Khảo sát một số hiệu ứng phi tuyến xuất hiện trong các nguyên tử được làm gần đúng hai mức khi có trường điện từ kích thích mạnh

Các quá trình hấp thụ và phát xạ ánh sáng của môi trờng vật chất đã đợc giải thích bằng lý thuyết trên cơ sở mẫu Lorentz và lý thuyết cổ điển – khi xem vật chất là tập hợp các lỡng cựcda

1.3.2 Phơng trình quang học Bloch hiệu dụng 22 1.3.3 Ma trận suy giảm ngẫu nhiên khi có thăng giáng pha 25

Chơng II: Những tính chất phi tuyến trong nguyên tử hai mức 28 2.1 Độ cảm điện môi khi có mặt trờng đơn sắc 28 2.2 Sự phụ thuộc phi tuyến của thời gian hồi phục vào trờng kích

2.2.1 Thời gian phục hồi dọc T1 khi có nhiễu của vận tốc pha 36 2.2.2 Thời gian phục hồi ngang T2 khi có nhiễu của vận tốc pha 41 2.3 Phổ huỳnh quang cộng hởng khi có mặt nhiễu vận tốc pha trong

ta tập trung nghiên cứu nhiều hơn cả trong thời gian qua là tơng tác giữa trờng ánhsáng và môi trờng vật chất.

H A Lorentz đã đề xuất mẫu tơng tác trờng ánh sáng với vật chất là trờngtuyến tính, từ đó ông đã hệ thống hoá và giải thích đợc các hiện tợng quang họcnh: khúc xạ, tán xạ, hấp thụ, truyền qua v.v Tuy nhiên cùng với sự phát triển của

khoa học kỹ thuật, nhiều hiện tợng mới liên quan đến tơng tác của ánh sáng vớimôi trờng đợc phát hiện đòi hỏi phải có những sự giải thích chính xác và có sứcthuyết phục hơn Chẳng hạn cuối thế kỷ thứ XIX, chúng ta gặp phải cái gọi là “thảm hoạ tử ngoại”, khi sử dụng các công thức của Rayleigh - Jean về mật độ phổbức xạ của vật đen tuyệt đối Để giải thích các kết quả thực nghiệm, Max Planck,vào năm 1990 cho rằng bức xạ điện từ đợc phát ra dới dạng các lợng tử năng lợng.

Sử dụng quan niệm này, Planck đã đa ra đợc công thức về mật độ bức xạ phù hợpvới thực nghiệm cả ở những vùng tần số thấp và cả ở vùng tần số cao, nghĩa là giảithích đợc và sao không có cái gọi là “ thảm hoạ tử ngoại” Các quá trình hấp thụ

và phát xạ ánh sáng của môi trờng vật chất đã đợc giải thích bằng lý thuyết trên cơ

sở mẫu Lorentz và lý thuyết cổ điển – khi xem vật chất là tập hợp các lỡng cựcdao động tắt dần, hoặc bằng lý thuyết bán cổ điển – khi xem vật chất là tập hợpcác hệ nguyên tử ( phân tử) có các mức năng lợng xác định

Tuy nhiên, các kết quả tính toán bằng lý thuyết về mật độ bức xạ tơng tác giữatrờng ánh sáng với môi trờng ( biểu thức Planck) có sự sai khác so với các kết quảthực nghiệm Lý do của sự sai khác đó là do ngời ta cho rằng quá trình hấp thụ haybức xạ ánh sáng là kết quả của sự chuyển mức năng lợng trong hệ nguyên tử, trong

đó quá trình bức xạ chỉ là quá trình ngẫu nhiên ( tự phát) mà thôi Nhằm mục đíchgiải thích sự sai khác đó, năm 1917 trong một số công trình khoa học của mình,Albert Einstein đã chỉ ra rằng trong quá trình tơng tác giữa trờng ánh sáng và môitrờng không chỉ có sự hấp thụ, sự phát xạ ngẫu nhiên mà còn xuất hiện cả bức xạcỡng bức ( cảm ứng) Chính phát minh này đã mở ra giai đoạn phát triển mới tronglĩnh vực quang học, đó là: nghiên cứu tơng tác cộng hởng của trờng ánh sáng vớimôi trờng, nghiên cứu quá trình khuyếch đại ánh sáng bởi môi trờng, nghiên cứuquá trình phát bức xạ ánh sáng kết hợp (laser) bởi môi trờng hoạt tính trong buồngcộng hởng và tiếp theo đó là nghiên cứu các quá trình quang phi tuyến trong môitrờng điện môi nh: nhân tần số, phát thông số, hấp thụ hai phôtôn, tán xạ Raman c-ỡng bức, v.v… Tất cả các quá trình trên đều là kết quả của tơng tác kết hợp, có

mật độ công suất lớn với môi trờng vật chất Để mô tả và giải thích các quá trìnhhay hiện tợng trên, các tác giả đã sử dụng các lý thuyết khác nhau: cổ điển, bán cổ

điển và lợng tử thông qua các phơng trình truyền sóng: phơng trình dao động tắtdần, phơng trình Maxwell, phơng trình Schrodinger Đặc biệt trong vài chục nămtrở lại đây, khi khảo sát các quá trình cộng hởng quang, về mặt lý thuyết, nhiều tácgiả đã sử dụng phơng trình Bloch quang học và thu đợc những kết quả khá phù hợpvới thực nghiệm Có thể khẳng định rằng hiện nay phơng pháp này là một trongnhững phơng pháp hiệu quả nhất để nghiên cứu tơng tác của trờng laser với hệ lợng

tử

Nhờ sự ra đời của các máy khuyếch đại lợng tử (laser), một lĩnh vực hoàn toànmới về tơng tác cộng hởng của bức xạ với các môi trờng vật chất ra đời Các ánhsáng laser nhờ có tính chất kết hợp và đơn sắc khá lý tởng đã trở thành công cụ rấthữu hiệu trong việc nghiên cứu các hiệu ứng vật lý xảy ra cực nhanh trong các hệnguyên tử Tuy nhiên, các ánh sáng này vẫn không thể đợc xem là nguồn hoàntoàn đơn sắc vì phổ của chúng vẫn có một độ rộng nhất định nào đó, việc nghiêncứu ảnh hởng của các độ rộng phổ này lên các hiệu ứng khác nhau là hết sức cầnthiết và không thể bỏ qua Khi để ý một cách đầy đủ đến độ rộng phổ laser, chúng

ta phải sử dụng lý thuyết lợng tử, đáng tiếc là việc áp dụng lý thuyết này gặp phảikhá nhiều phức tạp về mặt tính toán Chính vì lẽ đó ngời ta đã đề xuất một hớnggiải quyết khá đơn giản bằng cách cho rằng trong tơng tác của trờng với hệ thì tr-ờng đợc xem là một nguồn bên ngoài, đồng thời nguồn này thăng giáng một cáchngẫu nhiên thống kê Khi đó, phơng trình diễn tả sự thay đổi của các thông số của

hệ trở thành những phơng trình vi phân ngẫu nhiên Nhờ việc lấy trung bình cácphơng trình này, ngời ta tìm đợc ảnh hởng của thăng giáng, (tức độ rộng vạch phổ)lên sự thay đổi của các thông số mà ta quan tâm

Một hệ lợng tử có vô số mức năng lợng do đó việc nghiên cứu nó rất phức tạp.Tuy nhiên trong nhiều trờng hợp hệ nguyên tử có thể đa đợc về sự gần đúngnguyên tử hai mức vì những tính chất cơ bản của hệ lợng tử này đã đợc phản ánh

( về nguyên tắc) đủ để đặc trng cho các tính chất cơ bản của hệ Khi khảo sát các

hệ khác, ta chỉ hiệu chỉnh các kết quả đạt đợc ở hệ hai mức Do đó trong đề tài nàytác giả xét sự gần đúng đối với nguyên tử hai mức

Khi xét tơng tác giữa trờng điện từ với nguyên tử thì phụ thuộc vào tính chấtcủa trờng mà các đại lợng đặc trng thay đổi Nếu trờng yếu thì sự thay đổi các đạilợng chỉ ở gần đúng bậc một Khi trờng mạnh nếu chỉ dừng ở sự gần đúng bậc mộtthì cha phản ánh đợc hết các đặc trng của trờng kích thích mạnh đối với nguyên tử

Do đó ta phải xét thêm hệ bậc cao, lúc này xuất hiện sự phụ thuộc phi tuyến củacác thông số của môi trờng lên trờng kích thích Trong trờng hợp này ta chỉ cầnkhảo sát sự gần đúng hai mức khi trờng tơng tác đủ mạnh rồi hiệu chỉnh các kếtquả đạt đợc khi áp dụng cho các hệ khác

Do vậy chúng tôi chọn đề tài “Khảo sát một số hiệu ứng phi tuyến xuất hiện

trong các nguyên tử đợc làm gần đúng hai mức khi có trờng điện từ kích thích mạnh“.

Luận văn bao gồm phần mở đầu, phần nội dung gồm hai chơng và phần kếtluận

Trong chơng I, chúng tôi trỡnh bày tổng quan về ma trận mật độ, đa ra đợcphơng trình quang học Bloch hiệu dụng mô tả quá trình tơng tác của trờng laservới hệ lợng tử hai mức năng lợng khi có mặt nhiễu

Trong chương II, chúng tụi khảo sỏt ảnh hưởng của trường điện từ lờn độcảm điện mụi của mụi trường, lên thời gian hồi phục và phổ huỳnh quang cộng h-ởng khi có nhiễu vận tốc pha trong trờng kích thích mạnh Vỡ sự cú mặt củatrường kớch thớch mạnh nờn chỳng ta cần chỳ ý đến những số hạng bậc cao chứatần số Ra bi (do tần số này tỷ lệ với trường điện Ω =dE0/ ) Điều này cũng cúnghĩa là những sự thay đổi của cỏc đại lượng đặc trưng cho mụi trường đều đượcbiểu hiện dưới dạng cỏc hiệu ứng phi tuyến

Chương 1 Phơng trình quang học trong sự gần đúng nguyên

Loại bất định thứ hai xảy ra khi chúng ta không có thông tin đẩy đủ để xác

định trạng thái của hệ lợng tử Điều này có nghĩa là thông tin đợc biết về hệ không

cho phép chúng ta xác định chính xác hàm sóng của nó Loại bất định này sẽ đợc

xử lý bằng cách dùng ma trận mật độ ( đôi khi còn đợc gọi là toán tử ma trận mật

độ)

Nh vậy, hình thức luận ma trận mật độ là một phơng pháp dùng để tính giá trị

kỳ vọng của các toán tử trong trờng hợp không biết hàm sóng một cách chính xác

Để đa vào khái niệm ma trận mật độ chúng ta hãy xét một hệ lợng tử Trạngthái của hệ đợc đặc trng bởi hàm sóng Ψ (r,t)

Hàm sóng Ψ (r,t) đợc khai triển qua các hàm riêng U n (r) với các giá trịriêng C n (t):

Ψ =∑

n

n

n t U r C

t

(1.1)

ở đây C n (t), U n (r)tơng ứng là trị riêng và hàm riêng của một toán tử A đợc

đặc trng cho một đại lợng vật lý nào đó, nghĩa là:

A U A(r()r,t)C (t)U C(A r)U (r)

n n

n

n n n

Ψ

m n

n n

m m

m n

n m

n

C t

r A

t

r

,

* ,

*

) ( )

( ) ( )

( )

( ) ( ) ( )

, ( )

,

=∑

m n

n mn

m t A C t C

,

* ( ) ( )

Nh vậy là: =∑

n m

n mn

m A C C

A

,

*

(1.2)Nếu chỳng ta khụng biết trạng thỏi chớnh xỏc của hệ thỡ sự thiếu thụng tinnày sẽ được phản ỏnh trong độ bất định về giỏ trị của C n trong khai triển của

tính được giá trị trung bình của giá trị kỳ vọng Cụ thể giá trị trung bình của kỳ

vọng của một toán tử A được xác định như sau:

mn n

, m

n

*

m C A C

nm mn

n m nm mn

n m

n

C A

, ,

Tr Kết quả này được suy ra từ điều kiệnchuẩn hóa

Kiểu lấy trung bình ở trên với một gạch ngang ở trên đầu là lấy trung bìnhtheo tập hợp Quá trình lấy trung bình theo tập hợp về mặt vật lý có thể giải thích

như sau: Người ta tạo ra một tập hợp gồm N hệ (N đủ lớn) sao cho các hệ này

gần như đồng nhất với nhau, theo mức độ mà các thông tin không đầy đủ cóđược cho phép Sau đó để các hệ này tiến hóa theo thời gian Như vậy, mỗi hệđược đặc trưng bởi một hàm trạng thái:

( )r t C( )( ) ( )t U n r

n

j n j

* j m n

* m

N t C t C

Theo cách lý giải vật lý đó thì ma trận mật độ biểu diễn một số khía cạnhxác suất của tập hợp đang xét với phần tử đường chéo ρnn chính là xác suất đểmột trong các hệ đó ở trạng thái U n( )r Các phần tử nằm ngoài đường chéo bằngtrung bình theo tập hợp của n

* m

Trước hết, chúng ta thấy rằng từ toán tử mật độ ta có thể tìm được dạng củađịnh luật bảo toàn xác suất Cụ thể là:

∑C 2 =∑ρ =Trρ = 1

n nn n

Rừ ràng là tổng của cỏc phần tử đường chộo của ma trận mật độ bằng 1 Đối với giỏ trị trung bỡnh của đại lượng cần đo, chỳng ta cú cụng thức:

{ }A Tr A

A C C A

A

nm

nm mn nm

nm m

*

= Ψ Ψ

i ( ) () ( ) () Nhân vô hớng hai vế của phơng trình này với U m (r), đồng thời dùng tính trựcchuẩn của các hàm U n (r) ta có:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

mn n

n n

n

n m

n n n

m n

H t C t

t C i

r U H r U t C r

U r U t C t i

C C t

m

m n

nm

∂

∂ +

1.1.3 Phương trình ma trận mật độ đối với nguyên tử hai mức

Sơ đồ hệ hai mức cú dạng

ωab

a b

Hình 1: Hệ hai mức

Đây là hệ lượng tử đơn giản nhất Hệ này có 2 mức năng lượng dừng,được ký hiệu E a =  ωa(mức díi) và E b =  ωb(mức trªn) Các hàm sóng của haimức này được ký hiệu bởi các véctơ sóng a (mức díi) và b (mức trªn).Các véctơ sóng đã được chuẩn hóa và trực giao với nhau, nghĩa là:

1

=

= b b a

Tính đầy đủ của hệ hai véctơ này được xác định bởi điều kiện:

1

= +b b a

= Ψ Ψ

ab =C C

* a b

* ab







 ρ ρ

ρ ρ

= ρ

bb ba

ab aa

Như vậy, với trường hợp nguyờn tử hai mức, cỏc phần tử ngoài đường chộocủa ma trận mật độ ρab và ρba xỏc định độ phõn cực của nguyờn tử.

Cỏc phương trỡnh tiến triển của ma trận mật độ ở hệ hai mức tự do là:

( a b) ab ab

d

; dt

d ρ = 0 ρ = 0 ρ = − ω − ω ρ

Nghiệm của cỏc phương trỡnh trờn là:

ab bb

ợc mô tả bằng các hàm sóng thông thờng chứ không phải đợc biểu diễn qua cáctoán tử trờng Chúng ta giả thiết rằng chỉ có hai mức năng lợng tơng ứng là W a và

b

W là có liên quan đến tơng tác, nh đợc mô tả trên hình 1 Giả thiết này là hợp lý

khi tần số góc ωl của trờng thoả mãn



a b l

W

~

ω Khi đó ma trận mật độ sẽ đợcrút gọn thành một ma trận 2x2 với các phần tử là : ρaa, ρab, ρba, ρbb

Khi đó Hamiltonian của hệ nguyên tử v trà ường là :

W

W H

0

0 Cờng độ trờng ngoài đợc biểu diễn dới dạng:

dgọi là mômen lỡng cực, E là cờng độ trờng phụ thuộc thời gian

Các phần tử ma trận chéo H t =V( )r đợc lấy bằng không : d aa =d bb = 0, điều này

là thích hợp với các chuyển đổi giữa các trạng thái có tính chẵn lẻ xác định Không

hề mất tính tổng quát ta có thể lấy các hàm riêng sao cho d ba =d ab =d là thực Khi

t dE

H at

Trạng thái của hệ lợng tử hai mức đợc mô tả bằng toán tử ma trận mật độ với

ab aa

ρ ρ

ρ ρ

ρ (1.8)Khi đó ta viết lại (1.7) nh sau :

ρm,n i [ρ ,H]m,n



 = Với m=b,n=a ta có:

bb a ba ba

at a at a ba

t idE i

t dE W W

i

W t dE t

dE W

i H

H H

H i

ρ ρ ρ

ω ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

ρ ρ

−

= +

− +

t idE

ω là tần số chuyển mức của hệ lợng tử Theo cách tơng tự

t idE

sử dụng ma trận mật độ có thuận lợi là nó đợc định nghĩa qua việc lấy trung bìnhtheo tập hợp Theo công thức (1.5) giá trị d đợc xác định bởi :

d =tr( ) ρd = ρab d ba + ρba d ab+ ρaa d aa + ρbb d bb

Do d aa =d bb = 0 ,d ba =d ab =d nên ta có :

d =d( ρba+ ρab)

Bây giờ ta xét (1.9) Giả sử trờng E( )t bị ngắt, ta thấy rằng ρba sẽ giảm và cuối

cùng sẽ dần đến 0 khi sự kết hợp pha tơng đối giữa các hàm riêng trong tập hợp bịmất do va chạm Những va chạm này đợc đặc trng bởi một tính chất là chúng bảotoàn năng lợng (hay độ c trú mức ) trung bình, nhng lại gây ra sự mất thông tin ( vềtập hợp) liên quan tới pha φn trong hàm sóng :

U t r







exp ,

ψ

Những va chạm nh thế lần đầu tiên đợc xem xét trong cộng hởng từ và đợc xem

là nguyên nhân gây nên quá trình hồi phục spin-spin T2 ( theo thói quen T2 đợcgọi là thời gian hồi phục ngang)

Chúng ta sẽ gộp sự mất liên kết pha vào hình thức luận ma trận mật độ bằngcách sửa (1.9) thành [6]:

( ) ( )

2 0

T

t idE

bb aa ba

ba

ρ ρ ρ ρ

ω



 (1.14)Chú ý rằng ρnm =C m*C n , sẽ thấy rằng ρii chính là xác suất tìm một nguyên tử ở

trạng thái i Nếu N là mật độ nguyên tử thì N(ρaa − ρbb)= ∆N trở thành hiệu mật

độ c trú trung bình giữa hai mức

Ký hiệu giá trị cân bằng của ρaa − ρbb là ( ρaa − ρbb) 0 và ta giả sử rằng E( )t tắt,hiệu mật độ c trú ∆N hồi phục về giá trị cân bằng N( ρaa − ρbb) 0 của nó với thờigian hồi phục T1 do đó (1.13) viết lại là :

1

0 2

T

t

ab ba bb

aa

ρ ρ ρ ρ ρ ρ ρ

E( )t =E ωl t = E [exp(iωl t)+ exp(−iωl t)]

2

0 (1.16)Chúng ta thấy rằng dáng điệu của ρba khi không có trờng ngoài (E( )t = 0) là :

t

l ab

ab

l ba

ba

ω σ

ρ

ω σ

( ) ( )

2

0 0

idE

aa bb l

ba

σ ρ ρ ω

T

ab ba aa

bb

ρ ρ ρ ρ σ

σ σ

exp ± Sự bỏ qua các số hạng không đồng bộ này gọi là sự gần đúng sóng

quay (RWA) Rõ ràng sự bỏ qua này là hợp lý về mặt vật lý vì đóng góp của chúnglấy trung bình sẽ bằng không trong thời gian ngắn so với những khoảng thời gian

mà ta quan tâm Về mặt hình thức các phơng trình này là tơng tự nh các phơngtrình Bloch cộng hởng từ đối với các thành phần của mô men từ

ω −

=

2 2

T

w w i

w

T

w i i

T

w i i

eq ab

ba

ab ab

ab

ba ba

ba

−

−

− Ω

∆

=

σ σ

σ σ

σ

σ σ

ba ab

ba ab

w

i v u

ρ ρ

σ σ

σ σ

T

w w v w

w T

v v v

T

u v u

eq

−

− Ω

−

=

Ω +

2 2

/ 0 0 /

1 0 0

0 /

1 0

0 0 /

1 0 0

0

0 0

T w w v u T T T w

v u

Phơng trình (1.23) đợc gọi là phơng trình quang học Bloch

Phơng trình (1.21) và (1.23) là các phơng trình xuất phát cho việc nghiên cứu

t-ơng tác của trờng ánh sáng laser với hệ lợng tử

1.3 Phương trình quang học Bloch hiệu dụng.

1.3.1.Nhiễu trong một quá trình vật lý [5].

Quá trình ngẫu nhiên trong vật lý là quá trình mà ở đó, sự thay đổi trạng tháicủa một đại lợng vật lý theo thời gian ( thăng giáng của đại lợng vật lý) xảy ra mộtcách ngẫu nhiên không theo một quy luật nào cho trớc.

Vì sự thay đổi này không theo một quy luật nào cả nên khi cần tính toán đến

ảnh hởng của các thăng giáng này chúng ta không thể sử dụng một công cụ toánhọc nào để mô tả ảnh hởng đó Muốn lu ý đến các ảnh hởng của các thăng giángnày, chúng ta phải lợng hoá chúng để đa chúng vào trong các phơng trình tính toán

sự thay đổi của các đại lợng vật lý theo thời gian

Giả sử x là một biến ngẫu nhiên Hàm f (x) đợc gọi là hàm ngẫu nhiên nếu giátrị của nó không phụ thuộc vào biến số x Nghĩa là ở một giá trị của x, hàm f (x)

có thể nhận ngẫu nhiên các giá trị khác nhau Khi đó ta có thể nói về xác suất để ởgiá trị x cho trớc, f (x) có giá trị nằm trong khoảng từ f (x) tới f(x) +df(x) là baonhiêu Nếu đại lợng ngẫu nhiên là hàm của thời gian thì khi đó quá trình đợc mô tảbởi hàm ngẫu nhiên theo thời gian ( thông thờng đợc gọi là quá trình ngẫu nhiên)

Đại lợng quang trọng nhất đặc trng cho các quá trình ngẫu nhiên là hàm tơngquan Hàm tơng quan K( τ ) đợc định nghĩa là giá trị trung bình của tích các hàmngẫu nhiên ở hai thời điểm khác nhau t và t' (t' =t + τ ) :

Hay K(t) = f(t+ τ )f(t)

ở đâyτ có thể nhận giá trị âm hay dơng.

Nh vậy hàm tơng quan chính là số đo định lợng mối liên kết giữa hai giá trị củahàm ngẫu nhiên ở các thời điểm kế tiếp nhau Nếu τ đủ lớn để các giá trị của hàmngẫu nhiên ở thời điểm t' (t' =t + τ )và t không phụ thuộc vào nhau, thì :

K( τ ) = f(t+ τ )f(t) = f(t+ τ ) f(t) = 0

Còn khi τ = 0 , (t' =t) thì : K( 0 ) = f 2 (t) nghĩa là K( τ ) trùng với trung bìnhcủa bình phơng hàm ngẫu nhiên f (t)

Dạng cụ thể của hàm tơng quan phụ thuộc vào tính chất của quá trình ngẫunhiên Ta có thể khai triển hàm ngẫu nhiên f (t) qua tích phân Fourie:

=−+∞∫∞ = +∞∫

0

2 (t) I( ω )dω 2 I( ω )dω

f Hàm I( ω ) đợc gọi là mật độ phổ với các tính chất :

∞

−

+

= ' exp ( ' ) ( ) ( ' ) )

1 ) ' ( )

π ω

Thay vào biểu thức của f 2 ( )t

ta đợc : +∞∫

1 )

( ) exp(

2

1 )

Thông thờng thăng giáng của một đại lợng vật lý đợc ký hiệu là x( )t Khi đó,nếu nó thay đổi theo một quy luật nào đó, thì sự thay đổi đó sẽ đợc biểu diễn quahàm tơng quan : x(t)x(t' ) Biết chúng ta sẽ tính đợc ảnh hởng của nó vào sựthay đổi của đại lợng liên quan đến nó.

Có hai loại hàm tơng quan : Hàm tơng quan cổ điển và hàm tơng quan lợng tử.Hàm tơng quan của đại lợng vĩ mô (cổ điển) đợc gọi là hàm tơng quan cổ điển.Chẳng hạn nh hàm tơng quan liên quan đến cờng độ dòng điện tại hai thời điểmkhác nhau I(t)I(t' ) là một hàm tơng quan cổ điển Nếu t =t' thì ta sẽ có

E t

I

t

I( ) ( ' ) = chính là cờng độ sáng tại thời điểm t

Hàm tơng quan liên quan đến đại lợng vi mô đợc gọi là hàm tơng quan lợng tử.Chẳng hạn hàm tơng quang liên quan đến các thăng giáng vi mô của các thông số

động lực của một hệ lợng tử đợc gọi là các hàm tơng quan lợng tử

Nh chúng ta biết, trong quá trình khảo sát tơng tác của hệ lợng tử với trờng,việc tính toán ảnh hởng của các thăng giáng của các thông số khác nhau là mộtyêu cầu không thể bỏ qua Tuy nhiên về phơng diện lý thuyết, việc đa thêm cácnhiễu vào sẽ làm cho phơng trình quang học Bloch trở nên khá phức tạp Để trìnhbày cụ thể vấn đề này, trớc hết chúng ta giới thiệu hàm tơng quan tơng ứng với một

số loại nhiễu nh sau :

đây τc là thời gian kết hợp, tức thời gian khi hai giá trị nhiễu ở hai thời điểm kếtiếp còn có quan hệ với nhau ( τc =T/ 2 ) còn τ =t' −t Nh vậy đại lợng bổ sung làthay đổi ngẫu nhiên theo hai giá trị a và -a, x(t) = 0 Ta có nhận xét là khi τ → 0

và a2 τc →const=D thì nhiễu telegraph trở về nhiễu trắng

1.3.2 Phương trình quang học Bloch hiệu dụng

Phơng trình (1.23) là đúng cho trờng hợp lý tởng, khi cờng độ, pha và tần sốcủa trờng kích thích là hoàn toàn đơn sắc và các mức năng lợng của hệ lợng tửkhông suy biến Trong thực tế không phải nh vậy, do nhiều nguyên nhân, cácthông số thờng có thể thăng giáng và các mức năng lợng của hệ có thể suy biến vớimột độ rộng phổ nào đó Sự mở rộng đó có thể là do va chạm, do sự mở rộng tựnhiên, mở rộng Doppler,…vì vậy để sát với thực tế chúng ta phải chú ý bổ sung ảnhhởng của các thăng giáng này vào trong phơng trình, tức là chúng ta phải đa thêmvào ma trận suy giảm tơng ứng với các thăng giáng Các thăng giáng còn có têngọi khác là nhiễu Sự có mặt của các thăng giáng (nhiễu) trong các phơng trình, vềphơng diện toán học, đợc kí hiệu bằng đại lợng x( )t Kết quả của việc lấy trungbình thống kê các phơng trình có chứa nhiễu phụ thuộc vào tính chất của loại nhiễu

mà ta khảo sát Phơng trình chứa thêm các ma trận suy giảm gọi là phơng trìnhBloch hiệu dụng

S x t M M

t x

M( ( )) ( ) Trong đó M S là ma trận chứa các phần tử kết hợp ( bao gồm các thành phầnkhông đổi của các thông số : độ lệch tần ∆, tần số Rabi Ω liên quan đến cờng độtrờng ngoài và hệ số Einstein A đặc trng cho sự suy giảm tự phát (phân rã ngẫunhiên) Ma trận M x sẽ chứa các thông số nhiễu

Ta xét các trờng hợp chỉ có một thăng giáng Khi đó ta có:

iM S ( 0 ) exp ( ) ( )( ) ( ) )

) ( 0

) (

( )

(

) ( )

( )

(

ia t

Y

t Y iM t

V iM t

V

c S x

x S

z

z Y iM z V iM V

z V z

c S x

x S

~ 1 )

(

~

~

) (

~ )

0 ( ) (

+

c S x

iM z M a iM z z V V

τ

1 1

~

Nghiệm của nó có dạng qua biến đổi Laplace:

M iM z

e i

dz t

V

x c S

x S

zt

τ

π

+ +

+ +

=∫

Khi chỉ quan tâm đến động học gần trạng thái dừng hoặc khi các thời gian thamgia trong hiện tợng đủ dài để Y( )t giảm chậm hơn so với V( )t , từ công thức của( )t

Y ta có thể làm gần đúng đoạn nhiệt, nghĩa là đặt Y( )t = 0 Từ đó ta có :

( ) M V( )t

iM

ia t

−

=

Thay vào biểu thức đạo hàm của giá trị trung bình của V( )t ta đợc:

( ) M V( )t

iM M a iM t

c S x S

iM

M a

τ

1

1 2

+

−

= Σ

(1.25)

Σ đợc gọi là ma trận suy giảm ngẫu nhiên Ma trận này phụ thuộc vào tínhchất của các thăng giáng của các đại lợng mà ta khảo sát sự biến thiên của chúng.Dới ảnh hởng của các thăng giáng, các thời gian hồi phục sẽ phụ thuộc vào dạngcủa ma trận này Phơng trình (1.24) chứa ma trận suy giảm này gọi là phơng trìnhquang học Bloch hiệu dụng

1.3.3 Ma trận suy giảm ngẫu nhiên khi có thăng giáng pha.

Để khảo sát ảnh hởng của nhiễu pha, chúng ta cần lu ý là trong trờng hợp tổngquát thì tần số Rabi đợc biểu diễn dới dạng phức hợp Khi đó phơng trình (1.21) đ-

ợc viết lại là:

2

) 2 (

* 21 21

w i A

−

σ  (1.26) w= −A(w+ 1 ) +i( σ21Ω − σ12Ω *)

Bằng cách chuyển sang các biến số u ,,v w phơng trình (1.26) ta viết lại đợclà:

( *)2

2

w i

u A v

u = − ∆ − − Ω − Ω

( *)2

2

w v

A u

v = ∆ − + Ω + Ω (1.27)

w=−A(w+1 )+iu(Ω −2Ω*)−v(Ω +2Ω*)

Vì tần số Rabi là phức nên để thuận tiện cho việc tính nhiễu pha ta đặt

) ) , * i t

Ω − , trong đó φ(t)đợc xem là một nhiễu telegraph với biên độ

ma trận −iM Svà M xtrong trờng hợp có tồn tại nhiễu pha là:

a A

A

iM S

cos 0

cos 2

0 2

0 0 0

1 0 0

sin a

i

M X χ Thay vào công thức (1.25) ta tính đợc ma trận suy giảm ngẫu nhiên:

Γ Γ

= Σ

33 31

13 11

0

0 0 0

0

(1.28)Trong đó:

2 11

) 2

1 ( sin

∆ + +

A

2 2 2

2 33

cos )

1 )(

2

1 ( sin

χ τ

τ χ

+ + +

13 =−χ ∆ χ

Γ (1.29)

2 sin 2a Pcosa

13 31

χ

= Γ

1 ( 2

2

A a

A A

P

C C

C

+ +

Từ công thức (1.28) ta thấy khi có thăng giáng pha, ma trận suy giảm có xuấthiện các thành phần Γ 11 , Γ 13 , Γ 31 , Γ 33, nghĩa là thăng giáng pha của trờng ngoài đãgây nên sự suy giảm các thành phần u, v và w

Điều đặc biệt ở đây là các thời gian hồi phục dọc T1và ngang u

T2 thay đổi:

P

A a

A T

C u

2 2 2

2 2

) 2

1 ( sin 2

A a

A T

C C

2 2 2

2 2 1

cos )

1 ( ) 2

1 ( sin

τ τ

χ

+ + +

không ảnh hởng lên thành phần v

T2

1 Giá trị của chúng không những phụ thuộcvào các thông số nhiễu mà còn phụ thuộc vào cờng độ của trờng ánh sáng kíchthích Còn thành phần T2v