Khảo sát sự tương tác của soliton trong sợi quang

Ngoài ra thông tin quang học còn có một u việt lớn nữa là tổn hao năng lợng thấp và dễ khuyếch đại tín hiệu trong quá trình truyền dẫn.Năm 1965 thuật ngữ soliton đợc đề xuất để mô tả tín

Cao xu©n Phó

Kh¶o s¸t sù t¬ng t¸c cña soliton

trong sîi quang

Vinh, tháng 10 năm 2006

Lời cảm ơn

Tôi xin đặc biệt bày tỏ lòng biết ơn và xin trân trọng gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo PGS.TS Đinh Xuân Khoa, đã giúp tôi định hớng đề tài, chỉ dẫn tận tình, chu đáo và dành nhiều công sức cũng nh cả những sự u ái cho tôi trong quá trình làm luận văn

Tôi xin cảm ơn các thầy giáo: PGS.TS Hồ Quang Quý, TS Vũ Ngọc Sáu, PGS.TS Nguyễn Huy Công đã góp ý chỉ dẫn cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu Cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Vật lí, Ban chủ nhiệm khoa

đào tạo Sau Đại Học đã tạo điệu kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập tại cơ sở đào tạo.

Xin cảm ơn gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã động viên, tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu.

Vinh tháng 10 năm 2006

Tác giả

Cao Xuân Phú

Mục lục

Mở đầu 3

Chơng 1 Bản chất điện từ của ánh sáng 5

1.1 Lí thuyết điện từ của ánh sáng 5

1.1.1 Hệ phơng trình Maxwell 5

1.1.2 Sóng điện từ phẳng đơn sắc 7

1.1.3 Sóng cầu 9

1.1.4 Chùm tia Gauss 10

1.2 Lan truyền ánh sáng trong môi trờng tán sắc tuyến tính 12

1.2.1 Các thông số của xung vào 13

1.2.2 Sự lan truyền của xung trong môi trờng tán sắc tuyến tính 14

1.2.3 Sự nén xung và giãn xung trong quá trình lan truyền 17

1.2.4 Phơng trình lan truyền xung trong môi trờng tán sắc 18

1.3 Kết luận chơng 1 21

Chơng 2: Phơng trình Schrửdinger phi tuyến, soliton không gian và soliton thời gian 22

2.1 Phơng trình Schrửdinger phi tuyến 22

2.2 Phơng trình lan truyền soliton không gian và thời gian 25

2.2.1 Cơ sở của soliton không gian và soliton thời gian 26

2.2.2 Phơng trình lan truyền soliton không gian và soliton thời gian 31

2.3 Nghiệm soliton của phơng trình Schrửdinger phi tuyến 32

2.4 Tìm nghiệm soliton của phơng trình Schrửdinger phi tuyến bằng ph-ơng pháp Hirota 33

2.5 Kết luận chơng 2 37

Chơng 3: Khảo sát tơng tác của soliton trong sợi quang 38

3.1 Lí thuyết tơng tác của hai soliton 38

3.2 Khảo sát tơng tác của hai soliton cùng biên độ và cùng pha ban đầu 39

3.3 Khảo sát sự tơng tác hai soliton khác biên độ và cùng pha ban đầu

45

3.4 Khảo sát sự tơng tác của hai soliton cùng biên độ và khác pha ban đầu .50

3.5 Kết luận chơng 3 52

Kết luận chung 53

Tài liệu tham khảo 54

Nh vậy tại sao thông tin bằng sóng ánh sáng lại u việt hơn so với hệ thống thông tin thông thờng ? Sở dĩ nh vậy là vì tốc độ thông tin truyền đi phụ thuộc trực tiếp vào tần số của tín hiệu Ta biết rằng ánh sáng có tần số nằm trong khoảng từ 1014-1015 Hz trong khi đó tần số sóng vô tuyến vào khoảng 106 Hz còn tần số vi ba là 108 - 1010 Hz Vì thế, một hệ thống truyền tin thực hiện với tần số sóng ánh sáng về lí thuyết có thể truyền đợc một lợng thông tin lớn hơn khi thực hiện đối với tần số vô tuyến hay tần số vi ba Ngoài ra thông tin quang học còn có một u việt lớn nữa là tổn hao năng lợng thấp và dễ khuyếch đại tín hiệu trong quá trình truyền dẫn.

Năm 1965 thuật ngữ soliton đợc đề xuất để mô tả tính chất hạt của xung trong môi trờng phi tuyến Dới các điều kiện xác định, xung không những không bị méo dạng trên đờng truyền mà còn có thể va chạm với nhau nh các hạt Sự tồn tại của soliton trong sợi quang và sử dụng chúng trong thông tin quang đang là vấn đề rất đợc quan tâm cho các hệ thống thông tin bằng sóng

ánh sáng

Trong các hệ thống thông tin quang ngời ta truyền nhiều xung trong cùng một sợi quang và rất muốn các xung càng gần nhau càng tốt để tăng tốc độ bit Nhng khi gần nhau thì các xung trong các rãnh bit lân cận sẽ ảnh hởng lẫn

nhau, gọi là tơng tác soliton Sự tơng tác này sẽ làm giảm khả năng truyền dẫn thông tin Nội dung của luận văn này chúng tôi khảo sát sự tơng tác của hai soliton trong sợi quang theo độ phân tách giữa hai soliton lân cận trong chuỗi bit thông tin, từ đó tìm ra phơng pháp làm giảm ảnh hởng của sự tơng tác của các xung.

Nội dung của luận văn đợc trình bày với bố cục gồm: Mở đầu, ba chơng nội dung, kết luận và tài liệu tham khảo.

Ch

ơng I: Bản chất điện từ của ánh sáng.

Chơng 1, trình bày một cách tổng quát về lí thuyết điện từ của ánh sáng Khảo sát sự nén và giãn xung trong quá trình lan truyền trong môi trờng tán sắc tuyến tính

đó thiết lập phơng trình lan truyền soliton không gian và soliton thời gian, đồng thời tìm lời giải phơng trình lan truyền soliton theo phơng pháp Hirota

Ch

ơng III: Khảo sát sự tơng tác của soliton trong sợi quang.

Chơng 3, khảo sát quá trình tơng tác của hai soliton trong sợi quang theo

độ phân tách, biên độ, pha ban đầu khác nhau giữa hai soliton lân cận truyền trong sợi quang, từ đó tìm ra phơng pháp để làm giảm sự tơng tác của các soliton

Chơng I

Bản chất điện từ của ánh sáng

1.1 Lí thuyết điện từ của ánh sáng.

Từ hàng ngàn năm nay con ngời đã đặt ra câu hỏi: Bản chất ánh sáng là gì?

Sự phát triển của khoa học đã làm sáng tỏ dần bản chất của ánh sáng Tuy nhiên phải tới nửa cuối thế kỷ XIX, Maxwell với hệ phơng trình tổng quát của mình

đã làm sáng rõ bản chất của ánh sáng

t

t r B t

r E

r B

E E t

r D

à

ε ε ε

0

0,

Bây giờ chúng ta tìm hiểu ý nghĩa của các phơng trình Maxwell Hai

ph-ơng trình (1.1) và (1.2) là hai phơng trình cơ bản nhất của trờng điện từ, chúng đợc xây dựng dựa trên định luật dòng toàn phần và định luật cảm ứng từ của Faraday Phơng trình (1.1) cho thấy nguồn gốc sinh ra điện trờng là do sự biến thiên của từ trờng nhng điện trờng này là điện trờng xoáy Phơng trình (1.2) nêu lên nguồn gốc sinh ra từ trờng là do dòng điện dẫn và sự biến thiên của điện trờng

Hai phơng trình còn lại đợc xây dựng từ định luật Gauss cho điện trờng và cho từ trờng Phơng trình (1.3) cho thấy nguồn gốc sinh ra điện trờng là các

điện tích và trờng này là trờng thế, có nghĩa là công của lực điện không phụ thuộc vào dạng đờng đi mà chỉ phụ thuộc vào điểm đầu và điểm cuối Phơng trình (1.4) chứng tỏ từ trờng là một trờng xoáy, tức là các đờng sức của từ trờng

là những đờng cong kín

Các phơng trình vật chất (1.5) thể hiện sự phản ứng của môi trờng khi có

điện từ trờng ngoài tác dụng Các đặc trng cơ bản của môi trờng vật chất đợc thể hiện rõ qua các tham số điện từ của nó Dựa vào các tham số điện từ ngời ta phân loại môi trờng theo các dạng sau Nếu các tham số điện từ ε, μ và σ là hằng số thì môi trờng đợc gọi là đồng nhất và đẳng hớng Trong môi trờng này các véctơ trờng từng cặp song song với nhau E//D, B// H Môi trờng đợc gọi là tuyến tính nếu các tham số điện từ ε, μ và σ không phụ thuộc vào cờng

độ trờng Lúc này các phơng trình vật chất (1.5) là các phơng trình tuyến tính.Trong trờng hợp các tham số điện từ của môi trờng phụ thuộc vào cờng độ trờng thì môi trờng đợc gọi là môi trờng phi tuyến Khi đó các tham số điện từ

ε, μ và σ đợc khai triển thành chuỗi Taylor, ví dụ:

E n

n n

=

ε ε

ε

1 !

1 0

Nếu nh các tham số điện từ ε, μ và σ theo các hớng khác nhau có giá trị khác nhau thì môi trờng đó gọi là môi trờng không đẳng hớng Trong môi trờng

không đẳng hớng các tham số điện từ ε, μ có dạng tenxơ, ví dụ đối với tham số

=

+ +

=

+ +

=

z zz y zy x zx z

z yz y yy x yx y

z xz y xy x xx x

E E

E D

E E

E D

E E

E D

ε ε

ε

ε ε

ε

ε ε

ε

(1.7)

Mỗi hình chiếu của vectơ D phụ thuộc vào ba hình chiếu của vectơ E Trong trờng hợp này hai vectơ D và E không song song với nhau Phơng trình (1.7) thờng đợc viết dới dạng: Dα = εαβEβ trong đó α =x, y, z Đại lợng:

yz yy uy

yz xy xx

εε ε

εε ε

Đối với sóng điện từ phẳng đơn sắc, biểu thức của các véctơ trờng phụ thuộc vào toạ độ có dạng:

( )r E ( i k r)

Từ phơng trình (1.11) ta suy ra vectơ E trực giao đồng thời với k và H Tơng tự, từ phơng trình (1.12) ta có vectơ H trực giao đồng thời với các véctơ

E và k Từ đó, ba vectơ E, H và k lập thành một tam diện thuận, có nghĩa

là hai véc tơ E và H luôn luôn nằm trong cùng một mặt phẳng lan truyền

à ω

=

0

0 0

0 0

n n

c k

với sóng k Nh vậy, dòng năng lợng luôn truyền vuông góc với mặt đầu sóng,

về mặt độ lớn thì:

η

2 2

0

* 0 0

E H

E= ∇ ì 

ωε

1

(1.18)

Để thu đợc biểu thức của các vectơ trờng E( )r và H( )r ta lấy rota cả hai

vế của các phơng trình (1.16) và (1.17) Để đơn giản, ta chuyển sang xét trong

hệ toạ độ cầu đồng thời chỉ xét đối với trờng xa, tức là r >> λ (những điểm có khoảng cách từ nó đến gốc toạ độ lớn hơn rất nhiều so với bớc sóng) Lúc đó chúng ta sẽ thu đợc các biểu thức gần đúng:

( ) sin( ) ( )θ θ ˆ

E r

( ) sin( ) ( )θ φ ˆ

H r

E H A

Biên độ phức của chùm tia Gauss:

Sử dụng phơng pháp gần đúng bên trục, đối với chùm tia Gauss biểu thức biên độ phức của nó có dạng:

( )r A( )r ( ikz)

Trong đó A(r) là hàm bao biến thiên chậm và nó có thể coi là hằng số

trong khoảng cách cỡ một bớc sóng Hàm bao A(r) phải thoả mãn phơng trình:

T

(1.22)

2 2

2 2

y x

T

∂

∂ +

ik z

q

A r A

( )z R( )z i W ( )z

1 1

=

z

z W

z

= 1 0

z

z z z

( )= z0 

z arctg z

π

λ 0 0

z

Các phơng trình (1.25), (1.26), (1.27) và (1.28) xác định các thông số của chùm tia Gauss Trong đó W(z) xác định độ rộng của chùm tia Gauss còn R(z)

W z

W

W A r

2 exp

exp

2 2

2 0

Cờng độ của chùm tia Gauss:

Cờng độ của chùm tia Gauss đợc tính: ( ) ( ) 2

r U r

W

W I z

2 2

0 0

2 exp

ở đây I 0 = | A 0 | 2, ứng với mỗi giá trị của z thì I chỉ còn là hàm của bán

kính ρ Hàm Gauss luôn có một đỉnh ứng với ρ=0 và giảm dần theo sự tăng của

ρ Theo công thức (1.25), độ rộng W(z) của chùm tia Gauss giảm dần theo sự

giảm của z

Pha và mặt sóng của chùm tia Gauss:

Pha của chùm tia Gaus đợc xác định theo biểu thức :

z k

k z z k z

2

,

2

ρ ς

ρ

Biểu thức của pha dọc theo trục của chùm tia (ρ=0) là φ (0,z)=k.z-ζ(z) Nó

bao gồm hai thành phần, thành phần thứ nhất k.z là pha của sóng phẳng còn

thành phần thứ hai ξ(z) mô tả sự trễ pha Từ biểu thức (1.27) ta thấy rằng miền

biến thiên của ξ(z) là từ

1.2 Lan truyền ánh sáng trong môi trờng tán sắc

tuyến tính.

Trong quang học ta hiểu tán sắc là sự phụ thuộc của chiết suất môi trờng vào tần số của ánh sáng Hệ quả tất yếu của sự phụ thuộc này là cờng độ, độ rộng của xung vào và ra khỏi môi trờng là khác nhau Trong mục này ta khảo sát hiện tợng này thông qua việc khảo sát sự thay đổi các thông số của xung trong quá trình lan truyền trong môi trờng tán sắc tuyến tính và giới hạn chỉ xem xét trong trờng hợp một chiều

1.2.1.Các thông số của xung vào.

Giả sử xung vào có cờng độ phân bố theo thời gian có dạng Gauss, nghĩa là biểu thức hàm bao của xung vào tại z=0 có dạng:

(z t) A ( a t ) ( (i t b t ) ) A ( t ) (i t)

0 0

2 0 0

2 0

0

Hình 1.2: Mặt sóng của chùm tia Gauss

Từ biểu thức hàm bao (1.32) ta có thể xác định đợc các thông số của xung vào:

Cờng độ của xung vào:

0

Re

2 ln 2 2 ln 2

0

4 exp

, 0 ,

0 ,

2 0 0

2 0

2 0

0 0

0

4

4

exp ,

0 ,

0

b a

b i b a

a A

(1.37)

Nh vậy A(0,ω) là hàm của (ω-ω0), còn ( )

0 0 ,

2 0 0

0

2 0 0

0

2

exp 2

.

1 Re exp ,

0

b a

a I

I z

Z n I

Từ biểu thức trên ta thấy I0ω , có phân bố dạng Gauss, cho nên độ rộng của xung vào có thể xác định đợc dễ dàng:

0 0

2 0

2 0 0

1 Re

2 ln 8 1

2 ln

=

∆

a

b a

ω

(1.39)

Trong quá trình lan truyền trong môi trờng, các thông số của xung thay đổi dẫn đến việc xung ra khỏi môi trờng có dạng khác với xung vào môi trờng Mục tiếp theo ta sẽ xác định sự phụ thuộc vào z của các thông số xung trong quá trình lan truyền

1.2.2 Sự lan truyền xung trong môi trờng tán sắc tuyến tính.

Đối với môi trờng tán sắc, chiết suất của môi trờng không phải là hằng số

mà phụ thuộc vào tần số: n(ω) Khi xung lan truyền trong môi trờng, biểu thức của hệ số lan truyền đợc xác định:

λ

π ω

ω ω ω

c n

0 0

'

! 2

1

ω ω ω β ω

ω ω β ω β ω

Trong đó β 0 = β( )ω 0 còn

( )

c d

dn n c

n d

g

1 1

ω

β β ω

c d

n d c d

d d

d d

g g

2 2

1

2 2 2 3 2

2

2 '' 0 0

''

π

λ λ

π

λ ω

ν ν ν

ω ω

β β

Từ biểu thức (1.43) ta thấy rằng đại lợng β 0 có thể nhận giá trị dơng hoặc

âm tuỳ thuộc vào dấu của 22

λ

d

n d

Hiện tợng tán sắc thờng ứng với '

0

β >0, ngợc lại '

0

β <0 ứng với hiện tợng tán sắc dị thờng Trong trờng hợp '

0

β =0 các đại ợng bậc cao trong khai triển của β(ω) có thể bỏ qua nếu độ rộng tần số của xung vào Δω là rất nhỏ so với tần số trung tâm ω0 Bây giờ ta sẽ khảo sát sự thay đổi độ rộng cũng nh cờng độ của xung trong quá trình lan truyền với giả thiết các xung vào có độ rộng thời gian Δt nhỏ

l-Biểu thức hàm bao xung tại vị trí z đợc xác định:

' 0 0

2

1

exp ,

0

exp , 0

β

+ Γ

=

ở đây Γ( )z =a( )z −ib( )z , Γ 0 =a0 −ib0 (1.46)Dựa vào hệ thức (1.45) và hệ thức (1.46) ta dễ dàng suy ra biểu thức của a(z) và b(z) là:

+ +

=

+ +

=

2 0

'' 0

2 0

'' 0

2 0

'' 0 0

'' 0 0

2 0

'' 0

2 0

'' 0 0

.2 2

1

.2 2

1

.2

2 1

a z zb

za zb

b z b

a z b

z

a z

a

β β

β β

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

0

0 0 0

0 0

' 0

2 0

'' 0 2 0

2 0

2 0 0 2 0

2 0

2 0 0 0

exp

exp

0

2 4

4 exp ,0

exp , ,

0 0

g

t i

tt z

z t i

z

A

df t

i iz

i b a

b i b a

a e

A

dft i zA

tz

A

z

− Γ−

−

− +

ω ω ω ωβ

ω ω β ω ω ω

ω ω

ω ω

β ω

(1.48)

trong biểu thức (1.48) thì

g g

z t

'' 0 0

2 '' 0 0

'' 0 0

2

2 1

2

2 1 2 ln 2 2 ln 2 Re

2 ln 2

a z b

z t

b z a

z a z

t

β β

β β

+ +

∆

=

+ +

=

= Γ

=

∆

(1.52)Các biểu thức (1.49), (1.50), (1.51) và (1.52) xác định các thông số của xung trong quá trình lan truyền trong môi trờng tán sắc tuyến tính Dựa vào

chúng, ta có thể xem xét sự thay đổi của xung, giải thích đợc các hiện tợng nén xung và giãn xung trong quá trình lan truyền.

1.2.3 Sự nén xung và giãn xung trong quá trình lan truyền:

Chúng ta bắt đầu khảo sát từ trờng hợp đơn giản nhất đó là bỏ qua hiện ợng tán sắc ( '' 0

t-0 =

β ) Trong trờng hợp này, độ rộng của xung trong quá trình lan

truyền là một hằng số Điều này có thể thấy rõ khi ta kết hợp các phơng trình (1.47) và (1.52) Hơn thế nữa, hình dạng của xung sẽ đợc giữ nguyên trong suốt quá trình lan truyền (Γ( )z = Γ( )0 )

1 ,

0

2 0

2 0 0 2

0

0 0

b a

b z

a

b a

a

Lúc này độ rộng của xung đạt giá trị nhỏ nhất và bằng:

0 2

1 2

0

0 0

2

0 0 0

max

a

b t

a

b a

mặt sau của xung Xét môi trờng có '' 0

nhất Nói chung tất cả các xung khi lan truyền đều xuất hiện hiện tợng nén xung, ngay sau khi vận tốc của phần trớc bắt kịp phần sau thì thì lập tức hiện t-ợng giãn xung xảy ra.

Nếu xung vào có b 0 =0, trong quá trình lan truyền xung tham số B(z) vẫn

xuất hiện Thật vậy từ phơng trình (1.47) ta có:

( ) 1 (2 ) 0

2

2 0

'' 0

2 0

b

β

β

(1.55)Trong trờng hợp này tham số b(z) > 0 và khi đó trong quá trình lan truyền

của xung chỉ có hiện tợng mở rộng xung Bởi vì:

( )

0

'' 0

0

2

a z

2

1 2

ln 2

D

z

z t

z a

( )

'' 0

2

'' 0

2

0

'' 0

0

2 2

ln 4 2

1

β

σ β

β

t D

t a

Khi xung lan truyền đợc quãng đờng zD thì độ rộng của xung sẽ tăng lên

2 lần và ZD đợc gọi là quãng đờng tán sắc

1.2.4 Phơng trình lan truyền xung trong môi trờng tán sắc.

Để thu đợc phơng trình lan truyền xung, ta xuất phát từ hệ phơng trình Maxwell, thực hiện một số phép biến đổi đơn giản ta có:

t t

z E z t z

( , ) ( , ) 2 ( , ) 0

0 0

0 2

Re , = ω 0 − β 0 = ω 0 − β 0 +

Với ω0 là tần số trung tâm, β 0 ω0 n( )ω 0 k0n( )ω 0

Vì hàm bao A(z,t) biến thiên chậm theo z và t, cho nên biến đổi Fourier

biểu thức của trờng ta có:

2

1

, 2

1 ,

2

1 ,

,

0 0

0 0

0 0

ω ω ω

β

ω ω β

ω ω β

ω

−

− +

∞

−

−

− +∞

∞

z A e z

A e

dt e

t z A e

dt e

t z A e

dt e t z A t

z

E

z i z

i

t i z

i t

i z

t i

Mặt khác ta luôn có thể viết: ( 0)( 0) 0( 0)

2 0

(1.63)Thay giá trị của β từ biểu thức (1.41) vào (1.63) ta có:

' 0

− +

( ) ( ) ( ), 0

2 ,

∂

∂ +

∂

∂ +

∂

t t

z A t i t z A t

Phơng trình (1.65) chính là phơng trình phơng trình lan truyền xung trong môi trờng tán sắc tuyến tính Giải phơng trình (1.65) sẽ giúp chúng ta thấy rõ hơn các hiện tợng mà ta đã đề cập đến ở mục trên

Phơng trình (1.65) có lời giải giải tích trong trờng hợp hàm bao của xung ở

điểm đầu lan truyền (z=0) có dạng Gauss Để loại bỏ đạo hàm bậc nhất ta đa vào biến số mới : z' = z, t' =t− β1z, đồng thời biến đổi Fourier cả hai vế ta thu

=

∂

∂Phơng trình này có nghiệm là:

2 exp

2 z A

i z

0 2 2 2 0

A z

π ω

Biến đổi Fourier ngợc hàm A(z,ω), đồng thời thay z' =z;t' =t− β1z ta thu

đợc biểu thức nghiệm của phơng trình (1.65) là:

t A t z

0

2 1 2

2 0

0

2

1 exp

Qua ch¬ng nµy chóng ta thÊy khi xung ¸nh s¸ng lan truyÒn trong m«i êng t¸n s¾c tuyÕn tÝnh kh«ng ph¶i chØ cã duy nhÊt mét hiÖn tîng më réng xung Tuú thuéc vµo tÝnh chÊt cña xung vµo mµ trong qu¸ tr×nh lan truyÒn xung

tr-cã thÓ bÞ nÐn l¹i hoÆc gi·n ra Nguyªn nh©n cña hiÖn tîng nÐn xung còng nhgi·n xung thùc chÊt lµ do sù phô thuéc cña vËn tèc nhãm vµo tÇn sè ω Thùc chÊt sù lan truyÒn xung cã thÓ chia thµnh ba phÇn Thµnh phÇn trung t©m, thµnh

phÇn mÆt tríc vµ mÆt sau cña xung XÐt m«i trêng cã β''

Ch¬ng II

Ph¬ng tr×nh Schrodinger phi tuyÕn,

Soliton không gian và soliton thời

gian.

2.1.Phơng trình Schrodinger phi tuyến.

Theo thuyết điện từ của Maxwell thì môi trờng điện môi không từ tính nên

sự biến thiên của trờng điện từ theo không gian và thời gian đợc mô tả nh sau:

t

P t

E H

∂

∂ +

NL

L P P

t t

ε ( 1 ) 0 ) 1 ( =

Với ε0 là hằng số điện môi, χ(1) là độ cảm bậc nhất của môi trờng

Còn PNLđợc tính qua công thức (2.6):

(ω ω 1 ω 2) ε 0 χ (ω 1 , ω 2) ( ) ( )i ω 1 k ω 2

jk ijk E E

đối với phân cực bậc hai và theo công thức (2.7):

) 2 ( 0 3 2 1 )

3

( ω ω ω ω ε χ ω , ω , ω i ω k ω l ω

jk ijk E E E

đối với phân cực bậc ba

Trong môi trờng phi tuyến bậc ba thì:

( ) P( ) {E ( ) E E}

P

P    3 2.

0 2

2

2 2

3 0 2

∂ +

∂

∂ +

t c

E t c

Trong đó

0 0

1

à ε

=

c là vận tốc ánh sáng trong chân không

Phơng trình (2.9) mô tả quá trình lan truyền sóng ánh sáng trong môi ờng phi tuyến Kerr Nếu chúng ta giả thiết rằng χe3 → 0 công thức (2.9) quy về phơng trình lan truyền sóng tuyến tính thông thờng

tr-Để đơn giản ta xét xung ánh sáng có hàm bao biến thiên chậm theo thời gian và giả thiết quá trình lan truyền của sóng theo hớng của trục z Điều đó có nghĩa là ta giả thiết chùm ánh sáng là đồng nhất trong hai hớng vuông góc với hớng lan truyền (ta kí hiệu hai hớng này là x và y), còn hàm bao của nó chỉ biến thiên nh hàm số của thời gian và biến z Khi đó biểu thức trờng có dạng:

β ω λ

π

n c

∂ +

∂

∂ +

∂

t

t z A i

t

t z A z

t z

A

γ

β β

d

ν ω

d d

g g

1 1

z t

g g

' '

'

z A z

A z

z A z

z A

Phơng trình (2.17) này chính là phơng trình lan truyền xung trong môi ờng tán sắc phi tuyến (còn gọi là phơng trình Schrodinger phi tuyến ) Số hạng thứ nhất bên phải của phơng trình trên mô tả hiện tợng tán sắc trong hệ toạ độ thời gian ( hay nhiễu xạ trong hệ toạ độ không gian) Cả hai hiệu ứng này sẽ quyết định đến sự thay đổi các thông số của xung (dạng xung trong hệ toạ độ thời gian và phân bố cờng độ trong hệ toạ độ không gian) trong quá trình lan truyền trong môi trờng tán sắc phi tuyến

tr-Khi hai hiệu ứng này bù trừ cho nhau thì dạng xung trong hệ toạ độ không gian sẽ không thay đổi, xung trở thành soliton Đây là trờng hợp mà các nhà nghiên cứu quan tâm nhiều trong thời gian gần đây, nó hứa hẹn đa lại nhiều ứng dụng trong thông tin quang

Việc giải phơng trinh Schrodinger phi tuyến có thể sử dụng nhiều phơng pháp khác nhau nh phơng pháp số, phơng pháp giải tích, phơng pháp Hirota, ph-

ơng pháp tán xạ ngợc Trong phần sau đây chúng ta sẽ nghiên cứu kĩ hơn về cơ…

sở để hình thành soliton không gian và soliton thời gian

2.2.Phơng trình lan truyền soliton không gian và

thời gian.

Khi xung lan truyền trong môi trờng phi tuyến, bao giờ sự thay đổi các thông số của xung trong quá trình lan truyền cũng chịu ảnh hởng của nhiều hiệu ứng khác nhau Xét đối với các hiệu ứng không gian, đó là hiện tợng tự hội tụ

và hiệu ứng phân kỳ, còn đối với các hiệu ứng liên quan đến thời gian đó chính

là hiệu ứng tán sắc và hiệu ứng tự biến điệu pha Trong quá trình lan truyền xung có thể bị nén lại hay mở rộng ra, tuỳ thuộc vào mối tơng quan giữa các hiệu ứng đó Trong trờng hợp đặc biệt, khi các hiệu ứng tự triệt tiêu lẫn nhau lúc

đó xung lan truyền trong môi trờng sẽ có hình dạng không thay đổi và đợc gọi

là soliton

2.2.1 Cơ sở của soliton không gian và thời gian.