DE KHAO SAT HSG TOAN 8

a Rút gọn Q b Tìm các giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên Câu 5: 4 điểm Hiện nay tuổi cha gấp ba lần tuổi con.. Sau một thời gian nữa, tuổi của con bằng tuổi của cha hiện nay thì[r]

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG

Năm học 2012 – 2013 MÔN TOÁN LỚP 8

( Thời gian 90 phút không kể thời gian giao đề)

Câu 1:( 2 điểm) Tính tổng

A = 1+2+22 +23 + +210

Câu 2 :(1 điểm) So sánh hai lũy thừa

536 và 1124

câu 3 :( 2 điểm) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n ta có

( n2 + n – 1)2 – 1 chia hết cho 24

Câu 4 : ( 3 điểm)

Cho biểu thức

Q =

a) Rút gọn Q

b) Tìm các giá trị nguyên của x để Q có giá trị nguyên

Câu 5:( 4 điểm)

Hiện nay tuổi cha gấp ba lần tuổi con Sau một thời gian nữa, tuổi của con bằng tuổi của cha hiện nay thì lúc đó tổng số tuổi của hai cha con là 112 Tính tuổi cha, tuổi con hiện nay

Câu 6:(5 điểm)

Cho ABC cân tại A Trên cạnh BC lấy điểm D sao cho CD = 2BD So sánh số đo hai góc BAD  và 1 CAD

2

Câu 7:( 3 điểm)

Chứng minh rằng nếu: a + b + c = 0 thì a3 + b3 + c3 = 3abc

ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM

1

(2đ)

A = 1+2+22 +23 + +210

2A= 2+22 + 23 + +210 + 211

2A – A = A = 211 - 1 = 2048 -1 =2047

1đ 1đ 2

(1đ)

536 = (53)12 = 12512

1124 = (112)12 = 12112

Vì 12512 > 12112 nên 536 > 1124

0,25đ 0,25đ 0,5đ 3

(2đ)

( n2 + n – 1)2 – 1 = ( n2 + n -1 +1)(n2 + n -1 -1)

= (n2 +n)(n2 +n -2)

= n( n + 1)n22n n  2

= n( n+1) n2 n2n 2

= n(n+1)n n 12(n1)

= n(n+1)( n+2) (n-1)

= (n-1)n (n+1)(n+2)

4 số nguyên liên tiếp trong đó có ít nhất 2 bội số của 2, ( trong

0,25đ 0,25đ 0,25đ

0.25đ 0,25đ 0,25đ 0,25đ

đó một số là bội của 4), một bội số của 3, do đó tích của 4 số

nguyên liên tiếp chia hết cho 4.2.3 = 24

0.25đ

4

(3đ)

a)

Q=

2

.

x

2( 4)( 2)



 b)ĐKXĐ : x0 , x  2

Q =

1 2

x x



có giá trị nguyên 

1 2

x x



có giá trị nguyên



1 1

x



có giá trị nguyên  x  Ư(1)  x  1; -1 Thử lại , với x = 1 thì Q= 1, x = -1 thì Q = 0

0,25đ

0,25đ 0,25đ

0,25đ 0,25đ

0,25đ 0.25đ 0,25đ

5

(4đ) Gọi tuổi con hiện nay là x (

N

 ) suy ra tuổi cha là 3x (tuổi)

cha hơn con 2x (tuổi)

khi tuổi con là 3x thì tuổi cha là 5x

Ta có phương trình 3x + 5x = 112

giải phương trình tìm được x =14 (TMĐK)

Vậy hiện nay tuổi con là 14; tuổi cha là 42

0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 1đ 0,5đ 0,5đ

6

(5đ)

Gọi E là trung điểm DC => BD = DE = EC

=> ABD = ACE (BD = EC; AB = AC; B C  )

=> A 1  A 3 và AE = AD

0,25đ 0,5đ 0,5đ

0,5đ 0,25đ

A

2 1 3

I

E

Gọi I là trung điểm AE => AI =

1

2AE =

1

2AD

Và DE là đường trung bình ABE

=> DI =

1

2AB và DI//AB

Mà DBC và BD=

1

3BC => AD< AB => AI < DI => ADI  < A 2

Mà DI//AB => ADI = A 1 (so le trong)

=> A 1 < 

2

A => 

1

A + 

3

A < 

2

A + 

3

A => 2

1

A < 

2

A + 

3

A

=> A 1 < 12(

2

A + 

3

A ) Hay BAD <



1 CAD 2

0,5đ

0,5đ

0,5đ 0,5đ

0, 5đ 0,5đ

7

(3đ)

Từ a + b + c = 0 <=> a + b = -c

<=> (a + b)3 = -c3 <=> a3 + b3 + 3ab(a + b) = -c3

<=> a3 + b3 + 3ab(-c) = -c3 <=> a3 + b3 + c3 = 3abc

1đ 1đ 1đ