b Viết phương trình tiếp tuyến với C biết tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A, B mà OA 4OB... Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng ABC và A’BC..[r]
Trang 1Equation Chapter 1 Section 1
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 NĂM HỌC 2012-2013
Câu 1: Cho hai đường thẳng song song d và d’ Trên d có 10 điểm phân biệt, trên d’ có n điểm phân
biệt, n 2 Biết rằng có 2800 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho Hãy tìm n.
Hướng dẫn:
Cách 1:
Ba điểm không thẳng hàng xác định một tam giác Do đó, có các trường hợp sau:
- Tam giác có một đỉnh trên d và 2 đỉnh trên d’, số tam giác loại này là: 10.C n2
- Tam giác có một đỉnh trên d’ và 2 đỉnh trên d, số tam giác loại này là: n C 102
Từ giả thiết, ta có phương trình: 10C n2nC102 2800 (n 2)(*)
(*)
!
n
n n
28
n
n
20
n
Cách 2:
Tổng số điểm trên d và d’ là n+10 Số cách lấy 3 điểm từ n+10 điểm trên là: C n310
Số cách lấy 3 điểm thuộc d là: C103 (3 điểm loại này không tạo thành tam giác)
Số cách lấy 3 điểm thuộc d’ là: C n3 (3 điểm loại này không tạo thành tam giác)
Số tam giác tạo thành là: C n310 C n3 C103
Theo đề bài tao có: C n310 C n3 C103 2800 (n3)…
Câu 2: Giải phương trình
Hướng dẫn:
Điều kiện:
x
Hướng 1: Quy đồng mẫu số và rút gọn
Nhận thấy
sin 2 tan 2
cos 2
x x
x
và cos 2xcos2x sin2x(cosx sin )(cosx xsin )x nên:
(*)
2
x
x
2
2
x
x x
(Do cos 2x 0 sin 2x1)
Trang 22
x k x k
(Thỏa mãn điều kiện)
2
x k k
Hướng 2: Đại số hóa phương trình lượng giác
Nhận thấy:
2
- Trường hợp 1: cosx 0 x 2 k
thỏa mãn phương trình (*)
- Trường hợp 2: Xét cosx 0 x 2 k
,
(*)
2 2
2
Đặt ttanxđược phương trình:
0
2
1
t t
0 1
t t
Với t 0 tanx 0 x k (thỏa mãn điều kiện)
Kết hợp hai trường hợp trên ta có kết quả x k 2
Câu 3: Giải phương trình
2
2 log (x2) log ( x 5) log 8 0
Hướng dẫn:
Điều kiện
2 5
x
x
8
Trang 32
5
6
2
x
x
6
2
x x
Câu 4: Chứng minh rằng với mọi x y z , , 0 thì
y z x
Hướng dẫn:
Cách 1: Áp dụng BĐT Cosi ta có:
2
2
2
Cộng từng vế của ba BĐT (1), (2), (3) ta được:
Dễ chứng minh được BĐT: x2y2z2 xy yz xz (5) Từ (4) và (5) ta có:
Suy ra:
y z x (đpcm)
Dấu “=” xảy ra khi x y z
Cách 2: Áp dụng BĐT Cosi cho 3 số, ta có:
Cộng vế với vế của ba BĐT (7), (8), (9) và rút gọn ta được BĐT cần phải chứng minh
Cách 3: Sử dụng hệ quả của BĐT Bunhiacopxki cho 2 bộ 3 số:
Trang 4Áp dụng BĐT Bunhiacopxki cho hai bộ 3 số ( a1; a2; a3) và
3
a a a , ta có:
2
2 3
Dấu “=” xảy ra
3
b
Ta có
Câu 5: Cho hàm số
1
x y x
có đồ thị (C)
a) Giải bất phương trình y ' 4
b) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này cắt các trục Ox, Oy lần lượt tại A,
B mà OA4OB
Hướng dẫn:
a) Ta có 2
1 '
y
x
Bất phương trình
2 2
1
y
x
1
x x
b)
Cách 1:
Trang 5
Ta có
tan
4
OB OAB
OA
nên hệ số góc của tiếp tuyến
1 4
k
hoặc
1 4
k
Nhưng do
2
1
x
nên hệ số góc của tiếp tuyến là
1 4
k
Hoành độ tiếp điểm nghiệm phương trình 2
3
1
x x x
Từ đó ta xác định được hai tiếp tuyến thỏa mãn:
;
y x y x
Cách 2:
Phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm
0
0
1
x
x
0 0 2
1
x
2
x y
Ta xác định được tọa độ giao điểm của tiếp tuyến với các trục tọa độ:
2
0
x
Từ giả thiết OA4OB, ta có:
2
0
0 0
3
1
x
x x
Cách 3: Giả sử A a( ;0), (0; )B b với ab 0
Với giả thiết
1
4
b
a
Đường thẳng đi qua hai điểm A, B có dạng : 1
x y
a b
hay :
b
a
Đường :
b
a
là tiếp tuyến của (C) khi và chỉ khi hệ sau có nghiệm:
2
1
(*)
(**) 1
b
x b
Từ (*) suy ra
1 0
4
Hệ (I) trở thành
2
3
5
4
x
b
Do vậy có hai tiếp tuyến thỏa mãn:
;
y x y x
;
y x y x
Câu 6: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có A’.ABC là hình chóp tam giác đều, cạnh đáy AB=a, cạnh
bên AA’=b Gọi là góc tạo bởi hai mặt phẳng (ABC) và (A’BC).
Trang 6b) Tính thể tích khối chóp A’.BB’C’C.
Hướng dẫn:
a) Gọi M là trung điểm của BC, G là trọng tâm của tam giác
ABC.
Vì A’.ABC là hình chóp đều nên A G' (ABC)
Ta xác định được ((ABC), ( 'A BC))A MG'
Vì ABC là tam giác đều cạnh a nên
;
2
ABC
2
3
a
A G AA AG b
+
2 2
tan
3 6
a b
1
3
ABC A B C ABC A ABC ABC
A BB C C ABC A B C A ABC
2 ' ' '
a)
2 3
a
b)
6