Bài giảng toán rời rạc chương 4 nguyễn quỳnh diệp

Nếu có n1 để làm nhiệm vụ thứ nhất và n2 cách để làm nhiệm vụ thứ hai sau khi nhiệm vụ thứ nhất đã được hoàn thành, thì sẽ có n1.n2 cách thực hiện thủ tục này Ví dụ 2: Có nhiều nhất b

ĐẾM CÁC PHẦN TỬ

Nguyễn Quỳnh Diệp

diepnq@tlu.edu.vn

CHƯƠNG 4

4.1 CƠ SỞ CỦA PHÉP ĐẾM

CƠ SỞ CỦA PHÉP ĐẾM

QUY TẮC NHÂN

Ví dụ 1: Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài 7?

Giả sử một thủ tục nào đó được tách ra thành một dãy hai

nhiệm vụ Nếu có n1 để làm nhiệm vụ thứ nhất và n2 cách

để làm nhiệm vụ thứ hai sau khi nhiệm vụ thứ nhất đã

được hoàn thành, thì sẽ có n1.n2 cách thực hiện thủ tục

này

Ví dụ 2: Có nhiều nhất bao nhiêu biển đăng kí ô tô nếu mỗi

biển chứa một dãy ba chữ cái và tiếp sau là ba chữ số?

CƠ SỞ CỦA PHÉP ĐẾM

QUY TẮC CỘNG

Ví dụ 1:

Để đi từ thành phố A đến thành phố B có thể đi bằng tàu, xe ô tô

hoặc đi máy bay Có 12 chuyến máy bay từ A tới B, có 5 chuyến

tàu và 10 chuyến ô tô Hỏi có bao nhiêu lựa chọn để đi từ A đến B?

Giả sử có hai nhiệm vụ Nhiệm vụ thứ nhất có thể được

thực hiện bằng n1 cách, nhiệm vụ thứ hai có thể thực hiện

bằng n2 cách và nếu hai việc này không thể làm đồng thời, thì sẽ có n1+n2 cách làm một trong hai nhiệm vụ đó.

NHỮNG BÀI TOÁN PHỨC TẠP HƠN

Ví dụ 1: Mật khẩu để đăng nhập máy tính:

• Dài từ 6 đến 8 kí tự

• Mỗi kí tự là 1 chữ cái

• Hỏi có thể có bao nhiêu mật khẩu?

• Những bài toán phức tạp có thể giải được nếu sử dụng kết hợp cả

hai quy tắc nhân và quy tắc cộng

Ví dụ: Có bao nhiêu xâu nhị phân độ dài 8 bít: hoặc được

bắt đầu bằng bit 1, hoặc kết thúc bằng hai bít 00

BÀI TẬP

 Bài 1: Có bao nhiêu xâu nhị phân có độ dài bằng 10 và có bit đầu tiên và bit cuối cùng bằng 1

 Bài 2: Có bao nhiêu xâu gồm 8 chữ cái tiếng anh

a) nếu các chữ cái có thể lặp lại

b) nếu không chữ cái nào lặp lại

c) bắt đầu với chữ cái X và nếu các chữ cái có thể được lặp lại

4.2 NGUYÊN LÍ CHUỒNG CHIM BỒ CÂU

NGUYÊN LÍ CHUỒNG CHIM BỒ CÂU

• Giả sử có một đàn chim bồ câu và một số chuồng

• Nguyên lí chuồng chim bồ câu : nếu số chim nhiều

hơn số ngăn chuồng thì ít nhất trong một ngăn có 2 con hoặc nhiều hơn.

Định lí 1

Nếu có (k+1) đồ vật hoặc nhiều hơn được đặt vào k hộp,

NGUYÊN LÍ CHUỒNG CHIM BỒ CÂU

Ví dụ: Có 7 quả bóng và có 5 hộp để đựng, ít nhất có 1 hộp có

ít nhất 2 bóng

NGUYÊN LÍ DIRICHLET TỔNG QUÁT

NGUYÊN LÍ DIRICHLET TỔNG QUÁT

Ví dụ 2:a Cần phải chọn ít nhất bao nhiêu quân bài trong một bộ bài

chuẩn gồm 52 quân để đảm bảo có 3 quân bài cùng một chất

b Cần phải chọn bao nhiêu quân bài để đảm bảo ít nhất có

ba quân bài cơ được chọn

Ví dụ 3: Có 51 ngôi nhà trong một phố Mỗi ngôi nhà có địa chỉ

nằm từ 1000 đến 1099 Chứng tỏ rằng có ít nhất hai nhà

có địa chỉ là hai số nguyên liên tiếp

BÀI TẬP

 Bài 3: Hỏi phải có bao nhiêu sinh viên tham gia học đến từ 50 bang để đến khi tốt nghiệp ít nhất có 100 sinh viên thuộc cùng 1 bang

4.3 CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP

HOÁN VỊ

• Hoán vị của một tập các đối tượng là một cách sắp xếp

có thứ tự các đối tượng này.

• Hoán vị của n phần tử = n!

Ví dụ: • Cho tập S gồm các phần tử {a, b, c}

• Các hoán vị của tập S:

{ a, b, c} {b, a, c} {b, c, a} {c, b, a} {c, a, b} {a, c, b}

HOÁN VỊ VÀ CHỈNH HỢP

Ví dụ 1:

Có bao nhiêu hoán vị của các chữ cái A, B, C, D, E, F, G, H

có chứa xâu ABC

Ví dụ 3:

TỔ HỢP

Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách tuyển năm trong số mười cầu thủ của

một đội quần vợt để đi thi đấu tại một trường khác

Ví dụ 2: Xác định số xâu bit có độ dài n và chứa đúng r bit 1

Ví dụ 3: Xác định số cách lựa chọn một hội đồng để triển khai môn

toán rời rạc tại một trường đại học, nếu hội đồng gồm 3thành viên của khoa toán, bốn thành viên của khoa tin.Khoa toán có 9 thành viên, khoa tin có 11 thành viên

Hệ quả 1

Cho n và r là các số nguyên không âm sao cho r  n Khi

đó: C(n,r) = C(n, n-r)

BÀI TẬP

 Bài 4: Có sáu ứng cử viên tranh cử chức thống đốc bang

Tính số cách in tên của các ứng cử viên lên phiếu bầu cử.

 Bài 5: Có bao nhiêu xâu bit độ dài 10 chứa:

a) Đúng 4 bít 1 b) Nhiều nhất 4 bít 1 c) Ít nhất 4 bit 1

d) Số bít 0 bằng số bit 1

4.4 CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP SUY RỘNG

các phần tử được lặp lại.

Có C(n+r-1,r) số tổ hợp lặp chập r từ tập n

phần tử.

Định lí 2

CHỈNH HỢP VÀ TỔ HỢP SUY RỘNG

Ví dụ 1: Trong đĩa hoa quả có táo, cam, lê, mỗi loại có ít nhất 4 quả

tính số cách lấy 4 quả từ đĩa này nếu thứ tự các quả được

chọn không quan trọng

Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách đặt 10 viên bi giống hệt nhau vào tám

ngăn phân biệt?

Có bao nhiêu cách chọn năm tờ giấy bạc từ một két đựngtiền gồm những tờ có mệnh giá 1$, 2$, 5$, 10$, 20$, 50$

và 100$ Giả sử thứ tự mà các tờ tiền được chọn ra làkhông quan trọng, các tờ tiền cùng loại là không phân biệt

và mỗi loại có ít nhất 5 tờ

Ví dụ 3:

HOÁN VỊ VỚI CÁC PHẦN TỬ KHÔNG PHÂN BIỆT

Ví dụ:

Có thể nhận được bao nhiêu xâu khác nhau bằng cách sắp

xếp lại các chữ cái của từ SUCCESS?

• Trong bài toán đếm, một số phần tử có thể giống hệt

nhau, không phân biệt  Tránh đếm chúng hơn 1 lần

HOÁN VỊ VỚI CÁC PHẦN TỬ KHÔNG PHÂN BIỆT

Định lí 3:

Số các hoán vị khác nhau của n phần tử, trong đó có n1

phần tử thuộc loại 1, n2 phần tử thuộc loại 2, nk phần tử

thuộc loại k, bằng:

𝒏!

𝒏𝟏! 𝒏𝟐! … 𝒏𝒌!

SỰ PHÂN PHỐI CÁC VẬT VÀO TRONG CÁC HỘP

Ví dụ:

• Có bao nhiêu cách chia một cỗ bài chuẩn 52 quân thành những

tay bài gồm 5 quân cho 4 người chơi

Định lí 4:

Số cách phân phối n vật khác nhau vào k hộp khác

nhau sao cho có ni vật được đặt vào hộp thứ i, với i= 1, 2, ., k, bằng:

𝒏!

𝒏𝟏! 𝒏𝟐! … 𝒏𝒌!

 Bài 8: Có bao nhiêu cách phân phối 12 vật khác nhau vào

6 ngăn phân biệt, mỗi ngăn 2 vật.

4.5 HỆ THỨC TRUY HỒI

CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI

Hệ thức truy hồi đối với dãy số {an} là phương trình biểu diễn a n

qua một hay nhiều số hạng đứng trước nó, cụ thể là a 0 , a 1 , , a n-1

với mọi số nguyên n  n 0 ,trong đó n 0 là một số nguyên không âm

Dãy số được gọi là lời giải hay là nghiệm của hệ thức truy hồi nếu

các số hạng của nó thỏa mãn hệ thức truy hồi này

Định nghĩa 1:

Ví dụ:

Một hệ thức truy hồi a n = 2a n-1 - a n-2 với a 0 = 1, a 1 = 3

thì nghiệm của hệ thức truy hồi là:

a n = 2n+1

Hãy xác định xem dãy {an} trong đó an =3n với mọi n

nguyên không âm có phải là lời giải của hệ thức truy hồi

an = 2an-1 – an-2 với n = 2, 3, 4 hay không?

Cũng câu hỏi như vậy đối với an = 2n và an = 5

MÔ HÌNH HÓA BẰNG CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI

Ví dụ 1:

Lãi kép Giả sử một người gửi 10.000$ vào tài khoản của mình tại

một ngân hàng với lãi suất kép 11% mỗi năm Hỏi sau 30 năm anh ta

có bao nhiêu tiền trong tài khoản của mình?

MÔ HÌNH HÓA BẰNG CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI

Ví dụ 2:

Họ nhà thỏ và các số Fibonacci Một cặp thỏ mới sinh được thả

trên một hòn đảo Giả sử rằng một cặp thỏ chưa sinh sản được trướckhi đầy 2 tháng tuổi Kể từ khi chúng đầy 2 tháng tuổi, mỗi tháng

chúng đẻ được một đôi thỏ con Tìm công thức truy hồi tính số

cặp thỏ trên đảo sau n tháng với giả sử các con thỏ là trường thọ.

MÔ HÌNH HÓA BẰNG CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI

Số cặp thỏ trên đảo

số cặp đẻ thêm số cũ thêm

MÔ HÌNH HÓA BẰNG CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI

Số cặp thỏ trên đảo

số cặp đẻ thêm số cũ thêm

MÔ HÌNH HÓA BẰNG CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI

Số cặp thỏ trên đảo

số cặp đẻ thêm số cặp cũ

MÔ HÌNH HÓA BẰNG CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI

Số cặp thỏ trên đảo

số cặp đẻ thêm số cặp cũ

MÔ HÌNH HÓA BẰNG CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI

MÔ HÌNH HÓA BẰNG CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI

Ví dụ 3:

Tháp Hà Nội Do Édouard Lucas đưa ra cuối thế kỉ XIX.

MÔ HÌNH HÓA BẰNG CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI

Giải:

- Gọi H n là số bước dịch chuyển để giải câu đố tháp Hà Nội với n đĩa

- Dịch chuyển n-1 đĩa từ cọc 1 sang cọc 3, phải dùng H n-1 lần

- Dịch chuyển đĩa n từ cọc 1 sang cọc 2

- Cuối cùng, mất H n-1 lần để dịch chuyển n-1 đĩa từ cọc 3 sang cọc 2

- Ta có hệ thức truy hồi:

H n = 2.H n-1 + 1, với H 1 = 1

- H n = 2.H n-1 + 1 = 2.(2H n-2 + 1) + 1 = 22 H n-2 + 2 + 1

= 22(2.H n-3 + 1) + 2 + 1 = 23H n-3 + 22 + 2 + 1 = 2n-1 H 1 + 2n-2 + + 2 + 1

= 2n-1 + 2n-2 + + 2 + 1

= 2n -1

BÀI TẬP

 Bài 1: Giả sử a n = 2n + 5.3 n , với n = 0, 1, 2,

a) Tìm a 1 , a 2 ,a 3 và a 4 b) CM: a 2 = 5a 1 – 6a 0 , a 3 = 5a 2 – 6a 1 và a 4 = 5a 3 – 6a 2 c) CMR: a n = 5a n-1 – 6a n-2 với mọi số nguyên n  2

 Bài 2: Chứng tỏ rằng dãy {an} là nghiệm của hệ thức truy hồi

a n =a n-1 + 2a n-2 + 2n – 9 nếu:

a) a n = -n + 2 b) a = 5(-1) n – n + 2

BÀI TẬP

 Bài 3: Một nhân viên bắt đầu làm việc tại một công ti từ năm 1999 với lương khởi điểm là 50 000 đô la một năm Hằng năm anh ta

được nhận thêm 1000 đô la và 5% lương của năm trước

a) Hãy thiết lập hệ thức truy hồi tính lương của nhân viên đó sau

năm 1999 n năm.

b)Lương năm 2007 của anh ta là bao nhiêu?

c)Hãy tìm công thức tường minh tính lương của nhân viên này sau

năm 1999 n năm

4.6 GIẢI CÁC HỆ THỨC TRUY HỒI

HỆ THỨC TRUY HỒI TUYẾN TÍNH

Một hệ thức truy hồi tuyến tính thuần nhất bậc k với hệ số hằng

• Thuần nhất vì mọi số hạng đều có dạng a j nhân với hệ số

• Bậc k là vì a n được biểu diễn qua k số hạng đứng trước

HỆ THỨC TRUY HỒI TUYẾN TÍNH

Ví dụ:

- Hệ thức truy hồi P n = (1.11)P n-1 là hệ thức truy hồi tuyến tính

thuần nhất bậc nhất

- Hệ thức truy hồi a n = a n-1 + (a n-1 ) 2 không là tuyến tính

- Hệ thức truy hồi H n = 2H n-1 + 1 không là thuần nhất

- Hệ thức truy hồi B n =nB n-1 không có hệ số hằng

GIẢI HỆ THỨC TRUY HỒI TUYẾN TÍNH

• Phương trình (1) gọi là phương trình đặc trưng

• Nghiệm của phương trình (1) gọi là nghiệm đặc trưng của hệ

thức truy hồi

GIẢI HTTH TUYẾN TÍNH BẬC 2

Cho hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2 với c1 , c2 là hai số

thực, c2  0

Giả sử phương trình đặc trưng r2 – c1r – c2 = 0 có nghiệm kép r0

Khi đó {an} là nghiệm của hệ thức truy hồi nếu và chỉ nếu

GIẢI HTTH TUYẾN TÍNH TỔNG QUÁT

Cho hệ thức truy hồi an = c1an-1 + c2an-2 + ckan-k với c1 , c2 , ,

ck là các số thực.

Giả sử phương trình đặc trưng rk – c1rk-1 – – ck =0

có k nghiệm phân biệt r1, r2, , rk

Khi đó, dãy {an} là nghiệm của hệ thức truy hồi nếu và chỉ nếu

 Bài 5: Giải các hệ thức truy hồi cùng các điều kiện đầu sau:

a) a n = 2a n-1 , với n  1, a 0 = 3 b) a n = 5a n-1 - 6a n-2 , với n  2, a 0 = 1, a 1 = 0 c) a n = 4a n-1 - 4a n-2 , với n  2, a 0 = 6, a 1 = 8

4.7 NGUYÊN LÍ BÙ TRỪ

học Hỏi trong lớp này có bao nhiêu sinh viên, nếu mỗi sinh viên

theo ngành toán hoặc ngành tin hoặc theo học cả toán và tin?

Ví dụ 1:

Giả sử trong trường có 1807 sinh viên năm thứ nhất Trong số này có

453 người chọn môn tin học, 547 người chọn môn toán và 299 người

học cả hai môn toán và tin Hỏi có bao nhiêu sinh viên không theo

học toán cũng không học tin?

Ví dụ 2:

NGUYÊN LÍ BÙ TRỪ

• Trường hợp 3 tập hợp:

| A  B  C | = | A | + | B | + | C | - | A  B | - | A  C | - | C  B |

+ | A  B  C |

NGUYÊN LÍ BÙ TRỪ

Biết rằng có 1232 sinh viên học tiếng Tây Ban Nha, 879 sinh viênhọc tiếng Pháp và 114 sinh viên học tiếng Nga Ngoài ra còn biếtrằng 103 sinh viên học cả tiếng Tây Ban Nha và tiếng Pháp, 23 sinhviên học cả tiếng Tây Ban Nha và tiếng Nga, 14 sinh viên học cảtiếng Pháp và tiếng Nga Nếu tất cả 2092 sinh viên đều theo học ít

nhất một ngoại ngữ, thì có bao nhiêu sinh viên học cả ba thứ tiếng?

Ví dụ 1:

NGUYÊN LÍ BÙ TRỪ

Có bao nhiêu phần tử trong hợp của bốn tập hợp, nếu mỗi tập có 100 phần tử, mỗi cặp tập hợp có chung 50 phần tử, mỗi bộ ba tập hợp có 25 phần tử chung và có năm phần tử thuộc cả 4 tập hợp.

Ví dụ:

BÀI TẬP

 Bài 5 : Giả sử trong một sọt táo chứa 100 quả có 20 quả bị sâu và 15 quả bị giập nát Chỉ những quả táo không có sâu hoặc không giập nát mới có thể bán được Hỏi nếu có 10 quả táo vừa bị sâu vừa bị giập nát thì có bao nhiêu quả táo trong sọt có thể bán?

ỨNG DỤNG NGUYÊN LÍ BÙ TRỪ

Phương trình x1 + x2 + x3 = 11 có bao nhiêu nghiệm, trong

đó x1, x2, x3 là các số nguyên không âm với x1  3, x2  4 và

x3  6.

Ví dụ 1:

Tìm số các số nguyên tố không vượt quá 100?

Ví dụ 2:

4.4 CÁC HỆ SỐ NHỊ THỨC

HẰNG ĐẲNG THỨC PASCAL VÀ TAM GIÁC PASCAL

Định lí 1

HẰNG ĐẲNG THỨC PASCAL Cho n và k là các số nguyên

dương, với n  k Khi đó:

HẰNG ĐẲNG THỨC PASCAL VÀ TAM GIÁC PASCAL

BÀI TẬP

 Bài 7: Tìm khai triển (x + y)7

 Bài 8: Tìm hệ số của x101y99 trong khai triển của (2x-3y)200