Bài giảng giải tích 2 chương 6 TS nguyễn văn quang

Tìm phương trình tham số hàm vector của mặt cong S: ? = ? 2 + 2? 2Ví dụ Do đó phương trình tham số hàm vector của mặt cong S: Phương trình tham số mặt cong S:... Chú ý trường hợp này x

1 Tích phân mặt loại 1

2 Tích phân mặt loại 2

TailieuVNU.com T ổ ng h ợ p & S ư u t ầ m

Định nghĩa

Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) xác định trên mặt cong 𝑆

Chia 𝑆 thành 𝑛 mặt con: 𝑆 1 , 𝑆 2 , ⋯ , 𝑆 𝑛 rời nhau (không chồng lên nhau)

Cách tính

Phương trình tham số mặt cong S:

𝑥 = 𝑥 𝑢, 𝑣 , 𝑦 = 𝑦 𝑢, 𝑣 , 𝑧 = 𝑧 𝑢, 𝑣 ; 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐷 Phương trình tham số hàm vector mặt cong S:

𝐫 𝑢, 𝑣 = 𝑥 𝑢, 𝑣 𝐢 + 𝑦 𝑢, 𝑣 𝐣 + 𝑧 𝑢, 𝑣 𝐤 ; 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐷

Xác định mặt cong S biết phương trình tham số hàm vector của mặt S có dạng: 𝐫 𝑢, 𝑣 = 2𝑐𝑜𝑠𝑢 𝐢 + 𝑣 𝐣 + 2𝑠𝑖𝑛𝑢 𝐤

Ví dụ

𝑥 = 2𝑐𝑜𝑠𝑢; 𝑦 = 𝑣; 𝑧 = 2𝑠𝑖𝑛𝑢

Phương trình tham số mặt cong S:

Nếu thêm điều kiện: 0 ≤ 𝑢 ≤ 𝜋/2,0 ≤ 𝑣 ≤ 3, mặt S có dạng:

Tìm phương trình tham số hàm vector của mặt cong S: 𝑧 = 𝑥 2 + 2𝑦 2

Ví dụ

Do đó phương trình tham số hàm vector của mặt cong S:

Phương trình tham số mặt cong S:

Cách tính

Giả sử mặt cong S có phương trình tham số hàm vector:

𝐫 𝑢, 𝑣 = 𝑥 𝑢, 𝑣 𝐢 + 𝑦 𝑢, 𝑣 𝐣 + 𝑧 𝑢, 𝑣 𝐤 ; 𝑢, 𝑣 ∈ 𝐷, khi đó:

Ví dụ

Do đó:

2 1

sin 2 cos cos

4 3

Tính 𝐼 = 𝑥 𝑆 2 𝑑𝑆 , trong đó S là hình cầu đơn vị: 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑅 2

Cách tính

Cho hàm 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) xác định trên mặt cong 𝑆: 𝑧 = 𝑧(𝑥, 𝑦)

Chia 𝑆 thành 𝑛 mặt con: 𝑆 1 , 𝑆 2 , ⋯ , 𝑆 𝑛 rời nhau (không chồng lên nhau)

i i i x i i y i i i

Chú ý

(trường hợp này xảy ra khi 𝑆 là một mặt trụ có đường sinh song song với trục Oz) thì phải chiếu 𝑆 xuống các mặt phẳng tọa độ khác,

không được chiếu xuống mặt phẳng Oxy

𝐼 = 2 2 𝑟 2 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜑

𝐷𝑟𝜑

= 2 2 𝑑𝜑

2𝜋 0

𝑟 3 𝑑𝑟 3

0

= 81 2𝜋

𝐷 𝑟𝜑 = { 𝑟, 𝜑 : 0 ≤ 𝑟 ≤ 3,0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋}

Tính , trong đó S là phần của mặt paraboloid 𝑧 = 2 − 𝑥 2 − 𝑦 2

𝜕𝑥

2 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 1 + 4(𝑥 2 + 𝑦 2 )𝑑𝑥𝑑𝑦

(2 − 𝑟 2 ) 1 + 4𝑟 2 𝑟𝑑𝑟 2

0

Tính , trong đó S là phần của mặt paraboloid 𝑧 = 2 − 𝑥 2 − 𝑦 2

Ví dụ

( , )

9 4

Tính , trong đó S là phần nửa trên của mặt cầu: ( 2 2 )

= 𝑅 𝑑𝜑

2𝜋 0

𝑟 3

𝑅 2 − 𝑟 2 𝑑𝑟

𝑅 0

Tính , trong đó S là phần nửa trên của mặt cầu: ( 2 2 )

Cách 2:

𝐷(𝜑, 𝜃) = {(𝜑, 𝜃): 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝜃 ≤ 𝜋/2}

Ví dụ

Do đó:

R





Tính , trong đó S cho bởi: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 ( )

S

I   x   y z dS

và 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0

Ví dụ

Tính , trong đó S cho bởi: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 1 ( )

𝑑𝑦 1−𝑥

0

= 3

2

Tính , trong đó S là mặt xung quanh hình chóp cho bởi: ( )

S

I   x   y z dS

𝑥 + 𝑦 + 𝑧 ≤ 1, 𝑥 ≥ 0, 𝑦 ≥ 0, 𝑧 ≥ 0

Ví dụ

Mặt S gồm 4 mặt của tứ diện OABC

Tích phân 𝐼 1 trên mặt ABC đã tính trong ví dụ trước

Ta tính tích phân trên các mặt còn lại 𝑂𝐴𝐵

Trên mặt OAB, phương trình của mặt là: z = 0

Hình chiếu của mặt xuống Oxy là tam giác OAB

𝐼 2 = 𝑥 + 𝑦 + 0 1 + 0 + 0𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑂𝐴𝐵

= 𝑑𝑥

1 0

𝑥 + 𝑦 𝑑𝑦 1−𝑥

0

= 1 3 Tích phân trên các mặt còn lại tính tương tự

→ 𝐼 = 1 + 3

2

Tính diện tích nửa trên mặt cầu bán kính R và diện tích toàn bộ mặt cầu

Tính diện tích của mặt cong S, trong đó S là phần của mặt paraboloid

𝑧 = 2 − 𝑥 2 − 𝑦 2 lấy trong phần 0 ≤ 𝑧 ≤ 1

Ví dụ

z=0 z=1

2

Ví dụ

= 𝑑𝜑

2𝜋 0

𝑟 1 + 4𝑟 2 𝑑𝑟

2 1

Ví dụ

( , )

9 4

Định nghĩa mặt 2 phía

Cho mặt cong S Di chuyển vector pháp tuyến của S từ một điểm

A nào đó theo một đường cong (kín) tùy ý

Nếu khi quay lại vị trí xuất phát, vector pháp tuyến không đổi

Trong trường hợp ngược lại, vector pháp tuyến đổi chiều thì mặt

Ví dụ

Mặt Mobius

Ví dụ

Mặt cầu, mặt nón, mặt bàn… là mặt 2 phía

Mặt cầu

Định nghĩa mặt định hướng

S là mặt cong hai phía

Nếu trên mặt S ta qui ước một phía là dương, phía còn lại là âm thì

Vector pháp tuyến của mặt định hướng là vector pháp tuyến hướng

về phía dương của mặt định hướng

Ví dụ

Tìm vector pháp tuyến của mặt cầu tại

biết phía ngoài của mặt cầu là phía dương

l

Ví dụ

Tìm vector pháp tuyến của mặt nón tại

biết phía dương của mặt nón là phía dưới nhìn từ hướng của trục Oz

Phía ngoài

Phía trong

Định nghĩa

P(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z) xác định trên mặt định hướng S

Vector pháp tuyến đơn vị của mặt S là :

Cách tính

Nếu 𝐅 = 𝑃(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐢 + 𝑄(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐣 + 𝑅(𝑥, 𝑦, 𝑧)𝐤 là trường vector liên tục

pháp đơn vị n, thì tích phân mặt của F trên S là:

z z

Cách tính

Cách tính

Cách tính

Ví dụ

Tham số mặt S qua hệ tọa độ cầu:

𝑆 1 : 𝑧 = 1 − 𝑥 2 − 𝑦 2 Do đó:

𝑧 𝑥 ′ = −2𝑥, 𝑧 𝑦 ′ = −2𝑦 Hình chiếu của 𝑆 1 xuống mặt phẳng Oxy là miền:

Chuyển sang hệ tọa độ cực: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑

= 𝜋 2

𝑆 2 : 𝑧 = 0 Do đó:

𝑧 𝑥 ′ = 𝑧 𝑦 ′ = 0 Hình chiếu của 𝑆 2 xuống mặt phẳng Oxy là miền:

𝑆 + là phía dưới nhìn từ hướng dương của trục Oz

Vector pháp tuyến của mặt 𝑆 có dạng: 𝐥 = (𝑧 𝑥 ′ , 𝑧 𝑦 ′ , −1)

𝑧 𝑥 ′ = 𝑧 𝑦 ′ = −1

Ví dụ

𝑆: 𝑧 = 2 − 𝑥 Do đó:

Tính 𝐼 = 𝑆+ 𝑥 + 𝑧 𝑑𝑥𝑑𝑦

Trong đó 𝑆 + là phần của mặt phẳng 𝑧 = 2 − 𝑥 giới hạn bởi mặt

𝑧 = 𝑥 2 + 𝑦 2 , phía dương là phía dưới nhìn từ hướng dương của trục Oz

𝐷 𝑥𝑦 = 𝑥, 𝑦 : 𝑥 2 + 𝑦 2 ≤ 2 − 𝑥 = { 𝑥, 𝑦 : (𝑥 + 1

2 )

2 +𝑦 2 ≤ 9

4 }

𝑆 + là phía dưới nhìn từ hướng dương của trục Oz

Vector pháp tuyến của mặt 𝑆 có dạng: 𝐥 = (𝑧 𝑥 ′ , 𝑧 𝑦 ′ , −1)

𝑧 𝑥 ′ = −1, 𝑧 𝑦 ′ = 0

Chuyển sang hệ tọa độ cực: 𝑥 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜑, 𝑦 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜑

Công thức Stokes

Giả sử mặt cong 𝑆 trơn, định hướng, có biên là đường cong 𝐶 Hàm số

𝑃, 𝑄, 𝑅, và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trên mặt 𝑆 thì:

• Đi theo chiều lấy tích phân trên

đường cong C, mặt S nằm ở bên tay

trái

• Hướng từ chân lên đầu là hướng của

vecto pháp tuyến của mặt S

Ví dụ

công thức Stokes:

𝐶+

Trong đó 𝑆 là mặt định hướng, có vector pháp

tuyến hướng lên trên, nhìn từ phía dương của

trục Oz

Ví dụ

Cách 2:

S là mặt định hướng, phía trên của mặt S là

phía dương, nhìn từ phía dương của trục Oz

Vector pháp tuyến của S là: 𝐥 = (2,0,1)

Mặt S có phương trình: 𝑧 = 2 − 2𝑥

Ví dụ

Tính 𝐶 𝑥 + 𝑦 𝑑𝑥 + 2𝑥 − 𝑧 𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑧 , trong đó C là giao của mặt

𝑧 = 𝑦 2 và mặt 𝑥 2 + 𝑦 2 = 1, chiều của 𝐶 ngược chiều kim đồng hồ nhìn

từ phía dương của trục Oz

S là phần mặt 𝑧 = 𝑦 2 nằm trong hình trụ

𝑥 2 + 𝑦 2 = 1

S là mặt định hướng, phía trên của mặt S

là phía dương, nhìn từ phía dương của

trục Oz

Vector pháp tuyến của S là: 𝐥 = (0, −2𝑦, 1)

Ví dụ

Tính 𝐼 = 𝑦𝑑𝑥 + 𝑧𝑑𝑦 + 𝑥𝑑𝑧 𝐶 , trong đó 𝐶 là giao tuyến của mặt cầu:

𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑅 2 và mặt phẳng 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0, chiều của 𝐶 ngược chiều kim đồng hồ nhìn từ phía dương của trục Oz

Cách 1: S là phần mặt 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 = 0 nằm trên mặt cầu 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 = 𝑅 2

Ta có: 𝑃 = 𝑦, 𝑄 = 𝑧, 𝑅 = 𝑥 Theo Stokes:

𝐼 = − 𝑑𝑦𝑑𝑧 + 𝑑𝑧𝑑𝑥 + 𝑑𝑥𝑑𝑦

𝑆

S là mặt định hướng, phía trên của mặt S là phía

dương, nhìn từ phía dương của trục Oz

Ví dụ

Vector pháp tuyến của 𝑆: 𝐥 = (1,1,1)

Vector pháp tuyến đơn vị của 𝑆: 𝐧 = ( 1

Ví dụ

Cách 2: Tham số hóa đường cong 𝐶

Phương trình hình chiếu 𝐶 1 của 𝐶 trên mp Oxy:

1 2

Ví dụ

𝑦 = 𝑃

𝑢 𝑣

0 + 2𝑅

2 𝑠𝑖𝑛𝜑 6

Công thức Gauss

các hàm số 𝑃, 𝑄, 𝑅 và các đạo hàm riêng cấp 1 của chúng liên tục trên khối 𝑉 thì:

Ví dụ

𝑆 chưa phải là mặt kín, nên ta bổ sung thêm mặt 𝐷 Biên của khối 𝑉 là

𝛿𝑉 = 𝑆 ∪ 𝐷 Trong đó D là miền hình tròn:

𝑉 𝑟, 𝜑, 𝑧 = { 𝑟, 𝜑, 𝑧 : 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋, 0 ≤ 𝑟 ≤ 1, 𝑟 ≤ 𝑧 ≤ 1}

Ví dụ

Pt mặt định hướng 𝐷: 𝑧 = 1 Phía dương của mặt D là phía trên, do đó

vector pháp tuyến của mặt 𝐷: 𝐥 = (0,0,1) Vậy:

Ví dụ

(nhìn từ phía dương của trục Oz) Theo công thức Gaus: