CD PT HE PT PT BAC 2 ON THI VAO LOP 10 CHUAN

Một số bài tập về hệ pt chứa tham số  Chú ý : Với bài tập dạng tìm điều kiện của tham số để nghiệm của hệ thoả mãn một điều kiện α nào đó ta làm như sau: + Coi tham số như số đã biết + [r]



*)Phương trình có chứa hệ số chữ (Giải và biện luận phương trình)

Dạng phương trình này sau khi biến đổi cũng có dạng ax + b = 0 Song giá trị cụ thểcủa a, b ta không biết nên cần đặt điều kiện để xác định số nghiệm của phương trình

-Nếu a ≠ 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất

bxa





.-Nếu a = 0 và b = 0 thì phương trình có vô số nghiệm

-Nếu a = 0 và b ≠ 0 thì phương trình vô nghiệm

2.Phương trình tích

Để giái phương trình tích ta chỉ cần giải các phương trình thành phần của nó

Chẳng hạn: Với phương trình A(x).B(x).C(x) = 0

3.Phương trình chứa ẩn ở mẫu

*Phương pháp giải: Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Bước 1: Tìm ĐKXĐ của phương trình.

Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế và khử mẫu.

Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được.

Bước 4: Đối chiếu nghiệm tìm được với ĐKXĐ, loại các giá trị không thoả mãn, các giá trị thoả mãn ĐK là nghiệm của phương trình đã cho.

 Giải và biện luận phương trình chứa ẩn ở mẫu.

* Đặt ĐK để phương trình có nghĩa;

* Quy đồng mẫu thức chung và khử mẫu;

* Giải và biện luận phương trình bậc hai;

* Kiểm tra điều kiện và kết luận.

4.Phương trình có chứa dấu giá trị tuyệt đối

Cần chú ý khái niệm giá trị tuyệt đối của một biểu thức:

A khi A 0A

Phơng trình chứa dấu giá trị tuyệt đối

- Định nghĩa:

A nếu A 0 A

0 ) (

0 ) (







x h

x g

x f

* Phương trỡnh dạng f x( ) g x( )  h x( )

 Sơ đồ giải:

- Đặt đk cú nghĩa của phương trỡnh

f (x) 0g(x) 0h(x) 0

-Bỡnh phương hai vế(cú thể chuyển vế hợp lớ rồi bỡnh phương) sau đú cần phải

đối chiếu nghiệm vừa tỡm được với điều kiện!

*)Lu ý: Hầu hết khi giải phơng trình chứa ẩn trong căn, ta cần xác định điều

kiện có nghĩa của phơng trình và các điều kiện tơng đơng Nếu không có thể thử lại trực tiếp.

II CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ BẤT PHƯƠNG TRèNH BẬC NHẤT MỘT ẨN.

A B A B

x

b x1  x1 2x 3HDẫn giải

a ĐK x  1 Quy đồng mẫu và khử mẫu ta được: ( 1)( 1) 0

2 8

x

, giải ra ta được x < -1 hoặc 4 1

1 Với x < -1 Giải BPT được x > -2

5

Vậy -2

5

< x < -1

2 Với -1  x < 1 Giải BPT được 3 > 0 Vậy -1  x < 1

3 Với x  1 Giải BPT được x > -2

1

.KLC: x > -2

5

Ví dụ2 : Giải và biện luận bất phương trình: 18

16 6

2 9

) 1

(1)HDẫn giải

(1)  2m(x - 1) - 3(x + 2m) < x – 16  2(m - 2)x < 8(m - 2)

Nếu m > 2 thì x < 4

Nếu m < 2 thì x > 4

Nếu m = 2 thì 0x < 0, bất phương trình vô nghiệm

Ví dụ3: Tìm nghiệm nguyên dương của bất phương trình: ( 1)( 3) 1

4 2

x x

(1)HDẫn giải

0 1

x x

 -1 < x < 3 (TM)

Vì x nguyên dương nên x  {1; 2}

b ' ≠

c

c ' ⇔ Hệ vô nghiệm+ Nếu a' a = b

- Từ một phương trình của hệ biểu thị một ẩn (chẳng hạn ẩn x) theo ẩn kia

- Thay biểu thức của x vào phương trình còn lại để tìm y

- Thay y vừa tìm được vào biểu thức của x để tìm x

KL : Nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được

Ví dụ 1 : Giải các hệ phương trình sau :

Thay y = 0 vào phương trình (*) ta được : x = 3

Vậy nghiệm của hệ là: {x=3 y=0

Thay x = 2 vào (*) ta được : y = 5 – 2.2 ⇒ y=1

Vậy nghiệm của hệ là : {x=2 y=1

2 Phương pháp cộng :

- Biến đổi các hệ số của cùng một ẩn sao cho có giá trị tuyệt đối bằng nhau

- Cộng hoặc trừ từng vế của hệ để khử đi một ẩn

- Giải phương trình tìm ẩn chưa khử

- Thay giá trị vào một phương trình của hệ để tìm ẩn còn lại

KL : nghiệm của hệ là cặp giá trị (x; y) vừa tìm được

Ví dụ 2: Giải các hệ phương trình sau :

a) {− x+3 y =−9 x+2 y =14 (1) ¿¿(2) ¿

Cộng từng vế của hệ ta được : 5y = 5 ⇒ y=1

Thay y = 1 vào phương trình (1) ta được :

Với hệ phương trình {ax+by=c a ' x+b ' y=c '

+Nếu a = a’ hoặc b = b’ ta nên sử dụng phép cộng từng vế

+Nếu a = -a’ hoặc b = -b’ ta nên sử dụng phép trừ

+Nếu các hệ số a; a’; b; b’ bằng 1 hoặc -1 thì ta nên dùng phương pháp thế

+ Nếu các hệ số a; a’; b; b’ khác ±1 và không có giá trị tuyệt đối bằng nhau thì ta đi tìm BCNN (a;a’) hoặc BCNN (b; b’)

Ví dụ 3: Giải các hệ phương trình sau :

Vậy nghiệm của hệ phương trình là (x; y) = (-2; -1)

VD4.Giải các hệ phương trình sau

1 1 1

y x

y x

(2)

) 1 (

3 2 2

2 1

1 2 1

y x

y x

(2)

) 1 (

5 3

2 2

2 2

y x

y x

) 2 (

) 1 (

.HDẫn giải

a ĐK x; y 0, hệ có nghiệm ( 2

7

; 9

4 Một số bài tập về hệ pt chứa tham số

 Chú ý : Với bài tập dạng tìm điều kiện của tham số để nghiệm của hệ thoả mãn một

điều kiện α nào đó ta làm như sau:

+ Coi tham số như số đã biết

+ Giải hệ phương trình tìm nghiệm (x; y).Nghiệm (x; y) phụ thuộc vào tham số + Giải các phương trình (Bất phương trình) của biểu thức chứa tham số

-Từ (1) ta có : x = 2y (*) thay vào (3) ta được:

-2.2y – 3y = 2 ⇒ y=−2

7 thay vào (*) ⇒ x=−4

7

Vậy nghiệm của hệ là : {x=−4

Vậy với m > 32 thì hệ phương trình có nghiệm dương

Ví dụ 2: Giải và biện luận HPT: a 

2

m my x

m y mx

) 2 (

) 1 (

y x

y x

4 2

5 3 2

) 3 (

) 2 (

) 1 (

.HDẫn giải

a Từ (1) biểu thị y qua x và thay vào (2) được (m2 - 4)x = (2m + 3)(m - 2) (3)

3 2

m

m m

m

+ Nếu m = 2, (3) TM mọi x, hệ VSN (x; 2x - 4)

1 4

) 2 (

y m x

m y x m

(2)

) 1 (

2

1 2

) 1 (

.HDẫn giải

Từ (1) biểu thị y qua x và thay vào (2) ta được (m2 - 4)x = (m - 1)(m - 2) Hệ có nghiệm duy

1 2

2

3 1 2 1

m m

m y

m m

m x

x, y nguyên thì m + 2 phải là ước của 3,

y x

a 1 ) 3 (

2 2 2

2 2

y x

y x

1 5 2

y x y x

y x

y x

4 3 2

y x

y x

2 4 3

y x

y x

2 4

1 3 2

y x

y x

Bài 2 : Giải các hệ phương trình sau :

1 x 3

2 2 y

2 x 1

3 2

20

1 2

1 2

4

y x y x

y x y x

Bài 3 : Cho hệ phương trình

5 3

y x

y x m

a) Giải hệ phương trình khi m = 1

b) Với giá trị nào của m thì hệ phương trình nhận cặp số ( x= 1 ; y =- 6) làm nghiệmc) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất Tìm nghiệm đó

Bài 4 : Cho hệ phương trình 

2

ay x

y ax

a) Giải hệ phương trình khi a = 1

b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất và tìm nghiệm đó

c) Tìm a để hệ phương trình vô nghiệm

Bài 5 : Cho hệ phương trình 

2

a y x

a y ax

a) Giải hệ phương trình khi a = -2

b) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất, khi đó tính x ; y theo a

c) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thoả mãn: x - y = 1

d) Tìm a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất thoả mãn x và y là các số nguyên

Bài 6 :a) Giải và biện luận hệ phương trình: 

16 ) 4 ( 2

y x m

y m x

(I) b) Trong trường hợp hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất hãy tìm m để x+y lớn hơn 1

Bài 7* : Giải phương trình sau :

*Trong trường hợp giải và biện luận, cần chú ý khi a = 0 phương trình trở thành bậc nhất một ẩn

* Nếu a ≠0 ta có thể gặp các trường hợp sau :





thì

cx





thì phương trình vô nghiệm

Dạng 3: Tổng quát ( phương trình bậc hai đầy đủ ) : ax2 + bx + c = 0 (1)

  : phương trình vô nghiệm  ' 0: phương trình vô nghiệm

Dạng 4: Các phương trình đưa được về phương trình bậc hai

Cần chú ý dạng trùng phương, phương trình vô tỉ và dạng đặt ẩn phụ, còn dạng chứa ẩn ở mẫu và dạng tích

- có 2 nghiệm phân biệt  0.

b/ Điều kiện để phương trình có hai nghiệm cùng dấu:  {Δ≥ 0 c

- Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn  a.c < 0 và S < 0

- Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn

d/.Hai nghiệm nghịch đảo nhau   0 và 1 2

4.Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập đối với tham số:

(Tìm hệ thức liên hệ giữa 2 nghiệm x 1 , x 2 không phụ thuộc vào tham số).

* Phương pháp giải:

 Tìm điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm ( ' 0;  0 hoặc a.c < 0).

 Lập hệ thức Vi-ét cho phương trình

Phương trình có '= 1 > 0  pt có 2 nghiệm, áp dụng hệ thức Vi-ét cho pt (1):

1 2

1 2

12 35

b

S x x

a c

a) Giải phương trình với m = 4.

b) Giải và biện luận theo m số nghiệm của phương trình (1)

c) Tìm m để (1) có nghiệm x= -2 Tìm nghiệm còn lại

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn một trong các điều kiện sau:

x x là nghiệm của phương trình mx2 – 3x – 1 = 0 Trong đó x1, x2

là hai nghiệm của (1)

f) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu Em có nhận xét gì về hai

cách 1: Thay m = -2 vào phương trình đã cho: x2 + 3x + 2 = 0

có a – b + c = 1 – 3 + 2 = 0 nên x1 = -1; x2 =

c2a





Vậy nghiệm còn lại là x = - 1

Cách 2: Ta có x1 + x2 =

ba

x x là hai nghiệm của phương trình x2 m3 x m1  0 mx2 3m 1 0 

f) Phương trình có hai nghiệm cùng dấu

9

m 0 4

Hai nghiệm này luôn âm Vì S = - 3

C MỘT SỐ BÀI TRONG ĐỀ THI VÀO LỚP 10 SỞ GD – ĐT HÀ NỘI

Bài 1 : ( bài 3 đề thi vào lớp 10 Năm học : 2007 – 2008 )

Bµi 3 ( 1 ®iÓm )

Cho ph¬ng tr×nh x2 + bx + c = 0

Bài 2 : ( bài 3 đề thi vào lớp 10 Năm học : 2009 – 2010 )

Bài III (1,0 điểm)

Cho phơng trình (ẩn x): x2- 2(m+ 1)x m+ 2+ = 2 0

1) Giải phơng trình đã cho với m=1

2) Tìm giá trị của m để phơng trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn hệ thức:

Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt m

Ta có : x1 + x2 =

b a



0,25

D CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

1/LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG ÁP DỤNG CÔNG THỨC VÀO TÍNH TOÁN

Bài 1: Giải phương trình

51 ) 49 (

1     

x

51 ) 49 (

).

1 ( 50 49

50 ) 1 ( 49

2

1 2

1

2 1

x

x x

x

x x

Vậy phương trình có nghiệm: x1 = - 1; x2 =

50 1

(

2

4 3 2

’ = ( 3)2- (2- 3)(– 2 – 3) = 4;  = 2

Do ’ > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

1 3 2

2 3

3 2

+ Áp dụng đúng công thức (không nhẩm tắt vì dễ dẫn đến sai sót)

+ Gv: cần chú ý rèn tính cẩn thận khi áp dụng công thức và tính toán

* Bài tương tự: Giải các phương trình sau:

Bài 2: Tìm hai số u và v biết: u + v = 42 và u.v = 441

a) u+v = -42 và u.v = - 400 b) u - v = 5 và u.v = 24

c) u+v = 3 và u.v = - 8 d) u - v = -5 và u.v = -10

2 Tìm kích thước mảnh vườn hình chữ nhật biết chu vi bằng 22m và diện tích bằng 30m2

Bài 3: Giải các phương trình sau

(phương trình quy về phương trình bậc hai)

a) x3 + 3x2 – 2x – 6 = 0

b)

) 4 )(

1 (

8 1

b) Giải phương trình ( 1)( 4)

8 1

x

(2) Với ĐK: x≠ -1; x≠ 4 thì

2

23 ) 3 (



; x2 = 2

5 1

Vậy phương trình (4) có nghiệm x1 = 2

5 1



; x2 = 2

5 1

x

7 (x2 – 4x + 2)2 + x2 - 4x - 4 = 0

8

0 3

1 4

Bài 4: Cho phương trình x2 + 3x - 5 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2

Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:

A = 2 2

1 1

x

x  ; B = x12 + x22 ; C = 22

2 2

1 1

3

1 1

2 1

2 1 2 2

x x x

B = x12 + x22 = (x1+x2)2- 2x1x2= ( 3)2  2( 5)32 5

C =

) 5 2 3 ( 5

1 ) 5 (

5 2 3

x x

;

D = (x1+x2)( x12- x1x2 + x22) = ( 3)[32 5 ( 5)] (3 33 15)

* Bài tương tự:

Cho phương trình x2 + 2x - 3 = 0 có 2 nghiệm là x1 và x2

Không giải phương trình hãy tính giá trị của biểu thức sau:

A = 2 2

1 1

x

x  ; B = x12 + x22 ; C = 22

2 2

1 1

3 2 1

2 2 2 1

2

1

5 5

6 10

6

x x x x

x x x x

2 1

4 4

3 5

3

x x x x

x x x x







2/LOẠI TOÁN RÈN KỸ NĂNG SUY LUẬN

(Phương trình bậc hai chứa tham số)

CÁC BÀI TOÁN TỔNG QUÁT

1 Bài tập về số nghiệm của phương trình bậc hai:

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt :

b)Ta có : Δ = 42 – 4.2.(-m) = 16 + 8m

Δ = 16 + 8m > 0  m > -2

Vậy với m > - 2 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 2 : Tìm các giá trị của m để các phương trình sau có nghiệm kép.

Δ’ = 8m2 + 16m – 24 = 8 (m2 + 2m - 3) Δ’ = 0  (m2 + 2m - 3) = 0

 m = 1 hoặc m = -3 (thoả mãn)Vậy với m = 1 hoặc m= - 3 thì phương trình có nghiệm kép

b) Ta có :

Δ’ = 452 – 15m = 2025 – 15m

Δ’ = 0  2025 – 15m = 0

 m = 135Vậy với m = 135 thì phương trình có nghiệm kép

Ví dụ 3: : Tìm các giá trị của m để các phương trình sau vô nghiệm

Vậy với - √12<m<√12 thì phương trình vô nghiệm

Ví dụ 4: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm duy nhất:

Vậy với m = 4 hoặc m = 0 thì phương trình có nghiệm duy nhất.

2.Bài tập về dấu các nghiệm của phương trình bậc hai:

Ví dụ : Xác định giá trị của m để các phương trình sau có hai nghiệm cùng dấu:

Vậy với 1 < m 134 thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu

b)Để phương trình có hai nghiệm cùng dấu:



m≥√3

m ≤−√3{Δ' ≥ 0 c

+ Bước 3: Nêu hệ thức của bài toán (3)

+ Bước 4 : giải hệ gồm 2 phương trình sau đó thay vào phương trình còn lại để tìm m

x1.x2 = 6 – m (2)

Theo bài ra : 2x1 + 3x2 = 13 (3)

Giải hệ phương trình {x1 +x2=m+5

2 x1+3 x2=13 (1)(3)Nhân phương trình (1) với 2 ta được

5.Bài tập dạng tìm một hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số:

Cho phương trình : ax2 + bx + c = 0 Cách giải:

+ Bước 1: Tìm ĐK để phương trình có nghiệm ( Δ≥ 0 )

+ Bước 2: Lập S , P (x1 + x2 = − b a ), x1.x2 = c a theo tham số m

+ Bước 3: Dùng quy tắc công hoặc thế để khử m

+ Bước 4 : Thay S = x1 + x2 ; P = x1.x2 ta được hệ thức cần tìm

Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m

+ Với bài toán : tìm m để phương trình có hai nghiệm < α

⇒{(x1− α)+(x2− α)<0

(x1− α).(x2− α)>0

Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m

+ Với bài toán : tìm m để phương trình có hai nghiệm , trong đó một nghiệm > α

nghiệm kia < α

⇒( x1−α ).(x2− α)>0

Thay biểu thức viet vào hệ để tìm m

Hoặc có thể sử dụng định lý về dấu của tam thức bậc hai:

* Nếu a f (α)<0 ⇒ x1<α<x2

Ví dụ 1: Tìm các giá trị của m để phương trình sau có hai nghiệm lớn hơn 2

x2 - 2mx + 8 = 0 (1) -Giải-

Nếu ’< 0  1- k < 0  k > 1  phương trình vô nghiệm

Nếu ’= 0  1- k = 0  k = 1  phương trình có nghiệm kép x1= x2=1 Nếu ’> 0  1- k > 0  k < 1  phương trình có hai nghiệm phân biệt

x1 = 1- 1  k ; x2 = 1+ 1  k

Kết luận:

Nếu k > 1 thì phương trình vô nghiệm

Nếu k = 1 thì phương trình có nghiệm x=1

Nếu k < 1 thì phương trình có nghiệm x1 = 1- 1  k ; x2 = 1+ 1  k

Bài 2: Cho phương trình (m-1)x2 + 2x - 3 = 0 (1) (tham số m)

a) Tìm m để (1) có nghiệm

b) Tìm m để (1) có nghiệm duy nhất? tìm nghiệm duy nhất đó?

c) Tìm m để (1) có 1 nghiệm bằng 2? khi đó hãy tìm nghiệm còn lại(nếu có)?Giải

a) + Nếu m-1 = 0  m = 1 thì (1) có dạng 2x - 3 = 0  x = 2

3

(là nghiệm) + Nếu m ≠ 1 Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’=12- (-3)(m-1) = 3m-2

3

(là nghiệm)

+ Nếu m ≠ 1 Khi đó (1) là phương trình bậc hai có: ’ = 1- (-3)(m-1) = 3m-2

1 1

4 1

3 1

Bài 3: Cho phương trình: x2 -2(m-1)x – 3 – m = 0 ( ẩn số x)

a) Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm x1, x2 với mọi m

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng âm

d) Tìm m sao cho nghiệm số x1, x2 của phương trình thoả mãn x12+x22  10

e) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc vào m

f) Hãy biểu thị x1 qua x2

Giải

a) Ta có: 

’ = (m-1)2 – (– 3 – m ) = 4

15 2

Hay phương trình luôn có hai nghiệm (đpcm)

b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu  a.c < 0  – 3 – m < 0  m > -3

Vậy m > -3

c) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

Khi đó theo định lí Viet ta có: S = x1 + x2 = 2(m-1) và P = x1.x2 = - (m+3)

Khi đó phương trình có hai nghiệm âm  S < 0 và P > 0

3 3

1 0

) 3 (

0 ) 1 (

m

Vậy m < -3

d) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

2 3 0 2 3 0

0 3 2 0

0 3 2 0

m m

m m m m

m m m m

Vậy m  2

3

hoặc m  0e) Theo ý a) ta có phương trình luôn có hai nghiệm

2

2 2

) 3 (

) 1 ( 2

2 1

2 1 2

1

2 1

m x

x

m x x m

x x

m x

2 1

8

x

x x

2 1

8

x

x x

Bài 4: Cho phương trình: x 2 + 2x + m-1= 0 ( m là tham số)

a) Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn 3x1+2x2 = 1

c) Lập phương trình ẩn y thoả mãn 2

1 1

1

x x

y  

2 2

1

x x

2 1

1

0 2

m P