PHÂN TÍCH TĨNH TẤM CÓ SƯỜN DÙNG PHẦN TỬ MISQ20 VÀ PHẦN TỬ DẦM TIMOSHENKO TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT XÂY DỰNG

Mục tiêu nghiên cứu: Mục tiêu của nghiên cứu này nhằm khảo sát khả năng ứng dụng của phần tử tấm tứ giác trơn 4 nút MISQ20 cho các bài toán phân tích tuyến tính kết cấu tấm có sườn chị

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ XÂY DỰNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TP HỒ CHÍ MINH

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BỘ XÂY DỰNG

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KIẾN TRÚC TP HỒ CHÍ MINH

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KỸ THUẬT XÂY DỰNG

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VĂN HIẾU

TP Hồ Chí Minh – 2020

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU 1

1.1 Giới thiệu 1

1.2 Mục tiêu nghiên cứu: 1

1.3 Phương pháp nghiên cứu: 1

1.4 Ý nghĩa của đề tài: 1

1.5 Nội dung trong luận văn được trình bày như sau: 1

CHƯƠNG 2: TỔNG QUAN 2

2.1 Sự phát triển của phần tử tấm vỏ 2

2.2 Phân tích tuyến tính kết cấu tấm có sườn 2

2.3 Phần tử hữu hạn trơn 2

2.4 Tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước 2

CHƯƠNG 3: CƠ SỞ LÝ THUYẾT 3

3.1 Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (Mindlin-Reissner) cho tấm 3

3.2 Công thức phần tử hữu hạn Q4 cho tấm 4

3.2.1 Phần tử Q4 chịu lực màng 4

3.2.2 Phần tử Q4 chịu uốn theo lý thuyết của Mindlin-Reissner 5

3.3 Công thức phần tử hữu hạn trơn MISQ20 8

3.4 Công thức phần tử hữu hạn cho dầm Timoshenko 12

3.5 Kết nối hai phần tử để tạo công thức phần tử hữu hạn cho tấm có sườn 13

CHƯƠNG 4: MÔ PHỎNG SỐ 14

4.1 Phân tích tĩnh học tấm vuông gia cường một dầm 14

4.2 Phân tích tĩnh học tấm vuông gia cường hai dầm 15

4.3 Phân tích tấm vuông gia cường một dầm với điều kiện biên khác nhau 16

4.4 Phân tích tĩnh học tấm vuông gia cường hai dầm với điều kiện

biên khác nhau 18

4.5 Code MATLAB 20

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 20

5.1 Kết luận 20

5.2 Kiến nghị 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO

CHƯƠNG 1: GIỚI THIỆU

1.1 Giới thiệu

Nhờ có ưu điểm nổi bật về khả năng chịu lực trong khi chi phí về vật liệu và trọng lượng kết cấu được giảm ở mức đáng kể mà các kết cấu tấm có sườn đã được sử dụng rất phổ biến ở hầu hết các ứng dụng trong

kỹ thuật và đời sống Ngày nay, các kết cấu tấm có sườn đã được sử dụng rộng rãi trong nhiều ngành kỹ thuật kết cấu như máy bay, tàu, nhà, cầu,…

1.2 Mục tiêu nghiên cứu:

Mục tiêu của nghiên cứu này nhằm khảo sát khả năng ứng dụng của phần tử tấm tứ giác trơn 4 nút MISQ20 cho các bài toán phân tích tuyến tính kết cấu tấm có sườn chịu tải trọng tĩnh

1.3 Phương pháp nghiên cứu:

Áp dụng phần tử MISQ20 và phần tử dầm Timoshenko để phân tích tĩnh kết cấu tấm

1.4 Ý nghĩa của đề tài:

Tính mới: Điểm mới của đề tài là lần đầu tiên sử dụng phần tử trơn MISQ20 kết hợp phần tử dầm Timoshenko để phân tích các bài toán tĩnh của kết cấu tấm có sử dụng lưới đều một cách tổng quát

Tính thời sự: Việc đề xuất các mô hình phần tử hữu hạn chính xác, hiệu quả và đáng tin cậy trong phân tích kết cấu tấm luôn là một thách thức trong tính toán cơ học

Ý nghĩa khoa học: Kết quả nghiên cứu này sẽ tạo cơ sở làm tiền đề cho các nghiên cứu sâu thêm về phân tích tĩnh và ứng xử tĩnh cho kết cấu Điều này góp phần cho việc tiếp tục cải tiến không ngừng cho các nghiên cứu áp dụng phần tử hữu hạn trơn MISQ20

1.5 Nội dung trong luận văn được trình bày như sau:

Chương 1 Giới thiệu

CHƯƠNG 2: TỔNG QUAN

2.1 Sự phát triển của phần tử tấm vỏ

Một báo cáo tổng hợp khá đầy đủ về nghiên cứu phát triển các loại phần tử tấm/vỏ trong suốt 20 năm qua đã được Yang và các cộng sự thực hiện [1] Những nghiên cứu mở rộng và chi tiết hơn có thể tìm thấy trong báo cáo của Gal và Levy [2] hoặc bài báo của Zhang và Yang [3] Theo khảo sát của các nghiên cứu [4-15], phần tử phẳng thường được sử dụng rộng rãi vì tính chất dễ kết hợp với các loại phần tử khác cũng như

sự đơn giản trong công thức và hiệu quả trong tính toán

2.2 Phân tích tuyến tính kết cấu tấm có sườn

Các phương pháp phân tích hoặc bán phân tích đã được sử dụng

để phân tích các tấm có sườn Ramakrishnan và Kunukkasseril [16] trình bày một phương pháp phân tích để phân tích dao động tự do của sàn tàu và kết quả của họ được so sánh với kết quả thực nghiệm

2.3 Phần tử hữu hạn trơn

Trong những năm gần đây, phương pháp phần tử hữu hạn trơn

đã được đề xuất và phát triển bởi G.R.Liu và các cộng sự tại trung tâm tính toán kỹ thuật cao (ACES) thuộc đại học quốc gia Singapore (NUS) Phần tử MISQ20 của tác giả Nguyễn Văn Hiếu đã được phát triển song song từ những nghiên cứu của Nguyễn Xuân Hùng và các cộng sự dựa trên phần tử tấm tứ giác được làm trơn dùng cho phân tích tuyến tính

2.4 Tổng quan tình hình nghiên cứu trong nước

Tác giả Nguyễn Văn Hiếu và công sự đã phân tích phi tuyến hình học kết cấu tấm vỏ bằng phương pháp phần tử hữu hạn dùng phần tử tứ giác trơn

Tác giả Nguyễn Thời Trung còn sử dụng phương pháp phần tử trơn cắt khoảng (cell-based smoothed discrete shear gap method CS -DSG3) để phân tích tĩnh và phân tích rung động của tấm Reissner – Mindlin

Tác giả Tôn Thất Hoàng Lân, Nguyễn Văn Hiếu, Châu Đình Thành “Phân tích tĩnh và ổn định tấm có sườn bằng phần tử MISQ24

CHƯƠNG 3: CƠ SỞ LÝ THUYẾT

3.1 Lý thuyết biến dạng cắt bậc nhất (Mindlin-Reissner) cho tấm

x ,x

y ,y

w w

Hình 3.2 Phần tử đẳng tham số 4 nút

Chuyển vị u, v theo 2 phương x, y được nội suy từ chuyển vị của

bốn nút ui, vi bởi các hàm nội suy Ni

( ) ( )

4

1 4

Và các thành phần biến dạng trong mặt phẳng có được từ đạo

hàm của chuyển vị theo tọa độ

4 1

i ,x

i ,y i ,x

N N

phần tử được tính

12

2

m= e mem e− e

Π q K q q f (3.13) (3.13) trong đó độ cứng màng của phần tử: T

3.2.2 Phần tử Q4 chịu uốn theo lý thuyết của Mindlin-Reissner

Hình 3.3 Phần tử tấm chịu uốn dạng tứ giác 4 nút

Các thành phần chuyển vị cũng được nội suy từ thành phần

chuyển vị tương ứng của bốn nút bởi các hàm nội suy Ni

Và qi =   wi xi yi  là vector chuyển vị nút của phần tử

Biến dạng trong mặt phẳng phần tử được xấp xỉ từ chuyển vị

nút phần tử

xz s yz

0 00

i ,x

N N

i ,x i si

phẳng phần tử khi uốn với vật liệu đồng chất đẳng hướng được thể hiện

1 01

Và mối quan hệ đàn hồi tuyến tính giữa ứng suất tiếp ngoài mặt

phẳng và biến dạng trượt khi uốn cũng được biểu diễn qua biểu thức

bố đều trên diện tích p, được tính theo công thức

Với hệ số điều chỉnh k = s 5 6 cho vật liệu đẳng hướng

Thế năng toàn phần của phần tử được viết lại như sau:

Từ đó, độ cứng của phần tử tấm được thiết lập với 2 thành phần

tương ứng với biến dạng uốn và biến dạng cắt

𝐊𝐪 = 𝐅 (3.30) (3.30) Trong đó K là ma trận độ cứng của phần tử tấm và F là vector

lực nút, được đưa ra như sau:

𝐊 = 𝐊𝒃+ 𝐊𝒔= ∫ 𝐁𝜴 𝒑𝐃𝒑𝐁𝐩𝒅𝜴+ 𝒌 ∫ 𝐁𝜴 𝐬𝐓𝐃𝒔𝐁𝐬𝒅𝜴 (3.31)

𝐅 = ∫ 𝐍𝜴 𝐓𝒑𝒅𝜴 (3.32)

3.3 Công thức phần tử hữu hạn trơn MISQ20

3.3.1 Biến dạng màng trơn

Miền C là miền phần tử làm trơn để thực hiện tính toán trơn Tùy vào

phân tích ổn định, C có thể là toàn bộ phần tử hoặc một phần của

phần tử  là hàm làm trơn cho trước thỏa ít nhất tính chất thống nhất

=  là diện tích miền phần tử trơn (subcell)

Hình 3.4 Sự chia nhỏ phần tử ra thành ncphần tử con và giá trị hàm

dạng tại các nút

Theo cách tiếp cận của phương pháp phần tử hữu hạn trơn,

miền C của một phần tử tứ giác sẽ được chia nhỏ ra thành nc các

phần tử con như trên Hình 3.4 Sau đó trường biến dạng tổng quát sẽ

được làm trơn bằng cách trung bình hóa trường biến dạng gốc trên mỗi

miền phần tử con (subcells) dùng làm trơn:

Xấp xỉ biến dạng màng tuyến tính theo 4 nút như phần tử hữu

hạn phẳng 4 nút thông thường và áp dụng định lý divergence ta được

biến dạng màng trơn tuyến tính dưới dạng:

vuông góc với đường biên d

Dùng tích phân số 1 điểm Gauss để tích phân phương trình trên

dọc theo 4 cạnh biên của một phần tử con ta thu được:

( )

( ) ( ) ( )

trong đó xG m

và

C m

l là các điểm giữa (điểm Gauss) và chiều dài cạnh biên

d 

3.3.2 Biến dạng trơn uốn

Khi thay thế xấp xỉ biến dạng và áp dụng định lí divergence ta thu được biến dạng trơn uốn dưới dạng:

Trong đó: C là biên của miền phần tử làm trơn C

Từ đó quan hệ giữa trường biến dạng trơn uốn và chuyển vị nút được viết lại như sau:

Với n nx, y là các thành phần của vector pháp tuyến đơn vị n

vuông góc với đường biên d

Dùng tích phân số 1 điểm Gauss để tích phân phương trình trên dọc theo 4 cạnh biên của một phần tử con, Bmi( ) xC và Bbi( ) xC viết lại như sau:

C y

J là ma trận Jacobi và các điểm A, B, C, D là trung điểm các cạnh

phần tử trên Hình 3.5 Bằng cách mô tả A,   B, C, D theo trường xấp

xỉ chuyển vị q ta thu được ma trận:

Hình 3.5 Trung điểm dùng để nội suy các biến dạng trượt ngang

Ma trận độ cứng phần tử có thể được biến đổi như sau:

𝑲̃ = 𝑲̃𝑚+ 𝑲̃𝑏+ 𝑲̃𝑠 (3.52) (3.56)

3.4 Công thức phần tử hữu hạn cho dầm Timoshenko

Các nội suy của trường chuyển vị trong một phần tử eth trong hệ

tọa độ tự nhiên là:

𝑢𝑆𝑡𝑒 = ∑2𝑖=1𝜙𝑖𝐼5𝑑𝑆𝑡𝑖 (3.53)

Mà 𝑑𝑆𝑡𝑖 = [𝑢𝑟 𝑢𝑠 𝑢𝑧 𝛽𝑟 𝛽𝑠]𝑇 là vector chuyển vị của nút

ith của các phần tử eth là các hàm dạng tuyến tính trong hệ tọa độ tự

nhiên xác định bởi

𝜙1=12(1 − 𝜉), 𝜙2=12(1 + 𝜉), 𝜉 ∈ [−1,1] (3.54) của sườn cứng thành các phần tử và thay thế phương trình vào phương trình, chúng ta có độ cứng, khối lượng và ma trận hình học của sườn cứng, tương ứng như sau:

CHƯƠNG 4: MÔ PHỎNG SỐ

4.1 Phân tích tĩnh học tấm vuông gia cường một dầm

Xét tấm hình chữ nhật tựa đơn gia cường bằng một dầm hình chữ nhật như Hình 4.1 Tấm chịu tải phân bố đều

=6.89476 10 N/mm

p  − Tấm nền và dầm gia cường có cùng mô-đun đàn hồi E = 1.1721 10 N/mm  5 2 và hệ số Poisson



=

− với tlà bề dày của tấm Hình 4.2 thể hiện sự hội

tụ của độ võng đã chuẩn hóa bằng phần tử Kết quả cũng cho thấy, tấm gia cường lệch tâm có độ cứng lớn hơn hẳn so với tấm gia cường đồng tâm

Hình 4.1 Tấm vuông tựa đơn

gia cường bằng một dầm

Hình 4.2 Sự hội tụ của độ võng tại tâm chuẩn hóa của tấm gia

Sai số tương đối

so với [51] (%) 8x8 0.02021

Theo Hình 4.3 và 4.4 thì độ võng theo phương đứng (phương Y) của tấm có 1 sườn theo phương ngang (phương X) cũng giảm rất đáng kể theo như Hình 4.4 Vì vậy, ta có thể kết luận là ảnh hưởng tác động của sườn theo phương ngang lên phương đứng là rất đáng kể Từ

đó ta có thể nhận thấy rằng việc gia cường thêm 1 sườn theo phương đứng (phương Y) để giảm độ võng là không cần thiết

Hình 4.3 Đường võng giữa tấm

theo phương X

Hình 4.4 Đường võng giữa tấm

theo phương Y

4.2 Phân tích tĩnh học tấm vuông gia cường hai dầm

Xét tấm hình chữ nhật được ngàm bốn cạnh và được gia cường bằng hai dầm hình chữ nhật như Hình 4.5

0.0462

2.1763

Hình 4.5

Hình học và kích thước của tấm gia cường hai gân bị ngàm

ở bốn cạnh

Các kết quả số thu được với việc mô phỏng hệ lưới 24x24 bằng phần tử MISQ20 sẽ được so sánh với các phần tử MISQ24 của Tôn Thất Hoàng Lân (sử dụng phần tử hữu hạn trơn 6 bậc tự do) [51] ở Bảng 4.2

a) CSCS: Cạnh trái và cạnh phải là liên kết ngàm, cạnh dưới và cạnh trên là tựa đơn

b) SSSS: Bốn cạnh tựa đơn

Hình 4.8 Tấm vuông gia cường bằng một dầm

Kết quả khảo sát phân tích tĩnh trường hợp liên kết CSCS với đường võng giữa tấm khi có và không có sườn theo hai phương được thể hiện trên Hình 4.9 (theo phương X) và Hình 4.10 (theo phương Y)

Hình 4.9 Đường võng giữa tấm

theo phương X Hình 4.10 Đường võng giữa tấm theo phương Y

Tương tự Kết quả khảo sát phân tích tĩnh trường hợp liên kết SSSS với đường võng giữa tấm khi có và không có sườn theo hai phương được thể hiện trên Hình 4.11 và Hình 4.12

Mặt cắt A-A

Bảng 4.3 So sánh độ võng tại tâm tấm có 1 sườn gia cường

với các điều kiện biên khác nhau

4.4 Phân tích tĩnh học tấm vuông gia cường hai dầm với điều kiện biên khác nhau

Xét tấm hình chữ nhật gia cường bằng hai dầm hình chữ nhật như Hình 4.13 Tấm chịu tải phân bố đều 3 2

=6.89476 10 N/mm

Tấm được xét với hai trường hợp điều kiện biên như sau:

a) CSCS: Cạnh trái và cạnh phải là liên kết ngàm, cạnh dưới và cạnh trên là tựa đơn

b) SSSS: Bốn cạnh tựa đơn

Hình 4.13 Tấm vuông gia cường bằng hai dầm

Kết quả khảo sát phân tích tĩnh trường hợp liên kết CSCS với đường võng giữa tấm khi có và không có sườn theo hai phương được thể hiện trên Hình 4.14 (theo phương X) và Hình 4.15 (theo phương Y)

Mặt cắt A-A

Bảng 4.4 So sánh độ võng tại tâm tấm có 2 sườn gia cường

với các điều kiện biên khác nhau

4.5 Code MATLAB (Nguồn code: PGS TS Nguyễn Văn Hiếu)

CHƯƠNG 5: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

5.1 Kết luận

Việc sử dụng phần tử hữu hạn trơn MISQ20 và phần tử dầm Timoshenko để phân phân tích và tính toán tĩnh tấm có sườn đối với từng trường hợp theo các ví dụ trên cho kết quả tương đối khá sát đối với các kết quả của những nghiên cứu trước đây

Ảnh hưởng của sườn theo phương ngang lên chuyển vị của tấm theo phương đứng là rất đáng kể nên sẽ góp phần xem xét việc bố trí thêm sườn đứng để giảm chuyển vị Tác dụng của sườn gia cường lên kết cấu tấm chịu uốn là rất đáng kể khi có thể giúp giảm độ võng khoảng 44 lần so với tấm không có sườn

Phần tử sử dụng là phần tử tứ giác bốn nút nên giảm được số lượng phần tử do vậy đem lại hiệu quả hơn về thời gian thực hiện tính toán so với các phần tử 3 nút Ngoài ra, phần tử cũng đạt được yêu cầu đơn giản hơn trong tính toán so với phần tử tứ giác có thêm góc xoay trong mặt phẳng như MISQ24 chẳng hạn

5.2 Kiến nghị

Luận văn mới chỉ xét được tấm hình vuông với sườn đặt theo phương ngang mà chưa xét phương đứng, phương xiên và kết hợp nhiều phương của sườn gia cường

Nên xem xét phân tích phi tuyến hình học các loại tấm có sườn Nên xem xét phân tích tĩnh tuyến tính hình học của một số dạng tấm đặc biệt khác như: tấm gấp, tấm tròn rỗng, tấm vuông rỗng, vỏ trụ,

vỏ lõm để hoàn thiện thêm cho nghiên cứu

Cần mở rộng thêm các nghiên cứu vật liệu khác nhau như vật liệu composite, vật liệu FGM,

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] H T Y Yang, S Saigal, A Masud, R K Kapania, "A survey of recent shell element," International Journal for Numerical Methods in Engineering 47, pp 101-127, 2000

[2] E Gal, R Levy,, "Geometrically nonlinear analysis of shell structures using a flat triangular shell finite element," Archives of Computational Methods in Engineering 13, pp 33-388, 2006

[3] Y X Zhang, C H Yang, "Recent developments in finite element analysis for laminated composite plates," Composite Structures 88, vol

1, pp 147-157, 2009

[4] E Providas, M A Kattis, "An assessment of two fundamental flat triangular shell elements with drilling rotations," Computers and Structures 77, pp 129-139, 2000

[5] G Horrigmoe, P G Bergan, "Nonlinear analysis of free-form shells

by flat finite elements," Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 16, pp 11-35, 1978

[6] C.-K Choi, T.-Y Lee, "Efficient remedy for membrane locking of 4-node flat shell elements by non-conforming modes," Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering 192, pp 1961-1971,

2003

[7] A Pica, R D Wood, E Hinton, "Finite element analysis of geometrically nonlinear plate behavior using a Mindlin formulation," Computational Mechanics 11, pp 203-215, 1980

[8] H Schoop, "A simple nonlinear flat element for large displacement structures," Computers & Structures 32, pp 379-385, 1989