Một số đóng góp vào lý thuyết xác suất phá sản

29 3 Chỉnh hóa và sai số ước lượng của xác suất phá sản trong miền thời gian vô hạn của mô hình thặng dư bảo hiểm 38 3.1 Xác định xác suất phá sản trong miền thời gian vô hạn của công ty

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINHTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Phản biện 3: TS Nguyễn Văn Huấn

Phản biện độc lập 1: TS Tạ Quốc Bảo

Phản biện độc lập 2: TS Lưu Hoàng Đức

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

1 TS Nguyễn Thị Mộng Ngọc

2 TS Lê Văn Dũng

TP Hồ Chí Minh - 2020

Mục lục

1.1 Mô hình Cramér–Lundberg 10

1.2 Mô hình đếm số khách hàng và phân phối lượng tiền bồi thường bảo hiểm 12

1.2.1 Quá trình Poisson 13

1.2.2 Phân phối đuôi nhẹ (light-tailed distribution) 14

1.2.3 Phân phối đuôi nặng (heavy-tailed distribution) 16

1.3 Một số kết quả gần đây của bài toán xác suất phá sản 17

2 Xác suất phá sản của công ty bảo hiểm 19 2.1 Phân phối mũ ma trận và biểu diễn mũ ma trận 19

2.2 Xấp xỉ Padé của hỗn hợp phân phối mũ (hyper-exponential dis-tribution) 21

2.3 Xác suất phá sản trong miền thời gian hữu hạn và vô hạn 25

2.4 Kết quả số 27

2.4.1 Xác suất phá sản trong miền thời gian hữu hạn 27

2.4.2 Xác suất phá sản trong miền thời gian vô hạn 29

3 Chỉnh hóa và sai số ước lượng của xác suất phá sản trong miền thời gian vô hạn của mô hình thặng dư bảo hiểm 38 3.1 Xác định xác suất phá sản trong miền thời gian vô hạn của công ty bảo hiểm 38

3.2 Tính không chỉnh của bài toán tìm xác suất phá sản trong miền thời gian vô hạn của công ty bảo hiểm 42

3.3 Chỉnh hóa và sai số ước lượng 47

3.3.1 Chỉnh hóa bằng phương pháp Tikhonov 47

3.3.2 Chỉnh hóa bằng phương pháp chặt cụt 50

3.4 Ví dụ số 53

Kết luận 56

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận án này là công trình nghiên cứu của riêng tôi Cáckết quả trình bày trong luận án là hoàn toàn trung thực, được các đồng tác giảđồng ý cho tôi sử dụng trong luận án của mình và hoàn toàn không trùng vớibất kỳ tài liệu nào khác Các ví dụ sử dụng trong luận án có nguồn gốc rõ ràng,

đã được công bố theo đúng quy định của pháp luật

TP HCM, ngày 18 tháng 7 năm 2020

Nghiên cứu sinh,

Trần Đông Xuân

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS TS Nguyễn Quang Hưng,người đã tận tình chia sẻ nhiều kinh nghiệm nghiên cứu và tạo mọi điều kiệnthuận lợi để nghiên cứu sinh tiếp tục theo đuổi con đường nghiên cứu khoa học.Song song đó, tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến PGS TS Nguyễn HuyTuấn, người luôn đồng hành, chia sẻ và giúp đỡ để tôi hoàn thành luận án này,cũng là người đọc và mang đến nhiều ý kiến cho luận án của tôi

Đồng thời tôi xin bày tỏ lòng biết ơn đối với tập thể cán bộ hướng dẫn, TS.Nguyễn Thị Mộng Ngọc, TS Lê Văn Dũng và PGS TS Lê Sĩ Đồng, đã tạo điềukiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận án này

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến tất cả các thầy cô Phòng Đào tạo Sauđại học, Bộ môn Lý thuyết Xác suất và Thống kê, Ban chủ nhiệm Khoa Toán

- Tin và Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốcgia TP HCM đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình làmnghiên cứu sinh tại Trường

Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn đến tất cả các anh, chị, em nghiên cứu sinh Khóa

14 và Khóa 15 đã động viên tôi trong quá trình làm nghiên cứu sinh tại Trường.Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình tôi, nơi đã độngviên và hỗ trợ tôi trong suốt quá trình làm nghiên cứu sinh

TP HCM, ngày 18 tháng 7 năm 2020

Tác giả,

Trần Đông Xuân

MỞ ĐẦU

Bài toán tính xác suất phá sản có lịch sử phát triển từ rất lâu trong lý thuyếtrủi ro Sự phát triển của lý thuyết rủi ro bắt nguồn từ khám phá đầu tiên củaFillip Lundberg, sinh năm 1876 và mất năm 1965 Ông nghiên cứu toán và khoahọc ở Uppsala Năm 1903, ông viết luận án với tên gọi “Xấp xỉ hàm xác suấttrong rủi ro bảo hiểm (On the approximation of the probability function in theinsurance of collective risks)” Đây là công trình đầu tiên làm tiền đề cho sựphát triển của lý thuyết rủi ro Trong luận án này, ông xây dựng mô hình biếnngẫu nhiên đối với thặng dư của công ty bảo hiểm bằng trực giác, quá trình nàysau đó được gọi là quá trình đếm Poisson Như công việc của Fillip Lundberg,Bachelier xây dựng quá trình Wiener trong cùng năm ấy để mô tả sự tăng, giảmgiá cổ phiếu, đây là một trong những trường hợp đầu tiên mà quá trình ngẫunhiên trong thời gian liên tục được định nghĩa

Quá trình rủi ro của công ty bảo hiểm gồm có một chuỗi vô hạn các yêu cầubồi thường bảo hiểm của khách hàng độc lập với nhau Trong mỗi yêu cầu bồithường có phân phối rủi ro định nghĩa trên tổng số tiền yêu cầu bồi thường củatất cả các khách hàng Từ những giả thiết này, Fillip Lundberg xây dựng luậtđối với quá trình đếm Poisson của toàn bộ số tiền bồi thường cho khách hàngtrong khoảng thời gian hữu hạn; nhờ vào quá trình Poisson, ông suy ra xấp xỉxác suất phá sản của công ty bảo hiểm trong miền thời gian vô hạn Việc xâydựng công thức xấp xỉ xác suất phá sản của ông cũng tương tự như việc chứngminh định lý giới hạn trung tâm với phương pháp đã được nhiều tác giả sau đó

sử dụng Kể từ thời điểm này, ông nghiên cứu xác suất mà thặng dư của công

ty âm tại thời điểm t > 0 và ông suy ra một xấp xỉ nổi tiếng

Ψ(x) ≈ c exp(−Rx),trong đó R là hệ số Lundberg, c là phí mà người tham gia bảo hiểm phải đóng và

x là vốn ban đầu của công ty bảo hiểm Xấp xỉ này của Lundberg được nhữngngười cùng thời với ông trong các công ty bảo hiểm trên thế giới đánh giá chỉmang ý nghĩa về mặt lý thuyết [29] Bởi vì, trong mô hình của Lundberg, công

ty bảo hiểm không có lợi nhuận từ bất kỳ danh mục đầu tư nào trên vốn banđầu, lý do đối với giả thiết này đó là tính toán dễ dàng [65]

Công việc của Lundberg đã kích thích nguồn cảm hứng sáng tạo đối với HaraldCramér là một trong rất ít người thật sự muốn thâm nhập vào việc nghiên cứurủi ro của công ty bảo hiểm Ông dành nhiều thời gian để giải thích và pháttriển lý thuyết một cách chặt chẽ và dễ hiểu

Vào năm 1930, Harald Cramér công bố bài lý thuyết rủi ro toán học (On theMathematical Theory of Risk) [29], trong kỷ yếu kỉ niệm sự hoạt động của công

ty bảo hiểm Skandia Bài đó đã trình bày để người ta có thể thấy được nhữngđiểm quan trọng và những kĩ thuật cần thiết trong lý thuyết rủi ro của công ty

bảo hiểm Nhiều ý tưởng của ông trong lý thuyết rủi ro của công ty bảo hiểm

đã được triển khai để cải tiến xấp xỉ Gauss trong định lý giới hạn trung tâm(the central limit theorem)

Trở lại nửa đầu của thế kỉ 20, bài toán tìm xác suất sao cho thặng dư củacông ty bảo hiểm âm tại thời điểm t > 0, trong đó số khách hàng yêu cầu bồithường là quá trình đếm Poisson dễ hơn so với mô hình rời rạc ban đầu củaLundberg

Trong lý thuyết rủi ro, việc nghiên cứu bài toán xác suất phá sản trở thànhchủ đề thú vị đối với những người nghiên cứu trong viện của Cramér ở Stockholmvào thập niên 1930, 1940 và 1950 Nhiều bài báo trên tạp chí Scand Act J trongnhững thập niên này được công bố bởi những tác giả như Segerdahl [70, 71],T¨acklind [75] và Arfwedson [5, 6] Các tác giả này nghiên cứu xác suất phá sảntrong miền thời gian vô hạn Ψ(x) và xác suất phá sản trong miền thời gian hữuhạn Ψ(x, t) Tất cả những nghiên cứu này đều dựa trên phương trình tích phân

để đạt được kết quả bằng cách xét các biến cố xảy ra trong khoảng thời gianngắn dt; khi đó, quá trình bắt đầu từ thời điểm không với vốn ban đầu x khácnhau của công ty bảo hiểm

Trong bài báo [29], Cramér đưa ra chi tiết công thức biến đổi Laplace đối vớixác suất phá sản trong miền thời gian vô hạn Từ kết quả này, ông suy ra xấp

xỉ Lundberg một cách chặt chẽ:

ψ(x) ≈ c exp(−Rx) khi x → ∞

Công thức biến đổi Laplace của Cramér đối với xác suất phá sản trong miềnthời gian vô hạn có cùng dạng với công thức biến đổi Laplace của phân phốithời gian chờ trong hệ thống xếp hàng M/G/1 [55, 67] hay còn gọi là công thứcPollaczek–Khinchin trong cùng thời điểm đó Năm mươi năm sau, người ta thực

sự mới hiểu rõ hơn sự liên kết rất tự nhiên giữa quá trình thặng dư của công tybảo hiểm và quá trình thời gian chờ trong hệ thống xếp hàng M/G/1 Để tìmnghiệm của phương trình tích phân ψ(x, t), Cramér và T¨acklind áp dụng kỹthuật Wiener–Hopf và công thức biến đổi Laplace theo dạng phân số Wiener–Hopf Lý thuyết này hoàn toàn là “giải tích” và sử dụng lý thuyết giải tích hàm

Họ đã đạt được công thức tính xác suất phá sản trong một vài trường hợp cụthể và công thức tính xấp xỉ xác suất phá sản khi vốn ban đầu và thời gian đủlớn Kết quả này được đăng trong kỷ yếu kỉ niệm 100 năm thành lập công tybảo hiểm Skandia [29]

Vào thập niên 1950 và 1960, lý thuyết bước ngẫu nhiên (random walk) và mốiliên hệ của lý thuyết này với phân số Wiener–Hopf được phát triển rất mạnh nhờ

sử dụng các phương pháp của lý thuyết xác suất Nhờ vào mối liên hệ này, chúng

ta thấy rõ mối liên kết giữa những kết quả trong lý thuyết xếp hàng (queueingtheory) và lý thuyết rủi ro (risk theory) Từ đó, người ta có thể xác suất hóanhững công thức trên bằng một vài phép biến đổi Hơn nữa, những công thứcxấp xỉ trong những công trình trên có thể trực tiếp đạt được bằng phương phápxác suất Nghiên cứu của Feller [43] và Von Bahr [83] đưa ra kết quả rất tốt về

vấn đề này Sau đó Prabhu [66] đưa ra cách miêu tả đầy đủ hơn về các vấn đềnày Bên cạnh đó, Prabhu cũng chỉ ra rằng kết quả ước lượng trong bài báo [61]

có thể đạt được trực tiếp bằng cách sử dụng những phương pháp của độ lệchlớn (methods of large deviation theory)

Đầu thập niên 1960, Cramér, Grenander, Esscher và Bohman bắt đầu nghiêncứu tính toán số đối với lý thuyết rủi ro và những phương pháp xấp xỉ trước đóbằng cách tính phân phối củaPN (t)

k=1 ξk bằng phương pháp tích chập (convolutionmethod) Nhờ vào sự tinh tế và những kết quả của biến đổi Fourier ngược bằngphương pháp số, Bohman và Esscher có những kết quả [18, 19] Sau đó, Thorinxét bài toán phá sản với PN (t)

k=1 ξk là quá trình đổi mới (renewal process) Trongnghiên cứu này, ông đạt được kết quả [77] Bên cạnh đó, Thorin và Wikstad đãthu được kết quả về tính toán số tương ứng với [76, 85]

Đối với lý thuyết phá sản trước năm 1998, người ta thường liên tưởng đến kếtquả của Paulsen [64] Kể từ năm 1998, có ba hướng nghiên cứu mới ảnh hưởngđến lý thuyết phá sản này, đó là:

1 Nhấn mạnh vào những phân phối đuôi nặng của phân phối lượng kháchhàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm (heavy tailed claim distributions);

2 Hàm penalty của Gerber-Shiu (Gerber-Shiu penalty function);

3 Khả năng chi phối xác suất phá sản bằng việc hạn chế rủi ro và có thể táibảo hiểm (reinsurance)

Cũng trong giai đoạn này, Asmussen [12] và Abate [2] là những tác giả đầutiên phát triển mảng tính toán số cho bài toán xác suất phá sản của công tybảo hiểm

Đầu thế kỷ XXI, quá trình ngẫu nhiên phát triển rất mạnh, Asmussen [11]

và Rolski [69] đã xây dựng rất chi tiết các vấn đề của bài toán xác suất phá sảntrong các quá trình ngẫu nhiên khác nhau Từ những công trình này, nhiều nhàtoán học trên thế giới nghiên cứu nhiều phương pháp khác nhau để giải bài toánxác suất phá sản, ví dụ như: Yuen và Guo [86], Mordecki [63], Cai [23, 24, 25],

J Gaier và các cộng sự [44], Burnecki và Garcia [22, 45], Rolski và các cộng sựcủa ông [69], Li [58], Lefèvre [57], Avram và các cộng sự [4, 13], Chen Yiqing

và các cộng sự [26], Chen Yang và các cộng sự [27], Zhu [87] Tại Việt nam cónhóm của GS Trần Hùng Thao, Viện toán học và Bùi Khởi Đàm, Trường Đạihọc Bách Khoa Hà Nội nghiên cứu bài toán này

Từ những sự kiện lịch sử như đã nói trên, bài toán xác suất phá sản là bàitoán rất quan trọng trong ngành bảo hiểm nói riêng và ngành toán tài chính nóichung Đây là một bài toán khó và cho đến ngày nay vẫn được nhiều nhà toánhọc quan tâm nghiên cứu

Với những lý do như đã nêu ở phần trên, chúng tôi xác định đối tượng nghiêncứu là bài toán tính xác suất phá sản của công ty bảo hiểm trong mô hìnhCramér–Lundberg

Nội dung luận án bao gồm ba chương:

Chương 1: Trình bày mô hình thặng dư của công ty bảo hiểm; các kết quả cơbản của quá trình ngẫu nhiên; định nghĩa và một số tính chất của phânphối đuôi nhẹ (light-tailed) và phân phối đuôi nặng (heavy-tailed) đối vớiphân phối lượng tiền bồi thường bảo hiểm cho khách hàng; một số kết quảnổi bật của bài toán xác suất phá sản trong mô hình thặng dư bảo hiểmCramér–Lundberg.

Chương 2: Trình bày các công thức tính chính xác xác suất phá sản trongmiền thời gian hữu hạn và vô hạn của công ty bảo hiểm bằng cách sửdụng phương pháp biến đổi Laplace của phân phối mũ ma trận (matrix-exponential distribution) [78, 79, 80]

Chương 3: Chứng minh biến đổi Laplace của xác suất phá sản trong mô hìnhrủi ro bảo hiểm là bài toán không chỉnh (ill-posed); Phương pháp chặt cụt

và phương pháp chỉnh hóa Tikhonov được sử dụng để tính xấp xỉ xác suấtphá sản của công ty bảo hiểm trong miền thời gian vô hạn; Kết quả số đượcđưa ra trong Mục cuối cùng của Chương này để minh họa cho hai phươngpháp trên [81]

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng luận án chắc chắn vẫn còn thiếu sót Tác giảrất mong nhận được sự góp ý từ quý thầy cô và các bạn để luận án được hoànthiện nhất có thể

hệ số an toàn của công ty bảo hiểm Từ mô hình này, xác suất phá sản trongmiền thời gian hữu hạn và vô hạn của công ty bảo hiểm được đưa ra Áp dụngkiến thức cơ bản được trình bày trong chương này, chúng tôi đưa ra các phươngpháp tính xác suất phá sản của công ty bảo hiểm trong miền thời gian hữu hạn

và vô hạn trong hai chương tiếp theo

Bố cục của chương này được trình bày như sau: Mục 1.1 dành cho việc trìnhbày mô hình Cramér–Lundberg và xác suất phá sản của công ty bảo hiểm; Môhình đếm số khách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm và một số tính chất liênquan được trình bày trong Mục 1.2; Cuối cùng, Mục 1.3 tổng hợp một số kếtquả chính và phương pháp tính xác suất phá sản của công ty bảo hiểm trongmiền thời gian hữu hạn và vô hạn

1.1 Mô hình Cramér–Lundberg

Mô hình thặng dư của công ty bảo hiểm lần đầu tiên được nhà toán học ngườiThụy Điển là Lundberg (1876-1965) đề ra trong luận án của ông năm 1903 Gần

30 năm sau, Cramér (1893-1985) đã phát triển ý tưởng của Lundberg trong luận

án của ông Do vậy, mô hình này được gọi là mô hình Cramér-Lundberg [29].Trong mô hình này, thặng dư của một công ty bảo hiểm tại thời điểm t đượccho bởi

• ξk là dãy biến ngẫu nhiên độc lập cùng phân phối (i.i.d) biểu diễn cho số tiềnbồi thường cho khách hàng thứ k với hàm phân phối F (ξ) và hàm mật độ

f (ξ); E(ξ1) = µ hữu hạn;

• c = (1 + θ)λµ là phí bảo hiểm, θ là hệ số an toàn của công ty và λµ là số tiềntrung bình công ty bồi thường cho khách hàng;

• x + ct là vốn của công ty tại thời điểm t;

• {N (t) : t ≥ 0} là quá trình Poisson với cường độ λ > 0, trong đó N (t) là sốkhách hàng đòi bồi thường bảo hiểm cho tới thời điểm t

• N (t) và {ξk, k ≥ 1} là các biến ngẫu nhiên độc lập

Trong mô hình này, X(t) là thặng dư của công ty bảo hiểm tại thời điểm t.Trong mô hình (1.1) x + ct là tất định, nhưng PN (t)

k=1 ξk là ngẫu nhiên Vì thế,X(t) là ngẫu nhiên

Mô hình này được đề cập trong quyển sách của Asmussen và cộng sự [11] vàGray và các cộng sự [49]

Phá sản tài chính hay chỉ là phá sản tại một vài thời điểm trong mô hình(1.1) sẽ xảy ra nếu X(t) < 0 Điều này sẽ xảy ra với xác suất một nếu

PN (t) k=1 ξk

Đặt τ là thời điểm đầu tiên quá trình X(t) nhỏ hơn không, có nghĩa là

τ = inf{t ≥ 0 : X(t) < 0} = inf{t ≥ 0 : S(t) > x},

1.2 Mô hình đếm số khách hàng và phân phối lượng tiền bồi

thường bảo hiểm

Trong danh mục rủi ro bảo hiểm, như là danh mục chính sách bảo hiểm xemáy, hai đại lượng cần quan tâm đó là số tiền khách hàng yêu cầu bồi thườngbảo hiểm và số khách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm Chúng ta mô hìnhnhững đại lượng này bằng những biến ngẫu nhiên với hàm phân phối xác suấtthích hợp

Nhiều hàm phân phối xác suất đã có sẵn, ví dụ như: phân phối thế hiệu(potential distribution) đối với số tiền bồi thường và số khách hàng yêu cầu bồithường bảo hiểm trong tất cả các loại bảo hiểm Tuy nhiên, mô hình thích hợpcho số khách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm có phân phối đếm (countingdistributions); đó là phân phối rời rạc của biến ngẫu nhiên mà giá trị trong tập

số tự nhiên N = {0, 1, 2 } Mô hình này đã được sử dụng rộng rãi và thíchhợp nhất đối với số tiền bồi thường bảo hiểm cho khách hàng là phân phối củabiến ngẫu nhiên liên tục nhận giá trị dương và phân phối đuôi nặng (heavytails)

Trong mục này, chúng ta xét mô hình chính đã sử dụng trong thực tế và mộtvài tính chất của chúng

Mô hình đã được sử dụng rộng rãi đối với việc đếm số khách hàng yêu cầubồi thường và số tiền bồi thường trong danh mục kinh doanh bảo hiểm là quátrình Poisson Trong trường hợp này, số khách hàng yêu cầu bồi thường bảohiểm xảy ra trong một khoảng thời gian nhất định có phân phối Poisson với kỳvọng thích hợp

Kí hiệu {N (t)} là quá trình đếm số khách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm,trong đó N (t) là tổng số khách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm cho tới thờiđiểm t Thỉnh thoảng, chúng ta viết Nt thay vì N (t)

Phân phối Poisson Họ phân phối Poisson có một tham số, thường được kíhiệu bằng λ, kí hiệu này biểu diễn cho trung bình của phân phối Đó là, trungbình số khách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm trong một khoảng thời giannhất định của quá trình Poisson Ký hiệu của phân phối Poisson là P oi(λ) hoặc

P oisson(λ) Hàm phân phối xác suất được cho bởi

P(N = n) = exp(−λ)

λnn!, n = 0, 1, 2

Hàm sinh moment được cho bởi

MN(t) = E[exp(tN )] = exp{λ(et− 1)}

Từ hàm sinh moment, trung bình E[N ] = λ và moment bậc hai E[N2] = λ + λ2

và phương sai V ar[N ] = λ Phân phối Poisson có trung bình và phương sai bằngnhau

1.2.1 Quá trình Poisson.

Phân phối Poisson là chìa khóa để xây dựng quá trình Poisson Xét một quátrình mà ở đó các sự kiện xảy ra tăng lên theo thời gian; ví dụ như số kháchhàng yêu cầu bồi thường tại công ty bảo hiểm Đặt N (t) là số lần một biến cốnào đó xảy ra trong khoảng thời gian (0, t] và xác định N (0) = 0 Tập hợpnhững biến ngẫu nhiên {N (t) : t ≥ 0} là quá trình ngẫu nhiên, đó là mô hình

số sự kiện xảy ra trong một khoảng thời gian cụ thể Đối với t ≥ 0 và s > 0,biến ngẫu nhiên N (t + s) − N (t) là số gia của quá trình {N (t) : t ≥ 0} trongkhoảng thời gian (t, t + s), điều này cho chúng ta biết được số sự kiện xảy ratrong khoảng thời gian (t, t + s) Quá trình {N (t) : t ≥ 0} thỏa mãn ba tínhchất bên dưới được gọi là quá trình Poisson với cường độ (tham số) λ (> 0)

i Số gia độc lập Đối với k = 2, 3, , số sự kiện xảy ra trên những khoảngthời gian k rời nhau (cho bởi số gia của {N (t) : t ≥ 0} trên những khoảngthời gian này) là độc lập với nhau có nghĩa là N (s) độc lập với N (s+t)−N (s)với mọi s, t ≥ 0

ii Số gia dừng Đối với mọi h > 0 và mọi t ≥ 0, phân phối của số gia

N (t + h) − N (t) chỉ phụ thuộc vào h và không phụ thuộc vào t, có nghĩa làphân phối của số biến cố xảy ra trong một khoảng thời gian chỉ phụ thuộcvào độ dài của khoảng thời gian đó chứ không phụ thuộc vào thời điểm bắtđầu

iii Phân phối Poisson Đối với mọi t ≥ 0, biến ngẫu nhiên N (t) có phânphối Poisson với trung bình λt

Chúng ta có thể sử dụng ba tính chất trên để suy luận, ví dụ như đối với

s > 0 và t ≥ 0 số lần một biến cố nào đó xảy ra N (t + s) − N (t) trong khoảngthời gian (t, t + s] và số lần một biến cố nào đó xảy ra N (t) trong khoảng thờigian (0, t] là những biến ngẫu nhiên Poisson độc lập với trung bình λs và λttương ứng

Tiếp theo chúng ta mô tả ngắn gọn một vài lớp phân phối F phổ biến nhất

đã được sử dụng trong mô hình số tiền bồi thường bảo hiểm ξ1, ξ2, Chúng

ta chia lớp phân phối này thành hai nhóm, phân phối đuôi nhẹ (light-taileddistribution) và phân phối đuôi nặng (heavy-tailed distribution) Trong đó đuôinhẹ có nghĩa là F (x) = 1 − F (x) = P(X > x) thỏa mãn điều kiện là tồn tại

−sx), tương đương với tồn tại s > 0 sao cho hàm sinh

moment ˆF [s] hữu hạn Ngược lại, F được gọi là phân phối đuôi nặng nếu vớimọi s > 0 hàm sinh moment ˆF [s] vô hạn.

1.2.2 Phân phối đuôi nhẹ (light-tailed distribution).

Ví dụ 1.2.2 (phân phối Gamma) Phân phối Gamma với hai tham số λ, β cóhàm mật độ

Theo lý thuyết khả phân vô hạn (theory of infinitely divisible distributions),hàm mật độ Gamma có thể được xét như β lần hàm mật độ phân phối mũ Cụthể, nếu β là số nguyên và X có phân phối Gamma với hai tham số λ, β, thì

X = ξ1+ ξ2+ · · · + ξβ trong đó ξ1, ξ2 là độc lập và cùng phân phối mũ vớicường độ λ Trường hợp đặc biệt này được xem như phân phối Erlang cấp β.Một nét đặc trưng hấp dẫn của phân phối này đó là liên kết đơn giản của nóvới quá trình Poisson: F (x) = P(ξ1 + ξ2+ · · · + ξβ > x) là xác suất của tối đa

β − 1 biến cố Poisson trong khoảng [0, x] sao cho

Ví dụ 1.2.3 (Phân phối với biến đổi hữu tỷ) Một phân phối F có biến đổiLaplace dạng hữu tỷ hoặc tương đương hàm sinh moment dạng hữu tỷ nếu

F∗(s) = p(s)

q(s) với p(s) và q(s) là những đa thức có bậc hữu hạn Một tính chấttương đương đó là hàm mật độ f (x) là nghiệm của phương trình vi phân thuầnnhất với những hệ số hằng

trong đó tham số trong phương trình (1.4) có thể nhận giá trị phức nhưng tham

số trong phương trình (1.5) là những giá trị thực Lớp phân phối này phổ biếntrong lý thuyết rủi ro và lý thuyết xếp hàng, nhưng không phổ biến bằng phânphối mũ ma trận Trong luận án này, chúng tôi đưa ra một số kết quả của bàitoán xác suất phá sản đối với trường hợp phân phối lượng tiền bồi thường bảohiểm cho khách hàng là phân phối mũ ma trận

1.2.3 Phân phối đuôi nặng (heavy-tailed distribution).

Ví dụ 1.2.4 (Phân phối Weibull) Phân phối này xuất phát từ lý thuyết độ tincậy (reliability theory) Trong đó, tỷ lệ hư hỏng của thiết bị δ(x) = f (x)

F (x) đóngmột vai trò quan trọng, phân phối mũ biểu diễn một ví dụ đơn giản nhất bởi vìδ(x) là hằng số Tuy nhiên, trong thực tế người ta quan sát thấy rằng δ(x) hoặctăng hoặc giảm và người ta cố gắng mô hình độ lệch trơn (tăng hoặc giảm) từ

sự bất biến bởi δ(x) = dxr−1 (0 < r < ∞) Ký hiệu c = d/r, chúng ta thu đượcphân phối Weibull

F (x) = exp(−cxr), f (x) = crxr−1exp(−cxr),

là phân phối đuôi nặng khi 0 < r < 1 Tất cả các moment của phân phối Weibull

là hữu hạn Một biểu diễn khác, phân phối Weibull là phân phối của X1/r, trong

đó X là phân phối mũ với tỷ lệ c

Ví dụ 1.2.5 (Phân phối Lognormal) Phân phối Lognormal với tham số σ2, µđược xác định như phân phối của eZ với Z ∼ N (µ, σ2) hay tương đương nhưphân phối của eσT +µ với T ∼ N (0, 1) Từ đó suy ra hàm mật độ của phân phốiLognormal là:

f (x) = 1

xσ√2π exp

"

−12

 log x − µσ

2#.Phân phối đuôi là:

 log x − µσ

2#

Trong trường hợp cụ thể, phân phối Lognormal có trung bình exp(µ + σ2/2) vàmoment thứ hai exp(2µ + 2σ2)

Ví dụ 1.2.6 (Phân phối Pareto) Yếu tố cơ bản ở đây là đuôi F (x) rời rạc như

mũ của x Dạng đơn giản nhất

Moment thứ p hữu hạn nếu p < α − 1

Biến đổi Laplace–Stieltjes của phân phối Pareto định nghĩa trong (1.6) có thểđược diễn đạt thông qua hàm Gamma không đầy đủ bởi

F∗(s) =

Z ∞ 0

e−sx α

xα+1dx = αsαΓ(−α, s)

Tương tự, biến đổi Laplace–Stieltjes của phân phối US–Pareto là:

F∗(s) = α(as)αeasΓ(−α, as)

Abate, Choudhury và Whitt [1] xây dựng một vài lớp liên quan của biến ngẫunhiên gọi là hỗn hợp của Pareto và mũ, đó là tích của biến ngẫu nhiên Pareto vàbiến ngẫu nhiên mũ và điều này dẫn đến dạng biến đổi Laplace–Stieltjes hoàntoàn rõ ràng

Kết quả của bài toán xác suất phá sản trong mô hình thặng dư bảo hiểm đốivới trường hợp phân phối số tiền bồi thường bảo hiểm cho khách hàng có phânphối đuôi nặng còn rất hạn chế Sau khi hoàn thành luận án này, chúng tôi tiếptục nghiên cứu bài toán xác suất phá sản trong trường hợp phân phối số tiềnbồi thường bảo hiểm cho khách hàng có phân phối đuôi nặng

1.3 Một số kết quả gần đây của bài toán xác suất phá sản

Mục này giới thiệu một số kết quả gần đây của bài toán xác suất phá sảntrong mô hình thặng dư bảo hiểm Cramér–Lundberg Mô hình này được mô tảmột cách ngắn gọn trong Mục 1.1, chúng ta khám phá một vài hướng đặc biệt

và một số kết quả gần đây của bài toán xác suất phá sản của công ty bảo hiểm.Khi đó, chúng tôi trình bày một vài hướng tiếp cận bài toán xác suất phá sảncủa công ty bảo hiểm căn cứ vào những tính chất của phân phối số tiền bồithường bảo hiểm và quá trình đếm số khách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm.Xấp xỉ hàm mật độ phân phối mũ ma trận thường xảy ra trong lý thuyết rủi

ro, lý thuyết xếp hàng (queueing theory), toán tài chính và một số nhánh ápdụng lý thuyết xác suất, mà kết quả của nó rõ ràng hơn đối với trường hợp hàmmật độ của dữ liệu đầu vào ξ1, ξ2, trong đó ξi ∈ R+, i = 1, 2, là tổ hợpcủa các phân phối mũ với phần mũ âm

Điều này đưa ra xấp xỉ độ đo quan trắc của dữ liệu bởi thứ tự của tổng phânphối mũ (square sum of exponentials) [38]

Pl i=1bisi,trong đó a0, a1, al−1, b0, b1, bl là những số thực Hơn nữa, bài toán 1.7tương đương với giả thiết rằng hàm mật độ xấp xỉ thỏa hệ phương trình tuyếntính thuần nhất với hệ số hằng hoặc bài toán có thể biểu diễn được dưới dạngphân phối mũ ma trận

Bài toán xấp xỉ hàm mật độ phân phối mũ ma trận là lớp những bài toánkhó của ứng dụng xác suất, bài toán này bắt nguồn từ kết quả của Erlang, 1909

và Cox, 1955 Đây cũng là chủ đề chính trong luận án này

Trong lý thuyết rủi ro và lý thuyết xếp hàng, một vài kết quả xấp xỉ mũ matrận của bài toán hàm mật độ xác suất phá sản được biết đến đó là kết quảRenyi, De Vylder, đạt được bằng cách fitting một, hai hoặc ba moment củaphân phối thời gian phá sản τ [47, 48, 41]

Từ mô hình thặng dư bảo hiểm của chương này, chúng tôi sử dụng các phươngpháp xấp xỉ và biểu diễn mũ ma trận để đưa ra công thức xấp xỉ xác suất phásản và công thức tường minh xác suất phá sản trong mô hình Cramér–Lundbergcủa chương tiếp theo

Bố cục chương này được tổ chức như sau: định nghĩa và một vài tính chất củaphân phối mũ ma trận được trình bày trong Mục 2.1; Mục 2.2 trình bày xấp xỉPadé và biểu diễn mũ ma trận của xấp xỉ Padé; Công thức tính xác suất phásản trong miền thời gian hữu hạn và vô hạn của công ty bảo hiểm được trìnhbày trong Mục 2.3; Một vài ví dụ số minh họa cho hai công thức tính xác suấtphá sản trong miền thời gian hữu hạn và vô hạn của công ty bảo hiểm trong môhình Cramér–Lundberg được trình bày trong Mục 2.4.

2.1 Phân phối mũ ma trận và biểu diễn mũ ma trận

Phân phối mũ ma trận (ME) trước tiên được xây dựng bởi Cox [28], đó làmột hàm phân phối với biến đổi Laplace là hàm hữu tỷ Sau đó, phân phối MEđược áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như lý thuyết rủi

ro, lý thuyết xếp hàng, lý thuyết đổi mới, Phân phối ME được xây dựng vàtrình bày tốt trong kết quả của Asmussen và O’Cinneide [9]

Định nghĩa 2.1.1 Một biến ngẫu nhiên không âm T có phân phối mũ ma trận(ME) nếu hàm mật độ của phân phối đó có dạng:

f∗(s) =

Z ∞ 0

f∗(s) = a0+ a1s + · · · + ans

n

b0+ b1s + · · · + bnsn+ sn+1, (2.3)trong đó tất cả a0, a1 an, b0, b1 bn là những số thực

Chúng ta có thể xem p(s) = a0+ a1s + · · · + ansn và q(s) = b0+ b1s + · · · +

bnsn + sn+1 tương ứng là tử số và mẫu số của LST

LST của phân phối mũ ma trận có thể viết dưới dạng hàm hữu tỷ (2.3), ápdụng mệnh đề 2.3 của Bladt [17], hàm mật độ của phân phối mũ ma trận có thểviết dưới dạng phương trình (2.1) với

.01

xem Bladt [17] và Fackrell [41]

Nhận xét 2.1.1 Trang 64 trong luận án của Frackell [40] đã chỉ ra rằng phânphối với LST hữu tỷ (2.3) được biểu diễn dưới dạng của phối mũ ma trận nhưphương trình (2.4).

Biểu diễn mũ ma trận của LST hữu tỷ không duy nhất và cũng không nhấtthiết phải duy nhất [40, p.69-70,5.4] Cấp của phân phối mũ ma trận được xácđịnh là cấp độ nhỏ nhất của biểu diễn phân phối mũ ma trận Nếu LST củaphân phối mũ ma trận có dạng đa thức hữu tỷ như (2.3), thì bậc của mẫu sốđược gọi là cấp của phân phối mũ ma trận Chúng ta có thể tìm thấy biểu diễn

mũ ma trận của công thức (2.3) như công thức (2.4)

Biểu diễn mũ ma trận như phương trình (2.4) là quan trọng bởi các lý dosau:

• Có tương ứng một-một giữa LST hữu tỷ và phân phối mũ ma trận,

• Luôn luôn có thể tìm được biểu diễn phân phối mũ ma trận với chỉ cáctham số thực (chứng minh có thể xem [17]),

• Giá trị riêng của ma trận A là nghiệm của phương trình:

b0+ b1s + · · · + bnsn + sn+1 = 0

Tính giá trị của hàm phân phối mũ ma trận và hàm mật độ của phân phối

mũ ma trận xem kết quả của Moler và Van Loan [62]

2.2 Xấp xỉ Padé của hỗn hợp phân phối mũ (hyper-exponential

distribution)

Trong mục này, chúng tôi nghiên cứu xấp xỉ hàm mật độ xác suất của lượngkhách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm đã cho f (t) bằng hàm mật độ của hỗnhợp phân phối mũ (hyper-exponential):

trong đó mk là moment bậc k và s được giả sử là số thực

Chúng ta bắt đầu bằng phương pháp chặt cụt đối với LST ở bậc 2n − 1,

∞

X

k=0

(−1)kk! mks

k ∼= Pn−1k=0aksk

Pn k=0bksk, (2.7)

với a0 = b0, bn = 1 và ∼= có nghĩa là gần bằng.

Phương trình (2.7) cũng được gọi là phân phối đuôi nhẹ (light tailed bution) với LST hữu tỷ

distri-Ý tưởng trong mục này là chúng ta sử dụng 2n − 1 hệ số đầu tiên của LST

f∗(s) có nghĩa là sử dụng 2n − 1 moment đầu tiên của phân phối lượng tiềnkhách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm để ước lượng tử số và mẫu số của đathức hữu tỷ của LST

Tìm “tham số LST” ("Laplace parameters") ai, bi trong phương trình (2.7)hoàn toàn chỉ là giải hệ 2n phương trình tuyến tính:

Nhận xét 2.2.1 Nhiều tác giả đã sử dụng các phương pháp khác nhau như hệ

số chuỗi Taylor, nội suy Legendre, nội suy Chebyshev và hệ kỳ dị (singular valuedecomposition) [52, 46, 54, 53] để đạt được xấp xỉ Padé

Bây giờ chúng ta minh họa thuật toán bằng một vài ví dụ

Ví dụ 2.2.1 Xét hàm mật độ phân phối Gamma với tham số hình thức β = 0.5

và tham số tỷ lệ η = 1 được cho bởi:

f (t) = √1

πt exp(−t),

có moment bậc k, mk = (0.5)(1.5) · · · (0.5 + k − 1), k = 1, 2, [52] Chúng taxét những trường hợp khác nhau phụ thuộc vào n

1 n = 2:

Chúng ta xét biến đổi Laplace hữu tỷ:

f∗(s) = 8 + 4s

8 + 8s + s2.Biến đổi Laplace ngược của hàm mật độ ước lượng được cho bởi hỗn hợphàm mật độ phân phối mũ như sau:

f (t) = 2 exp(−4t)(2 cosh(2.8284t) − 1.4142 sinh(2.8284t))

Hàm mật độ ước lượng f (t) được vẽ trong hình 2.1a

Hàm mật độ ước lượng f (t) được vẽ trong hình 2.1c.

(a) P ade(1, 2) (b) P ade(2, 3) (c) P ade(3, 4).

Hình 2.1: Hàm mật độ gốc (đỏ), hàm mật độ ước lượng (xanh).

Ví dụ 2.2.2 Xét hàm mật độ phân phối Weibull với tham số hình thức β = 1.5

và tham số tỷ lệ η = 1 được cho bởi:

Biến đổi Laplace ngược của hàm mật độ ước lượng là hàm mật độ của hỗnhợp phân hợp phân phối mũ:

f (t) = exp(−1.9077t)(0.1088 cos(0.6831t) + 5.7072 sin(0.6831t)

Hàm mật độ ước lượng f (t) được vẽ trong hình 2.2a

Hàm mật độ ước lượng f (t) được vẽ trong hình 2.2b

f (t) = (3.4349 ± 42.6777i) exp((−2.8952 ± 0.2756i))+ (−3.3588 ± 7.9287i) exp((−2.7519 ± 1.1562)t)

Hàm mật độ ước lượng f (t) được vẽ trong hình 2.2c

(a) P ade(1, 2) (b) P ade(2, 3) (c) P ade(3, 4).

Hình 2.2: Hàm mật độ gốc (đỏ), hàm mật độ ước lượng (xanh).

Nhận xét 2.2.2 Kiểm tra tính không âm của hàm mật độ ước lượng là mộtbài toán không dễ Trong phần này, chúng ta xét tính không âm của hàm mật

độ ước lượng bằng đồ thị

2.3 Xác suất phá sản trong miền thời gian hữu hạn và vô hạn

Biến đổi Laplace là ánh xạ đi từ miền thời gian t vào miền thời gian s Biến

s thường phải nhận những giá trị phức Đây là phương pháp thường được sửdụng để giải phương trình vi phân tuyến tính bằng cách sử dụng hàm mũ vàtích phân

Trong trường hợp, X(t) là quá trình Cramér–Lundberg (1.1) Đặt τ = inf{s >

0 : X(s) < 0} là thời điểm phá sản, Y = −X(τ ) Xác suất phá sản của công tybảo hiểm là Ψ(x, t, y) = {τ < t, Y ≤ y} Khi đó, biến đổi Laplace của hàm xácsuất phá sản tương ứng với các biến là:

ψ∗(x, t, b) =

Z ∞ 0

exp(−by)∂Ψ(x, t, y)

ψ∗∗(z, t, b) =

Z ∞ 0

Z ∞ 0

Z ∞ 0

Z ∞ 0

exp(−by − zx − st)∂

3Ψ(x, t, y)

∂y∂x∂t dydxdt.Các định nghĩa LST này có thể tìm thấy trong bài báo của Garcia [45]

Khi hàm mật độ của lượng khách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm có thểbiểu diễn dưới dạng hàm mật độ của phân phối mũ ma trận

f (t) = α exp(At)a;

LST của hàm xác suất phá sản được tính bằng cách áp dụng Định lý 2.3.1.Định lý 2.3.1 Nếu X(t) là quá trình rủi ro Cramér–Lundberg (1.1) với hàmmật độ của lượng khách yêu cầu bồi thường bảo hiểm biểu diễn dưới dạng mũ

ma trận (α, A) và a là số dương, thì LST của hàm xác suất phá sản là:

ψ∗(x, t, b) = π exp(Qx) exp(Ay)a, (2.11)

ψ∗∗(z, t, b) = π exp(Qx)(bI − A)−1a, (2.12)

ψ∗∗∗(z, s, b) = π(sI − Q)−1(bI − A)−1a, (2.13)trong đó

sa là nghiệm không âm của phương trình Lundberg

= π[sI − (A + aπ)]−1(bI − A)−1a.

Sử dụng LST ngược của hàm LST bậc ba, chúng ta thu được công thức (2.12)

và (2.11) Công thức này tương tự như công thức về tính duy nhất của Blatd[17]

Nhận xét 2.3.1 Khi a = 0 (sa = 0) và y = 0, xác suất phá sản của công tybảo hiểm trong miền thời gian hữu hạn được tìm thấy từ Định lý 2.3.1 như sau:

ψ∗(x, t, 0) = π exp(Qx)a = Ψ(x, t) (2.15)Kết quả này được tác giả công bố trong bài báo [78] vào năm 2015

Bổ đề 2.3.1 Nếu X(t) là quá trình thặng dư (1.1) với biểu diễn mũ ma trậncủa hàm mật độ lượng khách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm (α, A) và a là

số dương, thì xác suất phá sản trong miền thời gian vô hạn của công ty bảo hiểmđược cũng có biểu diễn mũ ma trận (η, B), trong đó:

Z ∞ 0

∂2Ψ(x, t, y)

Trong trường hợp t → ∞ và y = 0, phương trình (2.16) trở thành:

ψ∗∗(z, t, b) = η exp(Bx)1 = Ψ(x), (2.17)với

2.4 Kết quả số

2.4.1 Xác suất phá sản trong miền thời gian hữu hạn

Trong mục này, chúng tôi minh họa thuật toán số đối với xác suất phá sảntrong miền thời gian hữu hạn của công ty bảo hiểm bằng phương pháp của hỗnhợp phân phối mũ với những giá trị vốn ban đầu x khác nhau Chúng tôi giả

sử cường độ khách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm λ = 1 Chúng tôi cũng

sử dụng giả thiết c = 1 thay cho hệ số an toàn θ của công ty và nhớ lại rằng

1



!

Hình 2.3: Xác suất phá sản với phân phối lượng khách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm Gamma.

Ví dụ 2.4.2 Chúng ta xét trường hợp phân phối của lượng khách hàng yêucầu bồi thường bảo hiểm là phân phối Weibull như ví dụ 2.2.2

1



!







Xác suất phá sản trong miền thời gian hữu hạn với vốn ban đầu x khác nhaucủa công ty bảo hiểm được trình bày trong Bảng 2.2 và đồ thị của chúng được

2.4.2 Xác suất phá sản trong miền thời gian vô hạn

Định nghĩa 2.4.3 Một biến ngẫu nhiên T được gọi là phân phối mũ nếu hàmmật độ được cho bởi:

Ψ1(x) = 0.76923 exp(−0.34615x).

Tương tự, trường hợp phân phối lượng khách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm

là phân phối mũ với cường độ đến β = 1.8, 1, 0.5, áp dụng công thức (2.21),công thức nghiệm chính xác của xác suất phá sản trong miền thời gian vô hạncủa công ty bảo hiểm được tìm thấy tương ứng:

0 7.692307693e-01 7.692307689e-01 7.692307692e-01 7.692307692e-01

5 1.362677615e-01 9.639631111e-02 2.426317497e-01 4.320182953e-01

10 2.413957366e-02 1.207992343e-02 7.653121574e-02 2.426317497e-01

15 4.276279367e-03 1.513798075e-03 2.413957361e-02 1.362677613e-01

20 7.575347217e-04 1.897019152e-04 7.614135077e-03 7.653121574e-02

25 1.341958290e-04 2.377253430e-05 2.401660191e-03 4.298175097e-02

30 2.377253478e-05 2.979059996e-06 7.575347186e-04 2.413957361e-02

35 4.211259130e-06 3.733215125e-07 2.389425665e-04 1.355735868e-02

40 7.460165109e-07 4.678286166e-08 7.536756887e-05 7.614135077e-03

45 1.321553999e-07 5.862603874e-09 2.377253455e-05 4.276279353e-03

50 2.341107668e-08 7.346734031e-10 7.498363176e-06 2.401660191e-03

Bảng 2.3: Xác suất phá sản với lượng khách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm có phân phối mũ.

Định nghĩa 2.4.5 Hỗn hợp n phân phối mũ (hyper-exponential với cấp độ

n hay tổng của n phân phối mũ) với các cường độ βk và các trọng số αk,

k = 1, 2, , n là hàm phân phối xác suất liên tục của biến ngẫu nhiên T màhàm mật độ xác suất của nó được cho bởi:

Trong trường hợp phân phối lượng khách hàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm

là hỗn hợp hai phân phối mũ với hai cường độ đến β1, β2 và hai trọng số

α1, α2 = 1 − α1, biểu diễn mũ ma trận của hỗn hợp hai phân phối mũ được tìmthấy từ công thức (2.23) như sau:

α = (α1, α2), A =−β1 0

0 −β2

, a = β1

β2



Khi đó, từ phương trình (2.17) xác suất phá sản trong miền thời gian vô hạncủa công ty bảo hiểm được tìm thấy trong phương trình (2.24):

!

Công thức chính xác của xác suất phá sản trong miền thời gian vô hạn củacông ty bảo hiểm trong một số trường hợp đặc biệt của phân phối lượng kháchhàng yêu cầu bồi thường bảo hiểm được trình bày trong ví dụ bên dưới

Ví dụ 2.4.6 Trong trường hợp phân phối lượng khách hàng yêu cầu bồi thườngbảo hiểm là hỗn hợp hai phân phối mũ với hai cường độ đến β1 = 12, β2 = 2

và hai trọng số α1 = 13, α2 = 1 − α1 như trong ví dụ của Garcia [45], áp dụngcông thức (2.24), áp dụng công thức (2.24), công thức chính xác của xác suấtphá sản trong miền thời gian vô hạn của công ty bảo hiểm là:

ΨG(x) = 0.04552 exp(−1.58519x) + 0.72371 exp(−0.14558x)