CHỨNG MINH NGƯỢC *Lưu ý: Ta có quyền chọn một trong hai cách đều chính xác,cách 1 kí hiệu 1,cách 2 kí hiệu 2.. dxdy +C dy.[r]
Trang 1Định lý 3.1.4.2:
Cho F(x,y)=P(x,y)i+Q(x,y)j trên một miền mở liên thông đơn D,giả sử P,Q
có các đạo hàm riêng cấp một liên tục và:
∂ P
∂ y=
∂ Q
∂ x
trên toàn miền D , khi đó F bảo toàn Và tồn tại một hàm f(x,y) sao cho
∇ f =F .
Hàm f(x,y) sẽ được xác định như sau:
-Chú ý :Dấu ngoặc vuông trong * có nghĩa là “hoặc”.
Chứng minh cho công thức * ở trên :
Theo định nghĩa ta có:
Khi cho hàm F(x,y)=P(x,y)i + Q(x,y)j và F bảo toàn, ta có thể tách P,Q thành:
{ f x=P(x , y)=α (x)+β (x , y )+C (∗)
f y=Q(x , y )=δ ( y )+ε (x , y)+C _ (**)
* Nghĩa là: Đối với P(x,y) ta chỉ dồn riêng biến x về một cụm và đặt là
α (x) , còn lại là hàm chứa biến y hoặc cả biến y và biến x và đặt thành
β (x , y ). Tương tự cho Q(x,y) ta cũng chia ra được như trên.
Mà theo định lý ta có: ∂ P ∂ y=∂ Q
∂ x (1)
Khi đạo hàm P(x,y) ta chỉ tính biến y có trong P(x,y) còn lại xem như bỏ qua
vì đạo hàm theo y nên biến x,const đều bị triệt tiêu và (*) trở thành:
∂ P
∂ y=
∂ β (x , y )
∂ y (2)
Tương tự khi đạo hàm Q(x,y) ta chỉ tính biến x và xem như bỏ qua biến y ,const và (**) trở thành:
*
∫dx∂ Qdx dy
∫∂ P ∂ y dy dx
¿
Q dy −¿
P dx+∫¿
f (x , y )=∫¿
Trang 2∂ x=
∂ ε(x , y)
∂ x (3)
Từ (1),(2),(3) ta có :
∂ ε(x , y )
∂ x = ∂ β (x , y)
∂ y (5) Lấy nguyên hàm 2 vế ta được:
∫ε(x , y ) dy=∫β (x , y ) dx (4)
Mà:
f (x , y )=∫P(x , y).dx +h( y)
⇔ f (x , y)=∫ [α (x)+β (x , y )+C] dx+h( y )
⇒ f (x , y)=∫α (x) dx+∫β (x , y ).dx +Cx+h( y)
Vì (4) nên f(x,y) trở thành :
⇒ f (x , y)=∫α (x) dx+∫ε(x , y ) dy +Cx+h ( y)
Đạo hàm f(x,y) theo y ta có:
Q(x , y )=ε(x , y )+h '( y )
⇒h '( y)=Q(x, y )− ε(x , y)=δ( y)+ε (x , y )− ε(x , y)+C=δ ( y)+C
[δ( y)+¿C ] dy
⇒ f (x , y)=∫ [α (x)+β (x , y )+C] dx+∫¿⇔f ( x, y)=∫ [α (x)+β (x , y )+C] dx+∫ [δ ( y )+ε(x , y)+C]dy −∫ε (x , y ) dy
⇔f ( x , y)=∫ [α (x)+β (x , y )+C]dx+∫ [δ( y )+ε (x , y )+C]dy −∫dx∂ ε( x , y).dxdy
⇒ f (x , y )=∫P dx+∫Q dy −∫dx∂ Q dxdy
Vì (5) nên f(x,y) cũng có thể viết lại là :
f (x , y )=∫P dx +∫Q dy −∫dx∂Q.dxdy=∫P dx+∫Q dy −∫dy∂ P dxdy (đpcm)
Trang 31/Theo một số định lý cơ bản trong tích phân đường ta có:
C.Khi đó:
∫
C
∇f dr=f(r(b))− f(r (a))
Nếu theo công thức như đã chứng minh ta có:
∫
C
∇f dr=∫
a
b
P(x (t), y (t)) dx (t)+∫
a
b
Q(x (t), y (t)) dy (t)−∫
a
b
∂ P(x (t), y (t))
∫
C
∇ f dr=f (x2, y2)− f (x1, y1)
Nếu theo công thức đã chứng minh ta có :
∫
C
∇f dr= ∫
x 1, y 1)
(x 2, y 2)
P dx+ ∫
x 1, y 1)
(x 2, y 2)
Q dy − ∫
x 1 , y 1)
(x 2 , y 2)
∂ Q
dx dxdy
Trang 4CHỨNG MINH NGƯỢC
*Lưu ý: Ta có quyền chọn một trong hai cách đều chính xác,cách 1 kí hiệu (1),cách 2 kí hiệu (2).
Ta có :
¿
f (x , y )=∫P dx +∫Q dy −∫dy∂ P dxdy +C
¿
(1)
Đạo hàm f theo x ta có:
¿
f ' x=∫P dx
dx+∫∂ Q dy
dx−∫dy dx∂ P dxdy
⇔ f ' x=P+∫∂ Q dy
dx −∫∂ P
¿
Để f ' x=P thì :
∫∂ Q dy
dx −∫∂ P=0
⇒∂ Q dy
dx=∂ P
⇒ ∂ Q
dx =
∂ P
dy Theo định lý nên :
∫∂ Q dy
dx −∫∂ P=0
Hoặc với :
Trang 5f (x , y )=∫P dx +∫Q dy −∫dx∂Q.dxdy (2) Đạo hàm f theo x ta có :
f ' x=P+∫dx∂ Q dy −∫dx∂ Q dy
⇒ f ' x=P
*Đạo hàm (1) theo y ta có :
f ' y=∫dy∂ P dx +Q −∫dy∂ P.dx
⇒ f ' y=Q
Đạo hàm (2) theo y ta có:
¿
f ' y=∫dy∂ P dx +Q −∫∂ Q
¿
Lập luận tương tự ta được :
f ' y=Q