Thiết Kế & Đánh Giá Thuật ToánĐường Đi Ngắn NhấtTS. Lê Nguyên KhôiTrường Đại Học Công Nghệ - ĐHQGHN

Nội Dung Đường đi  Tính chất đường đi ngắn nhất  Đường đi ngắn nhất từ một đỉnh  Thuật toán Dijkstra  Đường đi ngắn nhất giữa mọi đỉnh  Thuật toán Floyd–Warshall 1... Đường Đi Ngắn

Thiết Kế & Đánh Giá Thuật Toán

Đường Đi Ngắn Nhất

TS Lê Nguyên Khôi Trường Đại Học Công Nghệ - ĐHQGHN

Nội Dung

 Đường đi

 Tính chất đường đi ngắn nhất

 Đường đi ngắn nhất từ một đỉnh

 Thuật toán Dijkstra

 Đường đi ngắn nhất giữa mọi đỉnh

 Thuật toán Floyd–Warshall

1

Đường Đi – Định Nghĩa

Trong đồ thị vô hướng

trong đó đỉnh đầu tiên phân biệt và

2

Đường Đi – Trọng Số

Đồ thị có hướng với hàm trọng sốcung Trọng số của đường đi

được định nghĩa:

Ví dụ:

3

Đường Đi Ngắn Nhất – Định Nghĩa

Đường đi ngắn nhất từ đến là đường

Đường Đi Ngắn Nhất – Tính Chất

Cấu trúc con tối ưu

 Một đường đi con của một đường đi

Đường Đi Ngắn Nhất – Tính Chất

Cấu trúc con tối ưu – chứng minh

 Chia thành các đoạn con

 Khi đó,

 Giả sử có đường từ đến , với trọng số

đến với trọng số nhỏ hơn

 Mâu thuẫn với giả thiết đường đi ngắn nhất

6

Đường Đi Ngắn Nhất – Tính Chất

Bất đẳng thức tam giác

 Với mọi đỉnh , ta có

7

Đường Đi Ngắn Nhất – Tính Chất

Trọng số âm

 Nếu đồ thị có chu trình với trọng số âm, một

số đường đi ngắn nhất có thể không tồn tại

8

Đường Đi Ngắn Nhất Từ Một Đỉnh Nguồn

 Bài toán Từ một đỉnh nguồn , tìm

đường đi ngắn nhất (trọng số ) tớimọi đỉnh

 Nếu tất cả các trọng số không âm, thì mọi đường đi ngắn nhất tồn tại

 Áp dụng chiến lược tham lam có thể tìm

được lời giải tối ưu

 Do đường đi ngắn nhất có tính chất cấu trúc

con tối ưu

9

Đường Đi Ngắn Nhất Từ Một Đỉnh Nguồn

 Chiến lược tham lam:

1 Duy trì một tập là các đỉnh sao cho độ

dài đường đi ngắn nhất từ là xác định

2 Mỗi bước, thêm vào tập đỉnh

sao cho đường đi từ đến là nhỏ nhất

3 Cập nhật khoảng cách từ đến các đỉnh

liền kề

10

Chiến Lược Tham Lam

8

1

Chiến Lược Tham Lam

8

1

Chiến Lược Tham Lam

8

1

Chiến Lược Tham Lam

8

1

Chiến Lược Tham Lam

8

1

Thuật Toán Dijkstra

 Gọi đường đi từ tới đỉnh là đường đi đặc biệt nếu đường đi đó chỉ đi qua các đỉnh trong

 Dùng mảng : Độ dài đường đi từ tới lưu

trong

16

Thuật Toán Dijkstra

 Dùng mảng : Độ dài đường đi từ tới lưu

trong

 Tại mỗi bước:

 Chọn một đỉnh sao cho nhỏ nhất

 Thêm vào , khi đó lưu đường đi ngắn nhất từ

đến

 Sau đó xác định lại các với

 Lặp lại cho tới khi gồm tất cả các đỉnh của đồ thị

17

Thuật Toán Dijkstra – Bài Tập 18

Thuật Toán Dijkstra – Mã Giả

Đồ Thị Không Trọng Số

được thuật toán Dijkstra không?

 Sử dụng hàng đợi FIFO thay vì hàng đợi ưu tiên

Tìm Kiếm Theo Bề Rộng – Minh Họa 21

Đường Đi Ngắn Nhất Giữa Mọi Cặp Đỉnh

Từ một đỉnh nguồn

 Thuật toán Dijkstra’s

Giữa mọi cặp đỉnh

 Thuật toán Dijkstra’s lần

 Chiến lược tham lam

 Thuật toán Floyd-Warshall

 Chiến lược quy hoạch động

22

Thuật Toán Floyd-Warshall – Minh Họa

5

Thuật Toán Floyd-Warshall – Minh Họa24

5

Thuật Toán Floyd-Warshall – Minh Họa25

5

Thuật Toán Floyd-Warshall – Minh Họa26

5

Thuật Toán Floyd-Warshall – Minh Họa27

5

Thuật Toán Floyd-Warshall

Định nghĩa trọng số đường đi ngắnnhất từ tới chỉ đi qua các đỉnh trong tậpđỉnh

Khi đó,

Ban đầu

28

Thuật Toán Floyd-Warshall

 Nếu đỉnh nằm trên đường đi ngắn nhất từ tới thì đường đi từ tới và đường đi từ tới là đường đi ngắn nhất

 Nếu là độ dài đường đi không qua , tức là

đường đi này chỉ đi qua các đỉnh trong , khi đó

 Nếu là độ dài đường đi qua , thì trên đường

đi này đoạn từ tới có độ dài , còn đoạn từ tới có độ dài

 Do đó

29

Thuật Toán Floyd-Warshall – Mã Giả