Bài giảng toán rời rạc chương 4 TS đặng xuân thọ

Suy luận và kiểm chứng chương trình  Điều cần nhất cho người học CNTT là tư duy chính xác phải được hình thành ngay từ đầu..  Mục tiêu của chương là cung cấp  Những suy luận đúng đắn

Trang 1

TOÁN RỜI RẠC (DISCRETE MATHEMATICS)

Bùi Thị Thủy Đặng Xuân Thọ

Trang 2

Toán rời rạc - ĐHSPHN

2

Trang 3

NỘI DUNG

Toán Rời Rạc - ĐHSPHN

3

Trang 4

Chương 4 Suy luận và kiểm chứng chương trình

 Điều cần nhất cho người học CNTT là tư duy chính xác phải được hình thành ngay từ đầu

 Mục tiêu của chương là cung cấp

 Những suy luận đúng đắn

 Những công cụ xây dựng nên các suy luận đó

 Làm thế nào để kiếm chứng 1 chương trình máy tính?

 Thử với dữ liệu có sẵn?

 Tính đúng đắn chỉ có thể bảo đảm được bằng chứng minh nó luôn tạo ra kết quả đúng

4

Trang 5

Các quy tắc suy luận

5

Trang 6

Các suy diễn có cơ sở

 Suy diễn trực tiếp

 Ví dụ:

 p: “Trời mưa”; q: “Chúng ta không đi làm”

 𝑝 → 𝑞: “Nếu trời mưa thì chúng ta không đi làm”

 Nếu p xảy ra, và nếu suy diễn này là đúng thì q xảy ra

6

Trang 7

 Luật cộng

 Ví dụ:

 p: “Bây giờ trời đang mưa”; q: ”Trời tối”

 Luật cộng có thể nói: “Bây giờ trời đang mưa hoặc trời tối”

7

Trang 8

 Luật rút gọn

 Ví dụ:

 p ^ q: “Bây giờ trời đang mưa và trời tối”

 Thì ta có thể suy ra: “Bây giờ trời đang mưa”

8

Trang 9

 Luật gián tiếp

 Ví dụ:

 p: “Trời mưa”; q: “Trời sấm chớp”

 Như vậy nếu mệnh đề “Trời mưa thì trời sấm chớp” là đúng và không có “Trời sấm chớp” thì suy ra không có “Trời mưa”

9

Trang 10

 Tam đoạn luận

 Ví dụ:

 p: “Trời mưa”; q: “Chúng ta không đi chơi ngoài trời hôm nay”; r: “Chúng ta đi chơi ngoài trời ngày mai”

 Như vậy chúng ta suy ra là “Trời mưa hôm nay thì chúng ta đi chơi ngoài trời ngày mai”

10

Trang 11

Trang 12

12

Trang 13

13

Trang 14

Luyện tập

 Quy tắc suy diễn nào được sử dụng trong các lập luận sau:

1 Ai học giỏi môn Toán cũng sẽ học giỏi môn Toán hoặc môn

Tin

2 Nêu bạn giỏi cả hai môn Toán và Văn thì bạn học giỏi môn

Toán

3 Nếu trời mưa thì trận bóng đá sẽ bị hoãn lại Hôm nay trời

mưa thật, thế thì trận bóng đá chắc chắn sẽ bị hoãn lại rồi

4 Nếu hôm nay trời mưa thì trận đá bóng sẽ bị hoãn lại Trận

bóng đá đã diễn ra, do vậy hôm nay trời không mưa

5 Nếu bạn bơi lâu dưới nắng thì da bạn sẽ bị rám nắng Da bạn

bị rám nắng thì trông thật là đen Vậy nếu bạn bơi lâu dứoi nắng thì trông bạn thật đen

6 Nếu bạn làm bài tập thật chăm chỉ thì bạn có thể nắm vững

giáo trình này Nếu bạn nắm vững giáo trình thì bạn sẽ thi đỗ

kỳ thi tốt nghiệp Vậy nếu bạn làm bài tập thật chăm chỉ thì bạn

sẽ thi đỗ kỳ thi tốt nghiệp

14

Trang 15

Vị ngữ, lượng từ, định lý

15

Trang 16

 Ví dụ: x = 3

16

Trang 17

Lượng từ với mọi

 Định nghĩa: Cho trước một hàm mệnh đề P(x)

xác định trên một tập X Khi đó câu “ P(x) đúng cho mọi giá trị x  X ” là một mệnh đề, kí hiệu

 x P(x) Mệnh đề này gọi là lượng từ với mọi

của hàm mệnh đề P(x) cho trước

 Ví dụ:

 P(x): “x tốt nghiệp”; x là biến “sinh viên”; X là miền

“sinh viên khóa 53”

 xP(x):“mọi sinh viên khóa 53 đều đã tốt nghiệp”

17

Trang 18

Lượng từ với mọi

Trang 19

Lượng từ tồn tại

 Định nghĩa: Cho trước một hàm mệnh đề P(x)

xác định trên một tập X Khi đó câu “ tồn tại x 

X sao cho P(x) đúng ” là một mệnh đề, kí hiệu

 x P(x) Mệnh đề này gọi là lượng từ tồn tại

của hàm mệnh đề P(x) cho trước

 Ví dụ:

 Cho P(x): “x2 + 1 = 0” trên miền số thực

 xP(x): “tồn tại x sao cho x2 + 1 = 0” có giá trị F

19

Trang 21

Biến ràng buộc

 Trong hàm logic nhiều biến, không phải biến nào cũng được lựa chọn tự do, có những biến

có miền xác định phụ thuộc vào biến khác

 Thường được thể hiện trong phát biểu của

Trang 22

Biến ràng buộc

 Cho hàm mệnh đề P(x, y) với hai biến x, y,

trong đó y ràng buộc bởi x Có các khả năng sau:

 xyP(x, y): với mọi x, P(x, y) luôn đúng cho mọi y

 xyP(x, y): với mọi x, P(x, y) đúng cho một y nào đó

 xyP(x, y): tồn tại x, P(x, y) luôn đúng cho mọi y

 xyP(x, y): tồn tại x, P(x, y) đúng cho một y nào đó

22

Trang 23

Biến ràng buộc

 Quy tắc phủ định

 Ví dụ:

 Phủ định của lượng từ với mọi: “Với mọi x ta có x 2  0”

 Là lượng từ tồn tại: “Tồn tại x sao cho x 2 < 0”

 Phủ định của lượng từ tồn tại: “Tồn tại x sao cho x 2 +1=0”

 Là lượng từ với mọi: “Với mọi x ta có x 2 +1  0”

Trang 25

Định lý và lượng từ

 Ví dụ: chứng minh các phương trình sau luôn có

nghiệm với các số thực a tùy ý:

 a) x2 + ax – 1 = 0

 b) x2003 + ax + 1 = 0

 a) nghiệm cụ thể 𝑥1,2 = −𝑎± 𝑎2+4

2

 b) với x > max{|a|,1} thì f=x 2003 +ax+1>0

với x < min{-|a|,-2} thì f=x 2003 +ax+1<0

do f là hàm liên tục nên tồn tại x0 sao cho f(x0)=0

25

Trang 26

 x≦P(x) x≦P(x)

 Dùng lượng tử diễn đạt các câu nói sau, phủ định chúng rồi dịch ngược lại:

 Mọi người ai cũng thích môn Toán rời rạc

 Có một người đã học tất cả các môn Toán

 Chưa có ai nhìn thấy chiếc máy tính lượng tử

Trang 27

Đệ Quy

27

Trang 29

Định nghĩa các hàm bởi đệ quy

 Quy tắc xây dựng hàm dạng f(n)

 Xác định giá trị của hàm tại n = 0

 Xác định mối quan hệ của f(n + 1) với f(n)

Trang 30

Định nghĩa các hàm bởi đệ quy

 Dãy số Fibonaci

 Bài toán cổ về việc sinh sản các cặp thỏ:

 Các con thỏ không bao giờ chết

 Hai tháng sau khi ra đời một cặp thỏ mới sẽ sinh

Trang 32

Định nghĩa các tập hợp bởi đệ quy

 Quy tắc xây dựng

 Đưa ra tập xuất phát

 Xây dựng phần tử mới từ những phần tử đã biết

 Ví dụ: cho B là tập hữu hạn các chữ cái Tập

B* là các từ xây dựng trên B là tập thỏa mãn:

 Từ rỗng thuộc B *

 Nếu w  B * và b  B * thì wb  B *

32

Trang 33

Kiểm Chứng Chương Trình

33

Trang 35

Kiểm chứng chương trình

 Định nghĩa Chương trình hay đoạn chương

trình S được gọi là đúng bộ phận đối với mệnh

đề khẳng định đầu p và mệnh đề khẳng định cuối q, nếu p là đúng với các giá trị vào của S

và nếu S kết thúc thì q đúng với các giá trị đầu

ra của S

 Kí hiệu: p{S}q

35

Trang 37

Trang 38

 Câu lệnh điều kiện: If (điều kiện) r then S

Trang 39

 Câu lệnh điều kiện: If (điều kiện) r then

 Ví dụ: CMR đoạn chương trình If x>y then y:=x

đúng với khẳng định đầu p = T và khẳng định cuối

Trang 40

 Câu lệnh điều kiện: If (điều kiện) r then S1

else S2

1 2

( ){S }q ( ){ }q {If r then S else S }q

Trang 41

 Ví dụ: CMR đoạn chương trình

If (x<0) then (abs := -x) else (abs := x)

đúng với khẳng định đầu p = T và khẳng định cuối

Trang 42

 Câu lệnh vòng lặp: While (điều kiện) r do S

 S được thực hiện mãi cho tới khi r trở thành sai

 Bất biến vòng lặp: là một khẳng định vẫn đúng sau khi thực hiện S

 Như thế, nếu (pr){S}p đúng thì p là bất biến vòng lặp

42

Trang 43

 Giả sử p là một bất biến vòng lặp, thì p đúng trước khi đoạn chương trình thực hiện và p, r đúng sau khi kết thúc

 Quy tắc suy luận:

( ){S}q {W r do S}(p r)

Trang 44

 Ví dụ: Dùng bất biến vòng lặp CM đoạn

chương trình: (n nguyên dương)

i := 1; giaithua := 1;

while (i < n) do begin

Trang 45

 Giả sử p: “giaithua := i! cho mọi i  n”

 Với i = 1 thì giaithua = 1 = 1! Nên p đúng

 Giả sử p đúng sau i vòng lặp với i < n, khi đó giaithua = i!

 Vòng lặp được thực hiện thêm lần nữa, khi i tăng lên 1 thành i+1 và vẫn chưa vượt n Khi

đó giaithua = i! * (i+1) = (i+1)!

 Như vậy sau vòng i+1 thì p vẫn còn đúng Vậy

p là bất biến vòng lặp

45

Trang 46

Đoạn chương trình nhiều câu lệnh

 Ví dụ: hãy kiểm chứng chương trình sau đúng là

chương trình tính tích của hai số nguyên

procedure multiply(m,n: integer);

if n<0 then a:= - n else a:= n;

k := 0;

x := 0;

while k<a do begin

x:=x+m;

k:=k+1;

end;

if n<0 then product := -x else product := x;

Trang 47

Đoạn chương trình nhiều câu lệnh

 Gọi p là khẳng định đầu “m và n là các số nguyên”

Trang 48

là đúng với khẳng định đầu y=3 và khẳng định cuối z=7

48

Trang 49

Luyện tập

 Dùng bất biến vòng lặp chứng minh đoạn

chương trình tính lũy thừa bậc nguyên dương

Trang 50

THANK YOU!

Tiêu đề	Suy Luận Và Kiểm Chứng Chương Trình
Tác giả	Bùi Thị Thủy, Đặng Xuân Thọ
Người hướng dẫn	TS. Đặng Xuân Thọ
Trường học	Đhsp Hn
Chuyên ngành	Toán Rời Rạc
Thể loại	bài giảng

Định dạng
Số trang	50
Dung lượng	769,95 KB