Bài giảng phương trình mũ và bất phương trình mũ

TOANMATH.com Trang 1 Mục tiêu  Kiến thức + Biết được cách giải một số dạng phương trình mũ.. + Biết được cách giải một số dạng bất phương trình mũ.. TOANMATH.com Trang 9 Phương pháp gi

TOANMATH.com Trang 1

Mục tiêu

 Kiến thức

+ Biết được cách giải một số dạng phương trình mũ

+ Biết được cách giải một số dạng bất phương trình mũ

+ Nếu b thì phương trình có nghiệm duy nhất 0 xlogab

+ Nếu b thì phương trình vô nghiệm 0

Đặc biệt: Phương trình ax ay   (biến đổi về cùng cơ số) x y

2Chọn B

Ví dụ 3 Tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 3.5x  2 x2 15.3 2 x2  x 1 là

2Hướng dẫn giải

Ta có:

2 2

Vậy tổng các nghiệm là 1.

2Chọn D

Ví dụ 4 Gọi T là tích tất cả các nghiệm của phương trình   2 2  3 2

Ví dụ 2 Phương trình 31  x31  x 10 có hai nghiệm x x1; 2 Khi đó giá trị biểu

x

x

xx

Ví dụ 3 Tích các nghiệm của phương trình  2 1  x 2 1 x2 2 0 là

x

x

xx

3 2

x x

Đặt f x 2x x 3, 'f x 2 ln 2 1 0,x    x  nên phương trình f x  có tối đa một nghiệm 0

Mà f  1  nên phương trình 0 f x  có nghiệm duy nhất 0 x 1

Tóm lại phương trình có nghiệm 1 log21; 2 1

 Phương trình af x bg x logaaf x logabg x   f x g x .logab

hoặc log f x  log g x   .log  

ba  bb  f x ba g x

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Gọi S là tổng tất cả các nghiệm thực của phương trình 7 3x2  x  Tìm S 1

A Slog 3.7 B Slog 7.3 C S log 3. 2 D Slog 2.3

 có một nghiệm dạng x logab, với a, b

là các số nguyên dương lớn hơn 1 và nhỏ hơn 8 Giá trị của P a 2b bằng

bao nhiêu?

log 5

xx

xx

TOANMATH.com Trang 9

Phương pháp giải

Sử dụng tính đơn điệu của hàm số:

Tính chất 1 Nếu hàm số y f x  đồng biến (hoặc nghịch biến) trên  a b thì có tối đa một ;nghiệm của phương trình f x  trên k  a b và ; f u  f v   u v u v, ,  a b;

Tính chất 2 Nếu hàm số y f x  liên tục và đồng biến (hoặc nghịch biến); hàm số y g x  

liên tục và nghịch biến (hoặc đồng biến) trên D thì số nghiệm trên D của phương trình f x g x 

không nhiều hơn một

Tính chất 3 Nếu hàm số y f x  đồng biến (hoặc nghịch biến) trên D thì bất phương trình

f x  có tối đa một nghiệm

Mà f 1  nên phương trình 0 f x  có nghiệm duy nhất là 0 x 1

Vậy phương trình có duy nhất một nghiệm

Ví dụ 3 Tổng các nghiệm của phương trình 223 x3.2x210 x2 23x310x2 x

gần bằng số nào dưới đây?

Ví dụ 4 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

Bước 1 Đặt t a t x 0 , chuyển phương trình

ban đầu về phương trình ẩn t

Bước 2 Sử dụng định lý Vi-ét về điều kiện có

nghiệm và mối quan hệ giữa các nghiệm để giải

quyết

Bài toán: Tìm tham số m để phương trình có

Ví dụ 1 Cho phương trình 4xm.2x12m 0.Biết rằng khi m m 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt x x1, 2 thỏa mãn x1x2 Mệnh 3

đề nào sau đây là đúng?

Ví dụ 2 Tìm m để phương trình

Phương trình trở thành:

t     t m m t   tXét hàm số f t    trên khoảng t2 2t 3 1; 

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình

4x m.2x2m  có hai nghiệm trái dấu? 5 0

Nhận xét rằng với một giá trị t ta tìm được một nghiệm x nên để phương 0

trình có hai nghiệm x1 0 x2 thì phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với 1  hoặc m 3 m 10 phương trình có

nghiệm duy nhất nên có hai giá trị nguyên của tham số m

2 x 16x



 Khẳng định nào sau đây đúng?

A Tổng các nghiệm của phương trình là một số nguyên

B Tích các nghiệm của phương trình là một số âm

C Nghiệm của phương trình là các số vô tỉ

Câu 12: Phương trình 9x5.3x  có nghiệm là 6 0

A x1,xlog 3.2 B x 1,xlog 2.3 C x1,xlog 2.3 D x 1,x log 2.3

Câu 13: Cho phương trình 4.4x9.2x 1  Gọi 8 0 x x1, 2 là hai nghiệm của phương trình trên Khi đó, tích x x bằng 1 2

Câu 14: Cho phương trình 4x41  x  Khẳng định nào sau đây sai? 3

A Phương trình đã cho tương đương với phương trình: 42 x3.4x  4 0

B Phương trình có một nghiệm

C Nghiệm của phương trình là luôn lớn hơn 0

D Phương trình vô nghiệm

Câu 15: Nghiệm của phương trình 2x2x  13x3x  1 là

xCâu 16: Nghiệm của phương trình 6.4x 13.6x6.9x  là 0

Câu 17: Nghiệm của phương trình 12.3x3.15x5x 120 là

A xlog 3 1.5  B xlog 5.3 C xlog 5 1.3  D xlog 5 1.3 

Câu 18: Phương trình 9x5.3x  có tổng các nghiệm là 6 0

A log 6.3 B log32

3log

Câu 20: Phương trình 7 4 3  x  2 3x  có nghiệm là 6

A xlog2 32 B xlog 3.2 C xlog 22  3  D x 1

Câu 21: Tìm tất cả các nghiệm của phương trình 4x2  3 x 24x2  6 x 542 x2  3 x 7 1

A x   5; 1;1; 2  B x   5; 1;1;3  C x   5; 1;1; 2   D x5; 1;1; 2  

Câu 22: Phương trình  3 2 x 3 2  x  10 x có bao nhiêu nghiệm thực?

Câu 27: Phương trình 2x  33x2  5 x 6 có hai nghiệm x x1, 2 trong đó x1x2 hãy chọn phát biểu đúng?

A 3x12x2log 54.3 B 2x13x2log 8.3 C 2x13x2 log 54.3 D 3x12x2 log 8.3Câu 28: Phương trình 4sin 2 x4cos 2 x 2 2 sin xcosx có bao nhiêu nghiệm thuộc đoạn 0;15 ? 

A S 2; log 5 m 3  B S2;mlog 5 3  C S 2 D S 2;mlog 5 3 

Câu 33: Biết rằng phương trình 2 1 1 3

2x 2x x  x1 có bao nhiêu nghiệm?

Câu 42: Cho phương trình 4x2  2 x 1m.2x2  2 x 23m  với m là tham số thực Tìm các giá trị của m 2 0

để phương trình có bốn nghiệm phân biệt

Ta thấya 3 1  0;1 nên ta có: x 1 log 3 1 4 2 3      x 1 2 x 1.

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là  ;1

xChọn A

Ví dụ 4 Tập nghiệm của bất phương trình   2 

Chọn A

Ví dụ 3 Bất phương trình

1 1

TOANMATH.com Trang 20

Hướng dẫn giải

1 1

xx

TOANMATH.com Trang 21

Phương pháp giải

Cho 0  và ,a 1 x y ta có: 0

+ Nếu 0  thì a 1 x y logaxlogay

+ Nếu a thì 1 x y logaxloga y

Ví dụ: Tập nghiệm của bất phương trình

xx

x x



  Vậy S    ;1 2;

xx

xx



 

Hướng dẫn giải

Ví dụ 4 Bất phương trình

2 1

xx

xx

Phân tích để xuất hiện nhân tử và đặt nhân tử chung Ta có A B A C   A B C  

Với bài phức tạp ta có thể đặt ẩn phụ để giải

x x

xx

xx

xVậy a1,b nên 3 a b  4

Thay vào bất phương trình ta được: 2u2v   u v 0 2u u 2v  v.

Xét hàm f t   ta có 2t t f t 2 ln 2 1 0,t    t  suy ra hàm số, f t đồng biến trên   

xx

TOANMATH.com Trang 27

+ Chuyển về bất phương trình ẩn t

+ Sử dụng định lý Vi-ét và điều kiện có nghiệm và mối quan hệ giữa các nghiệm để giải quyết

 Khi gặp dạng: Tìm tham số m để phương trình có nghiệm thuộc x x ta giải như sau: 1; 2

+ Xét hàm f t  tính đạo hàm, lập bảng biến thiên và đưa ra kết luận

   

,

max

a b f x  mĐúng với mợi x a b,





Xét hàm số   2 3

2 3.1

Dựa vào bảng biến thiên, ta có m thì bất phương trình nghiệm đúng 2  x 

Do đó có một giá trị nguyên dương của tham số m thỏa đề

 



 

Câu 4: Tập hợp các số x thỏa mãn

 



 

Câu 6: Nghiệm của bất phương trình 2 2 5 6 1





 

Câu 7: Tập nghiệm của bất phương trình

xx





 

Câu 25: Tập nghiệm của bất phương trình 3x 3  x 2  là 8 0

A ;0  B 0; C ;1  D 1;

Câu 26: Bất phương trình 5x53  x 20 có tập nghiệm là

 



 

Câu 41: Giải bất phương trình   2   2

xx

4

xx

x x

Câu 53: Tìm tập nghiệm S của bất phương trình 3 5x x2  là 1

A log 3;0 5  B log 5;0 3  C log 3;0 5  D log 5;0 3 

Câu 54: Tập nghiệm của bất phương trình 2x   là 1 x