho x B x U. Từ tính compact của K suy ra tồn tại B 1 , , B n B sao cho 10 . Bộ giáo dục và đào tạo Trờng Đại học Vinh ----------------------------- Lê thị hà Kiểm tra và đánh giá kết quả học tập môn toán của học sinh thpt bằng. tử của T đợc gọi là một tập mở trong X. Tập con F của X đợc gọi là tập đóng nếu X F là tập mở. Tập con E của X đợc gọi là G - tập nếu E là giao của