Khảo sát sự liên kết giữa các mode trong hai linh kiện dẫn sóng

Nội dung của luận văn này chúng tôi khảo sát sự ảnh hởng lẫn nhau giữa các modedẫn trong qua trình lan truyền sóng, mà cụ thể là khảo sát sự liên kết giữa các mode trongquá trình truyền

Bộ Giáo dục và đào tạo

Trờng đại học vinh

Trần thị lệ huyền

khảo sát sự liên kết giữa các mode trong hai

linh kiện dẫn sóng

Luận văn thạc sĩ Vật lý

Vinh - 2007

Lời cảm ơn.

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy giáo, các bạn đã quan tâm, giúp đỡ , đóng góp những ý kiến quý báu trong quá trình làm luận văn.

Xin cảm ơn những ngời thân yêu ruột thịt đã động viên và tạo điều kiện để tôi hoàn thành luận văn này.

Đặc biệt tôi xin bày tỏ lòng biết ơn và xin trân trọng gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS – TS Đinh Xuân Khoa, ngời đã trực tiếp giúp tôi định hớng đề tài luận văn, đã hết lòng quan tâm, tận tình chỉ bảo để luận văn có chất lợng tốt.

Xin cảm ơn các thầy giáo: PGS – TS Hồ Quang Quý, PGS – TS Nguyễn Huy Công, TS Vũ Ngọc Sáu đã tận tình giảng dạy, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu Cảm ơn ban chủ nhiệm khoa Vật lý, Ban chủ nhiệm khoa Sau Đại Học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu tại trờng.

Với khả năng có hạn, bản luận văn này không tránh khỏi những khiếm khuyết Tác giả rất mong đợc sự góp ý của các thầy, cô giáo và bạn bè gần xa.

Xin chân thành cảm ơn!

Vinh tháng 10 năm 2007

Tác giả

Mục lục

Mở đầu……… 1

Chơng 1: Sự lan truyền sóng điện từ trong linh kiện dẫn sóng phẳng………… 3

1.1 Khái niệm chung……….3

1.2 Linh kiện dẫn sóng phẳng đối xứng có hố chiết suất……… 6

1.2.1 Phơng trình truyền các mode TE……… 6

1.2.2 Mode dẫn TE……… 8

1.2.3 Xác định số mode bằng phơng pháp đồ thị.……… 11

1.2.4 Chiết suất hiệu dụng và hằng số lan truyền chuẩn hoá……….13

1.2.5 Các mode TM của linh kiện dẫn sóng phẳng có hố chiết suất……… 14

1.2.6 Công suất đợc truyền tải bởi mode……… …… 15

1.2.7 Kích thích các mode dẫn sóng……… 16

1.3 Linh kiện dẫn sóng chiết suất bậc hai……… … 19

1.3.1 Mode của linh kiện dẫn sóng có chiết suất thay đổi thuần tuý bậc hai… 19

1.3.2 Liên kết của một sóng gauss…… ……… … 20

1.3.3 Tán sắc giữa các mode trong linh kiện dẫn sóng chiết suất thay đổi bậc hai 21

1.4 Khái niệm về dẫn sóng yếu……… ……… … 22

1.4.1 Phơng trình truyền sóng……… ………22

1.4.2 Các thành phần ngang và dọc của trờng……… ……23

1.4.3 Gần đúng của sự truyền dẫn yếu……… …….24

1.5 Kết luận chơng 1 ……… …….26

Chơng ii: Sự lan truyền sóng điện từ trong môI trờng sợi Quang……… ………27

2.1 Truyền sóng trong sợi quang dạng bậc ……… ………… 27

2.2 Các mode dẫn LP… ……….……… ………33

2.4 Tán sắc trong sợi quang đơn mode……… …… 35

2.4.1 Tán sắc vận tốc nhóm……… …… 37

2.4.2 Tán sắc vật liệu……… …39

2.4.3 Tán sắc ống dẫn sóng……… … 41

2.5 Kết luận chơng 2 Chơng Iii: KHảO SáT Sự LIÊN KếT GiữA CáC MODE trong hai linh kiện dẫn sóng……… … … 44

3.1 Nhiễu loạn trong linh kiện dẫn sóng ……….……….………45

3.2 Quá trình truyền sóng trong môi trờng không nhiễu loạn………….…… 46

3.3 Quá trình truyền sóng trong môi trờng nhiễu loạn……… 48

3.4 Sự liên kết cộng hởng……… ……… 47

3.5 Các dạng nhiễu loạn……… …… ……….…….48

3.6 Sự liên kết giữa hai linh kiện dẫn sóng……… ……… 49

3.6 Ví dụ hệ số liên kết giữa hai linh kiện dẫn sóng……….………53

3.7 Một số ứng dụng về sự liên kết giữa hai sợi quang ……… …… 54

3.8.1 Cuộn kết cặp dùng sợi 3dB.……… 55

3.8.2 Sử dụng cuộn kết kết cặp dùng sợi 3dB…… ……… 55

Vậy tại sao thông tin bằng sóng ánh sáng lại u việt hơn so với hệ thống thông tinthông thờng? Sở dĩ nh vậy vì tốc độ thông tin truyền đi phụ thuộc trực tiếp vào tần số của

tín hiệu Ta biết rằng ánh sáng có tần số nằm trong khoảng 1014 đến 1015Hz trong khi đótần số sóng vô tuyến vào khoảng 106 Hz còn tần số vi ba là 108- 10 10Hz Vì thế một hệthống truyền tin thực hiện với tần số sóng ánh sáng về lý thuyết có thể truyền đợc một l-ợng thông tin lớn hơn khi thực hiện đối với tần số vô tuyến hay tần số vi ba Ngoài rathông tin quang còn có một u việt lớn hơn nữa là tổn hao năng lợng thấp, dễ khuếch đạitín hiệu trong quá trình truyền dẫn.

Trong các hệ thống thông tin quang trên thực tế ngời ta không thể truyền mộtmode đơn mà bao giờ cũng truyền một lúc nhiều mode.Tuy nhiên khi đó giữa các modenày sẽ có sự ảnh hởng lẫn nhau Sự ảnh hởng này sẽ làm giảm khả năng truyền dẫn thôngtin Nội dung của luận văn này chúng tôi khảo sát sự ảnh hởng lẫn nhau giữa các modedẫn trong qua trình lan truyền sóng, mà cụ thể là khảo sát sự liên kết giữa các mode trongquá trình truyền dẫn thông tin

Nội dung luận văn đợc trình bày theo bố cục: Phần mở đầu, ba chơng chính vàphần kết luận:

Chơng 1 Sự lan truyền sóng điện từ trong linh kiện dẫn sóng phẳng

Trình bày việc khảo sát sự lan truyền sóng điện từ trong linh kiện dẫn sóng phẳngbằng việc giải phơng trình sóng trong môi trờng lõi và vỏ của linh kiện dẫn sóng

Chơng 2 Sự lan truyền sóng điện từ trong sợi quang

Trình bày việc khảo sát sự lan truyền sóng điện từ trong linh kiện dẫn sóng phẳngbằng việc giải phơng trình sóng trong môi trờng lõi và vỏ của sợi quang Từ đó khảo sáthiệu ứng tán sắc của sợi quang

Chơng 3: Khảo sát sự liên kết giữa các mode trong linh kiện dẫn sóng

Trình bày cơ sở lí thuyết của sự liên kết giữa các mode Từ đó vận dụng xét sự liênkết giữa các mode trong hai linh kiện dẫn sóng và một vài ứng dụng của nó trong thôngtin quang

Chơng 1:

Sự lan truyền sóng điện từ trong

linh kiện dẫn sóng phẳng

1.1 Những khái niệm chung

Giả thiết môi trờng mà các sóng đợc truyền qua là môi trờng tuyến tính, đẳng hớng,không dẫn điện và không nhiễm từ Tuy nhiên, do cấu trúc hình thành linh kiện dẫn sóng

mà ta không thể coi môi trờng là đồng chất

Khi đó hệ phơng trình Maxwell đợc viết

t

B E

ở đây E là véc tơ cờng độ điện trờng, Dlà véc tơ cảm ứng điện, H là véc tơ cờng độ từtrờng và Bvéc tơ cảm ứng từ.

) 7 1 ( 1

; 10

84 , 8

; 10

H

o o o

z y

H , , =  , ω−β , với β là hằng số lan truyền theo z , E(x,y) và H(x,y) là các phân bố ngang của tr-ờng đợc lan truyền theo z không bị biến dạng Do tính đối xứng của linh kiện dẫn sóng tấtcả các trờng độc lập với trục y nên các thành phần của trờng đợc viết:

) (

).

( i t z j

E = ω−β , j=x,y,z , (1.8) ( ) i( t z)

t

E n H t

Thay (1.8) vào (1.9) ta đợc 2 nhóm chứa 3 phơng trình độc lập

Nhóm thứ nhất mô tả các mode điện ngang (mode TE), là các mode mà điện trờng

( )Ey của chúng trực giao với phơng truyền:

iβE y = −iωào H x (a)

i H (b)

x

E

z o

điện trờng Chúng mô tả các mode từ ngang (modeTM) mà từ trờng (H y) của chúng trựcgiao với phơng truyền:

Từ công thức (1.1) có thể thấy sự tồn tại của một từ trờng biến đổi theo thời gian tạimột điểm trong không gian sẽ làm xuất hiện điện trờng tại điểm đó Từ (1.2) chỉ ra tạimột thời điểm, một điện trờng biến đổi theo thời gian sẽ làm xuất hiện một từ trờng Quátrình này diễn tả một trờng điện từ biến đổi theo thời gian trong môi trờng đồng nhất thì

nó tiếp tục lan truyền mãi qua môi trờng thoả mãn hệ phơng trình Maxwell Chúng ta cóthể kết hợp các phơng trình này thành một phơng trình véc tơ mô tả quá trình lan truyềnsóng gọi là phơng trình sóng

Ta lấy Rot cả hai vế của công thức (1.1), (1.2) và sử dụng đồng nhất thức :

( ) ( ) t

E n

H t

2 , , 0 0 2

t

E n

Sử dụng (1.3) ta có 2 0 0 ( , , ) 22

t

E n

0 0 ( , , ) 22

2

t

H n

1.2 Linh kiện dẫn sóng phẳng đối xứng kiểu hố chiết suất

Xét linh kiện dẫn sóng có bề dày là d và chiết suất n1 đồng nhất, lớp nền và lớpphía trên đều là môi trờng bán vô hạn và có cùng một chiết suất n2 <n1

Trớc hết ta xét với các mode TE, sau đó sẽ quy ra kết quả với modeTM

Hình 1.2 Phân bố chiết suất của linh kiện dẫn sóng phẳng đối xứng kiểu hố chiết suất

o z

y E

∂

∂

y o

o y

E x

n x

E

β à

ε

ω (1.17) Đặt k o = ω εoào hằng số lan truyền trong chân không của sóng điện từ có tần số góc là

∂

∂

y o

y

E x

n k x

E

β (1.18)Trớc hết chúng ta thấy phơng trình này đơn biến đối với Ey(x) và chúng ta sẽ giải(1.18) đơn biến với Ey(x) trớc Khi xác định đợc Ey ta tìm các thành phần khác không cònlại Hx và Hz từ các phơng trình (1.16a) và (1.16b) Phơng trình này sẽ thay đổi khác nhautuỳ theo ở trong linh kiện dẫn sóng (chiết suất n1) hay ngoài linh kiện dẫn sóng (chiếtsuất n2) Hay ta có thể viết:

Trong linh kiện dẫn sóng:

2

=

− +

∂

∂

y o

y

E n

k x

∂

∂

y y E x

E

κ (1.19a)Nghiệm của (1.19a) có dạng

) sin(

)

A

E y = κ + κ (1.20) Ngoài linh kiện dẫn sóng x >d2

( 2 2) 0

2 2 2

2

=

− +

∂

∂

y o

y

E n

k x E

β (1.21)

Đặt 2 0

2

2 0

2 = β −k n >

0

2 2

E x

E

γ (1.21a)Nghiệm của (21a) có dạng

Ta thấy điều kiện để một mode truyền trong lõi và không bị rò năng lợng ra lớp vỏ là

β thoả mãn cả hai điều kiện: ( 2 2) 0

2 = β −k n >

2 1 2 2 2 2

k o < β < o (1.24) Điều kiện n 1 > n 2 làm cho hai bất đẳng thức biểu thị trong hệ thức (1.24) có thể xảy

ra Điều kiện này giới hạn trong khoảng giá trị giữa n2k0 và n1k 0 Hay nói cách khác sóng

điện từ sẽ chỉ đợc dẫn khi hằng số lan truyền dọc β nằm trong khoảng các giá trị củahằng số lan truyền tự do trong linh kiện dẫn sóng(k o n1)và trong chất nền (k o n2)

1.2.2 Mode dẫn TE

1 2 2 2 2

k o < β < o ) đợc thoả mãn, các phơng trình truyền sóng đợcviết nh sau:

, 0 :

2

2 2

2

= +

∂

∂

y E x

E d

2

2 2

E d

2

2 0 2

2 = β −k n ≥

γ (1.25b)

Ta đã biết, trong linh kiện dẫn sóng đối xứng [n(x) =n( −x)] thì trờng hoặc là đốixứng [E y( −x) =E y(x)], hoặc là phản đối xứng[E y( −x) = −E y(x)] Mode dẫn sóng TE

cos

0 1

( t z)

i d x

, , (1.27b)

d x

x

x i

, (1.27c)

Số hạng e i(ωt−βz) là chung cho cả hai phía của công thức điều kiện biên và chúng ta

sẽ bỏ qua số hạng này trớc khi viết các công thức phù hợp áp dụng điều kiện biên tại x =d/2 ta có

x

d x C

x A

2 cos( κ (1.28)

Tơng tự ta có: Ht.1 = Ht.2 →Hz.1 = Hz,2 ,

nên .

2

2 )

à ω

2

sin(

0 0

d A

i d A i

κ ωà

γ κ

à ω κ

)

2 cos(

) 2 sin( κ d γ κ d

2

tan(

d

d d

κ

γ κ

2 n n

d k

V = o − , gọi là tần số rút gọn với u,v,V là các đại lợng chuẩn hóa không có đơn vị Các đại lợng này liên hệ với nhau

, , (1.33b)

d x

, , (1.35b)

i( t z)

d x

x

x i

, (1.35c)Các nghiệm này phải thoả mãn các điều kiện biên hay phải thoả mãn các phơngtrình liên tục Biến đổi hoàn toàn, tơng tự ta có

.

u V u

− Vậy phơng trình (1.25) có nghiệm nếu

2 2 cotu V u

− (1.36)

1.2.3 Xác định số mode bằng phơng pháp đồ thị

Đối với mỗi giá trị của tham số V, các phơng trình (1.32) và (1.36) cho phép xác

định các giá trị của tham số u sao cho tồn tại các mode dẫn sóng điện ngang chẵn hay lẻ

- Tham số V gọi là tần số rút gọn, đợc xác định bởi các đặc trng của linh kiện dẫn

(bao gồm độ dày d và các chiết suất n1 và n2), và bởi bớc sóng của ánh sáng trong chânkhông λ 0

- Tham số u xác định dạng của trờng trong linh kiện dẫn sóng nhận đợc thông qua

một trung gian κ

Ta vẽ trên cùng một đồ thị hai hàm của u

- Hàm V2 −u2 biểu thị bằng một cung tròn bán kính V(đờng chấm trên đồ thị),

- Hàm u tan u (đờng kẻ liền trên đồ thị), các giao điểm của nó với đồ thị thứ nhất sẽxác định các mode đối xứng có thể truyền qua linh kiện dẫn sóng

- Hàm −u cot u (đờng chấm gạch trên đồ thị ), các giao điểm của nó với đồ thị thứnhất sẽ xác định các mode bất đối xứng có thể truyền qua linh kiện dẫn sóng

-Hình 1.2- Giải bằng đồ thị và biểu diễn các nghiệm U(V)

Vậy, với mỗi giá trị của V, ta xác định đợc số lợng mode đối xứng và phản đối xứng có

thể truyền qua linh kiện dẫn sóng và các giá trị tơng ứng của u

Trên hình 1.2.b cho ta các giá trị của hàm u theo hàm của V.

Qua đồ thị chúng ta nhận thấy rằng số lợng các mode là hàm đồng biến của V.

Từ các giá trị của u, có thể tìm thấy hằng số lan truyền pha đối với từng mode tơng

ứng

1.2.4.Chiết suất hiệu dụng và hằng số lan truyền chuẩn hoá

Nếu một sóng lan truyền trong chân không với hằng số lan truyền k0và chính sóngnày lan truyền trong linh kiện dẫn sóng với hằng số lan truyềnβ thì chiết suất hiệu dụng

đợc định nghĩa:

o eff k

n = β

(1.37)Biểu diễn theo hàm của các tham số u và V:

2 2 2 2 1 2 1 2

n ef

Điều kiện dẫn sóng viết với chiết suất hiệu dụng là:

n2≤n eff ≤n1 ( 1 39 )

Tơng tự nh vậy, ta thờng áp dụng hằng số lan truyền chuẩn hoá b:

.1

)

2 2

2 1

3 2 2 2 2

2 1

2 2

2 2

n

n n n n

n

b h o eff

β

(1.40)

Từ (1.40) ta thấy một mode sẽ đợc dẫn nếu 0 ≤b≤ 1

Giá trị b = 0 biểu thị trờng hợp đặc biệt là tần số cắt của mỗi mode.

Hình 1.3a là một ví dụ biểu diễn biến thiên của chiết suất hiệu dụng theo hàm của V ờng biểu diễn biến thiên của b hoàn toàn tơng tự đợc biểu diễn trên hình 1.3b.

Đ-Hình 1.3 Biến thiên của chiết suất hiệu dụng n eff và của hằng số lan truyền chuẩn hoá b theo

hàm của tần số rút gọn V

1.2.5 Các mode TM trong linh kiện dẫn sóng phẳng kiểu hố chiết suất

Hoàn toàn tơng tự nh đối với mode dẫn TE, ta phải giải các phơng trình với cácthành phần ngang của từ trờng Đối với mode TM, Hz = 0, Hy, Ex và Ez khác không Giảsử:

i z i t

y

H = 0, ( ) −β ω Còn Ey và Ex thu đợc từ công thức Maxwell:

i E

Các phơng trình truyền sóng đợc viết: 0 , ,

2

2 2 1 2 2 2

2

2

β κ

(1.42a)

,

0 2

2 2 2 2 2 2

2

2

n k H

n

n u

u = − (1.43a)

Đối với mode TM phản đối xứng: [ ]2

1 2 2 2 2

1 ) (

n

n u

- Các kết quả tính toán cho ta thấy các hằng số lan truyền là khác nhau cỏc mode

TE và TM cựng bậc Điều này được thể hiện rất rừ trong hỡnh 1.5

Hỡnh 1.5: Độ nhạy của hằng số lan truyền rỳt gọn b khi phõn cực; cỏc mode TE được biểu diễn

bằngcỏc đường kẻ liền, cỏc mode TM được biểu diễn bằng đường chấm chấm

- Đối với mỗi linh kiện dẫn súng phẳng đơn mode sẽ cú một mode TE và một modeTM; hai mode này cú cỏc hằng số lan truyền khỏc nhau, điều n y tà ương ứng với tínhlưỡng chiết của linh kiện dẫn sóng

Vớ dụ: Xột một linh kiện dẫn súng cú chiết suất n1 = 1,5 và độ dày d = 0 , 555 àm, được

đặt trong một mụi trường cú chiết suất n2 = 1 Chỳng ta tỡm cỏch cho một bước súng

m

à

λ0 = 1 , 3 truyền qua linh kiện dẫn này.

Trong trường hợp này, tần số rỳt gọn là V ≈3 Chỳng ta cú một linh kiện dẫn đơn

mode: nú chỉ chứa một mode cơ bản và:

mode b n eff

TE 0,6280 1,336

TM 0,4491 1,2495

Vậy ta cú một lưỡng chiết Δneff ≈ 0,09 Độ lệch pha của cỏc mode cơ bản TE và

TM là π đối với một độ dài lan truyền:

Như vậy, tớnh lưỡng chiết của linh kiện dẫn súng là rất lớn

1.2.7 Công suất đợc truyền tải bởi mode

Thông lợng công suất của một sóng điện từ là giá trị trung bình tức thời

<S  > của vectơ Poyuting S=EìH

Công suất đợc truyền tải bởi mode này chính là tích phân của thông lợng

a Công suất trong một mode TE.

Trong các trờng hợp này, thành phần khác không của các trờng là:

E y =E y(x) cos( ωt− βz),

) cos(

) (x t z E

) (

z t dx

x dE

( 1 1 )

2 2

)

1 2

(

2 0

2

u V

d A

d A P

o

o TE

− +

= +

=

ωà

β γ

ωà

β

, (1.47)với γ là hệ số dập tắt

Hoàn toàn tơng tự, với mode đối xứng chúng ta cũng thu đợc kết quả nh trên

b Công suất truyền tải bởi mode TM.

Hoàn toàn tơng tự, ta có công suất truyền tải bởi mode TM là:

1 2 4 2

2 2

2 1 2 2 2

2 1

2

β

n n

n n k n n D a

2

2

= Φ

m m o

( ) 2 2 ( ) ( )

0 2

2

x x

n k dx

x d

m m m

Φ λ (1.49)

Vậy λm là một trị riêng của Φm (x) là các hàm riêng của nó Nh vậy sẽ tồn tại một quan

hệ trực giao giữa các hàm riêng ứng với các trị riêng khác biệt nhau

Từ (1.32) ta có:

( ) 2 2 ( ) ( ) ( ),

0 2

2

x x

x n k dx

x d

m k k

2

dx

x d

m m m

) ( )

dx

x d dx

x d dx

d

m k m

k m

−

k m

κ κ

λ

Vế phải của phơng trình này phải bằng không vì nếu Φm (x) biểu diển mode dẫn sóng thì

0 )

m m

k

m λ λ (1.53) Chuẩn hoá hàm sóng Φm ta đợc:

* ( )

mk k

mà toàn bộ sóng có thể phân tích lên đó giống hệt nhau Để làm đợc điều đó thì phải thêmvào đó các mode dẫn sóng

Còn các mode bức xạ tạo thành một phổ liên tục

Nếu β ≠ β ' thì +∞∫

∞

−

= Φ

∞

− Φ Φ

C m x m (1.55)Xét một trờng tới tại z = 0 và giá trị của nó tại z > 0 là:

=∑ Φ +∫ Φ

m

m m

- Công suất của mode dẫn thứ m tại z = 0 và tại z > 0 sẽ là:

+∞∫

∞

=

= Φ

0

2 2

2 )

m m

2 ) exp(

2 )

z i C

z

m m

m

ωà

β β

ωà

β

(1.56)

Ta thấy công suất của mỗi mode sẽ bất biến bởi sự truyền qua

1.3 Linh kiện dẫn sóng chiết suất bậc hai

1.3.1 Mode của linh kiện dẫn sóng có chiết suất thay đổi thuần tuý bậc hai

ở đây ta xét một linh kiện dẫn sóng có chiết suất n (x) là hàm bậc hai khi x < d2 và là

1

2 2

2

= Φ

d

x n

k dx

x d

o β ; (1.57)

) 2 (

2 )

2

2 1 2 2

2 1 2 2

2

= Φ

d

n k n

k dx

x

2 1

α

β α

− Λ +

ξ

ξ

d d

Phơng trình trị riêng nàycó dạng tơng tự nh phơng trình Schrodinger của một dao động

tử điều hoà một chiều

Phơng trình này có nghiệm nh sau:

Các trị thực là các số lẻ:

Λ = 2m+ 1 và do đó: 1 ( 2 1 ) 2 2

2

1 0

−

=

d k n m k

n

o m

Mode m = 0 tơng ứng với mode gauss,

Mode m biểu thị m bằng 0 theo trục x,

β là phức khi giá trị của m lớn hơn

2

1 2 4

0

d

d k n

Điều này tơng ứng với các mode bị mất

1.3.2 Liên kết của một sóng gauss

Để đơn giản, chúng ta sử dụng ở đây trờng hợp một linh kiện một linh kiện dẫn sónggauss để diễn giải các phép tính công suất truyền trong một mode Chúng ta xét một sóngGauss có cùng độ rộng với mode cơ bản của linh kiện dẫn sóng, nhng lệch đi một bên:

2

1exp)

,0,

2

1 exp )

1 exp 2

!

0 2 2

0

x

x m

E c

2 ( exp ) , (

m

m

H m t

t t

!

0 2 2

0 2

m m

γ γ

Đối với tất cả các giá trị của m, đây là một hàm nghịch biến của sự lệch hàng x0 Khi

sự lệch hàng này bằng 0 thì tất cả công suất đều đợc kết hợp trong mode cơ bản

1.3.3 Tán sắc giữa các mode trong linh kiện dẫn sóng chiết suất thay đổi bậc hai

Khi lan truyền trong linh kiện dẫn sóng, tín hiệu quang bị méo do tác động của tánsắc mode và trể giữa các mode

n m

Chú ý rằng thông thờng thì:

2 2 1

0 2

<<

∆

d k

1

d k n m k

n m

Tức là: 1 ( 2 1 ) 1 2 2 1 ( 1 66 )

1

0 1

1

c

n d

k n

m c

Phơng trình truyền của điện trờng có thể nhận đợc khi sử dụng hệ thức vectơ sau:

trong đó ∆ là toán tử Laplace Hệ thức (1.1a) cho ta:

) (

2

2 2 0

t

E n

grad n E

n E

∆

t

E n E

n grad n grad

Tính toán tơng tự nh vậy khi sử dụng hệ thức vectơ:

Rot(m U) =m Rot U+grad mìU,

dẫn đến phơng trình truyền của từ trờng:

2 2 0 0

2

t

H n H

Rot n

grad n

1 )

, , ( , (1.69) và:

grad n Rot H

n H z y x n

1.4.2 Các thành phần ngang và dọc của trờng

Dù là linh kiện dẫn sóng phẳng mà chúng ta nói đến, hay đối với sợi quang học sẽ

đợc trình bày ở chơng sau, thì ta đều đang xét đến các môi trờng bất biến theo z, mà trong

đó các mode lan truyền đều là các cấu trúc ngang đợc truyền dọc, không biến dạng, cóhằng số lan truyền bằng β Vậy ta biểu diễn phơng trình truyền bằng cách làm xuất hiệncác thành phần dọc và ngang ((E z) và (E t) của trờng Tơng tự , ta sẽ đa vào các thànhphần dọc và ngang của toán tử Laplace:

2 2 2

2 2

=

∆

dz

d dy

d dx

∆ +

2 2

E n

∆ +

n grad E

E n

2 2

2 0

1

Khi đa vào các thành phần của građien: 0 ;0;0 ( )72.1

0 ,

0;

; 0

grad yx

n grad E

n

2 2

2 2

và phơng trình truyền dọc của trờng là:

2 2

2 2 0

n grad E

n

1.4.3 Gần đúng của sự truyền dẫn yếu

Nh vậy, việc giải bài toán trở thành việc giải vế phải của phơng trình truyền dọc Ta

có thể giải bằng cách tiếp cận khi giả sử rằng biến thiên của chiết suất là yếu, tức là chiếtsuất n(x) biến đổi rất ít trong cấu trúc dẫn Nh thế, ta có:

n(x,y) =n1[1 − ∆f(x,y)] với , ( 1 74 )

1

2 1

Trong trờng hợp gần đúng đợc gọi là “dẫn yếu”, ta giả sử rằng sự biến đổi tơng đốicủa chiết xuất (∆) là rất nhỏ so với 1 đến mức mà khi giới hạn ở khai triển bậc nhất đốivới ∆, ta có thể viết nh sau:

( , ) 2[1 2 ( , )] ( 1 75 )

1 2

y x f n y x

Hệ quả của phép gần đúng này là sự dẫn chỉ có thể xảy ra theo các hớng rất gần vớitrục của sóng dẫn, tức là theo các mode bậc thấp Về mặt vật lý, chúng ta giữ ý tởng làmục đích của việc dẫn sóng là phải làm sao cho các giới hạn ngang truyền qua mà tránh

đợc việc chúng bị phân kỳ bởi sự nhiễu xạ Biến thiên của chiết suất cần phải vừa đủ đểthắng đợc hiện tợng nhiễu xạ

Để giải bài toán này ta làm theo cách tơng tự với phần trớc và các khái niệm của hệthức (1.73), khai triển bậc nhất của ∆ sẽ cho ta:

T

T grad f E E

n grad n





2

, ( ,

) , (

0

0

n T z T

T z i

T x y e u H x y e i z u x u E

à

ε β

( 2 2 2) ( , ) 0 ( 1 78 )

+

∆T k n β ψ x y

Ta thấy, các thành phần dọc E z và H z của các trờng đều tỉ lệ với ∆ Trong gần

đúng dẫn yếu, chúng có thể đợc bỏ qua và vì vậy các trờng tổng cộng sẽ là:

( , ) , ( , ) ( ) ( 1 79 )

0

n o T z z i T

T z i

E

à

ε ψ

Nh vậy bằng phơng pháp giải tích thông thờng trong chơng I chúng tôi đã khảo sát

sự lan truyền sóng điện từ trong linh kiện dẫn sóng phẳng và rút ra các kết luận chính sau

đây:

1 Trong linh kiện dẫn sóng phẳng đối xứng có hố chiết suất, điều kiện để sóng điện

từ đợc dẫn là khi hằng số lan truyền dọc β nằm trong khoảng giá trị của hằng số lantruyền tự do trong linh kiện dẫn sóng (k 0 n 1 ) và trong chất nền (k 0 n 2 ) Các kết quả tính toán

cho ta thấy các hằng số lan truyền là khác nhau đối với các mode TE và TM cùng bậc

Đối với mỗi linh kiện dẫn sóng phẳng đơn mode sẽ có một mode TE và một mode

TM, cả hai mode này đều có các hằng số lan truyền khác nhau, điều này có nghĩa là linhkiện dẫn sóng có tính lỡng chiết

2 Trong linh kiện dẫn sóng chiết suất bậc hai, ta thấy các mode của linh kiện dẫnsóng có cùng một vận tốc rất gần nhau, điều này làm giảm thiểu một cách đáng kể sự biếndạng của xung trên đờng truyền

Chơng 2

Sự lan truyền sóng điện từ trong

môI trờng sợi quang

Trong chơng trớc chúng ta đã nghiên cứu sự lan truyền sóng điện từ trong linh kiệndẫn sóng phẳng Trong chơng này chúng ta giả thiết linh kiện dẫn sóng hình trụ – sợidẫn quang Các tia ánh sáng truyền trong lõi sợi quang thuộc một trong hai nhóm Nhómthứ nhất gồm các tia sáng đi qua trục của sợi quang Các tia này gọi là tia kinh tuyến Nh

trên hình 2.1.a ta có hai tia kinh tuyến trong sợi quang bậc thang Nhóm thứ hai là tia

xoắn (skew rays) vì nó không bao giờ đi qua trục sợi quang Nh trên hình 2.1.b, các tia

xoắn không bao giờ sử dụng hết diện tích của sợi quang Các tia này truyền trong cự lylớn hơn các tia kinh tuyến và vì vậy nó bị suy giảm nhiều hơn

(a)

(b)

Hình 2.1 Đờng truyền của tia kinh tuyến (a) và tia xiên (b) trong

sợi quang bậc thang, MM.

2.1 Truyền sóng trong sợi quang dạng bậc

Trong trờng hợp này ta sử dụng toạ độ trụ, khác với trờng hợp ống dẫn sóng phẳng.Bây giờ ta giả thiết có một ống dẫn sóng trụ đợc mô tả theo toạ độ trụ nh trên hình 2.2.Chúng ta xuất phát từ phơng trình Maxwell

t

H E

∂ +

z r

a H t a H t a H t E

rE

a r a a r

φ

µ φ

1 1

Vµ ph¬ng tr×nh sau ®©y cho trêng H

r

r i rH j E H

r∂φ + β φ = − ε

∂ 1

φ

ε

βH j E i

j

φ

β β µε ω

T¬ng tù