CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ LUYỆN THITỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

TP HUẾCHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ LUYỆN THITỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG * Tính đơn điệu của hàm số * Ứng dụng tính đơn điệu hàm số chứng minh bất đẳng thức * Ứng dụng hàm số v

SĐT: 01234332133 – 0978421673 TP HUẾ

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ

LUYỆN THITỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG, ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG

* Tính đơn điệu của hàm số

* Ứng dụng tính đơn điệu hàm số chứng minh bất đẳng thức

* Ứng dụng hàm số vào giải và biện luận phương trình, bất phương trình, hệ phương trình

* Cực trị hàm số

BÀI 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

A KIẾN THỨC CẦN NHỚ:

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ:

1 Nhắc lại định nghĩa: Ta kí hiêu K là khoảng hoặc nửa khoảng Giả sử hàm

2 Điều kiện cần để hàm số đơn điệu

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K

a) Nếu f đồng biến trên khoảng K thì f  (x)  0,  x  K

b) Nếu f nghịch biến trên khoảng K thì f  (x)  0,  x  K

3 Điều kiện đủ để hàm số đơn điệu

Giả sử f có đạo hàm trên khoảng K

a) Nếu f  (x)  0,  x  K (f  (x) = 0 tại một số hữu hạn điểm) thì f đồng biến

 Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x)>0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f(x) đồng biến trên [a;b]

 Nếu hàm f liên tục trên đoạn [a;b] và có đạo hàm f’(x)<0 trên khoảng (a;b) thì hàm số f(x) nghịch biến trên [a;b]

II QUY TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Để xét chiều biến thiên của hàm số y = f(x), ta thực hiện các bước như sau:

– Tìm tập xác định của hàm số.

– Tính y  Tìm các điểm x i i( 1,2, , ) n mà tại đó y  = 0 hoặc y  không tồn tại (gọi là các điểm tới hạn của hàm sô)

– Sắp xếp các điểm x theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên i

– Nêu kết luận về các khoảng đồng biến và nghịch biến cuả hàm số.

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP:

)y'=3 1 , y'=0 x=-1 và y'>0 với mọi x -1

Vì hàm số đồng biến trên mỗi nửa khoảng ; 1 1; nên hàmsố đồng biến trên

Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số đồng biến trên 

Bài 2 Xét chiều biến thiên của hàm số sau:

b) Hàm đồng biến trên 0; và nghịch biến trên ;0

c) Hàm đồng biến trên khoảng  2;  và nghịch biến trên ;2

Nhận xét: Đối với hàm số bậc 4 luơn cĩ ít nhất một khoảng đồng biến và

một khoảng nghịch biến Do vậy với hàm số khơng thể đơn điệu trên R.

Bài 3 Xét chiều biến thiên của hàm số sau:

a) Hàm đồng biến trên  ; 1 và 1;  

b) Hàm nghịch biến trên ;1 và 1;  

c) Hàm đồng biến trên  5; 2 và 2;1 ,  

Hàm nghịch biến trên  ; 5 và 1;  

d) Hàm đồng biến trên  ; 2 và 2;  ,

dx e luơn cĩ ít nhất hai khoảng đơn điệu

 Cả hai hàm số trên khơng thể luơn đơn điệu trên 

Bài 4 Xét tính đơn điệu của hàm số sau:

Bảng biến thiên:

) 4 nghịch biến trên đoạn 0;2

) cos 4 đồng biến trên

c) cos2 2 3 nghịch biến trên

) Hàm số xác định trên Ta thấy '( ) 3 1 sin 0,

x

x x

b) Chứng minh rằng với mọi m  1;1 , phương trình sin2xcosx m cĩ

nghiệm duy nhất thuộc đoạn 0;

Số c là nghiệm của phương trình sin cos và vì hàm số nghịch

biến trên ; ,nên trên đoạn này phương trình có nghiệm duy nhất

a) Chứng minh rằng hàm số đồng biến trên  

0; 

3 và nghịch biến trênđoạn  

x x

y

x x ; b)y x  3 2 2x ; c) y  2x 1 3x

d) y x 2x2 e) y 2x x 2

x nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó.

a) Chứng minh rằng hàm số f đồng biến trên nửa khoảng  2; 

b) Chứng minh rằng phương trình 2x x2  2 11 có một nghiệm duynhất

DẠNG 2: HÀM SỐ ĐƠN ĐIỆU TRÊN 

Phương pháp: Cho hàm số y f x m , m là tham số, có tập xác định  ( , )

 Hàm số f đồng biến trên   f  (x)  0,  x   Dấu “=” xảy ra tại hữu

00

a b c

00

a b c

a

2) Định lí về dấu của tam thức bậc hai g x( )ax2bx c :

 Nếu  < 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a.

 Nếu  = 0 thì g(x) luôn cùng dấu với a (trừ x = 

5Vậy hàm số nghịch biến trên khi và chỉ khi m -

Hàm số xác định trên Ta có: ' 2 4, ' 4

Bảng xét dấu '

 

2

*-2<a<2 thì y'>0, Do đó hàm số đồng biến trên

*a=2 thì y'= 2 ,y'=0 x=-2,y'>0, 2 Do đó hàm số đồng biến trênmỗi nửa khoảng ; 2 và 2; nên hàm số y đồng biến trên

Hàm số xác định trên Ta có: ' 1 sin

Hàm số đồng biến trên y' 0, x msinx 1, x (1)

*Khi : 2 : hàm nghịch biến trên

*Khi 2 : tam thức bậc hai ' 2 2 8 có =10 2

m<-2: ' 0, hàm nghịch biến trên

2 : ' 0 có hai nghiệm x ,x trường hợp này hàm đồng biếntrên khoảng ; nên trường hợp này không thỏa mãn

Vậy m -2 là những gia

* 1: trường hợp này không thỏa mãn

* m=-1:trường hợp này thỏa mãn yêu cầu bài toán

* =2:hàm số y đồng biến trên

* 1 2, 1: trường hợp này không thỏa mãn

Vậy hàm đồng biến trên khi và chỉ khi m<-1

Dấu của y' là dấu của g(x),x -1

Hàm y đồng biến trên ; 1 và 1; '( ) 0, 1

* 1: trường hợp này thỏa mãn yêu cầu bài toán

x x m

x và  

 2 

1

;2

x y x

x m

Bài 2 Chứng minh rằng các hàm số sau luơn nghịch biến trên từng khoảng xác định

(hoặc tập xác định) của nĩ:

a) y  5x cot(x1) b) ycosx x c) ysinxcosx2 2x

Bài 3 Tìm m để các hàm số sau luơn đồng biến trên tập xác định (hoặc từng khoảng

* 0 : hàm đồng biến trên mỗi khoảng ;1 và 1;

* 0 : ' 0 1 Lập bảng biến thiên ta thấy, hàm số nghịch

biến trên mỗi khoảng 1 ;1 1;1 do đó không thỏa mãn yêu cầuVậy

* ' 0, 1, Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ;1 và 1;2

) tìm giá trị m để hàm số đồng biến trên ; 1

)tìm giá trị m để hàm số đồng biến trên 2;

)tìm giá trị m để hàm số nghịch biến trên khoảng có độ dài bằng 2

ị m để hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 0;1 1;2

)gọi x , là hai nghiệm của phương trình 1 0 Tìm m để

1) luôn nghịch biến trên khoảng ;1

2) 3 1 4 nghịch biến trên khoảng 1;1

Nguyên nhân sai lầm:

Khi giải và biện luận bất phương trình cĩ mẫu thức chứa tham số x m phải đặt 2

Hàm số nghịch biến trên (-1;1) y' 0,   x  1;1 , dấu “=” xảy ra tại hữu hạnđiểm

Áp dụng định lí Vi-et để giải hệ (I) ta được m 10

Hướng 2: Phương trình y’=0 có hai nghiệm là 1  1 2

2

3 6 3

3 ,

3 6 33

m x

x x m

) 2 2 1 đồng biến trên khoảng 1;

) 3 2 đồng biến trên khoảng 3;0

' 0, 1; ( ) 6 4 , 1

Hàm số g(x) 6 4 liên tục trên 1; Ta có: g'(x)>0, 1

g(x) đồng biến trên khoảng 1; và lim ( ) 2, lim ( )

Bảng biến thiên

x x

1 g(x) nghịch biến trên khoảng 3;0 và lim ( ) , lim ( )

9Bả

4 1g(x) nghịch biến trên khoảng 2; và

13Bảng biến thiên

13

Cách 2:

m m

 



  



(I) thì y'=0 có hai nghiệm phân biệt x x giả sử1 2; x1x2

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy hàm đồng biến trên 2; thì điều kiện là

13



Cách 3:

Các trường hợp khác tương tự trên Bây giờ ta xét trường hợp  0

Xét phương trình: ' 0y  có hai nghiệm phân biệt x1x2, khi đó để hàm số đồng biến trên khoảng (2;)thì điều kiện là x1x2  2 x1 2 x2 2 0

Đặt: x 2 t, dẫn tới ta có phương trình sau: mt24 2 m1t13m 9 0, vớiđiều kiện t1 t2 0

000

S P

2

'( ) 0, 2; 3 6 2 1 12 5 0, 2;'( ) 0, ; 1 3 6 2 1 12 5 0, ; 1

m

Nguyên nhân sai lầm:

Cách giải trên chỉ phù hợp với f(x) đồng biến trên   ; 1 và  2;  Còn với yêu cầu f(x) đồng biến trên   ; 1  2; thì cần kiểm tra thêm điều kiện f(-1)<f(2)

Lời giải đúng:

g x m Ta c

x m

 Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.

 Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm

Nếu 3 thì y' 0, x Khi đó hàm số luôn đồng biến trên Do đó

m 3 không thỏa yêu cầu bài toán

Nếu m<3, do đó y'=0 có hai nghiệm x , và hàm số

9Hàm số nghich biến trên đoạn có độ dài l=1 1

Có hay không yêu cầu bài toán thỏa l x x 1?



2 6 2 nghịch biến trên 1;

2

mx x y

;0

Bài 3 Tìm điều kiện của tham số m sao cho:

y m x m x đồng biến trên khoảng (1; +)

b) y x 33(2m1)x2(12m5)x2 đồng biến trên khoảng (2; +)

b) Hàm số tăng trên khoảng [2;)

c) Nghịch biến trên khoảng  

1 1;

2 2

a) Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) Tăng trên khoảng (0;)

x Với giá trị nào của m:

a) Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng xác định của nó

b) Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0;1) và (2;4)

Bài 9 Tìm tham số m sao cho y4mx36x22m1x1 tăng trên

 Xét dấu f  (x) Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến.

 Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận.

Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của f  (x) thì ta đặt h(x) = f  (x) và quay lại tiếp tục xét dấu h  (x) … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi 2) Nếu bất đẳng thức có hai biến thì ta đưa bất đẳng thức về dạng:

f(a) < f(b).

Xét tính đơn điệu của hàm số f(x) trong khoảng (a; b).

Ta có: 0<sinx<x 0< 1, 0; nên , 3

2sin

2 cos sin

Ta có: f'(x)= Theo kết quả câu d, bài tập 2 ta đã chứng minh

sinsin

hàm giảm trên 0;1 ( ) (0) 2, 0;1

2

a

) Từ đó suy ra rằng: tan , 0;

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy đồ thị hàm số 2 2 luôn cắt đường thẳngy=11 duy nhất tại một điểm.Do đó phương trình 2 2 11 có duy nhất nghiệm

 Chú ý 2:

Nếu hàm số y f x luơn đơn điệu nghiêm ngoặc trên D (hoặc luơn đồng ( )biến, hoặc luơn nghịch biến trên D) và hàm số y g x luơn đơn điệu nghiêm ( )ngoặc trên D (hoặc luơn đồng biến, hoặc luơn nghịch biến trên D) thì số nghiệmcủa phương trình f x( )g x khơng quá 1 nghiệm trên D( )

Từ đĩ: Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) cĩ nghiệm duy nhất, ta thực hiện các bước sau:

 Chọn được nghi ệm x 0 của phương trình.

 Xét các hàm số y = f(x) (C 1 ) và y = g(x) (C 2 ) Ta cần chứng minh một

hàm số đồng biến và một hàm số nghịch biến Khi đĩ (C 1 ) và (C 2 ) giao nhau tại một điểm duy nhất cĩ hồnh độ x 0 Đĩ chính là nghiệm duy nhất của phương

trình (*).

Bài 2 Giải bất phương trình: 5x 1 x 3 4

Xét hàm số : ( ) 2 3 liên tục trên 0; , ( ) đồng biến trên 0;

Khi đó, phương trình (*) ( )

Điều kiện:

3 42

Trừ (1) cho (2) ta được: 2 3 4 2 3 4 (3)

3Xét hàm số ( ) 2 3 2 3, hàm liên tục trên đoạn ;4

43

'( ) 0, ;4 Do đó: (3) ( ) ( )

4Thay

x y

( ) (2)Nếu ( ) ( ) ( do (1) và(2) dẫn đến mâu thuẫn)

Nếu ( ) ( ) ( mâu thuẫn)

2

3 1 2 log 1 2 3 log 3 1 2 log 1 2

Xét hàm số ( ) log , liên tục trên 0; , '( ) 0, 0;

( ) là hàm đồng biến trên 0; nên phương trình(*) (3 ) (1 2 )3

x x

 ( ) 0 có nhiều nhất hai nghiệm, và f(0)=f(1)=0 nên phương trình đã cho

có hai nghiệm x=0,x=1

f x

Bài 2 Giải phương trình: x3 log 3x 5 log 3x3 x 2

3Xét hàm số ( ) log 5 log 3 liên tục trên khoảng 5;

và '( ) 0, 5; ( ) đồng biến trên 5;

2Xét hàm số g( ) liên tục trên khoảng

5; , ( ) nghịch biến trên 5;Mặt khác: (8) (8) 2 do đó phương trình có nghiệm duy nhất 8

hàm số ( ) 3 , liên tục trên 1;1 ta có:

'( ) 0, 1;1 ( ) nghịch biến trên đoạn 1;1

Do đó (*) thay vào (2) ta được

Sai do hàm số f(t) đơn điệu trên hai khoảng rời nhau( ví dụ (-1) (1) 0)

Khi đó: phương trình (3) f(x)=f(y) x=y

Với x=y thay vào phương trình (2) x=0 y=0

Và f(9) 0 (2) Từ (1) và (2) phương trình có nghiệm duy nhất là x9

Bài 2 Giải các phương trình sau:

Từ đây ta có thể phát triển thành bài toán sau:

Giải phương trình: 3.3sinx osx c 4.4sinx cos  x 5.5sinx cos  x

Lời giải xin dành cho các em học sinh

Bài 3 Giải các bất phương trình sau:

a) x 1 35x 7 4 7x 5 513x 7 8 b)

2x x x 7 2 x 7x 35

Cho hàm số ( , ) 0, xác định với mọi (*)

Biến đổi (*) về dạng ( ) ( )

Xét hàm số ( ) liên tục trên K

Dùng tính đơn điệu hàm số để kết luận

Xét hàm số ( ) 3 1 và

Hàm số f(x) liên tục trên

      2  

3 x 6 x 18 3x x 2m 1

@ Nhận xét: Qua các bài trên ta thấy

 Khi đặt ẩn phụ t, ta cần phải tìm điều kiện của t tức là tìm miền giá trị của t,nếu không chú ý đến điều kiện này sẽ đưa đến kết quả sai

 Qua các bài trên ta thấy chỉ cần căn cứ trên bảng biến thiên của hàm số- để

kết luận về số nghiệm của phương trình dạng f(x)=m mà không nhất thiết

Hàm này nghịch biến trên  ;6 và f S( ) f  6 45;

Đồng biến trên  2;  và ( )f S  f(2) 5. Vậy m5

Dựa vào bảng biến thiên thì phương trình cĩ nghiệm khi và chỉ khi m0

Bài 2. Tìm tham số m để phương trình 4 2x  1 x m (1) có nghiệm thực

(Gợi ý :Bài này sau khi hoc xong hàm lũy thừa ta cĩ được cơng thức tính đạo hàm hàm lũy thừa và áp dụng vào bài này để tính đạo hàm )

Hướng dẫn:

Xét hàm số ( ) 1 - và

Hàm số ( ) liên tục trên 0;

x f x

Bài 3 Cho phương trình: tan2xcot2x m t anx cot x 3 0

a) Giải phương trình khi m=5

x x

x2  1 2  1

Hướng dẫn:

BÀI TẬP CHỌN LỌC VÀ NÂNG CAO:

Bài 1 Tìm m để phương trình sau có nghiệm x0; 1  3:

Bài 3 Giải và biện luận phương trình: mx 1 (m x2 2 2mx 2) x3 3x2 4x 2

Bài 4 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hệ phương trình sau có 2 nghiệm

4(log x)  log x m  0 có nghiệm thuộc (0, 1)

Bài 8 Tìm m để phương trình sau có nghiệm: 5  x x    1 5 6x x 2 m

Bài 9 Cho hệ phương trình: 2 3 2

Bài 10 Tìm giá trị của m để phương trình sau đây có nghiệm duy nhất :

0 ) 2 3 ( log ) 6 (

2 5

m = –1 phương trình nghiệm đúng với  x 1

 Các trường hợp còn lại phương trình vô nghiệm

 Giải (a)  1 < x < 3.

 Xét (b): Đặt 2

2 log ( 2 5)

 (d) và (P) có điểm chung, với hoành độ t < 0 1

Hàm này nghịch biến trên  ;6 và f S( ) f  6 45;

Đồng biến trên  2;  và ( )f S  f(2) 5. Vậy m5

Bài 10. log ( 6 )log (32  2)0

2 5

,

2

1 3 2

3 6

0 2

3

2 2

2

x x m

x x

x x

m

x x

cos cos cos 6

c) Nếu tồn tại h>0 sao cho f x( ) f x( ),0  x x0 h x; 0h và x x thì ta  0

nĩi hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x 0

Chú ý:

1 Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại x 0 thì x 0 được gọi là điểm cực đại(điểm cực tiểu) của hàm số; f(x0) được gọi là giá trị cực đại( giá trị cực tiểu)của hàm số Kí hiệu là : f CD( )f CT , con điểm M(x 0 ;f(x 0 )) được gọi là của đồ

thị hàm số.Các điểm cực đại và cực tiểu nói chung là Giá trị cực đại(giá trịcực tiểu) còn gọi là được gọi chung là điểm cực trị của hàm số

2 Dễ dàng chứng minh được rằng, nếu hàm số y=f(x) có đạo hàm trên khoảng

 a b và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại x; 0 thì f’(x 0 )=0

Nếu hàm số f có đạo hàm tại x0 và đạt cực trị tại điểm đó thì f  (x 0 ) = 0.

Chú ý:

 Hàm số f chỉ có thể đạt cực trị tại những điểm mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không có đạo hàm.

Ví dụ minh họa:

Ta thấy x 1thì y' 0 và đạt cực đại tại x  1,y CD 1và 'y không có đạo

hàm tại x0 nhưng vẫn đạt giá trị cực tiểu tại x 0,y CT 0

Ví dụ minh họa:

Mặc dù f x'( ) 0 tại x  2 nhưng không có cực trị taại x  2

 Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0 và có đạo hàm trên(a; b)\{x0}

a) Nếu f  (x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0

b) Nếu f  (x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x 0 thì f đạt cực đại tại x 0

Ví dụ minh họa

Mặc dù tại x  3 đạo hàm không xác định (không có đạo hàm tại hai điểm này)nhưng hàm vẫn không có cực trị tại 2 điểm này vì hàm số không xác định trên bất kìkhoảng  a b nào của hai điểm này;

 Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a; b) chứa điểm x 0,

f  (x 0 ) = 0 và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x 0

a) Nếu f  (x 0 ) < 0 thì f đạt cực đại tại x 0

b) Nếu f  (x 0 ) > 0 thì f đạt cực tiểu tại x 0

B PHƯƠNG PHÁP GIẢI BÀI TẬP:

Nếu f  (x i ) < 0 thì hàm số đạt cực đại tại x i

Nếu f  (x i ) > 0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x i

 

  2    

322Hàm số đạt cực tiểu tại điểm 3; (3) -

3) ' 3 1 0, hàm không có cực trị

một cực trị hoặc ba cực trị Hàm số có một cực trị khi phương trình y’=0 có mộthoặc hai nghiệm ( 1 nghiệm đơn và 1 nghiệm kép), hàm số có 3 cực trị khi phươngtrình y’=0 có 3 nghiệm phân biệt

Bài 3 Tìm cực trị của hàm số sau:

2 2

2

18

25

Hàm đạt cực tiểu tại x=1, đạt cực đại tại x=0

Nhận xét: Ta thấy các trường hợp này, mặc dù hàm không có đạo hàm tại x 0nhưng vẫn đạt cực trị tại x 0