Giáo trình kỹ thuật điều khiển tự động cho ngành Điện Tử - Viễn Thông

NXB : Đại Học Quốc Gia Hà Nội

LỜI NÓI ĐẦU

Kỹ thuật điều khiển là một lĩnh vực kỹ thuật đặc biệt, bởi vì nó gắn liền với nhiều ngành khoa học nghiên cứu về các hệ thống động rất đa dạng về bản chất, như các hệ thống cơ khí, điện, điện tử, các quá trình hóa học và sinh học, và cả các hệ thống kinh tế, chính trị và xã hội Vì vậy, phạm vi ứng dụng của kỹ thuật điều khiển cũng rất rộng lớn, từ các lĩnh vực kỹ thuật như năng lượng điện, điện tử, viễn thông, cơ khí đến các vấn đề mang tính xã hội

Kỹ thuật điều khiển sử dụng mô hình toán học của các hệ thống động trong việc phân tích hành vi của hệ thống, trên cơ sở đó áp dụng các lý thuyết điều khiển để xây dựng các bộ điều khiển nhằm làm cho hệ thống hoạt động như được

mong muốn Lý thuyết điều khiển cổ điển tập trung vào các vấn đề của điều khiển phản hồi Mặc dù những cơ sở toán học của lý thuyết điều khiển phản hồi đã xuất

hiện từ thế kỷ 19 và nhất là trong những năm 1920-1940, như mô hình phương trình vi phân của các hệ thống động, lý thuyết về tính ổn định, các phương pháp phân tích trong miền tần số , những năm sau chiến tranh thế giới lần thứ hai cho đến thập kỷ 60 của thế kỷ 20 mới được coi là giai đoạn phát triển thực sự của lý thuyết điều khiển cổ điển với sự ra đời của các công cụ phân tích và thiết kế hệ

thống Đặc điểm cơ bản của lý thuyết điều khiển cổ điển là việc sử dụng các phương pháp trong miền tần số, dựa trên phép biến đổi Laplace Chính do đặc điểm đó nên lý thuyết điều khiển cổ điển chỉ thích hợp cho các hệ thống tuyến tính bất biến

Thập kỷ 60 của thế kỷ 20 là thời điểm đánh dấu sự mở đầu của kỷ nguyên không gian trong lịch sử của loài người Kể từ đây, kỹ thuật điều khiển bước vào một giai đoạn mới − giai đoạn phát triển của lý thuyết điều khiển hiện đại Hai

khái niệm quan trọng nhất trong kỹ thuật điều khiển hiện đại là các phương pháp trong miền thời gian và điều khiển số Việc thiết kế các hệ thống điều khiển phi

tuyến phức tạp, ví dụ như hệ thống điều khiển quỹ đạo của vệ tinh nhân tạo, vượt quá khả năng của các phương pháp cổ điển Các phương pháp trong miền thời

gian, sử dụng mô hình biến trạng thái, đã vượt qua được những hạn chế của lý thuyết điều khiển cổ điển khi đối mặt với các hệ thống phi tuyến Với sự phát

triển mạnh mẽ của các lĩnh vực ứng dụng của điều khiển phi tuyến như trong kỹ thuật hàng không vũ trụ hay robotics, vai trò của các phương pháp trong miền thời gian cũng trở nên ngày càng chiếm ưu thế so với các phương pháp trong miền tần số trong kỹ thuật điều khiển hiện đại Ngày nay, thật khó tưởng tượng việc xây dựng một hệ thống điều khiển nếu thiếu đi máy tính hay các bộ vi điều khiển Các lý thuyết của điều khiển số gắn liền với sự ra đời của máy tính, và cùng với sự phổ biến ngày càng rộng rãi của các hệ thống điều khiển sử dụng máy tính, điều khiển số đã trở thành lĩnh vực quan trọng hàng đầu của kỹ thuật điều khiển Ngoài ra, kỹ thuật điều khiển hiện đại còn quan tâm tới những vấn đề

như điều khiển thích nghi và điều khiển tối ưu, do các hệ thống cần điều khiển

ngày càng trở nên phức tạp, không thể mô hình hóa được một cách chính xác, và

do tính hiệu quả đối với nhiều hệ thống điều khiển hiện đại được xem là chỉ tiêu chất lượng quan trọng nhất

Cuốn sách này được biên soạn với mục đích làm tài liệu giáo khoa nhập môn

kỹ thuật điều khiển cho sinh viên các chuyên ngành kỹ thuật Phần lớn nội dung của sách được biên soạn dựa trên hai cuốn sách được chọn làm giáo trình chính cho môn học kỹ thuật điều khiển bậc đại học tại nhiều trường đại học lớn trên thế

giới là Modern Control Systems của Richard C Dorf và Feedback Control of Dynamic Systems của Gene F Franklin et al Tài liệu này đã được duyệt đưa vào

giảng dạy cho sinh viên chuyên ngành Điện tử - Viễn thông tại trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội Các lý thuyết điều khiển được giới thiệu ở đây là những lý thuyết chung, có thể áp dụng cho nhiều lĩnh vực khác nhau chứ không thiên về một chuyên ngành nào Nội dung của sách sẽ chỉ giới hạn trong phạm vi các vấn đề của điều khiển các hệ thống tuyến tính bất biến Giới hạn đó

là cần thiết đối với môn học đầu tiên của kỹ thuật điều khiển, nhằm tránh cho sinh viên khỏi bị choáng ngợp trước quá nhiều vấn đề khi mới bắt đầu làm quen với lĩnh vực này Nội dung lý thuyết trong sách được chia làm ba phần chính: các

mô hình toán học của hệ thống động (Chương II, III), phân tích (Chương IV đến IX) và thiết kế hệ thống điều khiển phản hồi (Chương X, XI) Do đối tượng nghiên cứu là các hệ thống tuyến tính bất biến, phần lớn nội dung lý thuyết trong sách sẽ là lý thuyết điều khiển cổ điển, bao gồm: mô hình hàm chuyển dựa trên phép biến đổi Laplace (Chương II), phương pháp Routh-Hurwitz phân tích tính

ổn định của hệ thống trong miền tần số (Chương VI), phương pháp quỹ tích nghiệm (Chương VII), các phương pháp dựa trên đáp ứng tần số (Chương VIII, IX), và các phương pháp thiết kế trong miền tần số (Chương X) Để giúp sinh viên bước đầu tiếp cận với một số khái niệm của lý thuyết điều khiển hiện đại, cuốn sách có đưa ra giới thiệu một số nội dung về mô hình biến trạng thái (Chương III), các phương pháp phân tích và thiết kế hệ thống dựa trên mô hình biến trạng thái (một phần chương VI và toàn bộ chương XI) và điều khiển số (Chương XII) Mặc dù việc đặt các khái niệm này vào trong khuôn khổ của các

hệ thống tuyến tính bất biến không làm nổi lên được sự ưu việt của các công cụ hiện đại so với các công cụ cổ điển cũng như các vấn đề của kỹ thuật điều khiển hiện đại, việc giới thiệu chúng vẫn là tiền đề cần thiết cho các môn tiếp theo trong hệ thống môn học của kỹ thuật điều khiển mà nội dung sẽ bao gồm các lĩnh vực của kỹ thuật điều khiển hiện đại như điều khiển số, điều khiển phi tuyến, điều khiển thích nghi và điều khiển tối ưu

Một phần rất quan trọng thường có trong các môn học về kỹ thuật điều khiển

là giới thiệu cho sinh viên các công cụ phân tích, thiết kế và mô phỏng hệ thống điều khiển trên máy tính Điều đó sẽ giúp môn học trở nên lý thú hơn và có tính

thực tiễn cao hơn Trong cuốn sách này này, phần mềm MATLAB của hãng MathWorks và bộ chương trình Control System Toolbox của MATLAB được

chọn làm công cụ thực hành MATLAB là bộ phần mềm tính toán phục vụ cho nhiều lĩnh vực kỹ thuật khác nhau, vì vậy phần lớn sinh viên các chuyên ngành

kỹ thuật đều quen thuộc với MATLAB Bộ chương trình công cụ Control System Toolbox được xây dựng trong môi trường MATLAB như một công cụ phân tích, thiết kế và mô phỏng các hệ thống tuyến tính bất biến, sử dụng các phương pháp trong miền tần số và cả các phương pháp trong miền thời gian Như vậy, bộ công

cụ phần mềm này rất phù hợp với nội dung của cuốn sách

Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn các đồng nghiệp tại Khoa Điện tử - Viễn thông, Trường Đại học Công nghệ, đặc biệt là Giáo sư Huỳnh Hữu Tuệ và Tiến sỹ Trần Quang Vinh, đã giúp đỡ tác giả hoàn thành cuốn sách này Mọi ý kiến đóng góp về nội dung của sách, xin gửi về cho tác giả tại Bộ môn Xử lý thông tin, Khoa Điện tử - Viễn thông, Trường Đại học Công nghệ, Đại học Quốc gia Hà Nội

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

CHƯƠNG I GIỚI THIỆU VỀ CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN 7

1.1 Giới thiệu 7

1.2 Lịch sử của điều khiển tự động 9

1.3 Ví dụ về các hệ thống điều khiển hiện đại 11

CHƯƠNG II MÔ HÌNH TOÁN HỌC CỦA HỆ THỐNG 15

2.1 Giới thiệu 15

2.2 Phương trình vi phân của các hệ thống vật lý 16

2.3 Xấp xỉ tuyến tính của các hệ thống vật lý 18

2.4 Biến đổi Laplace 20

2.5 Hàm chuyển của các hệ thống tuyến tính 25

2.6 Mô hình sơ đồ khối 30

2.7 Mô hình lưu đồ tín hiệu 34

CHƯƠNG III CÁC MÔ HÌNH BIẾN TRẠNG THÁI 44

3.1 Giới thiệu 44

3.2 Biến trạng thái của một hệ thống động 45

3.3 Phương trình vi phân của vector trạng thái 47

3.4 Đáp ứng theo thời gian rời rạc 50

CHƯƠNG IV ĐẶC TRƯNG CỦA CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI 53

4.1 Hệ thống điều khiển vòng hở và vòng kín 53

4.2 Độ nhạy của hệ thống điều khiển đối với sự biến thiên của các tham số 54

4.3 Điều khiển đáp ứng nhất thời 57

4.4 Tín hiệu nhiễu trong hệ thống điều khiển phản hồi 59

4.5 Sai số ở trạng thái thường trực 62

CHƯƠNG V HIỆU SUẤT CỦA CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI 66

5.1 Giới thiệu 66

5.2 Mô tả hiệu suất trong miền thời gian 67

5.3 Chỉ số hiệu suất 74

5.4 Sai số ở trạng thái thường trực của hệ thống điều khiển phản hồi 76

CHƯƠNG VI TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ THỐNG PHẢN HỒI TUYẾN TÍNH 80

6.1 Khái niệm về tính ổn định 80

6.2 Điều kiện ổn định Routh-Hurwitz 81

6.3 Tính ổn định của hệ thống trong miền thời gian 84

6.4 Tính ổn định tương đối của các hệ thống điều khiển phản hồi 86

CHƯƠNG VII PHƯƠNG PHÁP QUỸ TÍCH NGHIỆM 88

7.1 Giới thiệu 88

7.2 Khái niệm quỹ tích nghiệm 88

7.3 Phương pháp quỹ tích nghiệm 91

7.4 Thiết kế tham số bằng phương pháp quỹ tích nghiệm 94

7.5 Độ nhạy và quỹ tích nghiệm 95

CHƯƠNG VIII CÁC PHƯƠNG PHÁP ĐÁP ỨNG TẦN SỐ 99

8.1 Giới thiệu 99

8.2 Đồ thị của đáp ứng tần số 101

8.3 Mô tả hiệu suất trong miền tần số 108

CHƯƠNG IX TÍNH ỔN ĐỊNH TRONG MIỀN TẦN SỐ 113

9.1 Giới thiệu 113

9.2 Ánh xạ của các chu tuyến trong mặt phẳng s 114

9.3 Điều kiện Nyquist 117

9.4 Tính ổn định tương đối và điều kiện Nyquist 120

9.5 Đáp ứng tần số của hệ thống vòng kín 126

9.6 Tính ổn định của hệ thống điều khiển với trễ 129

CHƯƠNG X THIẾT KẾ CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI TRONG MIỀN TẦN SỐ 132

10.1 Giới thiệu 132

10.2 Các phương pháp bù 133

10.3 Các mạch bù nối tiếp 134

10.4 Bù trên đồ thị Bode sử dụng mạch sớm pha 140

10.5 Bù trong mặt phẳng s sử dụng mạch sớm pha 144

10.6 Phương pháp bù sử dụng mạch tích phân 146

10.7 Bù trong mặt phẳng s sử dụng mạch chậm pha 149

10.8 Bù trên đồ thị Bode sử dụng mạch chậm pha 151

10.9 Mạch bù sớm-chậm pha và bộ điều khiển PID 153

CHƯƠNG XI THIẾT KẾ CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN PHẢN HỒI TRONG KHÔNG GIAN TRẠNG THÁI 157

11.1 Giới thiệu 157

11.2 Tính điều khiển được và tính quan sát được 158

11.3 Sự triệt tiêu điểm cực-điểm không 161

11.4 Các phương trình biến trạng thái tương đương 163

11.5 Đặt điểm cực bằng phản hồi trạng thái 164

11.6 Điều khiển tối ưu bậc hai 169

CHƯƠNG XII HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN SỐ 173

12.1 Giới thiệu 173

12.2 Hệ thống lấy mẫu 174

12.3 Biến đổi z 175

12.4 Biến đổi z nghịch 179

12.5 Phân tích tính ổn định của hệ thống trong mặt phẳng z 180

12.6 Tính ổn định và hiệu suất của hệ thống lấy mẫu bậc hai 182

PHỤ LỤC A GIỚI THIỆU MATLAB VÀ BỘ CHƯƠNG TRÌNH CONTROL SYSTEM TOOLBOX CỦA MATLAB 185

A.1 Giới thiệu 185

A.2 Sử dụng MATLAB 186

A.3 Thiết lập các mô hình hệ thống bằng Control System Toolbox 194

A.4 Phân tích mô hình 201

A.5 Thiết kế hệ thống điều khiển 203

TÀI LIỆU THAM KHẢO 206

Chương I

GIỚI THIỆU VỀ CÁC HỆ THỐNG ĐIỀU KHIỂN

Tóm tắt nội dung

Mục đích của chương là giới thiệu một cách khái quát về các phương pháp thiết

kế và xây dựng hệ thống điều khiển

Để hiểu được mục đích của hệ thống điều khiển, chúng ta sẽ xem xét các ví

dụ về các hệ thống điều khiển trong lịch sử phát triển của loài người Thậm chí cả những hệ thống xuất hiện sớm nhất cũng đã bao gồm ý tưởng về phản hồi, một khái niệm có ý nghĩa trung tâm đối với toàn bộ cuốn sách này

Ứng dụng của kỹ thuật điều khiển hiện đại bao gồm việc sử dụng các chiến lược điều khiển cho các thiết bị trong nhiều lĩnh vực như hàng không, công nghiệp luyện kim, y học Trong chương này, chúng ta sẽ đề cập tới nhiều ứng dụng thú vị của kỹ thuật điều khiển

1.1 Giới thiệu

Nhiệm vụ của các kỹ sư điều khiển là hiểu rõ và điều khiển các thành phần của

môi trường làm việc, thường được gọi là các hệ thống, nhằm tạo ra những sản

phẩm có ích cho xã hội Để có thể điều khiển một cách hữu hiệu, các hệ thống cần điều khiển phải được mô hình hóa, vì vậy sự hiểu biết bản chất và nguyên lý hoạt động của các hệ thống là vô cùng quan trọng Trong thực tế, kỹ thuật điều khiển còn được áp dụng cho những hệ thống mà hoạt động của chúng chưa được

lý giải hoàn toàn, ví dụ như một số quy trình hóa học Thách thức đối với kỹ thuật điều khiển ngày nay là mô hình hóa và điều khiển các hệ thống hiện đại, phức tạp, có nhiều quan hệ tương hỗ, như các hệ thống điều khiển giao thông, các quá trình hóa học, hay các hệ thống robot Tuy nhiên, lĩnh vực lớn nhất của

kỹ thuật điều khiển vẫn là các hệ thống tự động hóa công nghiệp, một lĩnh vực đã

và đang phát triển mạnh mẽ, mang lại nhiều lợi ích cho nền kinh tế và xã hội

Lý thuyết điều khiển dựa trên các nền tảng của lý thuyết phản hồi và phân tích hệ thống tuyến tính, kết hợp các khái niệm của mạng truyền dữ liệu và lý thuyết truyền thông Vì vậy, phạm vi của kỹ thuật điều khiển không hạn chế trong một ngành kỹ thuật cụ thể nào mà có thể áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như hàng không, hóa học, cơ học, môi trường, xây dựng, điện và điện tử

Ví dụ, chúng ta thường gặp các hệ thống điều khiển trong đó bao gồm các bộ phận điện, cơ học và cả hóa học Ngoài ra, những kiến thức ngày càng tăng về động lực của các hệ thống chính trị, xã hội và thương mại cho phép mở ra khả năng ứng dụng của kỹ thuật điều khiển trong các hệ thống như vậy

Một hệ thống điều khiển (control system) là một liên kết của nhiều thành

phần, tạo nên một cấu hình hệ thống có khả năng đáp ứng một yêu cầu nhất định

Cơ sở để thực hiện việc phân tích một hệ thống là kiến thức nền tảng cung cấp bởi lý thuyết hệ thống tuyến tính, trong đó giả thiết mối quan hệ giữa các thành

phần của hệ thống là mối quan hệ nhân-quả Một thành phần hay quá trình (process) cần được điều khiển có thể biểu diễn bằng một khối có đầu vào và đầu

ra (Hình 1.1) Quan hệ vào-ra thể hiện mối quan hệ nhân-quả của quá trình, trong

đó tín hiệu vào được xử lý nhằm tạo ra một tín hiệu ra, thường là với công suất

đã được khuyếch đại Một hệ thống điều khiển kiểu vòng hở (open-loop) sử dụng

một bộ điều khiển nhằm điều khiển một quá trình đáp ứng một yêu cầu xác định trước được thể hiện trong Hình 1.2

Quá trình Vào Ra

Hình 1.1 Quá trình cần điều khiển

Trái với các hệ thống điều khiển vòng hở, một hệ thống điều khiển kiểu vòng kín (closed-loop) sử dụng thêm một giá trị đo của tín hiệu ra thực sự để so sánh

với đáp ứng đầu ra được mong muốn cho quá trình cần điều khiển Giá trị đo này

được gọi là tín hiệu phản hồi (feedback signal) Sơ đồ của một hệ thống điều

khiển phản hồi kiểu vòng kín được thể hiện trong Hình 1.3

Định nghĩa: một hệ thống điều khiển phản hồi là một hệ thống điều khiển có khuynh hướng duy trì một mối quan hệ được định trước giữa các giá trị biến thiên của hệ thống bằng các phép so sánh giữa các giá trị này, sử dụng sự sai khác như một phương thức điều khiển

So sánh

Hệ đo

Hệ thống điều khiển phản hồi thường sử dụng hàm mô tả một mối quan hệ xác định trước giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào đối sánh để điều khiển quá trình Thường thì sự sai khác giữa tín hiệu ra của quá trình và tín hiệu vào đối sánh được khuyếch đại và sử dụng để điều khiển quá trình sao cho sự sai khác liên tục giảm Khái niệm phản hồi được coi là nền tảng cho việc phân tích và thiết kế các

hệ thống điều khiển

Do sự phức tạp của các hệ thống cần điều khiển ngày càng lớn và việc đạt được hiệu suất tối ưu của các hệ thống ngày càng được quan tâm, tầm quan trọng của kỹ thuật điều khiển đã và đang gia tăng một cách nhanh chóng Khi các hệ thống trở nên phức tạp, chúng ta cần xem xét tới mối quan hệ giữa nhiều biến cần

điều khiển của hệ thống Những hệ thống như vậy được gọi là hệ thống điều khiển đa biến (multi-variable control system hay còn gọi là MIMO − multiple-

input multiple-output), để phân biệt với các hệ thống đơn biến (SISO − input single-output) Mô hình một hệ thống điều khiển đa biến được biểu diễn

single-trong Hình 1.4

Các giá trị

ra Quá trình

Đáp ứng

mong muốn

Hình 1.4 Hệ thống điều khiển đa biến

Bộ điều khiển

So sánh

Hệ đo

1.2 Lịch sử của điều khiển tự động

Ứng dụng phản hồi để điều khiển một hệ thống có quá trình lịch sử vô cùng lý thú Những ứng dụng đầu tiên của điều khiển phản hồi xuất hiện cùng với sự phát triển các cơ cấu điều chỉnh dùng phao nổi của người Hy Lạp trong giai đoạn 300 B.C đến 1 B.C., ví dụ như chiếc đồng hồ nước của Ktesibios Vào khoảng năm

250 B.C., Philon sáng chế ra một loại đèn dầu, sử dụng một phao nổi để khống chế sao cho mực dầu trong đèn luôn ở một mức cố định Tại thành phố Alexandria của Ai Cập vào thế kỷ đầu tiên sau công nguyên, một tác giả tên là

Heron đã viết một cuốn sách mang tiêu đề Pneumatica, trong đó mô tả vài dạng

cơ cấu điều khiển mức nước sử dụng phao nổi

Hệ thống phản hồi đầu tiên được phát minh ở châu Âu là thiết bị khống chế nhiệt độ của Cornelis Drebbel (1572 – 1633) ở Hà Lan Dennis Papin (1647 – 1712) phát minh ra thiết bị điều chỉnh áp suất cho nồi hơi vào năm 1681 Đây là một dạng thiết bị an toàn, tương tự như van an toàn của nồi áp suất

Thiết bị điều khiển phản hồi tự động đầu tiên được sử dụng trong một hệ thống công nghiệp được ghi nhận là thiết bị điều tốc do James Watt phát triển vào năm 1769, dùng để điều khiển tốc độ của động cơ hơi nước

Hình 1.5 Thiết bị điều tốc bằng các quả cầu (flyball governor) của James Watt

Theo người Nga thì hệ thống phản hồi đầu tiên là một thiết bị điều chỉnh mức nước, do I Polzunov phát minh vào năm 1765 Thiết bị này đo mức nước trong nồi hơi và điều khiển việc đóng mở van cấp nước

Giai đoạn trước 1868, sự phát triển các hệ thống điều khiển tự động còn mang tính trực giác Các nỗ lực nhằm tăng độ chính xác của các hệ thống điều khiển

dẫn đến làm chậm sự suy giảm của các dao động nhất thời, thậm chí làm hệ thống trở nên không ổn định Điều đó dẫn đến sự cấp thiết phải phát triển một lý thuyết về điều khiển tự động Vào năm 1868, J.C Maxwell là người đã thiết lập một lý thuyết toán học liên quan tới lý thuyết điều khiển, sử dụng mô hình phương trình vi phân để giải thích các vấn đề về tính thiếu ổn định mà thiết bị điều tốc của James Watt gặp phải Nghiên cứu của Maxwell quan tâm tới ảnh hưởng của các tham số của hệ thống tới hiệu suất của hệ thống Cũng trong khoảng thời gian đó, nhà khoa học Nga I.A Vyshnegradskii đã thiết lập một lý thuyết toán học về các thiết bị điều chỉnh

Từ giai đoạn trước chiến tranh thế giới thứ II, lý thuyết và kỹ thuật điều khiển phát triển theo hai xu hướng khác nhau Tại Mỹ và Tây Âu, một trong những động lực chính thúc đẩy các ứng dụng của phản hồi là sự phát triển các hệ thống điện thoại và các bộ khuyếch đại phản hồi điện tử, thực hiện bởi Bode, Nyquist

và Black tại Bell Telephone Laboratories (Bell Labs – thành lập bởi AT&T vào năm 1925, từ năm 1996 trở thành một bộ phận của Lucent Technologies) Đặc trưng của xu hướng này là sử dụng các phương pháp trong miền tần số, chủ yếu

để mô tả hoạt động của các bộ khuyếch đại phản hồi bằng các biến tần số như dải thông Xu hướng thứ hai diễn ra ở Liên bang Xô viết, nơi mà lý thuyết điều khiển

là lĩnh vực thống lĩnh bởi nhiều nhà toán học và cơ học ứng dụng danh tiếng Vì vậy, lý thuyết điều khiển Xô viết đi theo hướng dùng các mô hình toán học trong miền thời gian, sử dụng các phương trình vi phân

Một động lực to lớn có tác dụng thúc đẩy sự phát triển về lý thuyết cũng như ứng dụng của điều khiển tự động xuất hiện trong thời gian diễn ra chiến tranh thế giới thứ II, do sự cần thiết phải thiết kế và chế tạo các hệ thống lái tự động cho máy bay, ngắm bắn tự động, điều khiển anten của radar, cùng nhiều hệ thống thiết bị quân sự khác dựa trên phương thức điều khiển phản hồi Sự phức tạp và hiệu suất được mong đợi của các hệ thống thiết bị quân sự này đòi hỏi phải mở rộng các kỹ thuật điều khiển đã có và thúc đẩy sự quan tâm tới các hệ thống điều khiển cũng như sự phát triển các lý thuyết và phương pháp mới Cho tới năm

1940, trong hầu hết các trường hợp, việc thiết kế các hệ thống điều khiển là một nghệ thuật theo phương pháp thử-và-sai Trong những năm của thập kỷ 1940s, các phương pháp toán học và phân tích đã tăng cả về số lượng và tính hữu dụng, giúp kỹ thuật điều khiển trở thành một ngành kỹ thuật độc lập

Các kỹ thuật trong miền tần số thống trị lĩnh vực điều khiển sau chiến tranh

thế giới thứ II với ứng dụng ngày càng phổ biến của phương pháp biến đổi Laplace và mặt phẳng tần số phức Vào những năm 1950s, trọng tâm của lý thuyết điều khiển là sự phát triển và ứng dụng của các phương pháp mặt phẳng s

và đặc biệt là phương pháp quỹ tích nghiệm Đến những năm 1980s, việc sử dụng

máy tính số cho các bộ phận điều khiển trở nên phổ biến Những phần tử điều khiển sử dụng máy tính này có khả năng tính toán một cách nhanh chóng và chính xác, điều đó trước kia nằm ngoài khả năng của các kỹ sư điều khiển Ngày nay, máy tính là không thể thiếu trong các hệ điều khiển ở đó rất nhiều biến của

hệ thống cần được đo đạc và điều khiển cùng một lúc

Với sự mở đầu kỷ nguyên không gian, một động lực nữa của kỹ thuật điều khiển xuất hiện, đó là sự cần thiết phải thiết kế các hệ thống điều khiển vô cùng

phức tạp và có độ chính xác cao cho các hệ thống tên lửa và thăm dò không gian Thêm nữa, sự cần thiết phải giảm tới mức tối thiểu trọng lượng của các vệ tinh và điều khiển chúng một cách chính xác đã khai sinh một lĩnh vực quan trọng: điều khiển tối ưu Do những yêu cầu đó, các phương pháp trong miền thời gian của Lyapunov, Minorsky và một số nhà khoa học khác ngày càng được quan tâm Ngoài ra, những lý thuyết về điều khiển tối ưu được phát triển bởi L.S Pontryagin (Nga) và R Bellman (Mỹ) cũng là những chủ đề được quan tâm

1.3 Ví dụ về các hệ thống điều khiển hiện đại

Điều khiển phản hồi là một yếu tố quan trọng trong nền công nghiệp cũng như trong đời sống xã hội hiện đại Điều khiển ô tô là một ví dụ Lái xe là một công việc nhẹ nhàng khi chiếc ô tô đáp ứng một cách nhanh chóng những lệnh của người lái Những chiếc ô tô hiện đại có bộ phận trợ lực tay lái và phanh, sử dụng các bộ khuyếch đại thủy lực để khuyếch đại lực do người lái xe tác động lên tay lái và phanh Sơ đồ khối đơn giản của một hệ thống điều khiển tay lái ô tô được thể hiện trong Hình 1.6 Hướng lái người lái xe mong muốn được so sánh với giá trị đo của hướng chuyển động thực sự của xe để sinh ra một giá trị đo độ sai lệch Hướng chuyển động thực sự của xe được cảm nhận bởi bản thân người lái xe, bằng trực giác và cảm giác về độ nghiêng của cơ thể Ngoài ra còn có một thông tin phản hồi nữa là cảm giác tay lái của người lái xe Các hệ thống điều khiển lái của tàu thủy hay máy bay cũng có nguyên lý tương tự Tất cả các hệ thống đó hoạt động theo một quy trình vòng kín, được biểu diễn trong Hình 1.7 Tín hiệu

ra mong muốn và tín hiệu ra thực sự được so sánh và sự sai khác sẽ được khuyếch đại bằng một bộ khuyếch đại công suất Tín hiệu ra từ bộ khuyếch đại sẽ khiến bộ phận chấp hành điều chỉnh quá trình nhằm làm giảm sai lệch nói trên

Ví dụ, khi một chiếc tàu thủy hướng quá sang bên phải, bánh lái của tàu sẽ được điều chỉnh để lái tàu về bên trái Hệ thống biểu diễn trong Hình 1.7 là một hệ

thống điều khiển phản hồi âm, vì tín hiệu ra bị trừ vào tín hiệu vào và sự sai khác

đó được sử dụng làm tín hiệu vào cho bộ khuyếch đại

Hình 1.6 Hệ thống điều khiển tay lái ô tô

Cơ cấu lái Lái xe

Cảm nhận của lái xe (trực giác, xúc giác)

Cảm giác tay lái

Sai lệch

mức chất lỏng trong bể Một ví dụ nữa rất quen thuộc với cuộc sống của chúng ta

là chiếc tủ lạnh Người sử dụng có thể đặt một mức nhiệt độ mong muốn, một nhiệt kế sẽ đo nhiệt độ thực sự trong tủ lạnh và độ sai lệch của nhiệt độ thực sự với nhiệt độ mong muốn, còn động cơ nén khí của tủ lạnh đóng vai trò của bộ khuyếch đại công suất

Hình 1.7 Một hệ thống điều khiển vòng kín cơ bản

Cơ cấu chấp hành

Khuyếch đại

Hệ đo

_ +

Tự động hóa được định nghĩa như một công nghệ trong đó các mệnh lệnh đã

được lập trình được sử dụng để vận hành một quá trình nhất định, và được kết hợp với sự phản hồi thông tin để xác định xem các mệnh lệnh đó có được thực hiện một cách đúng đắn hay không Tự động hóa thường được áp dụng cho các quá trình vốn đã được vận hành bởi con người Khi được tự động hóa, quá trình

có thể vận hành mà không cần tới sự trợ giúp hay can thiệp của con người Trong thực tế, phần lớn các hệ thống tự động có khả năng thực hiện các chức năng của chúng với độ chính xác cao hơn và tốn ít thời gian hơn so với khả năng con người có thể làm được

Một trong những lĩnh vực đặc biệt của tự động hóa là robotics Robot là

những thiết bị tự động được điều khiển bằng máy tính Robot công nghiệp là một lĩnh vực đặc biệt của tự động hóa, trong đó các thiết bị tự động (robot) được thiết

kế để thay thế lao động của con người Để làm được điều đó, robot cần phải mang một số những đặc tính tương tự như con người Một trong những thiết bị

có đặc tính tương tự con người được sử dụng phổ biến nhất là các cánh tay máy, thiết bị chấp hành cơ khí có cấu trúc phỏng theo cánh tay và cổ tay của con người

Một ứng dụng rất quan trọng của công nghệ điều khiển là các bộ phận điều khiển trong ô tô hiện đại: các hệ thống điều khiển cho giảm xóc, trợ lái, điều khiển hiệu suất làm việc của động cơ, hay các hệ thống lái bốn bánh, điều khiển chống trượt

Người ta hay nói đến khoảng cách giữa lý thuyết và thực tiễn trong kỹ thuật điều khiển Cũng giống như nhiều ngành khác, trong nhiều lĩnh vực của kỹ thuật điều khiển lý thuyết đã đi trước ứng dụng khá xa Tuy nhiên, có một lĩnh vực mà khoảng cách này là không đáng kể, đó là trong công nghiệp năng lượng điện Ngành năng lượng điện chủ yếu bao gồm các lĩnh vực chuyển hóa năng lượng thành điện năng, kiểm soát và phân phối Các hệ thống điều khiển bằng máy tính

đã được sử dụng để tăng tính hiệu quả trong việc sử dụng các nguồn năng lượng Ngoài ra, việc kiểm soát lượng chất thải của các nhà máy điện để giảm thiểu ô nhiễm đã trở thành một vấn đề vô cùng quan trọng Các nhà máy điện hiện đại với công suất lớn tới hàng trăm megawatts cần những hệ thống điều khiển tự

động chịu trách nhiệm về các mối quan hệ giữa các biến của toàn bộ quá trình và thực hiện việc tối ưu hóa quá trình sản xuất điện năng Một quá trình như vậy có thể có tới hơn 90 biến đặt dưới một sự điều khiển thống nhất Ví dụ, để điều khiển hoạt động của lò hơi, hệ thống cần đo các giá trị biến thiên như nhiệt độ, áp suất, nồng độ ôxy và cung cấp cho máy tính thực hiện việc tính toán Sơ đồ khối của một hệ thống điều khiển bằng máy tính được biểu diễn trong Hình 1.8 Ngành công nghiệp năng lượng điện đã sử dụng được nhiều khía cạnh hiện đại của kỹ thuật điều khiển vào những ứng dụng có ý nghĩa quan trọng Bài học của ngành công nghiệp năng lượng điện cho thấy, yếu tố làm duy trì khoảng cánh giữa lý thuyết và ứng dụng của kỹ thuật điều khiển trong nhiều lĩnh vực là việc thiếu những thiết bị dùng để đo đạc tất cả các biến quan trọng của các quá trình, bao gồm cả chất lượng và thành phần của sản phẩm Khi những thiết bị này trở nên sẵn có, các ứng dụng của lý thuyết điều khiển hiện đại vào các hệ thống công nghiệp sẽ tăng lên nhanh chóng

Hệ đo

_ +

Ứng dụng của khái niệm điều khiển phản hồi đã và đang xuất hiện trong rất nhiều lĩnh vực như điều khiển tự động việc tàng trữ hàng hóa, các hệ thống tự động hóa trong nông nghiệp, các hệ thống sưởi ấm và làm lạnh sử dụng năng lượng mặt trời, các ứng dụng của lý thuyết điều khiển trong các lĩnh vực y-sinh học như thí nghiệm, chẩn đoán, cấy ghép bộ phận giả và các hệ thống điều khiển sinh học

Cuối cùng, một lĩnh vực đang thu hút nhiều sự quan tâm là mô hình hóa các quá trình phản hồi phổ biến trong các hệ thống xã hội, kinh tế và chính trị Các

mô hình như vậy rất có ích cho việc tìm hiểu, giải thích và dự đoán các hoạt động của các hệ thống này, ví dụ như để đánh giá tác động của sự điều tiết và chi tiêu của nhà nước tới các hoạt động của hệ thống kinh tế

Bài tập

Bài 1.1 Một nguồn phát laser có thể điều khiển mức năng lượng của ánh sáng phát ra bao gồm các bộ phận sau: một laser được điều khiển bởi một dòng điện vào để phát ra năng lượng dưới dạng ánh sáng, một bộ vi điều khiển có chức năng điều khiển dòng điện cấp cho laser và một cảm biến Vi xử lý so sánh mức năng lượng được mong muốn với một tín hiệu từ bộ cảm biến tỷ lệ với năng lượng thực sự đang phát ra của nguồn laser Vẽ sơ đồ khối của hệ thống điều khiển vòng kín đó

Bài 1.2 Vẽ sơ đồ khối biểu diễn một hệ thống điều khiển phản hồi mô tả việc điều khiển tốc độ của xe ô tô bởi người lái xe

Bài 1.3 Một máy ảnh tự động sử dụng laser hay siêu âm để xác định khoảng cách tới đối tượng được chụp và tự điều chỉnh tiêu cự của ống kính cho phù hợp

Vẽ sơ đồ khối của hệ thống

Bài 1.4 Chúng ta có thể coi việc tắm như là điều khiển một quá trình có hai lối vào là đường nước nóng và đường nước lạnh với lưu lượng được điều khiển bởi hai van độc lập với nhau Mục đích của việc điều khiển lượng nước vào mỗi đường là để nước ở phun ra ở vòi tắm có lưu lượng và nhiệt độ như mong muốn

Vẽ sơ đồ khối của hệ thống vòng kín

Bài 1.5 Một người lính dừng chân hàng ngày bên cạnh một cửa hiệu trên đường tới doanh trại và chỉnh đồng hồ đeo tay của anh ta theo đồng hồ treo tại cửa hiệu vào đúng 9 giờ sáng mỗi ngày Một ngày, anh ta bước vào cửa hiệu và khen ngợi tính chính xác của chiếc đồng hồ tại cửa hiệu với người chủ cửa hiệu Ông ta trả lời rằng ông chỉnh chiếc đồng hồ hàng ngày vào lúc 5 giờ chiều theo tiếng đại bác chào cờ tại doanh trại quân đội Người lính nói, anh ta là một pháo thủ và chính anh ta là người bắn phát đại bác vào lúc 5 giờ chiều mỗi ngày đó

Thông tin phản hồi trong trường hợp này là phản hồi âm hay dương? Giả sử

cứ sau 24 giờ chạy liên tục, chiếc đồng hồ tại cửa hiệu sẽ bị chậm một phút và chiếc đồng hồ của người lính sẽ bị chậm ba phút, sai lệch về thời gian của phát đại bác sau 15 ngày sẽ là bao nhiêu?

Phần tiếp theo của chương mô tả phương thức biểu diễn các mối quan hệ

vào-ra giữa các thành phần hay hệ thống con dưới dạng hàm chuyển Tập hợp các hàm chuyển thể hiện các bộ phận liên kết với nhau của một hệ thống có thể biểu diễn được bằng mô hình sơ đồ khối hoặc đồ thị dòng tín hiệu Các phương pháp phân tích được sử dụng để thiết lập các phương trình cho các biến ra của một hệ thống điều khiển với một số dạng tín hiệu vào chọn lọc

giản hóa việc giải chúng Trong thực tế, do sự phức tạp của hệ thống và do nhiều

yếu tố có liên quan không được xác định, chúng ta phải sử dụng đến các giả thiết

về hệ thống Vì vậy, khi nghiên cứu các hệ thống vật lý, cần phải đưa ra được những giả thiết cần thiết để tuyến tính hóa hệ thống Khi đó, chúng ta có thể sử dụng các định luật vật lý mô tả hệ thống tuyến tính để thiết lập được một hệ phương trình vi phân tuyến tính Cuối cùng, các công cụ toán học, ví dụ như biến đổi Laplace, được sử dụng để giải ra nghiệm của hệ phương trình mô tả hoạt động của hệ thống Tóm lại, phương pháp phân tích vấn đề của các hệ thống động có thể bao gồm những bước như sau:

1 Xác định hệ thống và các thành phần của hệ thống

2 Thiết lập mô hình toán học và các giả thiết cần thiết

3 Viết các phương trình vi phân mô tả mô hình của hệ thống

4 Giải các phương trình cho các biến ra cần xác định

5 Kiểm tra xem các nghiệm tìm được có phù hợp với các giả thiết

6 Phân tích lại hoặc chuyển sang bước thiết kế

2.2 Phương trình vi phân của các hệ thống vật lý

Các phương trình vi phân mô tả hoạt động của một hệ thống vật lý được thiết lập

bằng cách sử dụng các định luật vật lý của các quá trình Phương pháp này có thể

áp dụng cho các hệ thống cơ khí, điện, chất lỏng, nhiệt động

Ví dụ, chúng ta có thể mô hình hóa hệ thống giảm xóc của ô tô bằng một hệ

thống cơ học đơn giản như trong Hình 2.1, bao gồm một vật có khối lượng M

được treo bằng một lò xo, có thể trượt theo phương thẳng đứng bên trong một

ống có vai trò cản dao động (damper) Hệ số ma sát giữa bề mặt vật và bề mặt

ống là f Hệ số đàn hồi của lò xo là K Vật có thể chuyển động theo chiều thẳng

đứng y dưới tác động của một ngoại lực F(t) Theo định luật 2 của Newton:

)()()()

(

2

2

t F t Ky dt

t dy f dt

t y d

Kéo vật tới một vị trí ban đầu rồi thả ra, khi đó chuyển động của vật sẽ là một

dao động tắt dần Giải phương trình (2.1) cho y(t) chúng ta sẽ thu được phương

trình chuyển động của vật dưới dạng:

)sin(

)(t =K1e−α1 β1t+θ1

Ví dụ thứ hai là một mạch RLC (Hình 2.2) sử dụng một nguồn dòng có cường

độ dòng điện là i(t) và sinh ra một hiệu điện thế v(t) Theo định luật Kirchhoff,

chúng ta có được phương trình sau:

)()(1)()

(

0

t i d v L dt

t dv C R

t

Giả sử i(t) = 0 và hiệu điện thế v ban đầu khác không, giải phương trình (2.3) cho

v(t) chúng ta sẽ thu được phương trình của hiệu điện thế có dạng:

)cos(

)(t =K2e−α2 β2t+θ2

Đây cũng là phương trình của một dao động tắt dần (Hình 2.3), tương tự như

phương trình chuyển động (2.2) của hệ thống cơ học trong Hình 2.1

R L C

Hình 2.2 Một mạch RLC

Để thấy rõ sự tương tự của các phương trình vi phân của hai hệ thống cơ học

và điện nêu trên, chúng ta làm một phép biến đổi nhỏ: viết lại phương trình (2.1)

của hệ thống cơ học theo vận tốc v(t) = dy(t)/dt, phương trình sẽ trở thành:

)()

()

()(

0

t F d v K t fv dt

t dv M

t

=+

Do sự tương tự của hai phương trình (2.5) và (2.3) cũng như của hai biến: vận tốc

v(t) trong (2.5) và hiệu điện thế v(t) trong (2.3), hai biến đó được gọi là hai biến

đồng dạng, và hai hệ thống cũng được gọi là các hệ thống đồng dạng Khái niệm

đồng dạng giữa các hệ thống rất hữu ích và là một kỹ thuật mạnh cho việc mô

hình hóa hệ thống Ngoài các cặp biến đồng dạng của các hệ thống điện và cơ

học là hiệu điện thế-vận tốc hay dòng điện-lực, người ta còn thường sử dụng sự

đồng dạng của cặp hiệu điện thế-lực

Hình 2.3 Dao động tắt dần của hiệu điện thế v(t) trong mạch RLC

Các hệ thống đồng dạng với các giải pháp tương tự nhau bao gồm cả các hệ

thống điện, cơ học, nhiệt và chất lỏng Sự tồn tại của các hệ thống và giải pháp

đồng dạng cho phép chúng ta mở rộng kết quả phân tích của một hệ thống cho tất

cả các hệ thống đồng dạng với nó, cũng được mô tả bằng chính những phương

trình vi phân của hệ thống đầu tiên Vì vậy những kiến thức chúng ta có được

trong việc phân tích và thiết kế một loại hệ thống, ví dụ như các hệ thống điện, sẽ

có thể áp dụng ngay lập tức cho các hệ thống cơ học, nhiệt, chất lỏng

2.3 Xấp xỉ tuyến tính của các hệ thống vật lý

Phần lớn các hệ thống vật lý chỉ tuyến tính trong những khoảng nhất định của các

biến Tất cả các hệ thống trong thực tế đều trở thành phi tuyến nếu các biến của

chúng có thể thay đổi không giới hạn Ví dụ, hệ thống dao động lò xo trong Hình

2.1 là một hệ thống tuyến tính được biểu diễn bằng phương trình 2.1, chừng nào

vị trí của vật, y(t), chỉ xê dịch trong một khoảng nhỏ nhất định Nếu ta tác dụng

lực để y(t) tăng lên mãi thì đến một mức độ nào đó lò xo sẽ không còn chịu được

và đứt Vì vậy, câu hỏi về sự tuyến tính và khoảng áp dụng được cần phải đặt ra

cho mỗi hệ thống

Tính tuyến tính của một hệ thống được xác định dựa trên mối quan hệ giữa tín

hiệu kích thích (tín hiệu vào) và đáp ứng của hệ thống Trong mạng điện ở Hình

2.2, tín hiệu kích thích là dòng điện i(t) và đáp ứng của hệ thống là hiệu điện thế

v(t) Phát biểu một cách tổng quát, một hệ thống là tuyến tính khi và chỉ khi nó

thỏa mãn được cả điều kiện sau:

1 Nguyên lý chồng: Nếu đáp ứng của hệ thống là y1(t) khi tín hiệu kích thích

là x1(t) và đáp ứng của hệ thống là y2(t) khi tín hiệu kích thích là x2(t) thì

đáp ứng của hệ thống sẽ là y1(t)+y2(t) khi tín hiệu kích thích là x1(t)+x2(t)

2 Tính chất đồng nhất: Nếu y là tín hiệu ra của hệ thống khi tín hiệu vào là x

thì khi tín hiệu vào được nhân với một hệ số tỷ lệ, tín hiệu ra của hệ thống

cũng phải thay đổi theo cùng tỷ lệ, nghĩa là đáp ứng của hệ thống sẽ là βy

khi tín hiệu kích thích là βx, với β là một giá trị bất kỳ

Ví dụ, hệ thống được mô tả bởi quan hệ y = x2 không phải là một hệ thống

tuyến tính vì không thỏa mãn cả hai điều kiện Hệ thống được mô tả bởi quan hệ

y = mx+b cũng không tuyến tính vì không thỏa mãn được tính chất đồng nhất

Tuy nhiên, hệ thống này có thể coi là tuyến tính xung quanh một điểm (x0, y0)

cho các thay đổi ∆x, ∆y: ∆x = x−x0, ∆y = y−y0; vì mối quan hệ giữa ∆x và ∆y,

biểu diễn bằng phương trình ∆y = m∆x, thỏa mãn cả hai điều kiện đã nêu

Phần lớn các hệ thống cơ học và điện đều có thể coi là tuyến tính trong một

miền giá trị khá rộng của các biến Điều đó thường không đúng với các hệ thống

nhiệt và chất lỏng, vì những hệ thống này có khá nhiều đặc trưng phi tuyến Tuy

nhiên, chúng ta có thể tuyến tính hóa các phần tử phi tuyến với giả thiết tín hiệu

thay đổi trong khoảng khá nhỏ Xét một phần tử với tín hiệu kích thích là x(t) và

đáp ứng là y(t), ở đó mối quan hệ giữa hai biến được biểu diễn bằng phương

trình:

y(t) = g(x(t)) (2.6)

ở đó g biểu thị rằng y(t) là một hàm của x(t) Xác định một giá trị của tín hiệu

vào, x0, gọi là điểm làm việc bình thường của phần tử Thực hiện khai triển

Taylor tại x0, chúng ta có:

!2

)(

!1)

()

2

2 0 0

0 0

+

−+

−+

g d x x dx

dg x

g x g y

x x x

!1)

0

0

x x m y x x dx

dg x

g y

x x

−+

=

−+

=

hay:

∆y = m∆x (2.9)

Độ chính xác của phép xấp xỉ tuyến tính này phụ thuộc vào khả năng áp dụng giả

thiết trong từng trường hợp cụ thể

Nếu biến ra y phụ thuộc vào nhiều biến vào, x1, x2, , x n , quan hệ giữa y và

các biến vào có thể được biểu diễn dưới dạng:

Tương tự như đối với trường hợp hàm đơn biến, chúng ta có thể thực hiện khai

triển Taylor tại điểm làm việc xác định bởi x10, x20, , x n0, và bỏ qua các thành

phần có bậc cao để thu được xấp xỉ tuyến tính:

)(

)(

), ,,

0

0 0

1 0

0

1 2

x x n x

x

x

g x

x x

g x

x x

g

y

n n

−

∂

∂++

−

∂

∂+

=

=

ƒ Ví dụ 2.1

Xét một hệ thống con lắc bao gồm một vật có khối lượng M được treo bằng một

sợi dây có độ dài L (Hình 2.4) Giả thiết sợi dây không có khối lượng và không

đàn hồi Mômen quay trên vật được tính bằng công thức:

Điểm cân bằng của hệ thống là θ0 = 0o Áp dụng khai triển Taylor tới đạo hàm

bậc nhất tại θ0, chúng ta có được xấp xỉ tuyến tính của T:

θθ

θθ

θθ

0

(2.13)

Xấp xỉ này tương đối chính xác với -π/4 ≤ θ≤ π/4 Ví dụ, sai số của phép xấp xỉ

khi con lắc qua các vị trí ±30o là khoảng 2%

2.4 Biến đổi Laplace

Khả năng xấp xỉ tuyến tính các hệ thống vật lý cho phép chúng ta xem xét tới

việc sử dụng biến đổi Laplace (Laplace transform) Phương pháp biến đổi

Laplace cho phép biến các phương trình vi phân tuyến tính thành các phương

trình đại số dễ giải hơn Với phương pháp này, việc xác định đáp ứng của hệ

thống theo thời gian bao gồm những bước sau:

1 Thiết lập các phương trình vi phân mô tả hoạt động của hệ thống

2 Áp dụng biến đổi Laplace cho các phương trình vi phân

3 Giải các phương trình đại số thu được sau các phép biến đổi cho các biến

cần quan tâm

Biến đổi Laplace tồn tại cho một phương trình vi phân nếu tích phân không

thực sự của biến đổi hội tụ Nói một cách khác, điều kiện đủ để một hàm f(t) có

biến đổi Laplace là f(t) liên tục từng đoạn trong miền [0, ∞), và:

0 f t e dt

Nếu ∀t > 0: |f(t)| < Meαt với các giá trị thực M > 0 và α > 0 nào đó, tích phân trên

sẽ hội tụ với mọi ∞ > s > α Giá trị nhỏ nhất có thể của α được gọi là giới hạn

của hội tụ tuyệt đối Biến đổi Laplace của hàm f(t) tồn tại với mọi s > α và được

định nghĩa như sau:

([)(s f t f t e dt

Phép biến đổi Laplace nghịch (inverse Laplace transform) của F(s) được định

nghĩa như sau:

∫∞+

F t

f

σ σ

)(2

1)]

([)

ở đó σ được chọn sao cho tất cả các điểm cực (pole) của F(s) đều nằm bên trái

của đường biên của tích phân trong mặt phẳng phức, nghĩa là F(σ+iω) hội tụ với

mọi ω nằm trong khoảng (−∞, +∞)

Một số tính chất của biến đổi Laplace:

1 Tính duy nhất

f s sF dt

t df

)0()()

s F s dt

t f d

n

n

dt

t f d s s

F s dt

t f d

1 ( ))

()

f

t

)()

()(

0

s G s F d g t f

Xem xét hệ thống lò xo-vật-cản được mô tả bởi phương trình (2.1) Biến đổi

Laplace của phương trình (2.1) là:

[ ( ) (0)] ( ) ( ))

0()(

0

dt

dy sy

s Y s M

t

=+

−+

Ms2Y(s) − Msy0 + fsY(s) − fy0 + KY(s) = 0 (2.18)

Giải phương trình (2.18) cho Y(s):

)(

)()

(

)(

)(

)

s q

s p M K s M f s

y M f s K

fs Ms

y f Ms s

++

+

=++

+

Phương trình q(s) = 0 được gọi là phương trình đặc trưng (characteristic

equation) của Y(s) bởi vì nghiệm của phương trình này quyết định đặc trưng của

đáp ứng theo thời gian của hệ thống Nghiệm của phương trình đặc trưng được

gọi là các điểm cực (pole), còn nghiệm của phương trình p(s) = 0 được gọi là các

điểm không (zero) của Y(s) Để xác định đáp ứng theo thời gian y(t) của hệ thống

bằng biến đổi Laplace nghịch của Y(s), người ta thường dùng phương pháp khai

triển phân thức đơn giản Phương pháp này có thể phát biểu như sau: Giả sử hàm

Y(s) có thể biểu diễn được dưới dạng:

)) (

)(

(

)) (

)(

()(

2 1

2 1

n

m

p s p s p s

z s z s z s s Y

ở đó z i (i = 1 m) là các điểm không của Y(s) và p j (j = 1 n) là các điểm cực của

Y(s) Khi đó Y(s) có thể khai triển được thành tổng của các phân thức đơn giản:

n

n

p s

k p

s

k p s

k s Y

−++

2

2 1

k j (j = 1 n) được gọi là các phần dư (residue) Để tính nhanh được k1, chúng ta

nhân cả hai vế của phương trình (2.21) với (s − q1):

n s p

p s k p

s

p s k k s Y p s

−

−++

−

−+

=

2

1 2 1

)(

()

()(

3 2

2 1

1 1

p s n

m p

z s z s z s s

Y p s k

Các phần dư còn lại, k2, k3, , k n, cũng được tính bằng cách tương tự

Xét một trường hợp cụ thể, với K/M = 2, f/M = 3 và y0 = 1 Khi đó phương

trình (2.19) trở thành:

)2)(

1(

32

3

3)

( 2

++

+

=++

+

=

s s

s s

s

s s

Áp dụng phương pháp khai triển phân thức đơn giản với (2.24):

21

)

+

++

=

s

k s

k s

k1 và k2 được tính như sau:

22

3)

()1(

1 1

+

+

=+

Y s

11

3)

()2(

2 2

+

+

=+

Y s k

Đáp ứng theo thời gian y(t) được xác định bởi biến đổi Laplace nghịch của Y(s):

t

t e e s

s s

Y t

2

11

2)]

([)

−+

⎥⎦

⎤

⎢⎣

⎡+

=

Việc cuối cùng là xác định trạng thái thường trực (steady state) hay còn gọi là

giá trị cuối cùng (final value) của f(t):

0)2)(

1(

)3(lim)(lim)(lim

0

++

sY t

y

s s

Điều đó có nghĩa là, vị trí cuối cùng của vật khi hệ thống ở vị trí cân bằng bình

thường là y = 0

Trở lại trường hợp tổng quát được biểu diễn bằng phương trình (2.19) Định

nghĩa tỷ số cản (damping ratio) ζ = f (2 KM)và tần số tự nhiên (natural

frequency) ωn = K M của hệ thống Phương trình (2.19) trở thành:

2

)2()(

n n

n

s

y s

s Y

ωζω

ζω

++

+

Phương trình đặc trưng của Y(s) có các nghiệm như sau:

2 2

,

1 =−ζωn ±ωn ζ −

Khi ζ > 1, s1 và s2 là các nghiệm thực và đáp ứng theo thời gian của hệ thống

giảm liên tục, hệ thống được coi là bị cản quá mức (overdamped) Khi ζ < 1,

phương trình đặc trưng có các nghiệm phức:

2 2

,

1 =−ζωn ±iωn 1−ζ

Trong trường hợp thứ hai, đáp ứng theo thời gian của hệ thống là một dao động

tắt dần, khi đó hệ thống được coi là bị cản dưới mức (underdamped) Trường hợp

ζ = 1 được gọi là điều kiện tắt dần tới hạn (critical damping)

Đồ thị của các điểm cực và điểm không của Y(s) trong mặt phẳng phức (mặt

phẳng s) được thể hiện ở Hình 2.6, trong đó góc θ = arccosζ Với tần số tự nhiên

ωn là một hằng số và tỷ số cản ζ thay đổi, các nghiệm của phương trình đặc trưng

có quỹ tích nằm trên một đường tròn có bán kính ωn trong trường hợp phương

trình có nghiệm phức, hay nằm trên trục thực (trục σ) của mặt phẳng s trong

trường hợp phương trình có nghiệm thực (Hình 2.7)

Mối quan hệ giữa vị trí của các điểm cực và dạng của đáp ứng theo thời gian

của hệ thống được thể hiện trên đồ thị của các điểm cực và điểm không Biến đổi

Laplace và phương pháp mặt phẳng s là những kỹ thuật rất có hiệu quả trong việc

phân tích và thiết kế hệ thống khi trọng tâm là hiệu suất của đáp ứng nhất thời và

trạng thái thường trực Trong thực tế, vấn đề được quan tâm chủ yếu đối với các

hệ thống điều khiển chính là hiệu suất của đáp ứng nhất thời và trạng thái thường

trực, chính vì vậy các kỹ thuật sử dụng biến đổi Laplace có giá trị vô cùng to lớn

đối với chúng ta

2.5 Hàm chuyển của các hệ thống tuyến tính

Hàm chuyển1 (transfer function) của một hệ thống tuyến tính được định nghĩa là

tỷ số giữa biến đổi Laplace của biến ra và biến đổi Laplace của biến vào, với giả thiết tất cả các điều kiện ban đầu đều bằng không Hàm chuyển của một hệ thống (hay một phần tử) biểu thị mối quan hệ mô tả động lực của hệ thống được quan tâm

Hàm chuyển chỉ có thể định nghĩa được cho các hệ thống tuyến tính bất biến (linear time-invariant system hay LTI) do biến đổi Laplace không sử dụng được cho các hệ thống phi tuyến hay các hệ thống biến đổi (time-varying system)

1 Thuật ngữ thường được dùng từ trước tới nay là hàm truyền Tuy nhiên, do khái niệm chúng ta đang đề cập tới được dùng để biểu diễn các hệ thống ở đó các biến vào và ra có thể khác nhau về bản chất, từ hàm

truyền được dùng ở đây không thật chính xác vì nó không phản ánh được sự chuyển hóa xảy ra trong hệ

thống Vì vậy, tác giả của giáo trình này đề nghị sử dụng thuật ngữ hàm chuyển để thay thế

Thêm nữa, hàm chuyển mô tả hành vi của một hệ thống dưới dạng quan hệ

vào-ra, vì vậy mô tả bằng hàm chuyển không chứa những thông tin về cấu trúc bên

trong của hệ thống

Xem xét hệ thống lò xo-vật-cản, được mô tả bởi phương trình (2.1), có biến

đổi Laplace là phương trình (2.17) Với các điều kiện ban đầu bằng không,

phương trình (2.17) trở thành:

Hàm chuyển của hệ thống khi đó được xác định như sau:

K fs Ms s

F

s Y s G

++

=

)(

)()

ƒ Ví dụ 2.2

Xem xét một hệ thống lò xo-vật-cản sử dụng hai vật và hai cản, và mạch điện

đồng dạng với nó (Hình 2.8), dựa trên cặp đồng dạng lực-dòng điện Vận tốc v1(t)

và v2(t) của các vật trong hệ thống cơ học đồng dạng với hiệu điện thế v1(t) và

v2(t) tại các điểm của mạch điện Giả thiết các điều kiện ban đầu bằng không,

chúng ta có được các phương trình của hệ thống cơ học:

M1sV1(s) + (f1 + f2)V1(s) – f1V2(s) = F(s) (2.34)

0)()]

()([)

1 2

1 2

s

s V K s V s V f s sV

Hình 2.8 Hệ thống hai vật và mạch điện hai nút đồng dạng

Để có được các phương trình của mạch điện đồng dạng, chỉ cần thay F(s) = I(s),

M1 = C1, M2 = C2, R1 = 1/f1, R2 = 1/f2, và L = 1/K vào hai phương trình trên Biến

đổi để hai phương trình (2.34) và (2.35) trở thành:

(M1s + f1 + f2)V1(s) – f1V2(s) = F(s) (2.36)

0)()

s

K f s M s V

hay có thể viết dưới dạng ma trận như sau:

−

−+

+

0

)()

(

)(

2

1 1

2 1

1 2

1

s V

s V s

K f s M f

f f

f s M

(2.38)

Giải phương trình (2.38) cho biến ra V1(s):

2 1 1

2 2 1 1

1 2 1

))(

(

)()(

)(

f s K f s M f f s M

s F s K f s M s

V

−+

++

+

++

Hàm chuyển của hệ thống:

2 1 1

2 2 1 1

1 2 1

))(

(

)(

)(

)()(

f s K f s M f f s M

s K f s M s

F

s V s G

−+

++

+

++

=

ƒ Ví dụ 2.3

Động cơ một chiều là một thiết bị dẫn động có chức năng làm chuyển động một

tải trọng Sơ đồ của một động cơ một chiều được biểu diễn trên Hình 2.9 Ký

hiệu góc quay của trục động cơ theo thời gian là θ(t), vận tốc góc là ω(t), mômen

quán tính của tải trọng là J và hệ số ma sát của tải trọng là f

Hàm chuyển của động cơ một chiều sẽ được thiết lập cho một xấp xỉ tuyến

tính của động cơ trong thực tế, bỏ qua các hiệu ứng bậc hai như trễ và sụt thế

Hiệu điện thế vào của động cơ có thể đặt vào phần trường hoặc phần ứng Từ

thông φ của phần trường trong động cơ là một đại lượng tỷ lệ với dòng điện i f:

φ(t) = K f i f (t) (2.41)

ở đó K f là một hằng số Mômen quay của trục động cơ được coi là có quan hệ

tuyến tính với φ và dòng điện trong phần ứng theo công thức sau:

T m (t) = K1φ(t)i a (t) = K1K f i f (t)i a (t) (2.42)

Để hệ thống được mô tả bằng phương trình (2.42) tuyến tính, một trong hai dòng

điện phải có cường độ được giữ không đổi, dòng điện còn lại có cường độ thay

đổi sẽ là tín hiệu vào của hệ thống Trước hết chúng ta sẽ xem xét động cơ điều

khiển bởi dòng điện của phần trường Trong trường hợp này, dòng điện của phần

ứng có cường độ i a (t) = I không đổi Áp dụng biến đổi Laplace cho phương trình

(2.42), chúng ta có:

T m (s) = (K1K f I)I f (s) = K m I f (s) (2.43)

ở đó K m = K1K f I được gọi là hệ số của động cơ Theo định luật Kirchhoff, mối

quan hệ giữa cường độ dòng điện và hiệu điện thế của phần trường được thể hiện

bằng phương trình:

dt

t di L t i R t

v f ( )= f f ( )+ f f ( ) (2.44) hay dưới dạng của biến đổi Laplace:

V f (s) = R f I f (s) + L f [sI f (s) − i f (0)] = (R f + L f s)I f (s) (2.45)

Mômen quay trên trục động cơ bao gồm mômen của tải trọng và mômen tạo bởi

tác động của nhiễu:

T m (t) = T L (t) + T d (t) (2.46) trong đó mômen của tải trọng T L (t) được tính bởi công thức:

dt

t d f dt

t d J t

T L( )= 2θ2( )+ θ( )

(2.47) Biến đổi Laplace của (2.47):

s V s

I

f f

f

)()

Thay (2.50) vào (2.49):

)())(

()(s s Js f R L s Θ s V

Hàm chuyển của hệ thống bao gồm cả động cơ và tải trọng là:

))(

()(

)()(

s L R f Js s

K s

V

s Θ s G

f f

m f

hay:

)1)(

1(

)()

(

++

=

s s

s

fR K s

G

L f

f m

ở đó τf = L f /R f là hệ số thời gian của phần trường của động cơ và τL = J/f là hệ số

thời gian của tải trọng Thường thì τL > τf và τf có thể bỏ qua được Mô hình sơ

đồ khối của động cơ điều khiển bởi phần trường được thể hiện trong Hình 2.10,

với Ω(s) và Θ(s) là các biến đổi Laplace của ω(t) và θ(t)

Với động cơ một chiều điều khiển bởi phần ứng, cường độ dòng điện của

phần trường i f (t) = I không đổi Khi đó, mômen quay của động cơ, biểu diễn dưới

dạng biến đổi Laplace sẽ là:

T m (s) = (K1K f I)I a (s) = K m I a (s) (2.54) Quan hệ giữa I a (s) và V a (s) được biểu diễn bằng phương trình:

V a (s) = (R a + L a s)I a (s) + V b (s) (2.55)

s L

Chúng ta có thể thấy, khác với trường hợp của động cơ điều khiển bởi phần

trường được thể hiện trong phương trình (2.45), ở đây xuất hiện thành phần V b (s)

là biến đổi Laplace của hiệu điện thế của suất phản điện động v b (t) Đại lượng

này tỷ lệ với vận tốc quay của động cơ:

V b (s) = K bΩ(s) (2.56)

K b là hệ số của suất phản điện động Từ (2.54) và (2.56), chúng ta có công thức

biểu diễn I a (s) theo V a (s):

s L R

s Ω K s V s I

a a

b a

−

= ( ) ( ))

)(

[(

)(

)()(

m b a

a

m a

K s

V

s Θ s G

++

+

=

Trong nhiều động cơ một chiều, hệ số thời gian của phần ứng τa = L a /R a có thể

bỏ qua được Khi đó:

)(

])

[(

)(

1 +

+

=+

+

=

s s

K K fR K K

K R f Js s

K s

m b a

m

với τ1là hệ số thời gian của hệ thống bao gồm động cơ và tải trọng:

m b a

a

K K fR

JR

+

=1

Mô hình sơ đồ khối của động cơ điều khiển bởi phần ứng được thể hiện trong

Hình 2.11 Trong mô hình này, khối phản hồi K b sinh ra do suất phản điện động

của bản thân động cơ chứ không phải để sử dụng cho mục đích điều khiển, vì vậy

đây vẫn là một hệ thống kiểu vòng hở

+

T m (s) s

L R

K

a a

K b

−

Hàm chuyển là một khái niệm vô cùng quan trọng vì nó cung cấp cho các nhà

phân tích và thiết kế mô hình toán học của các phần tử của hệ thống Chúng ta sẽ

còn được thấy giá trị của hàm chuyển trong nỗ lực nhằm mô hình hóa các hệ

thống động Phương pháp sử dụng hàm chuyển vô cùng hữu ích bởi vì đáp ứng

nhất thời của hệ thống được mô tả bởi vị trí các điểm cực và điểm không của

hàm chuyển trong mặt phẳng s

2.6 Mô hình sơ đồ khối

Các hệ thống động, bao gồm cả các hệ thống điều khiển tự động, được biểu diễn

một cách toán học bằng các hệ phương trình vi phân Như chúng ta đã được biết

tới trong các mục trước, việc sử dụng biến đổi Laplace cho phép quy vấn đề phân

tích hệ thống về việc giải các phương trình đại số tuyến tính Bởi vì nhiệm vụ của

các hệ thống điều khiển là điều khiển một số biến nhất định, các mối quan hệ

tương hỗ giữa các biến được điều khiển và các biến điều khiển cần phải được xác

định Những mối quan hệ này thường được biểu diễn dưới dạng hàm chuyển của

các hệ thống con, thể hiện sự liên hệ giữa các biến vào và ra Vì vậy chúng ta có

thể nhận định rằng hàm chuyển là một quan hệ quan trọng trong kỹ thuật điều

khiển

Tầm quan trọng của mối quan hệ nhân-quả biểu thị bởi hàm chuyển còn được

thể hiện khi chúng ta cần biểu diễn các mối quan hệ giữa các biến của hệ thống

dưới dạng sơ đồ Biểu diễn sơ đồ khối của các mối quan hệ trong hệ thống được

sử dụng rất phổ biến trong kỹ thuật điều khiển Sơ đồ khối bao gồm các khối vận

hành một chiều, biểu diễn hàm chuyển của các biến được quan tâm Chúng ta đã

biết đến ví dụ về sơ đồ khối ở mục trước (Hình 2.10 và 2.11), biểu diễn hàm

chuyển của các phần tử của động cơ một chiều

Hàm chuyển chỉ thể hiện mối quan hệ giữa một biến vào và một biến ra Để

biểu diễn một hệ thống có nhiều biến cần được điều khiển, sơ đồ liên kết khối

được sử dụng Sơ đồ liên kết khối của một hệ thống có hai biến vào và hai biến ra

được thể hiện trong Hình 2.12 Chúng ta có thể viết hệ phương trình cho các biến

ra của hệ thống đó như sau:

C1(s) = G11(s)R1(s) + G12(s)R2(s) (2.64)

C2(s) = G21(s)R1(s) + G22(s)R2(s) (2.65)

ở đó G ij (s) là hàm chuyển biểu diễn mối quan hệ giữa biến vào thứ j và biến ra

thứ i Một cách tổng quát, cho một hệ thống có J biến vào và I biến ra, chúng ta

có thể viết hệ phương trình dưới dạng ma trận:

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(

2

1 2

1

1

21

11 2

1

s R

s R

s R

s G

s G

s G

s G

s G

s G

s C

s C

s C

J IJ

J J

I I

(2.66)

hay:

C = GR (2.67)

ở đó C và R là các ma trận cột chứa I biến ra và J biến vào, còn ma trận G có

kích thước I×J được gọi là ma trận hàm chuyển Biểu diễn ma trận của mối quan

hệ tương hỗ giữa nhiều biến đặc biệt có giá trị đối với các hệ thống điều khiển đa

+ +

Hình 2.12 Sơ đồ liên kết khối của một hệ thống nhiều biến

Sơ đồ khối của một hệ thống có thể rút gọn được bằng các kỹ thuật rút gọn sơ

đồ khối để trở thành một sơ đồ khối đơn giản hơn với ít khối hơn sơ đồ ban đầu

Các kỹ thuật biến đối và rút gọn sơ đồ khối xuất phát từ các phép biến đổi đại số

với các biến của sơ đồ Ví dụ, với một sơ đồ khối bao gồm hai khối nối tiếp nhau

như trong Hình 2.13, chúng ta có:

X3(s) = G2(s)X2(s) = G2(s)G1(s)X1(s) (2.68)

Vì vậy, sơ đồ khối trong Hình 2.13 có thể rút gọn được thành một sơ đồ chỉ có

một khối với biến vào là X1(s), biến ra là X3(s) và hàm chuyển là G1(s)G2(s)

G1(s) G2(s)

X1(s) X2(s) X3(s)

Hình 2.13 Sơ đồ khối của hệ thống gồm hai khối nối tiếp

Ví dụ thứ hai là một hệ thống điều khiển phản hồi âm (Hình 2.14) Tín hiệu

sai lệch được đưa vào khối G(s) là:

Hình 2.14 Hệ thống điều khiển phản hồi âm

Vì vậy, sơ đồ khối trong Hình 2.14 có thể rút gọn được thành một sơ đồ chỉ có

một khối với biến vào là R(s), biến ra là C(s) và hàm chuyển là:

)()(1

)()

(

)(

s H s G

s G s

R

s C

+

Hàm chuyển vòng kín (2.72) rất quan trọng vì nó sẽ được sử dụng rất nhiều trong

các hệ thống điều khiển trong thực tế

Một số phép biến đổi sơ đồ khối thường dùng được giới thiệu trong bảng dưới

đây Phân tích hệ thống bằng phương pháp rút gọn sơ đồ khối giúp ta hiểu rõ hơn

vai trò của mỗi phần tử trong hệ thống, so với việc rút gọn bằng cách biến đổi các

X2(s) 1/G(s)

X2(s)

)(

s H s G

s G

+ −

Hình 2.15 Sơ đồ khối của một hệ thống điều khiển phản hồi nhiều vòng

Biểu diễn các hệ thống điều khiển phản hồi bằng sơ đồ khối là một phương pháp rất có giá trị và được sử dụng rộng rãi Sơ đồ khối cung cấp cho chúng ta hình ảnh trực quan của các mối quan hệ tương hỗ giữa các biến được điều khiển

và các biến vào của hệ thống Hơn nữa, việc sử dụng sơ đồ khối cho phép chúng

ta hình dung được các khả năng sửa đổi sơ đồ khối bằng cách thêm các khối vào

sơ đồ đang có nhằm làm thay đổi và tăng hiệu suất của hệ thống

4 3

1 G G H

G G

4 3 2

1 G G H G G H

G G G

4 3 2 1

1 G G H G G H G G G G H

G G G G

++

−

(d)

Hình 2.16(a) − (d) Các bước rút gọn sơ đồ khối của hệ thống điều khiển phản

hồi nhiều vòng trong Hình 2.15

2.7 Mô hình lưu đồ tín hiệu

Các mô hình sơ đồ khối đủ để biểu diễn các mối quan hệ giữa các biến cần điều khiển và các biến vào của hệ thống Tuy nhiên, với các hệ thống tương đối phức tạp, việc thực hiện thủ tục rút gọn sơ đồ khối khá là rắc rối và thường rất khó hoàn thành trọn vẹn Một lựa chọn khác cho việc xác định mối quan hệ giữa các

biến của hệ thống là phương pháp biểu diễn hệ thống bằng đồ thị, được phát triển bởi Mason và được gọi là phương pháp lưu đồ tín hiệu Điểm mạnh của phương

pháp này là ở công thức tính gia lượng (gain) của lưu đồ, cho phép xác định quan

hệ giữa các biến hệ thống mà không cần tới việc rút gọn hay biến đổi lưu đồ

Việc chuyển đổi từ dạng biểu diễn sơ đồ khối sang dạng đồ thị khá đơn giản

Lưu đồ tín hiệu (signal-flow graph) là một đồ thị có nhiều nút được nối với nhau

bởi các nhánh có hướng nhằm biểu diễn một tập hợp các quan hệ tuyến tính Lưu

đồ tín hiệu đặc biệt hữu ích cho các hệ thống điều khiển phản hồi bởi vì mối quan tâm chủ yếu của lý thuyết phản hồi là sự lưu chuyển và xử lý tín hiệu trong các

hệ thống Phần tử cơ sở của một lưu đồ tín hiệu là một đoạn đơn hướng được gọi

là nhánh (branch), biểu thị sự phụ thuộc giữa một biến vào và một biến ra, tương

tự như một khối trong sơ đồ khối Các điểm vào và ra hay các điểm chuyển tiếp

được gọi là các nút (node) Một lưu đồ tương đương với sơ đồ khối trong Hình

2.12 được thể hiện trong Hình 2.17 Tất cả các nhánh xuất phát từ một nút sẽ chuyển tín hiệu của nút đó tới nút ra của mỗi nhánh Tín hiệu tại mỗi nút, trừ các nút tín hiệu vào, là tổng của tín hiệu do tất cả các nhánh đi vào nút đó mang tới

Một đường dẫn (path) là một nhánh hay một chuỗi liên tiếp các nhánh theo đó có thể đi từ một nút (tín hiệu) tới một nút (tín hiệu) khác Một vòng (loop) là một

đường dẫn đóng kín xuất phát và kết thúc tại cùng một nút và trên đường dẫn đó không có nút nào được đi qua hơn một lần

Hình 2.17 Đồ thị dòng tín hiệu của một hệ thống liên kết

Lưu đồ chính là một phương pháp trực quan để biểu diễn các hệ phương trình đại số, nhằm thể hiện sự phụ thuộc lẫn nhau của các biến Để làm ví dụ, xem xét

hệ phương trình đại số sau đây:

2

12 1 22 21

12 22 11

2 12 1 22

)1)(

1(

)1(

r

a r

a a

a a a

r a r a x

11 1

21 21 12 22 11

1 21 2 11

)1)(

1(

)1(

r

a r

a a a a a

r a r a x

∆

−+

Hình 2.18 Lưu đồ của một hệ phương trình đại số

Trường hợp tổng quát, sự phụ thuộc tuyến tính T ij giữa một biến độc lập r i

(thường được gọi là biến vào) với một biến phụ thuộc x j được xác định bằng quy

k k

P

ở đó:

− P ijk : gia lượng của đường dẫn thứ k từ nút r i đến nút x j trong lưu đồ, được

tính bằng tích các gia lượng (hay hàm chuyển) của tất cả các nhánh của

đường dẫn đó

− ∆: định thức của lưu đồ

− ∆ijk: định thức của lưu đồ sau khi đã loại trừ các vòng cắt với đường dẫn

thứ k từ nút r i đến nút x j

Phần tổng trong công thức (2.80) bao gồm tất cả các đường dẫn có thể từ nút r i

đến nút x j Giả sử lưu đồ có tất cả N vòng với gia lượng của các vòng là L1, L2, ,

L N, định thức của lưu đồ khi đó sẽ được tính như sau:

ƒ Ví dụ 2.5

Quay lại ví dụ 2.4, lưu đồ tín hiệu của hệ thống điều khiển phản hồi nhiều vòng

trong ví dụ đó được thể hiện trong Hình 2.19 Lưu đồ có ba vòng với gia lượng

của các vòng lần lượt là L1 = −G2G3H2, L2 = G3G4H1 và L3 = −G1G2G3G4H3

Từng đôi một trong cả ba vòng này đều cắt nhau Vì vậy, chúng ta tính được định

thức của lưu đồ như sau:

Hình 2.19 Lưu đồ tín hiệu của một hệ thống điều khiển phản hồi nhiều vòng

Đường dẫn duy nhất từ R(s) đến C(s) trong lưu đồ có gia lượng là:

P1 = G1G2G3G4 (2.82)

Do đường dẫn này cắt cả ba vòng của lưu đồ, khi loại bỏ ba vòng này lưu đồ sẽ

không còn vòng nào, vì vậy ∆1 = 1 Từ đó, chúng ta tính được hàm chuyển của hệ

thống:

3 4 3 2 1 1 4 3 2 3 2

4 3 2 1 1

11)

(

)()

(

H G G G G H G G H G G

G G G G P

s R

s C s

T

+

−+

Lưu đồ tín hiệu và công thức tính gia lượng của lưu đồ có thể sử dụng được

trong việc phân tích các hệ thống điều khiển phản hồi, máy tính tương tự, các

mạch khuyếch đại, các hệ thống thống kê, các hệ thống cơ học, và nhiều ứng

dụng khác nữa

Bài tập

Bài 2.1 Một nhiệt điện trở có đáp ứng với nhiệt độ là R = R0e −0,1T, ở đó giá trị

điện trở R0 = 10.000Ω, R là điện trở (Ω) và T là nhiệt độ (oC) Xác định mô hình

tuyến tính của nhiệt điện trở tại T = 20oC cho một khoảng thay đổi nhỏ của nhiệt

độ

Bài 2.2 Một máy in laser có vị trí của đầu laser được điều khiển bởi một tín hiệu

vào r(t) Biến đổi Laplace của phương trình biểu diễn quan hệ giữa r(t) và vị trí

y(t) của đầu laser là:

)(50060

)100(

500)

s s

s s

Y

++

+

=

(a) Xác định đáp ứng y(t) của hệ thống khi tín hiệu vào r(t) là hàm nhảy bậc

đơn vị (r(t) = 0 khi t < 0 và r(t) = 1 khi t ≥ 0)

(b) Xác định giá trị cuối cùng (trạng thái thường trực) của y(t) trong trường

Bài 2.6 Một hệ thống chống rung được thể hiện trong hình vẽ dưới Khối lượng

của vật M2 và hệ số đàn hồi của lò xo K2 được chọn sao cho vật có khối lượng M1

sẽ không di chuyển nếu lực F(t) = αsinωot

(a) Thiết lập các phương trình vi phân mô tả hệ thống

(b) Vẽ mạch điện đồng dạng với hệ thống này, dựa trên cặp đồng dạng dòng điện

)(

vào

2 vào

vào

2 vào ra

v v

v v

t v

Bộ khuyếch đại hoạt động trong khoảng ±0,5V quanh điểm làm việc Mô tả bộ

khuyếch đại bằng một xấp xỉ tuyến tính khi điểm làm việc là vvào = 0V và khi

điểm làm việc là vvào = 1V

Bài 2.8 Sử dụng biến đổi Laplace để tính I2(s) trong bài 2.5, với giả thiết v(t) = 0,

i1(0) = 0, i2(0) = 0, hiệu điện thế ban đầu trên tụ C1 bằng không và hiệu điện thế

ban đầu trên tụ C2 bằng 10V

Bài 2.9 Xác định hàm chuyển của mạch vi phân trong hình vẽ dưới

Bài 2.12 Lưu đồ tín hiệu của một hệ thống lái tàu thủy được thể hiện trong hình

vẽ dưới, ở đó C(s) là hướng đi thực sự của tàu, R(s) là hướng đi mong muốn và A(s) là góc quay của bánh lái Xác định hàm chuyển C(s)/R(s)

Xác định K1 phù hợp để xe không bị xóc (độ nảy mong muốn R(s) = 0)