a Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông.. b Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất.[r]
Trang 1ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI NĂM HỌC 2012 - 2013
Môn: TOÁN 8 Thời gian: 150 phút ( Không kể thời gian phát đề)
Bài 1 (4 điểm):
a) Cho a2 a 1 0 Tính giá trị của biểu thức:
2013
2013
1
P a
a
b) Cho hai số x; y thỏa mãn: x2 + x2y2 – 2y = 0 và x3 + 2y2 – 4y + 3 = 0
Tính giá trị của biểu thức Q = x2 + y2
Bài 2 (5 điểm):
a) Tìm tất cả các cặp số tự nhiên (x; y) thỏa mãn: 2x = 5y – 624
b) Tìm tất cả các cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn:
10x2 + 50y2 + 42xy + 14x – 6y + 57 < 0
Bài 3 (4 điểm):
a) Tìm số tự nhiên n sao cho số A = n2 + n + 6 là số chính phương
b) Trong một cuộc thi “Đố vui để học”, mỗi học sinh tham gia thi phải trả lời 10 câu hỏi Mỗi câu trả lời đúng thì được cộng 5 điểm; ngược lại, mỗi câu trả lời sai thì bị trừ 2 điểm Qua cuộc thi, những học sinh đạt từ 30 điểm trở lên thì được thưởng Hỏi: Một học sinh được thưởng thì phải trả lời đúng ít nhất bao nhiêu câu hỏi ?
Bài 4 (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông ở A có AM là phân giác (M BC) Đường thẳng qua M và vuông góc với BC cắt đường thẳng AB tại N Chứng minh rằng MN = MC
Bài 5 (4 điểm): Cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 20cm Trên cạnh CD lấy điểm
M Đường thẳng vuông góc với BM tại M cắt AD tại N
a) Cho MC = 15cm Tính diện tích tam giác BMN
b) Xác định vị trí của M trên cạnh CD để ND có độ dài lớn nhất
Ghi chú: - Thí sinh không được phép sử dụng các loại máy tính cầm tay.
- Tổng điểm toàn bài : 20 điểm
ĐỀ THI SỐ: 01
Trang 2ĐỀ THI SỐ : 02
Câu 1: (2,0 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :
a) 3x2 – 7x + 2; b) a(x2 + 1) – x(a2 + 1)
Câu 2: (2,5 điểm)
Cho biểu thức :
A
a) Tìm ĐKXĐ rồi rút gọn biểu thức A ?
b) Tìm giá trị của x để A > 0?
c) Tính giá trị của A trong trường hợp : |x - 7| = 4
Câu 3: (2,5 điểm)
a) Tìm x,y,z thỏa mãn phương trình sau :
9x2 + y2 + 2z2 – 18x + 4z - 6y + 20 = 0
a b c
xyz Chứng minh rằng :
a b c
Câu 4: (3,0 điểm)
Cho hình bình hành ABCD có đường chéo AC lớn hơn đường chéo BD Gọi E, F lần lượt là hình chiếu của B và D xuống đường thẳng AC Gọi H và K lần lượt là hình chiếu của C xuống đường thẳng AB và AD
a) Tứ giác BEDF là hình gì ? Hãy chứng minh điều đó ?
b) Chứng minh rằng : CH.CD = CB.CK
c) Chứng minh rằng : AB.AH + AD.AK = AC2
Ghi chú: - Thí sinh không được phép sử dụng các loại máy tính cầm tay.
- Tổng điểm toàn bài : 10 điểm
Trang 3Câu1
a Phân tích các đa thức sau ra thừa số:
4
x 4 x 2 x 3 x 4 x 5 24
b Giải phương trình: x4 30x 2 31x 30 0
c Cho
1
bc ca ab Chứng minh rằng:
0
Câu2 Cho biểu thức:
2
2
a Rút gọn biểu thức A
b Tính giá trị của A , Biết x =
1
2
c Tìm giá trị của x để A < 0
d Tìm các giá trị nguyên của x để A có giá trị nguyên
Câu 3 Cho hình vuông ABCD, M là một điểm tuỳ ý trên đường chéo BD Kẻ ME
AB, MF AD
a Chứng minh: DE CF
b Chứng minh ba đường thẳng: DE, BF, CM đồng quy
c Xác định vị trí của điểm M để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất
Câu 4
a Cho 3 số dương a, b, c có tổng bằng 1 Chứng minh rằng:
1 1 1
9
a b c
b Cho a, b d¬ng vµ a2000 + b2000 = a2001 + b2001 = a2002 + b2002
Tinh: a2011 + b2011
ĐỀ SỐ : 03
Trang 4Đề thi SỐ 04
Câu 1 : (2 điểm) Cho P=
a3−4 a2−a+4
a3−7 a2+14 a−8 a) Rút gọn P
b) Tìm giá trị nguyên của a để P nhận giá trị nguyên
Câu 2 : (2 điểm)
a) Chứng minh rằng nếu tổng của hai số nguyên chia hết cho 3 thì tổng các lập phơng của chúng chia hết cho 3
b) Tìm các giá trị của x để biểu thức :
P=(x-1)(x+2)(x+3)(x+6) có giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Câu 3 : (2 điểm)
a) Giải phơng trình :
1
x2+9 x +20+
1
x2+11 x+30+
1
x2+13 x+ 42=
1 18 b) Cho a , b , c là 3 cạnh của một tam giác Chứng minh rằng :
A =
a b+c−a+
b a+c−b+
c a+b−c≥3
Câu 4 : (3 điểm)
Cho tam giác đều ABC , gọi M là trung điểm của BC Một góc xMy bằng 600 quay quanh điểm M sao cho 2 cạnh Mx , My luôn cắt cạnh AB và AC lần lợt tại D và
E Chứng minh :
a) BD.CE=
BC 2
4 b) DM,EM lần lợt là tia phân giác của các góc BDE và CED
c) Chu vi tam giác ADE không đổi
Câu 5 : (1 điểm)
Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên dơng và số đo diện tích bằng số đo chu vi
1 3 5 7 15
A a a a a
ẹEÀ THI SOÁ 05
Trang 5Câu 2( 2 đ): Với giá trị nào của a và b thì đa thức:
x a x 10 1
phân tích thành tích của một đa thức bậc nhất có các hệ số nguyên
Câu 3( 1 đ): tìm các số nguyên a và b để đa thức A(x) = x4 3x3 ax b chia hết cho
đa
thức B x( ) x2 3x 4
Câu 4( 3 đ): Cho tam giác ABC, đường cao AH,vẽ phân giác Hx của góc AHB và
phân giác Hy của góc AHC Kẻ AD vuông góc với Hx, AE vuông góc Hy
Chứng minh rằngtứ giác ADHE là hình vuông
Câu 5( 2 đ): Chứng minh rằng
1
2 3 4 100
Bài 1: (4 điểm)
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
a) (x + y + z) 3 – x3 – y3 – z3
ĐỀ THI SỐ 06
Trang 6b) x4 + 2010x2 + 2009x + 2010.
Bài 2: (2 điểm)
Giải phương trình:
x 241 x 220 x 195 x 166
10
Bài 3: (3 điểm)
Tìm x biết:
2009 x 2009 x x 2010 x 2010 19
49
2009 x 2009 x x 2010 x 2010
Bài 4: (3 điểm)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2
2010x 2680 A
x 1
Bài 5: (4 điểm)
Cho tam giác ABC vuông tại A, D là điểm di động trên cạnh BC Gọi E, F lần lượt
là hình chiếu vuông góc của điểm D lên AB, AC
a) Xác định vị trí của điểm D để tứ giác AEDF là hình vuông
b) Xác định vị trí của điểm D sao cho 3AD + 4EF đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 6: (4 điểm)
Trong tam giác ABC, các điểm A, E, F tương ứng nằm trên các cạnh BC, CA, AB sao cho: AFE BFD, BDF CDE, CED AEF
a) Chứng minh rằng: BDF BAC
b) Cho AB = 5, BC = 8, CA = 7 Tính độ dài đoạn BD.