DE THI KHAO SAT LAN 1 MON TOAN 12 NAM 2012 2013LG1

PHẦN TỰ CHỌN Học sinh chọn một trong hai phần để làm Phần dành cho chương trình chuẩn Câu 6a.. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có phương trình 2 cạnh AB, AC lần lư[r]

http://toanhocmuonmau.tk

TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1 ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 1

MÔN : TOÁN

Thời gian: 150 phút

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ HỌC SINH

Câu 1.(2 điểm) Cho hàm số : y=x3 −6x2+9x−1

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

2 Tìm m để đường thẳng d: y=m x( )− +1 3 cắt (C) tại ba điểm phân biệt A(1;3), B, C sao cho các tiếp tuyến với (C) tại B và C vuông góc với nhau

2 sin(

2 cos sin

2 sin cot

2

+

x x

x x

2 Giải phương trình: ( 3 ) ( )2 ( )

3 Giải hệ phương trình:

2







Câu 3 (1 điểm) Tính giới hạn:: I =

2

2 0

1 - cos 2012 lim

→

+

x

x

Câu 4.(1 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB= a;AD=2 ;a SA vuông góc với đáy

Góc tạo bởi (SBD) và mặt đáy bằng 600, M là trung điểm của CD Tính thể tích khối chóp SABCM và khoảng

cách giữa hai đường thẳng SC, BM

Câu 5 (1 điểm) Cho a b c , , là ba số dương thỏa mãn 2 2 2

12

+ + ≤

a b c Tìm giá trị nhỏ nhất của

P

II PHẦN TỰ CHỌN (Học sinh chọn một trong hai phần để làm)

Phần dành cho chương trình chuẩn

Câu 6a Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC cân tại A có phương trình 2 cạnh AB, AC lần lượt là:

x+ y− = và 2x+ + =y 1 0, điểm M(1; 2) thuộc đoạn BC Tìm tọa độ điểm D sao cho DB DC có giá trị nhỏ nhất

Câu 7a Cho n là số nguyên dương thỏa mãn C n7+1+2C n8+1+C n9+1 =2C n8+2 Tìm hệ số của số hạng không chứa x trong khai triển  2 

+

n

x

x x thành đa thức

Phần dành cho chương trình nâng cao

Câu 6b Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho hình chữ nhật ABCD có phương trình đường thẳng AB, BD lần lượt là:

x− y+ = và x−7y+14=0, đường thẳng AC đi qua M(2; 1) Tìm toạ độ điểm N thuộc BD sao cho NA NC +

nhỏ nhất

Câu 7b Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữa số khác nhau mà trong đó luôn có hai chữ số chẵn và ba chữ số lẻ

-

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 1

1.(1 điểm)

+Tập xác định,tính các giới hạn 0,25

+Tính đạo hàm, giải phương trình y’=0, lập bảng biến thiên 0,25 + Chỉ ra sự biến thiên, cực trị 0,25

2 (1 điểm)

+ d cắt (C) tại 3 điểm phân biệt 3 2 ( )

⇔ − x x + x − = m x − + có 3 nghiệm pb ⇔ x2−5x+ − =4 m 0(1) có hai nghiệm phân biệt khác 1

9 4 0



> −



⇔



m m

0,25

+ Gọi x x1, 2 là các hoành độ của B, C Khi đó x x1, 2 là các nghiệm của (1) Theo Viet

1 2

1 2

5 4

+ =





= −



0,25

+ Yêu cầu đề bài ( ) ( ) 2

' ' = − ⇔ ⇔ 1 9 + 18 + = 1 0

Câu I

(2 điểm)

+Giải đúng phương trình, kiểm tra đk, kết luận 3 2 2

3

− ±

=

2 sin(

2 cos sin

2 sin cot

2

+

x x

x x

Đk: sin 0

≠







x

PT

cos 2 sin cos

2 cos

2 sin

x

x

+

0,25

2

cos 2 cos

2 cos sin 2 sin 0

2 sin

x

π

4

π

=







x

2

= ⇔ = +

Câu II

(3 điểm)

2

2 4

2



= +



k

http://toanhocmuonmau.tk

Điều kiện: 1; 1

2

> − ≠

phương trình ( 3 ) ( )2 ( )

0,25

0,25

2

1 1 2



0.25

Kiểm tra điều kiện và kết luận phương trình có các nghiệm x=0; x=1; x=2 0,25

( )

2







+Đk : − ≤ ≤ 2 x 4; y ≥ 1

1 ⇔4 +3 + = + +1 2 9 +6 +2 ⇔ + −2 = ⇔ = +0 2

0,25

Thay vào (2) được:

0,25

Chứng minh pt: 1 1

1 2+ 4 1− − =

x x vô nghiệm trong [ − 1; 4 ]

Kết luận

0,25

2

0

1 -1 1 cos 2012 lim

→

x

I

2

2 2

0

lim

1 1

→

+ +

x

x x x

0,25

2

2 0

→

x

x

2

1 2.1006 2

(1 điểm)

Câu IV

(1 điểm) +Kẻ AI ⊥BD, suy ra góc giữa (SBD) và mặt đáy là AIS=600 , từ đó tính được

2 15 5

=

0.25

+ Tính được diện tích đáy:

2

3 2

=

ABMD

a

S thể tích

3

15 5

=

SABMD

a

+Gọi E = BM ∩ AC, qua E kẻ đường thẳng song song với SC cắt SA tại F Ta có SC//(BMF), suy ra d(SC,BM)=d(SC,(BMF))=d(C,(BMF))

Dễ thấy AE=2EC, suy ra ( ( ) ) 1 ( ( ) )

2

=

+ Kẻ AK ⊥ BM , AH ⊥ FK ⇒ AH = d A BMF ( , ( ) )

Tính được khoảng cách ( ( ) ) 20 ( ( ) ) 10

0,25

Ta có 3 ( ) ( 2) ( 1 1 2)2 ( 2 )4

3

2

+ + a a Tương tự: 3 2 3 2

;

0.5

1

Giá trị nhỏ nhất của P=1, đạt được khi a=b=c=2

0,5

Phần riêng

Gọi VTPT AB, AC, BC lần lượt là: n1(1; 2), n2(2;1), n a b3( ; )

Phương trình BC có dạng: a x( − +1) b y( − =2) 0,a2+b2 >0

Tam giác ABC cân tại A nên:

= −

=

0.25

Với a=-b, chọn b=-1⇒ a = 1⇒ PT BC: x− + =y 1 0 (0;1); ( 2 1; )

3 3

⇒ Không thỏa

mãn M thuộc đoạn BC

0,25

Với a=b, chọn a=b=1⇒PT BC: x+y- 3=0 ⇒B(4; 1); ( 4; 7)− C − Thỏa mãn M thuộc

Câu Via

(1 điểm)

Gọi trung điểm của BC làI(0;3)

Ta có:

2

DB DC= DI+IB DI+IC =DI − ≥ − Dấu bằng xảy ra khi D≡I Vậy D(0;3)

0,25

Câu VII a

(1 điểm)

+ Áp dụng công thức Paxcan giải đượcC n7+1+2C n8+1+C n9+1 =2C n8+2 có nghiệm n=15

0.25 +Ta có số hạng tổng quát trong khai triển là:

30 5

2

.2

−

− +

k

x x

0,25

+Số hạng không chứa x ứng với k thỏa mãn :

http://toanhocmuonmau.tk

ABCD là hình chữ nhật nên góc giữa AC và AB bằng góc giữa AB và BD, kí hiệu

n − n − n a b (với a 2 + b 2 > 0) lần lượt là VTPT của các đường thẳng

AB, BD, AC Khi đó ta có: c os ( nAB, nBD) = c os ( nAC, nAB)

3

2

7

a

= −





= −



0.25

Với a = - b Chọn a = 1 ⇒ b = - 1 Khi đó Phương trình AC: x – y – 1 = 0,

Với b = - 7a : Chọn a = 1 ⇒ b = - 7 Khi đó Phương trình AC: x – 7y +5 = 0 (loại vì AC

không cắt BD)

0,25

Gọi I là tâm hình chữ nhật thì I = AC ∩ BD nên toạ độ I là nghiệm của hệ:

7

;

2

x

x y

I

y



=



− − =

0,25

Câu Vib

(1 điểm)

Ta có: A, C khác phía so với BD nên: NA NC + ≥ AC

Dấu bằng xảy ra khi N = AC ∩ BD⇒ N ≡ I Vậy 7 5

;

2 2

 

0,25

Từ giả thiết ta thấy có C52 =10 cách chọn hai chữa số chẵn(kể cả số có chữ số 0 đứng đầu)

và cóC53=10 cách chọn hai chữa số lẻ, nên cóC52.C53 = 100 bộ 5 chữ số được chọn

0 5

Câu VII b

(1 điểm) Mỗi bộ 5 chữ số như thế có 5! Số được lập, do đó có

2 5

C C53.5! = 12000 số Mạt khác trong

số các số trên có C14.C53.4!=960 số có chữ số 0 đứng đầu

Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thỏa mãn đề bài

0, 5