kẻ đường kính BE dễ dàng chừng minh tứ giác AEHC là hình bình hành từ đó suy ra HME thẳng hàng X tứ giác BCEX nội tiếp nên BXE =900 vậy EX BD 2 từ 1 và 2 suy ra X,H,M,E thẳng hàng vậy MX[r]
Trang 1BỘ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI Độc Lập -Tự Do -Hạnh Phúc
ĐỀ CHÍNH THỨC
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG CHUYÊN NĂM 2013
Môn thi : TOÁN
(Dùng cho mọi thí sinh thi vào trường THPT chuyên ĐHSP)
Thời gian làm bài :120 phút
Câu 1(2,5 điểm)
1.Cho biểu thức
3
2
2
a b
a a b b
ab a
Q
Chứng minh rằng giá trị biểu thức Q không phụ thuộc vào a, b
2.Các số thực a,b,c thỏa mãn a+b+c=0.Chứng minh đẳng thức
a2+b2
+c2
¿2= 2(a4
+b4
+c4)
¿
Câu 2(2 điểm) Cho Parabol (P) : y=x2 và đường thẳng (d) : y=− mx+ 1
2m2
( tham số m 0)
1.Chứng minh rằng với m 0 đường thẳng (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt
2 Gọi A(x1; y1);B(x2; y2) là giao điểm của (d) và (P).Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức M= y12+y22
Câu 3 (1,5 điểm)GiảI sử a,b,c là các số thực a b sao cho hai phương trình
x2+ax+1=0 ; x2+bx +c=0 ; có nghiệm chung và 2 phương trình x2+x +a=0 ;
x2+cx+b=0 ; có nghiệm chung Tính a+b+c
Câu 4 (3 điểm): Cho tam giác ABC không cân có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn
(O) Các đường cao AA1;BB1;CC1 của tam giác ABC cắt nhau tại H.Các đường thẳng
A1C1 và AC cắt nhau tại điểm D, gọi X là giao điểm thức hai của đường thẳng BD với đường tròn (O)
1.Chứng minh rằng DX.DB=DC1.DA1
2.Gọi M là trung điểm cạnh AC Chứng minh DH BM
Câu 5: (1 điểm) Cho các số thực x,y,z thỏa mãn
¿
√x+2011+√y +2012+√z +2013=√y +2011+√z+2012+√x+2013
√y+2011+√z+2012+√x +2013=√z +2011+√x +2012+√y+2013
¿ {
¿
Chứng minh rằng x=y=z
-Hết -Ghi chú : Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh số báo danh
Trang 2GV: KIỀU ĐÌNH PHÚ -THCS TT SÔNG THAO.CẨM KHÊ-PHÚ THỌ
hướng dẫn giải :
Câu 1:
a)
3
3
2
2
0
a b
ab a
Q
b)
Ta có a
2
+b2+c2¿2−2(a2b2+b2c2+c2a2)(∗)
a4+b4+c4= ¿
Từ a+b+c=0 ta có
ab+bc+ca=a
2
+b2+c2
2 ⇔ a2
b2+b2c2+c2a2+2 abc (a+b +c)=(a2+b2+c2
2 )2
a2+b2+c2¿2
¿
¿
¿
⇔2(a2b2
+b2c2
+c2a2
)= ¿
Thay vào (*) Ta có ĐPCM
Câu 2
1 Ta có tọa độ giao (d) và (P) là nghiệm của hệ PT
¿
y =x2
y=− mx+ 1
2m2
⇔
¿y=x2
x2
+mx− 1
2 m2 =0 ;(∗)
¿ {
¿
Xét PT(*) có Δ=m2+ 2
m2≥ 2√2>0
Phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với m 0
Vậy ( )d cắt( ) P tại 2 điểm phân biệt
2
Ta có M= y12+y22=x14+x24=(x12+x22)2− 2 x12x22=[(x1+x2)2− 2 x1x2]2−2 x12x22
Trang 3Áp dụng định lý Viet:
¿
x1+x2=− m
x1x2= −1
2m2
¿ {
¿
thay vào M ta có
M=(m2+ 1
m2)2− 1
2 m4=m
4
+ 1
2 m4+2≥√2+2
Min(M)= 2+√2
khi
8 1
2
m
Câu 3: Giả sử phương trình x2 +ax +1 =0 (1) và x 2 +bx +c =0 (2)có nghiệm chung x 0
tính được : x 0 ( a-b) = c-1 ⇔ x0=c −1
a − b ( vì a b¿ suy ra nghiệm còn lại của phương trình (1) là: x 2 = a− b c − 1 (c 1 vì 0 không là nghiệm của pt (1) )
Giả sử Phương trình : x 2 +x +a =0 (3) và x 2 + cx +b=0 (4) có nghiệm chung x 1
ta có : x 1 ( 1-c) = b-a ⇔ x 1 =
b− a
c − 1 = x 2
vậy pt (1) ; (2) (3) có nghiệm chung x 1
từ (1) và (3) ta có (a-1) (x 1 -1) =0
nếu a=1 ⇔ x 2 +x+1 =0 vô lý vậy x 1 =1 từ đó tính được
a+b +c =-3
Bài 4:
1) Dễ đang chứng minh tứ giác AC 1 A 1 C nội tiếp suy ra DA.DC = DC 1 DA 1
tứ giác DXBC nội tiếp nên AD.DC= DX DB
Vậy DX.DB = DC 1 DA 1
2) Vì : DX.DB = DC 1 DA 1 nên tứ giác A 1 BX C 1 nội tiếp suy ra
BXC 1 + BA 1 C 1 =180 0
do tứ giác BA 1 HC 1 nội tiếp BA 1 C 1 = BHC 1
nên tứ giác BXC 1 H nội tiếp suy ra BXH =90 0
vậy HX BD (1)
kẻ đường kính BE dễ dàng chừng minh tứ giác AEHC là hình
bình hành từ đó suy ra HME thẳng hàng
tứ giác BCEX nội tiếp nên BXE =90 0
vậy EX BD (2) từ (1) và (2) suy ra X,H,M,E thẳng hàng
vậy MX BD lại có BH DM nên H là trực tâm tam giác DBM
suy ra DH BM
Câu 5
2011 2012 2013 2011 2012 2013
2011 2012 2013 2011 2012 2013
Đặt a x 2011,b y 2011, c z 2011 Ta có hệ
O C1
A1
E H
M
X D
C B
A
Trang 41 2 1 2
vai trò x,y z bình đẳng
Giả sử c m ax{a;b;c} vì A C Ta có
*
Mặt khác,
c a
c b
Suy ra (*) xảy ra khi a=b=c, suy ra x=y=z.