Sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức vi phân trong phương trình vi phân cấp một

Tài liệu nói về sự tồn tại nghiệm của bất đẳng thức vi phân trong phương trình vi phân cấp một, đây là luận văn tốt nghiệp. Ai muốn bản Latex hãy liên hệ vào phần tin nhắc cho mình để được hướng dẫn nhé

„I HÅC THI NGUY–NTR×ÍNG „I HÅC S× PH„M

BO CO TÊNG K˜T — T€I NGHI–N CÙU KHOA HÅC SINH VI–N

Hå v  t¶n ng÷íi h÷îng d¨n

, THNG , N‹M

Möc löc

1.1 Nhúng kh¡i ni»m cì b£n v· ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n 2

1.2 B§t ¯ng thùc vi ph¥n 4

1.3 Mët sè v§n · v· v nh 14

1.4 Lþ thuy¸t v· bê · Zorn 16

1.5 Lþ thuy¸t tr÷íng 18

Mð ¦u

Ch֓ng 1

Ki¸n thùc chu©n bà

Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc v· nhúng kh¡i ni»m cì b£ncõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, b§t ¯ng thùc vi ph¥n ¥y l  nhúng ki¸n thùcc¦n thi¸t cho vi»c chùng minh k¸t qu£ ch½nh cõa · t i

1.1 Nhúng kh¡i ni»m cì b£n v· ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n

Mët ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng (gåi t­t l  ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n)

l  mët ph÷ìng tr¼nh chùa ©n h m x = x(t) cõa mët bi¸n ëc lªp t/intR,

v  nhúng ¤o h m x, x0, x00, cõa h m c§p C§p cõa mët ph÷ìng tr¼nh viph¥n cao nh§t l  c§p cao nh¡t cõa ¤o h m cõa ©n h m câ m°t trong ph÷ìngtr¼nh Nh÷ vªy, mët ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p n câ d¤ng

F (t, x, x0, , x(n)) = 0, (1.1)

ð â F l  h m ¢ bi¸t Ph÷ìng tr¼nh (1.1) gåi l  tuy¸n t½nh n¸u F l  h mtuy¸n t½nh èi vîi c¡c bi¸nx, x0, , x(n); trong tr÷íng hñp ng÷ñc l¤i, ph÷ìngtr¼nh (1.1) gåi l  phi tuy¸n Ph÷ìng tr¼nh (1.1) gåi l  ætænæm n¸u F khængphö thuëc t÷íng minh v o t, tùc l  F = F (t, x, x0, , x(n)), v  gåi l  khængætænæm n¸u F khæng phö thuëc t÷íng minh v o t

Nâi ri¶ng, mët ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p mët câ thº vi¸t d÷îi d¤ng

H m x = x(t), t/intI, gåi l  mët nghi»m hi»n (cán gåi l  nghi»m t÷íngminh) cõa (1.2) n¸u F (t, x(t), x0(t)) = 0 trong I H» thùc ψ(t, x) = 0 gåi l mët nghi»m ©n cõa (1.2) n¸u nâ x¡c ành mët ho°c nhi·u h m x = φ(t)thäam¢n F (t, φ(t), φ0(t)) = 0 M°c dò ta câ thº khæng gi£i ÷ñc t÷íng minh x

tø h» thùc ψ(t, x) = 0 nh÷ng ta câ thº t½nh ÷ñc φ0(t) = −ψt

ψ x n¸u ψx = 0

Trong t i li»u n y, ta th÷íng gi£ thi¸t ph÷ìng tr¼nh (1.1) l  gi£i ÷ñc

èi vîi ¤o h m c§p cao nh§t, tùc l  câ thº vi¸t (1.1) d÷îi d¤ng

x(n) = f (t, x, x0, , x(n−1)), (1.3)

ð â f l  h m ¢ bi¸t Khi â, b¬ng c¡ch °t y1 = x, y2 = x0, , yn =

x(n−1), ta câ thº vi¸t (1.1) d÷îi d¤ng mët ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n vectì c§pmët, hay mët h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§p mët, d¤ng y0 = F (t, y), ð â

y = (y1, , yn) V¼ vªy, khæng gi£m t½nh têng qu¡t, ta chõ y¸u x²t c¡cph÷ìng tr¼nh vi ph¥n (vectì) c§p mët

Mët hå h my(t; C1, , Cn), phö thuëc v o tv  ntham sè C1, , Cn

(thay êi trong tªp M ⊂ Rn), gåi l  nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh

vi ph¥n c§p n (1.3) n¸u nâ thäa m¢n hai i·u ki»n sau: thù nh§t, méi h m

y(t; C1, , Cn) l  mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.3) vîi måi c¡ch chåntham sè (C1, , Cn) ∈ M; thù hai, måi nghi»m cõa (1.3) ·u câ thº nhªn

÷ñc theo c¡ch n y

Trong ùng döng, º £m b£o t½nh duy nh§t nghi»m ho°c º nghi»m

mæ t£ ch½nh x¡c hìn hi»n t÷ñng ang x²t, ta th÷íng quan t¥m ¸n nghi»mcõa (1.3) thäa m¢n th¶m nhúng i·u ki»n bê sung n o â, th÷íng l  i·uki»n ban ¦u ho°c l  i·u ki»n bi¶n Ch¯ng han, c¡c i·u ki»n ban ¦u èivîi (1.3) câ d¤ng

x(t0) = x0, x0(t0) = x1, x(n−1)(t0) = xn−1, (1.4)

ð â t0 ∈ R, (x0, x1, , xn−1) ∈ Rn cho tr÷îc B i to¡n t¼m nghi»m cõaph÷ìng tr¼nh (1.3) thäa m¢n i·u ki»n (1.4) gåi l  b i to¡n gi¡ trà ban ¦uhay b i to¡n Cauchy Ta th÷íng ph£i t¼m mët nghi»m x(t)trong mët kho£ng

I n o â chùa iºm t0

Mët b i to¡n èi vîi ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n gåi l  b i to¡n °t óng hay

b i to¡n °t ch¿nh (theo ngh¾a Hadamard) n¸u nâ tçn t¤i nghi»m, nghi»m l duy nh§t v  nghi»m phö thuëc li¶n töc v o dú ki»n ¢ cho N¸u b i to¡n viph¤m mët trong ba i·u ki»n n y th¼ ta câ b i to¡n °t khæng óng hay b ito¡n °t khæng ch¿nh

Chó þ r¬ng trong t i li»u n y, ta th÷íng k½ hi»u bi¸n ëc lªp l t v  s³dòng c¡c k½ hi»u x, x0 ho°c dx

dt º ch¿ ¤o h m theo bi¸n t cõa h m x = x(t).C¡c k½ hi»u t÷ìng tü ÷ñc dòng cho c¡c ¤o h m c§p cao hìn cõa h m

x = x(t) Ta s³ dòng k½ hi»u h0(x) ho°c dh

dx º ch¿ ¤o h m bõa h m h theobi¸n x V· m°t làch sû, k½ hi»u x ÷ñc Newton sû döng khi dòng ph÷ìngtr¼nh vi ph¥n º nghi¶n cùu c¡c b i to¡n cõa cì håc cê iºn v  khi â t l 

bi¸n thíi gian Chóng tæi công s³ sû döng rëng r¢i k½ hi»u n y, trø khi ·cªp ¸n ¤o h m c§p cao º thuªn ti»n, chóng tæi sû döng c£ thuªt ngú h»ph÷ìng tr¼nh v  ph÷ìng tr¼nh (vectì) º ch¿ c¡c h» ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n c§pmët.

1.2 B§t ¯ng thùc vi ph¥n

Ta ành ngh¾a b§t ¯ng thùc y > z giú hai vectì thüc y v  z câ ngh¾a

l  måi tåa ë cõa y lîn hìn tåa ë t÷ìng ùng cõa z T÷ìng tü, y ≥ z cângh¾a l  måi tåa ë cõa y khæng nhä hìn tåa ë t÷ìng ùng cõa z Mët h m

y(t) ÷ñc gåi l  nghi»m cõa b§t ¯ng thùc vi ph¥n

y > f (t, y) ho°c y ≥ f (t, y)

tr¶n kho£ng I n¸u nâ kh£ vi v 

y(t) > f (t, y(t)) ho°c y(t) ≥ f (t, y(t))

vîi måi t trong kho£ng I

Trong c¡c ùng döng, ta c¦n mð rëng c¡c kh¡i ni»m n y Vîi b§t k¼

h my = y(t), ¤o h m ph£i tr¶n D+y v  ¤o h m ph£i d÷îi D+y ÷ñc ànhngh¾a bði

I

Nh÷ chóng ta s³ th§y, nhúng hiºu bi¸t v· nghi»m cõa mët b§t ¯ngthùc vi ph¥n s³ cung c§p c¡c thæng tin húu ½ch v· c¡c nghi»m cõa ph÷ìngtr¼nh vi ph¥n t÷ìng ùng Tuy nhi¶n, c¡c ành l½ ÷ñc chùng minh d÷îi ¥ykhæng óng vîi mët h» b§t k¼ c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n, m  no chi óng vîic¡c h» câ v¸ ph£i thäa m¢n i·u ki»n °c bi»t º ph¡t biºu ch½nh x¡c i·uki»n n y, ta ÷a ra ành ngh¾a sau

ành ngh¾a 1.1 Mët h m vectì f = (f1, , fn) cõa bi¸n vectì x =(x1, , xn) gåi l  thuëc lo¤i K trong tªp S n¸u vîi méi i = 1, , n, ta

câ fi(a) ≤ fi(b) vîi måi c°p iºm a = (a1, , an), b = (b1, , bn) trong S

vîi ai = bi v  ak ≤ bk(k = 1, , n; k 6= i)

B§t k¼ h m væ h÷îng n o công thuëc lo¤iK v¼ i·u ki»n n y hiºn nhi¶nthäa m¢n khi n = 1 H» qu£ l  måi k¸t qu£ trong möc n y s³ luæn óng vîiph÷ìng tr¼nh vi ph¥n væ h÷îng Mët h m vectì (f1, f2) cõa hai bi¸n (x1, x2)

thuëc lo¤iK n¸u v  ch¿ n¸uf1 l  h m khæng gi£m cõax2 v  f2 l  h m khænggi£m cõa x1

¦u ti¶n, ta x²t b§t ¯ng thùc vi ph¥n ng°t

ành lþ 1.2.1 Gi£ sû f (t, x) thuëc lo¤i K vîi méi gi¡ trà cè ành cõa t v gi£ sû x(t) l  mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n x = f (t, x) tr¶n oan

[a; b]

N¸u y(t) l  h m li¶n töc tr¶n [a; b] thäa m¢n b§t ¯ng thùc vi ph¥n

D−y > f (t, y) tr¶n (a; b] v  y(a) > x(a), th¼ y(t) > x(t) vîi måi a ≤ t ≤ b

N¸u z(t) l  h m li¶n töc tr¶n o¤n [a; b], thäa m¢n b§t ¯ng thùc viph¥n D−z > f (t, z) tr¶n (a; b] v  z(a) < x(a), th¼ z(t) < x(t) vîi måi

a ≤ t ≤ b

Chùng minh Bði t½nh li¶n töc, y(t) > x(t) tr¶n åan [a, a + δ] vîi

δ > 0 N¸u b§t ¯ng thùc y(t) > x(t) khæng thäa m¢n tr¶n c£ do¤n [a; b]

th¼ tçn t¤i c ∈ [a; b] sao cho y(t) > x(t) vîi a ≤ t ≤ c, y(c) ≥ x(c), v 

yi(c) = xi(c) t¤i ½t nh§t mët gi¡ trà cõa i Khi â

D−yi(c) > fi(c, y(c)) ≥ fi(c, x(c)) = x0i(c)

Do yi(c) = xi(c) suy ra yi(t) < xi(t) vîi nhúng gi¡ trà t nhä hìn c v  g¦n c

tòy þ Nh÷ng i·u n y m¥u thu¨n vîi ành ngh¾a cõa c Kh¯ng ành thù haicõa ành lþ suy ra b¬ng c¡ch êi biºn x → −x, y → −y 

ành ngh¾a 1.2 Mët nghi»m x∗(t) cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n

ành lþ 1.2.2 Gi£ sû f (t, x) l  h m li¶n töc tr¶n tªp mð D v  thuëc lo¤i

K vîi méi gi¡ trà cè ành cõa t khi â ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n (1.5) câ duynh§t nghi»m cüc ¤i (cüc tiºu) b¶n ph£i xuy¶n qua iºm b§t k¼ (t0, (ξ)0) cõa

D, nghi»m n y x¡c ành tr¶n kho£ng [t0, t) v  d¦n tîi bi¶n cõa D khi t → t

Chùng minh T½nh duy nh§t cõa nghi»m cüc ¤i (cüc tiºu) b¶n ph£ixuy¶n qua iºm (t0, ξ0) l  hiºn nhi¶n, do n¸u x1(t) v  x2(t) l  hai nghi»mnh÷ vªy ta ph£i câ x1(t) ≤ x2(t) v  x2(t) ≤ x1(t) vîi t > t0 Chån vectì

ε > 0 v  gi£ sû ϕn(t) l  nghi»m b§t k¼ cõa b i to¡n gi¡ trà ban ¦u

Tçn t¤i o¤n [t0, t1] câ ë d i d÷ìng m  tr¶n â c¡c h m ϕn(t) x¡c ành v 

câ ç thà n¬m trong mët l¥n cªn cõa (t0, ξ0) vîi måi n õ lîn Bði ành lþ(1.1), ϕn(t) < ϕm(t) n¸u n > m Do d¢y ϕn(t) çng li¶n töc theo t v  gi£mtheo n, nâ hëi tö ·u tr¶n o¤n [t0, t1] khi n → ∞ v  h m giîi h¤n ψ(t) l mët nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n (1.5) xuyen qua iºm (t0, ξ0)

N¸u x(t) l  mët nghi»m cõa (t0, ξ0) thäa m¢n x(t2) ≤ ψ(t2), ð â

t0 ≤ t2 ≤ t1, th¼ x(t2) < ϕn(t2) vîi måi n lîn v  do â, bîi ành l½ 1.2.1x(t) ≤ ϕn(t) vîi t2 ≤ t ≤ t1 Bði vªy, ψ(t) l  mët nghi»m cüc ¤i b¶n ph£itr¶n o¤n [t0, t1]

Bði t½nh duy nh§t cõa nghi»m cüc ¤i b¶n ph£i, tçn t¤i mët nghi»mcüc ¤i b¶n ph£i ψ∗(t) xuy¶n qua (t0, ξ0) m  nâ khæng thº th¡c triºn ÷ñcnh÷ mët nghi»m cüc ¤i b¶n ph£i Gi£ sû t l  iºm tªn còng b¶n ph£i cõakho£ng x¡c ành cõa nâ N¸u ç thà cõa ψ∗(t) câ mi·n iºm giîi h¤n t, ξ
ðb¶n trong D, ta s³ câ ψ∗(t) → ξ khi t → t Nh÷ng khi â, ψ∗(t) câ thº th¡ctriºn qua tnh÷ mët nghi»m cüc ¤i b¶n ph£i Sü tçn t¤i cõa nghi»m cüc tiºu

÷ñc chùng minh t÷ìng tü b¬ng c¡c l§y ε < 0 

B¥y gií, ta chùng minh mët k¸t qu£ t÷ìng tü ành l½ 1.2.1 khi c¡c b§t

¯ng thùc ng°t ÷ñc thay th¸ b¬ng c¡c b§t ¯ng thùc y¸u hìn

ành lþ 1.2.3 Gi£ sû f (t, x) l  h m li¶n töc tr¶n tªp mð D v  thuëc lo¤i

K vîi méi gi¡ trà cè ành cõa t Gi£ sû x(t) l  nghi»m cüc ¤i b¶n ph£i cõaph÷ìng tr¼nh vi ph¥n (1.5) tr¶n o¤n [a, b] N¸u z(t) li¶n töc tr¶n [a, b], thäam¢n b§t ¯ng thùc vi ph¥n Dz ≤ f (t, z) tr¶n (a, b) v  th¼ z(t) ≤ x(t) vîi

a ≤ t ≤ b

T÷ìng tü, gi£ sû x(t) l  nghi»m cüc tiºu b¶n ph£i cõa (1.5) tr¶n [a, b]

N¸u y(t) li¶n töc tr¶n [a, b], thäa m¢n b§t ¯ng thùc vi ph¥n D−y ≥ f (t, y)

tr¶n (a, b) v  y(a) ≥ x(a) th¼ y(t) ≥ x(t) vîi a ≤ t ≤ b

Chùng minh Gi£ sû c l  gi¡ trà lîn nh§t cõa t sao cho z(s) ≤ x(s) vîi

a ≤ s ≤ t v  gi£ thi¸t ph£n chùng r¬ng c < b Chån vectì ε > 0 v  gi£ sû

ϕn(t) l  nghi»m cõa b i to¡n gi¡ trà ban ¦u

trong kho£ng c ≤ t ≤ c + δ Bði chùng minh cõa ành 4.2, ϕn(t) hëi tö vîi

x(t) tr¶n o¤n n y khi n → ∞ M°t kh¡c, bði ành lþ 4.1, z(t)ϕn(t) vîi

c ≤ t ≤ c + δ Cho n → ∞ ta nhªn ÷ñc z(t) ≤ x(t) vîi c ≤ t ≤ c + δ, i·u

n y m¥u thu¨n vîi ành ngh¾a cõa c

Ph¦n thù hai cõa ành l½ ÷ñc chùng minh t÷ìng tü H» qu£ 4.4 Mët h m vectì li¶n töc z(t) l  khæng t«ng tr¶n [a, b] khi

v  ch¿ khi nâ thäa m¢n b§t ¯ng thùc vi ph¥n D−z ≤ 0 (ho°c D+z ≤ 0)tr¶n (a, b)

Chùng minh i·u ki»n c¦n suy ra trüc ti¸p tø ành ngh¾a cõa ¤o

h m Vîi i·u ki»n õ, i·u ki»n D−z ≤ 0 suy ra tø ph¦n ¦u cõa ành l½

4.3 vîi f = 0 v  i·u ki»n D+z ≤ 0 suy ra tø ph¦n thù hai cõa ành l½ 4.3

Chó þ Trong ành l½ 4.3, b§t ¯ng thùc D−z ≤ f (t, z) câ thº thayb¬ng b§t ¯ng thùc D+z ≤ f (t, z) Thªt vªy, ta °t

ành l½ d÷îi ¥y ch¿ ra sü tçn t¤i nghi»m cõa mët ph÷ìng tr¼nh vi ph¦ntr¶n mët kho£ng ¢ cho câ thº suy ra tø sü tçn t¤i nghi»m cõa c¡c b§t ¯ngthùc vi ph¥n t÷ìng ùng.

ành l½ 4.5 Gi£ sû y(t) v  z(t) l  nhúng h m li¶n töc thäa m¢n

z(t) ≤ y(t) tr¶n [a, b] v  gi£ sû f (t, x) l  h m li¶n töc, thuëc lo¤i K vîi méi

t cè ành, trong mi·n a ≤ t ≤ b, z(t) ≤ x ≤ y(t) Ta công gi£ sû y(t), z(t)

câ mët nghi»m x(t) x¡c ành v  thäa m¢n c¡c b§t ¬ng thùc z(t) ≤ x(t) ≤y(t) tr¶n [a, b]

do f trð th nh f trong mi·n a ≤ t ≤ b, z(t) ≤ x ≤ y(t)

Gi£ thi¸t ph£n chùng r¬ng xi(d) > yi(d) Khi â tçn t¤i c (a ≤< d)

sao cho xi(c) = yi(c) v  xi > yi(t) vîi c < t ≤ d Do xi(t) = yi(t) v 

xk(t) ≤ yk(t) n¸u k 6= i, ta suy ra

l  h m khæng gi£m cõa t Nh÷ng i·u n y væ l½ v¼ xi(c) = yi(c) v  xi(d) >

yi(d) Do â x(t) ≤ y(t) T÷ìng tü, ta câ thº chùng minh z(t) ≤ x(t) 

C¡c k¸t qu£ tr¶n câ nhi·u ùng döng º minh håa, ta s³ ¡p döng cõachóng º thi¸t lªp nhúng ti¶u chu©n cho sü th¡c triºn nghi»m v  cho t½nhduy nh§t nghi»m

ành l½ 4.6 Gi£ sû F (t, w) l  h m khæng ¥m li¶n töc trong mi·n

a ≤ t ≤ b, w ≥ 0, v  gi£ sû w(t) l  nghi»m cüc ¤i b¶n ph£i tr¶n o¤n [a, b]

Chùng minh Thüc t¸ z(t) = kx(t)k l  h m li¶n töc, câ ¤o h m ph£i

Bði vªy,z(t)l  mët nghi»m cõa b§t ¯ng thùc vi ph¥nD−z ≤ F (t, z(t))

v  k¸t luªn cõa ành l½ suy ra tø ành l½ 4.3 

Gi£ sû, ch¯ng h¤n, f (t, x) li¶n töc v  thäa m¢n b§t ¯ng thùc

kf (t, x)k ≤ M (t)L(kxk)

vîi t ≥ t0, kxk < +∞, ð â M (t), L(w) l  c¡c h m khæng ¥m li¶n töc vîi

B¬ng c¡ch £o ng÷ñc c¡c b§t ¯ng thùc trong ành l½ 4.6, ta nhªn

÷ñc c¡c d§u hi»u cho sü khæng th¡c triºn ÷ñc cõa nghi»m

Bði ành l½ Peano, ta bi¸t r¬ng n¸u f (t, x) l  h m li¶n töc th¼ b i to¡ngi¡ trà ban ¦u

ành l½ 4.7 Gi£ sû F (t, w) l  h m khæng ¥m li¶n töc x¡c ành vîi

a < t < b, w ≥ 0, thäa m¢n F (t, 0) = 0 Hìn núa, vîi b§t k¼ c (a < c < b),gi£ sû w ≡ 0 l  nghi»m khæng ¥m duy nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh

tr¶n kho£ng (a, c) thäa m¢n w = o(µ(t)) khi t → a, ð â µ(t) l  mët h md÷ìng cho tr÷îc.

N¸u h m vectì f (t, x) thäa m¢n b§t ¯ng thùc

kf (t, x1 − f (t, x2)k ≤ F (t, kx1 − x2k) (1.10)th¼ ph÷ìng tr¼nh (1.5) khæng thº câ hai nghi»m ph¥n bi»t x1(t), x2(t) tr¶nkho£ng (a, b) sao cho khi t → a

t¤i t = c v  thäa m¢n b§t ¯ng thùc

0 ≤ w(t) ≤ z(t),vîi a < t ≤ c Rã r ng, w(t) = o(µ(t)) khi t → a Nh÷ng bði gi£ thi¸t, i·u

n y k²o theo w(t) ≡ 0 Ta g°p m¥u thu¨n v¼ w(c) = z(c) > 0 

Chó þ N¸u l§y F (t, w) = Lw ta nhªn ÷ñc i·u ki»n Lipschitz

kf (t, x1) − f (t, x2)k ≤ L kx1 − x2k

.Têng qu¡t hìn, ta câ thº l§y F (t, w) = L(w), ð â L(w) l  h m li¶n töc vîi

D÷îi nhúng i·u ki»n n y, w ≡ 0 l  nghi»m duy nh§t cõa b i to¡n gi¡ tràban ¦u w = L(w), w(a) = 0 ¥y l  nëi dung cõa ti¶u chu©n Osgood.

ành ngh¾a 1.3 Cho R l  mët v nh Mët tªp hñp M ÷ñc gåi l  mët

R-mæun hay cán gåi l  mæun tr¶n R, n¸u c¡c i·u ki»n sau ÷ñc thäam¢n:

(M1) M l  mët nhâm Aben cëng

(M2) Tçn t¤i mët ¡nh x¤

R × M −→ M(x, m) 7−→ xm

gåi l  ph²p nh¥n vîi væ h÷îng, sao cho c¡c t½nh ch§t sau ÷ñc thäa m¢n èivîi c¡c ph¦n tû tòy þ x, y ∈ R v  m, m1, m2 ∈ M

(i) K¸t hñp: (xy)m = x(ym);

(ii) Ph¥n phèi: x(m1 + m2) = xm1 + xm2;

(iii) ìn và: 1m = m

N¸u R l  mët tr÷íng th¼ mët R-mæun ch½nh l  mët khæng gian vectìtr¶n tr÷íng â

V½ dö 1.2.4 (i) Måi nhâm Aben G ·u câ thº xem l  mæun tr¶n v nh c¡c

sè nguy¶n Z, ph²p nh¥n vîi væ h÷îng ÷ñc x¡c ành nh÷ sau:

(iii) X²t tªp hñp M = M (S, R) t§t c£ c¡c ¡nh x¤ tø mët tªp S v omët v nh R Khi â M l  mët v nh n¶n M l  mët nhâm Aben cëng Ta x¡c

ành mët t½ch vîi væ h÷îng

R × M −→ M(x, m) 7−→ xm

Trong â

xm : S −→ R, (xm)(s) = x(m(s)), ∀s ∈ S

D¹ d ng kiºm tra ÷ñc r¬ng t½ch væ h÷îng n y thäa m¢n i·u ki»n (M2).Vªy M l  mët R-mæun

iv) Vîi mët nhâm Aben G cho tr÷îc, ta x²t tªp hñp c¡c tü çng c§unhâm E =End(G, G) Ta chùng minh ÷ñc E l  mët v nh Khi â, E vîit½ch væ h÷îng x¡c ành bði

E × G −→ G(x, a) 7−→ xa = x(a)

thäa m¢n i·u ki»n (M2) cõa ành ngh¾a v· mæun, n¶n Gl  mët E-mæun.Vªy måi nhâm Aben luæn câ thº xem l  mët mæun tr¶n v nh c¡c tü çngc§u cõa nâ

ành ngh¾a 1.4 Gi£ sû M l  mët R-mæun, mët tªp hñp con N cõa M

÷ñc gåi l  mæun con cõaM, n¸u N l  mët nhâm con cõa nhâm cëng Aben

M v  RN ⊆ N Tùc l  N vîi ph²p nh¥n vîi væ h÷îng c£m sinh l  mët

R-mæun Khi â ta công nâi M l  mð rëng cõa N Mæun M ÷ñc gåi l mæun ìn, n¸u M kh¡c khæng v  ch¿ câ hai mæun con l  0 v  ch½nh nâ

Ti¸p theo ta x²t mët lîp mæun con r§t hay g°p Cho I l  mët i¶antòy þ cõa R Tªp hñp

vîi I, J l  c¡c i¶an tòy þ cõa R

ành ngh¾a 1.5 Cho M1, M2 l  hai R-mæun con cõa M

(i) Têng cõa M1, M2 , k½ hi»u M1 + M2, l  mët mæun con cõa M sinh bði

M»nh · 1.2.5 Giao cõa hå c¡c mæun con cõa M l¤i l  mët mæun concõa M.

°c bi»t, n¸u S l  mët tªp hñp con cõa M th¼ giao cõa t§t c£ c¡cmæun con chùa S l¤i l  mët R-mæun con cõa M, kþ hi»u l  R(S), gåi l mæun con sinh bði tªp hñp S v  S gåi l  mët h» sinh cõa mæun n y Khi

M = R(S) v  S l  tªp hñp húu h¤n th¼ ta nâi M l  mæun húu h¤n sinh.Vîi m1, , mk ∈ S v  x1, , xk ∈ R l  nhúng ph¦n tû tòy þ, khi â têng

HR

ành ngh¾a 1.7 (i) Mët i¶an I cõa mët v nh giao ho¡n R ÷ñc gåi l i¶an nguy¶n tè n¸u I 6= R v  vîi måi x, y ∈ R sao cho xy ∈ I th¼ suy raho°c x ∈ I ho°c y ∈ I

(ii) Mët i¶an I cõa mët v nh giao ho¡n R ÷ñc gåi l  i¶an tèi ¤in¸u I 6= R v  khæng tçn t¤i i¶an J ⊇ I sao cho J 6= I v  J 6= R Nâi c¡chkh¡c, I l  tèi ¤i theo quan h» bao h m trong tªp c¡c i¶an thüc sü cõa R.M»nh · 1.3.1 Trong mët v nh giao ho¡n R, måi i¶an tèi ¤i ·u l nguy¶n tè