Sai phân và phương trình sai phân
Thang thời gian Z và sai phân
Trong thực tế, dữ liệu thu thập được thường đến từ các điểm thời gian rời rạc, mặc dù chúng ta đã làm việc nhiều với các quá trình liên tục Các quá trình thời gian rời rạc đơn giản nhất là những quá trình có các thời điểm cách đều nhau với khoảng h > 0, bắt đầu từ thời điểm t0.
I là một lưới thời gian rời rạc đều với bước lưới h > 0, bắt đầu từ thời điểm t0 ∈ R Trong trường hợp đặc biệt, nếu t0 = 0 và h = 1 được coi là đơn vị thời gian, thì tập I trở thành tập các số nguyên Z.
Nếu chỉ lấy n= 0,1,2, thì ta có I = {0,1,2,3, } = Z + -tập các số nguyên không âm.
Ta đưa thêm một số ký hiệu sẽ dùng về sau:
Giả sử f là một ánh xạ từ Z vào R p (hoặc từ Z + vào R p ) f :Z → R p
Z 3n 7−→f(n) ∈ R p, khi đó f(ã) là một hàm có đối số nguyên Định nghĩa 1.1.1 cho biết rằng nếu f(ã) là một hàm số xác định trên tập Z và nhận giá trị trong R p, thì sai phân cấp một của hàm f(ã) tại n ∈ Z được xác định bằng hiệu sau đây.
∆f(n) =f(n+ 1)−f(n) (1.1) Sai phân cấp hai là:
Sai phân các cấp có các tính chất (xem [3]):
0 khi k > m đa thức bậc m−k khi k ≤ m.
Khái niệm phương trình sai phân
Định nghĩa 1.1.2 Giả sử x(n) là một hàm đối số nguyên n ∈ Z chưa biết, cần tìm từ đẳng thức:
F(n,∆ k x(n),∆ k−1 x(n), ,∆x(n), x(n)) = 0 (1.4) trong đó không được khuyết ∆ k x(n) Khi đó, đẳng thức (1.4) được gọi là một phương trình sai phân cấp k.
Từ định nghĩa 1.1.1, ta thấy mọi phương trình sai phân cấp k có thể đưa về dạng tương đương sau đây
Trường hợp riêng sau đây của (1.5) gọi là một phương trình sai phân cấp k dạng chính tắc x(n+k) = f(n, x(n+ k−1), x(n+k −2), , x(n+ 1), x(n)) (1.6)
Trường hợp đặc biệt sau đây của (1.6) được gọi là phương trình sai phân tuyến tính cấp k x(n+k) +a k−1 (k)x(n+k−1) +ã ã ã+a 1 (k)x(k+ 1) +a 0 (k)x(k) =f(k).
(1.7) Nếu f(k) ≡ 0 thì ta có phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất x(n+k)+a k−1 (k)x(n+k−1)+ã ã ã+a 1 (k)x(k+1)+a 0 (k)x(k) = 0 (1.8)
Nếu các hệ số ai(k) đều không phụ thuộc vào k thì ta có phương trình sai phân hệ số hằng.
Tính chất của phương trình sai phân tuyến tính
1/ Nếu x1(n) và x2(n) là nghiệm của (1.8) thì với mọi hằng số α, β có x(n) =αx1(n) +βx2(n) cũng là nghiệm của (1.8).
2/ Nếu x 1 (n), x 2 (n), , x k (n) là các nghiệm độc lập tuyến tính của (1.8) thì nghiệm tổng quát của (1.8) là: x(n) =c1x1(n) +c2x2(n) +ã ã ã+ckxk(n) với c 1 , c 2 , , c k là các hằng số tùy ý.
3/ Nếu x(n) là nghiệm tổng quát của (1.8) và x(n)ˆ là một nghiệm riêng của (1.7) thì x(n) = x(n) + ˆx(n) là nghiệm tổng quát của (1.7).
4/ Nguyên lý chồng chất nghiệm được phát biểu tương tự với phương trình vi phân (xem [3]). Điều kiện ban đầu của phương trình sai phân cấp k tại k = k0 thường được cho như sau
x(k0 −k + 1) = x 0 −k+1 x(k 0 −k + 2) = x 0 −k+2 x(k0 −1) = x 0 −1 x(k 0 ) =x 0 0 Trong đó(x 0 −k+1 , x 0 −k+2 , , x 0 −1 , x 0 0 )là một bộ gồmk vector cho trước trong
Phương trình sai phân phi tuyến dạng chính tắc
Phương trình sai phân chính tắc cấp k có thể được viết dưới dạng x(n+1) = f(n, x(n), x(n−1), , x(n−k+1)) trong không gian X Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình này không yêu cầu hàm f phải liên tục hay thỏa mãn điều kiện Lipschitz, điều này tạo ra sự khác biệt so với phương trình vi phân.
0 − 0 − 0 nghiệm của phương trình chính tắc thỏa mãn điều kiện ban đầu này là không khó Quả vậy, bằng cách truy hồi liên tiếp từ n 0 , ta có: x(n 0 + 1) = f(n 0 , x(n 0 ), x(n 0 −1), , x(n 0 −k+ 1))
Đây là một biểu thức truy hồi tường minh, nhưng trong trường hợp tổng quát, nó không được cụ thể, ngoại trừ một số trường hợp đặc biệt Chúng tôi sẽ cụ thể hóa các biểu thức này, bắt đầu từ những trường hợp đơn giản trong các mục tiếp theo.
Phương trình sai phân trong R 1 và một vài ứng dụng
Phương trình sai phân tuyến tính cấp k hệ số hằng 7
Xét phương trình sai phân (xem [3, 7]) x(n+ k) +a k−1 x(n+k −1) +ã ã ã+a1x(n+ 1) +a0x(n) =f(n) (1.9) và phương trình thuần nhất tương ứng x(n+k) +a k−1 x(n+k−1) +ã ã ã+a 1 x(n+ 1) +a 0 x(n) = 0 (1.10)
P(λ) =λ k +a k−1 λ k−1 +ã ã ã+a 1 λ+a 0 = 0 (1.11) Định lý 1.2.1 Nếu phương trình đặc trưng (1.11) có k nghiệm thực phân biệt là λ 1 , λ 2 , , λ k thì nghiệm tổng quát của (1.10) là x(n) = c 1 λ n 1 +c 2 λ n 2 +ã ã ã+ c k λ n k , (c 1 , c 2 , , c k là cỏc hằng số).
Nếu có λj = αj + iβj (nghiệm phức đơn) thì số hạng cjλ n j được thay bởi
Nếu λ j là nghiệm thực bội s thì ở công thức nghiệm tổng quát, số hạng c j λ n j được thay bởi P s−1 (n)λ n j , trong đó
P s−1 (n) = (c 0 j +c 1 j n+c 2 j n 2 +ã ã ã+c s−1 j n s−1 ) (đa thức tổng quỏt bậc s−1).
Nếu λ j là nghiệm phức bội s thì ở (1.12) thay c 0 j bởi P s−1 (n) và c 1 j bởi
Trong bài viết này, chúng ta xem xét các đa thức tổng quát bậc s−1 của n, được ký hiệu là P s−1 (n) và Q s−1 (n) Theo Định lý 1.2.2, nếu f(n) được biểu diễn dưới dạng P m (n)α n và α là nghiệm bội s của phương trình đặc trưng, thì có thể xác định một nghiệm riêng cho phương trình (1.9) dưới dạng ˆ x(n) = n s−1 Q m (n)α n.
Giả sử f(n) = [Pm(n) cosnβ + Ql(n) sinnβ]α n, với λ = α + iβ là nghiệm phức bội s của phương trình đặc trưng (1.11) Có thể tìm được một nghiệm riêng của phương trình (1.9) dưới dạng ˆ x(n) =α n [R h (n) cosnβ + S h (n) sinnβ]n s−1, trong đó h = max{m, l} và Rh(n), Sh(n) là các đa thức bậc h với hệ số chưa xác định của n.
Một vài ứng dụng
Ta tìm hiểu cách vận dụng kiến thức về phương trình sai phân đã xét trên đây cho một số bài toán trong Số học, Đại số, Giải tích.
1.2.2.1 Tính tổng của một dãy số
Lời giải Đặt ∆x(k) =k 3 hay x(k+ 1)−x(k) =k 3 (*) Đây là một phương trình sai phân tuyến tính cấp một hệ số hằng. Phương trình thuần nhất tương ứng là x(k+ 1)−x(k) = 0 (**)
Phương trình đặc trưng là: λ−1 = 0 ⇔λ = 1 Vậy nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (∗∗) là: x(n) = cã1 n = c.
Do f(k) = k 3 = 1 n ãP3(n) và α = 1 là nghiệm của phương trỡnh đặc trưng nên ta có thể tìm nghiệm riêng của phương trình (∗) ở dạng: ˆ x(n) = n(An 3 +Bn 2 +Cn+D).
Tính x(nˆ + 1) và thay x(n),ˆ x(nˆ + 1) vào phương trình (∗), so sánh các hệ số của n, ta có hệ phương trình
Vậy nghiệm tổng quát của phương trình không thuần nhất (∗) là x(n) =x(n) + ˆx(n) = c+ 1
4n 2 Mặt khác theo tính chất của sai phân, ta có
Ví dụ 1.2.4 Tính định thức cấp n:
Lời giải Phân tích định thức trên theo dòng một, ta được
D(n) = 3D(n−1)−2D(n−2) ⇔D(n)−3D(n−1)+2D(n−2) = 0 (*) Đây là một phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất cấp hai hệ số hằng, với điều kiện ban đầu:
Nghiệm tổng quát của (∗) với điều kiện ban đầu:
1.2.2.3 Tìm quy luật của một dãy vec tơ
Ví dụ 1.2.5 Tìm quy luật của dãy vector (x(n), y(n)) T , trong đó: x(n) : 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, y(n) : 7, 19, 37, 65, 91, 127, 169, 217,
Lời giải Từ dãy số liệu của x(n), ta thấy
Tương tự: ∆ 4 x(1) = ∆ 4 x(2) = = 0 Một cách tổng quát
∆ 4 x(n) =x(n+ 4)−4x(n+ 3) + 6x(n+ 2)−4x(n+ 1) +x(n) = 0. Mặt khác, từ bảng số liệu của x(n), y(n) ta thấy y(n) = ∆x(n) hay x(n+ 1) = y(n) +x(n).
Như vậy, ta có hệ phương trình sai phân tuyến tính với điều kiện ban đầu
x(n+ 4)−4x(n+ 3) + 6x(n+ 2)−4x(n+ 1) +x(n) = 0 (∗) x(n+ 1) = y(n) +x(n) (∗∗) x(0) = 1, x(2) = 8, x(3) = 27, x(4) = 64; y(1) = 7 (∗ ∗ ∗) Phương trình đặc trưng của (∗) là: λ 4 −4λ 3 + 6λ 2 −4λ+ 1 = 0 ⇔λ = 1 (bội 4). Vậy nghiệm tổng quát của (∗) có dạng: x(n) = (an 3 +bn 2 + cn+d)ã1 n
Thay điều kiện ban đầu:
2n+ 1 Tiếp theo từ (**) và (***), ta có y(n) = x(n+ 1)−x(n) = = 3
Dãy vector cần tìm là:
Các kết quả giải phương trình sai phân trong R^1 được ứng dụng để tính toán các tích phân có tham số n ∈ Z +, đồng thời giúp phân tích tính chất của các dãy số liệu theo thời gian.
Z hoặc để giải một số phương trình đơn giản trong không gian có số chiều lớn hơn 1.
Phương trình sai phân tuyến tính trong R p
Nghiệm tổng quát của hệ thuần nhất
Đầu tiên, chúng ta nghiên cứu nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất (1.16) với giả thiết A(n) xác định trên Z Cho một cặp (n 0 , x 0 ) ∈ Z×R p bất kỳ, nghiệm của phương trình (1.16) với điều kiện ban đầu (n 0 , x 0 ) sẽ được xác định theo cách cụ thể.
A(i) và C = x(n 0 ) - vector hằng tùy ý Khi đó, ta có x(n) = Φ(n, n 0 )C (1.17)
Ma trận Φ(n, m) =A(n−1)A(n−2)ã ã ãA(m+ 1)A(m) (m ≤ n) (1.18) gọi là ma trận nghiệm cơ bản của phương trình (1.16) và (1.15).
Trong trường hợp ma trận A không suy biến với mọi n ∈ Z, ta có Φ(n, m) = Φ(n,0)Φ −1 (m,0)
Trong trường hợp mọi A(n) không suy biến, ma trận sau đây gọi là ma trận Green: Φ(n, m) = Φ(n,0)Φ −1 (m,0).
Ma trận này xác định với mọi m, n ∈ Z, kể cả m > n Ma trận Green có các tính chất [6,7]:
3/ Nghiệm tổng quát của (1.16) là x(n) = Φ(n, m)x(m).
Nghiệm tổng quát của hệ không thuần nhất
Từ nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính không thuần nhất, ta có thể xác định công thức nghiệm tổng quát bằng cách áp dụng phương pháp biến thiên hằng số Giả sử A(n) không suy biến với mọi n thuộc Z, chúng ta sẽ tiếp tục phân tích ở dạng (1.17).
C là một hàm của n, tức là C = C(n) Khi đó x(n) = Φ(n, n 0 )C(n) ⇒x(n+ 1) = Φ(n+ 1, n 0 )C(n+ 1).
Lấy C = C(n 0 ), khi đó ta có
Thay (1.21) vào (1.17), ta có nghiệm tổng quát của (1.15) là x(n) = Φ(n, n0)[C + n−1
2) Nếu A là ma trận hằng và n 0 = 0 thì x(n) =A n C + n−1
Dưới đây là một số ví dụ cụ thể nhằm minh họa cho từng phần tử của ma trận, giúp làm rõ các công thức tổng quát phức tạp đã nêu Tuy nhiên, việc áp dụng tương tự cho hệ tổng quát không phải lúc nào cũng khả thi.
Ví dụ 1.3.1 Tìm nghiệm tổng quát của:
Ta có det(A(n)) = 4 n khác 0 với mọi n ∈ Z Vậy A(n) không suy biến với mọi n Lấy n0 = 0, C = x(0) ∈
Công thức (1.24) còn chưa thật cụ thể, ta muốn tính toán cụ thể tới từng phần tử Ta thấy
Bằng phương pháp quy nạp, ta có thể chứng tỏ: Φ(n,0)
Ứng dụng kết quả trong R 1 cho phương trình trong
Công thức nghiệm tổng quát của hệ x(n+ 1) = Ax(n), x ∈ R p là x(n) A n C và của hệ x(n+ 1) = Ax(n) +f(n) là x(n) =A n C + n−1
Công thức n−i f(i−1) là một ví dụ về các công thức tường minh, tuy nhiên vẫn chưa đủ cụ thể Có nhiều kỹ thuật khác nhau để thực hiện điều này Khi số chiều của R p nhỏ, chúng ta có thể đơn giản hóa về phương trình trong R 1, như minh họa trong ví dụ dưới đây.
! Khi đó, hệ trên có dạng
Tránh việc tính A n trong công thức tính nghiệm tổng quát của hệ, ta giải cách khác như sau: Từ(1∗)và(2∗)ta cóy(n) = 1
Vậy ta đưa được hệ (1∗), (2∗) về hệ:
2 Vậy nghiệm của hệ (1∗), (2∗) là
Ví dụ 1.3.3 Tìm nghiệm tổng quát của phương trình không dừng: u(k + 1) = A(k)u(k) trong đó A(k)
Lời giải Do A(0) khác 0 nên ta có thể lấy điều kiện ban đầu tại k = 0 là (0, u 0 ) Ma trận cơ bản: Φ(k,0)
Ta có thể kiểm tra (∗) bằng phương pháp quy nạp Nhắc lại rằng Φ(k,0) = A(k−1)A(k −2)ã ã ãA(1)A(0).
Ta cần chỉ ra rằng Φ(2,0) = A(1)A(0) Quả vậy, ta có
+ Giả sử công thức (∗) đã đúng ở bước k, ta cần chỉ ra (∗) đúng với k+ 1, nghĩa là ta cần chỉ ra: Φ(k + 1,0) = A(k)Φ(k,0) hay là
Vậy ta có nghiệm tổng quát của phương trình là u1(k) u 2 (k)
,C, Dlà các hằng số Khi đó, ta có
(k + 1) 3 Tiếp theo, ta tìm biểu thức các phần tử của ma trận Green cho phương trình này:
Nghiệm của hệ thuần nhất dừng qua các vector riêng 22
Ta đã biết nghiệm của phương trình với điều kiện ban đầu (0, X(0)) là X(n) = A^n X(0) Tuy nhiên, việc tính lũy thừa A^n thường gặp khó khăn, do đó, chúng ta tìm cách tránh tính toán này Nếu biết các giá trị riêng của ma trận hằng số A, ta có thể giải phương trình một cách hiệu quả hơn Theo Định lý 1.3.4, nếu ma trận A có các giá trị riêng phân biệt λ1, λ2, , λp và các vector riêng tương ứng v1, v2, , vp, thì nghiệm tổng quát của phương trình sẽ được xác định dựa trên các yếu tố này.
Ví dụ 1.3.5 Giải phương trình sai phân:
! Khi đó, phương trình ban đầu có dạng: X(n+ 1) = AX(n) Phương trình đặc trưng det (A−λE) = 0 ⇔ λ 2 −3λ−4 = 0 ⇒
Với λ = λ 1 = −1, ta tìm vector riêng tương ứng ở dạng v 1 = 1 x
Từ Av 1 = λ 1 v 1 , thay vào ta có
Với λ = λ 2 = 4, ta tìm vector riêng tương ứng ở dạng v 2 = 1 x
Từ điều kiện Av 2 = λ 2 v 2 , thay vào ta có
Để đơn giản, ta lấy v2 = 2
! Khi đó theo Định lý 1.3.4, ta có nghiệm tổng quát là
Ví dụ 1.3.6 Giải phương trình: X(n + 1) = AX(n), trong đó A
. Lời giải Phương trình đặc trưng: det (A−λE) = 0 ⇔
Từ Av 2 = λ 2 v 2 , ta thu được v 2
. Vậy nghiệm tổng quát của phương trình trên là
Chương 1 giới thiệu các khái niệm cơ bản về thang thời gian rời rạc Z và Z+, đồng thời giải thích khái niệm sai phân và phương trình sai phân Bên cạnh đó, chương này cũng trình bày công thức nghiệm tổng quát của phương trình sai phân tuyến tính, tạo nền tảng cho các nghiên cứu tiếp theo.
Phương trình sai phân R 1 và R p được áp dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau Bài viết cũng làm rõ một số công thức chưa rõ ràng bằng cách cụ thể hóa chúng trong các trường hợp đặc biệt, giúp người đọc dễ dàng hình dung về những biểu thức thường phức tạp.
Nghiên cứu các định tính của phương trình sai phân
Khái niệm ổn định nghiệm phương trình sai phân
Lý thuyết ổn định nghiệm các phương trình vi phân được phát triển bởi A Lyapunov vào cuối thế kỷ 19 và đã trở thành công cụ quan trọng trong phân tích các quá trình thực tiễn Lý thuyết này tập trung vào hành vi của tập nghiệm trên nửa trục thời gian [0; +∞) và đặc biệt là khi thời gian tiến về vô cùng Lyapunov đã giới thiệu hai phương pháp nghiên cứu tính ổn định: phương pháp thứ nhất dựa vào tập phổ của ma trận hoặc toán tử tuyến tính, trong khi phương pháp thứ hai sử dụng hàm bổ trợ, thường được gọi là hàm Lyapunov Chương này sẽ trình bày những kiến thức này áp dụng cho các phương trình sai phân, mở rộng khái niệm về thời gian.
Trong bài viết này, chúng ta xem xét phương trình sai phân chính tắc trong R^p, được định nghĩa bởi x(n+1) = f(n, x(n)), với điều kiện f(n, 0) = 0 cho mọi n thuộc Z(n_0) Điều kiện này đảm bảo rằng hệ phương trình có nghiệm tầm thường x ≡ 0 Để đơn giản hóa, chúng ta thường chọn n_0 = 0 Nghiệm tầm thường x(n) ≡ 0 được coi là ổn định nếu với mọi n_0 thuộc Z^+ và mọi số ε > 0, luôn tồn tại một số δ = δ(ε, n_0) sao cho mọi nghiệm x(n) của phương trình thỏa mãn ||x(n_0)|| < δ thì cũng thỏa mãn ||x(n)|| < ε với mọi n ≥ n_0.
Nghiệm ổn định x(n) ≡ 0 được coi là hút khi tồn tại một số δ1 = δ1(ε, n0) sao cho nếu ||x(n0)|| < δ1, thì lim n→∞||x(n)|| = 0 Khi đó, nghiệm tầm thường này được gọi là ổn định tiệm cận.
Nếu với n 0 ∈ Z + tồn tại các số dương N, α và tập D n 0 ⊆ R p sao cho khi x(n 0 ) thuộc D n 0 thì ||x(n)|| ≤ N e −α(n−n 0 ) với mọi n ≥ n 0, thì nghiệm tầm thường được gọi là ổn định mũ Miền hút tại n 0 của nghiệm tầm thường là tập D n 0 rộng nhất có tính chất này.
Nếu các số δ, δ 1 nói trên có thể chọn không phụ thuộc vào thời điểm ban đầu n 0 thì các ổn định trên đây gọi là "ổn định đều".
Nghiên cứu này tập trung vào tính ổn định, trong khi một số khía cạnh định tính khác như tính giới nội, sự phụ thuộc của nghiệm vào giá trị ban đầu và giá trị tham số chỉ được đề cập sơ lược nhằm minh họa cho phương pháp bất đẳng thức sai phân.
Phương pháp nghiên cứu các định tính
Phương pháp thứ nhất Lyapunov
Phương pháp thứ nhất Lyapunov khảo sát tính ổn định dựa vào tập phổ, bao gồm từ các số mũ Lyapunov.
Hệ thuần nhất dừng trong R p :
Trong bài viết này, chúng ta xem xét hệ phương trình X(n+1) = AX(n) và tập phổ của ma trận A, được định nghĩa là σ(A) = {λ ∈ C : det(A−λE) = 0}, tương ứng với các giá trị riêng của ma trận A Hệ phương trình này có nghiệm tầm thường X(n) ≡ 0 cho mọi n Theo Định lý 2.2.1, nghiệm tầm thường này là ổn định nếu tập phổ σ(A) nằm trong B1(0), với điều kiện rằng các nghiệm của phương trình đặc trưng có modul bằng 1 chỉ là nghiệm đơn.
Nghiệm tầm thường là ổn định tiệm cận nếu σ(A) ⊆ B 1 (0), ở đây
Để chứng minh trường hợp σ(A) ⊆ B 1 (0), trước tiên, ta cần chỉ ra rằng phương trình X(n + 1) = AX(n) là ổn định với ε > 0 tùy ý và n 0 ∈ Z + Trong lý thuyết ma trận, ký hiệu λmax(A) được định nghĩa là giá trị lớn nhất của |λ| trong σ(A), trong khi λmin(A) là giá trị nhỏ nhất Đẳng thức q := λmax(A) = lim n→∞ n q cũng được sử dụng để làm rõ tính chất này.
Do σ(A) ⊆ B 1 (0) nên λ max (A) < 1, hay là lim n q
Vậy tồn tại số n 1 ∈ Z + sao cho n q
||A n || ≤q < 1 với mọi n ≥ n 1 Suy ra ||A n || = q n < q < 1 với mọi n ≥ n 1 Khi đó với n ≥ n 1 , ta có x(n) =A n−n 1 x(n 1 ) ⇒ ||x(n)|| ≤ ||A n−n 1 ||ã||x(n 1 )|| ≤ q n−n 1 ||x(n 1 )|| ≤q||x(n 1 )||.
Nếu chọn δ 0 = εthì ta có||x(n 1 )|| < δ 0 ⇒ ||x(n)|| < ε với mọin ≥n 1
Quay lại đánh giá với||x(n)||vớin 0 ≤ n≤ n 1 , ta cóx(n) =A n−n 0 x(n 0 ).
Xét ||x(n)|| ≤ p||x(n 0 )|| với mọi n thỏa mãn n 0 ≤ n ≤ n 1 Nếu chọn δ = ε p, khi ||x(n 0 )|| < δ thì sẽ dẫn đến ||x(n)|| < ε cho mọi n trong khoảng n 0 ≤ n ≤ n 1 Kết luận cho hai trường hợp: với n 0 ≤ n ≤ n 1 và n ≥ n 1, ta có ||x(n 0 )|| < δ sẽ kéo theo ||x(n)|| < ε cho mọi n ≥ n 0.
Tiếp theo, ta kiểm tra tính hút về 0 Theo đánh giá ở trên, với mọi n≥ n 1 , ta có
Trường hợp σ(A) ⊆ B 1 (0), hệ chỉ là ổn định (chưa thể nói gì về ổn định tiệm cận) Ta bỏ qua phần chứng minh.
Hệ quả 2.2.2 Nếu ||A||< 1 thì hệ x(n+ 1) = Ax(n) ổn định tiệm cận.
Chứng minh Ta có ||A n || ≤ ||A|| n Vậy sử dụng phần chứng minh của định lý 2.2.1, ta có điều phải chứng minh.
Tiêu chuẩn Hurwitz với hệ sai phân dừng
Khi n lớn, việc giải phương trình đặc trưng det(λI −A) = P(λ) = a n λ n + a n−1 λ n−1 + + a 1 λ + a 0 = 0 trở nên khó khăn và thường không khả thi Do đó, cần áp dụng các phương pháp khác để giải quyết vấn đề này Tiêu chuẩn Hurwitz cho các hệ vi phân đã được thiết lập, và chúng ta muốn "cải biên" tiêu chuẩn này để khảo sát ổn định cho các hệ sai phân Để thực hiện điều đó, bước đầu tiên là tìm một ánh xạ 1-1 giữa miền C − = {λ : Re λ < 0} của hệ vi phân và phần trong hình tròn.
Phép tương ứng: Ký hiệu λ là nghiệm đặc trưng của hệ vi phân ˙ x(t) = Ax(t) (*) à là nghiệm đặc trưng của hệ sai phõn x(k + 1) = Ax(k) (**)
Bổ đề 2.2.3 Phép tương ứng (∗ ∗ ∗) là một ánh xạ 1 − 1 giữa C − và
Chứng minh +/ Chiều thuận: Đặt λ = a+ib (a, b ∈ R) Giả sử Re λ a < 0 Cần chứng minh |à| < 1 Quả vậy:
+/ Ngược lại giả sử |à| < 1 Cần chỉ ra Reλ < 0 Quả vậy, đặt à= a+ib Khi đú |à| < 1⇔ a 2 +b 2 < 1 Do |à| < 1 nờn ta cú à = 1 +λ
Khi xem xét tính ổn định tiệm cận của hệ phương trình sai phân thuần nhất dừng: x(n+1) = Ax(n), thay vì phân tích tập nghiệm của phương trình đặc trưng P(λ) = det(A−λI) = 0 trong mối liên hệ với tập B1(0) ⊂ C, chúng ta sẽ nghiên cứu tập nghiệm của phương trình P1 + λ.
= 0 so với tập C − Giả sử
Không giảm tổng quát khi coi a 0 > 0; nếu ngược lại, cần đổi dấu Áp dụng định lý Hurwitz cho hệ vi phân x(t) =˙ Ax(t), ta có định lý 2.2.4: Hệ phương trình sai phân thuần nhất x(n + 1) = Ax(n) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi mọi định thức con chính của ma trận A đều dương.
Ví dụ 2.2.5 Xét hệ phương trình x(n+ 1) = Ax(n), trong đó
Lời giải Đầu tiên ta lưu ý rằng các cách giải khác, chẳng hạn: Tính
Để xác định tính ổn định của hệ thống, cần kiểm tra điều kiện ||A|| < 1 hoặc tính đúng các nghiệm của phương trình đặc trưng det(A−λI) = 0, với |λ| < 1 cho mọi λ Việc áp dụng tiêu chuẩn Hurwitz đã cải biên cho hệ sai phân giúp giải quyết bài toán một cách dễ dàng Cụ thể, phương trình đặc trưng của hệ được biểu diễn dưới dạng g(λ) (A−λI) = 0, tương đương với g(λ) = λ³ + λ² + λ + 0,2 = 0 Để tiếp tục, ta đặt λ = 1 + z.
1−z, thay vào phương trình trên ta có
(1−z) 3 = 0. Giá trị z = 1 có Re z = 1 > 0, ta không quan tâm Ta xét f(z) = z 3 + 2z 2 + 3z + 4 = b 0 z 3 +b 1 z 2 +b 2 z +b 3 trong đó b 0 = 1 khác 0, b 3 = 4 > 0 và
Các định thức con chính: D 1 = 2 > 0, D 2
= 2 > 0, D 3 |H 3 | = 8 > 0 Vậy Re z < 0 với mọi z Theo bổ đề 2.2.3, ta có |λ| < 1 với mọi λ ∈ σ(A) Vậy hệ phương trình sai phân: x(n+ 1) =Ax(n) là ổn định tiệm cận.
Sự ổn định của hệ tuyến tính thuần nhất không dừng
Bắt đầu từ phương trình sai phân tuyến tính thuần nhất trong R^p: x(k + 1) = A(k)x(k), với ma trận A(k) phụ thuộc vào k (k ∈ N(n 0 )) Do ma trận hàm A(k), chúng ta không thể xác định phương trình đặc trưng Vì vậy, khi nghiên cứu các định tính cho loại phương trình này, ta thường áp dụng một cách tiếp cận khác.
Nếu lấy điều kiện ban đầu là (n 0 , x(n 0 )) = (n 0 , C) thì như đã trình bày ở chương 1, ta có nghiệm của (2.4) thỏa mãn điều kiện ban đầu này là x(n) =A(n−1)A(n−2)ã ã ãA(n 0 )x(n 0 ) = Φ(n, n 0 )C. trong đú Φ(n, n 0 ) = A(n−1)A(n−2)ã ã ãA(n 0 + 1)A(n 0 ).
Không khó để thấy rằng, với m ≤ n, ta có x(n) = Φ(n, m)x(m) Trong trường hợp A(k) không suy biến với mọi k, ta thường đưa vào ma trận:
G(n, m) = G(n, n 0 )G −1 (m, n 0 ) kể cả cho trường hợp m ≤ n cũng như m ≥n.
Khái niệm nghiệm tầm thường ổn định đã được giới thiệu ở phần đầu Trong trường hợp A(k) không suy biến với mọi k, ta có công thức Φ −1 (k, n 0 ) = A −1 (n 0 )A −1 (n 0 + 1)ã ã ãA −1 (k−2)A −1 (k −1) Theo định lý 2.2.6, hệ phương trình sai phân x(k + 1) = A(k)x(k) ổn định khi và chỉ khi ma trận cơ bản Φ(k, n0) bị chặn với mọi k ≥ n0, tức là tồn tại hằng số C > 0 sao cho ||Φ(k, n 0 )|| ≤ C với mọi k ≥ n0.
Giả sử tồn tại C > 0 như đã nêu Với k 0 ∈ N(n 0) tùy ý và x 0 ∈ R p, gọix(k) = x(k, k 0, x 0) là nghiệm của hệ (2.5) thỏa mãn điều kiện ban đầu (k 0, x 0), tức là x(k 0, k 0, x(k 0)) = x 0 Để đơn giản và không làm giảm tính tổng quát, ta chọn k 0 = n 0 Khi đó, x(k) = Φ(k, n 0)x(n 0) và với ε > 0 tùy ý cho trước.
C, ta sẽ có ||x 0 ||= ||x(n 0 )|| < δ ⇒ ||x(k)|| < ε với mọi k ≥ n 0
+/ Ngược lại: Nghiệm x(k) ≡ 0 ổn định Khi đó với mọi ε > 0, tồn tại δ >0 sao cho
2e j , trong đó e j là vector đơn vị thứ j Gọi Φ j (k, n 0 ) là cột thứ j của ma trận Φ(k, n 0 ), ta có Φ(k, n 0 )e j = δ
Do các chuẩn của Φ đều tương đương nhau nên tồn tại C > 0 sao cho
||Φ(k, n 0 )|| ≤ C với mọi k ∈ N(n 0 ). Định lý 2.2.7 Xét hệ (2.5) Nếu x ≡ 0 ổn định thì mọi nghiệm của nó đều ổn định (theo các nghĩa ổn định khác nhau).
Để chứng minh tính ổn định của nghiệm x(k) ≡ 0, ta xem xét một nghiệm tùy ý x(k) với điểm khởi tạo (n 0, x 0) Nghiệm x ≡ 0 được coi là ổn định nếu tồn tại một hằng số c > 0 sao cho ||Φ(k, n 0 )|| ≤ c đối với mọi k.
Gọi y(k) là nghiệm tùy ý của (2.5) Ta có
Vậy nếu chọn δ = ε c thì ta có ||y(k)−x(k)|| < ε, với mọi k ≥ n0, hay nghiệm x = x(k) là ổn định Do x(k) là tùy ý nên mọi nghiệm của (2.5) đều ổn định.
Các loại ổn định khác nhau như ổn định đều, ổn định tiệm cận và ổn định tiệm cận đều được chứng minh theo cách tương tự Định lý 2.2.8 liên quan đến hệ (2.5) cho thấy tính chất của hệ này.
(i) Ổn định khi và chỉ khi tồn tại hằng số C > 0 sao cho ||Φ(k, n 0 )|| ≤C với mọi k ∈ N(n 0 ).
(ii) Ổn định đều khi và chỉ khi tồn tại C > 0 sao cho
(iii) Ổn định tiệm cận khi và chỉ khi ||Φ(k, n 0 )|| → 0 khi k → +∞.
(iv) Ổn định tiệm cận đều khi và chỉ khi tồn tại các hằng số dương C, λ sao cho
Chứng minh (i)Ý này chính là nội dung định lý 2.2.6 mà ta đã chứng minh.
(ii) Chiều thuận: Với ε > 0, k 1 ∈ N(n 0 ) tùy ý Với điều kiện ban đầu (n 0 , x 0 ), ta xét x(k) =x(k, n 0 , x 0 ) = Φ(k, n 0 )Φ −1 (k 1 , n 0 )x(k 1 ) Suy ra
C 2 thì từ ||x(k 1 )|| < δ kéo theo ||x(k)|| < ε k 1 tùy ý, δ không phụ thuộc vào k 1 Vậy hệ (2.5) là ổn định đều.
Ngược lại: Nếu hệ là ổn định đều, khi đó với mọi ε > 0, tồn tại δ δ(ε) > 0 sao cho với mọi k 1 ∈ N(n 0 ):
2e j , tương tự như ở ý sau định lý 2.2.6 Ta có
Gọi l = k 1 , ta có bất đẳng thức cần chứng minh.
Chiều thuận của hệ thống được mô tả bằng phương trình x(k) = Φ(k, n 0 )x(n 0 ) Do hàm Φ(k, n 0 ) tiến đến 0, nó bị chặn và tồn tại một hằng số C > 0 sao cho ||Φ(k, n 0 )|| ≤ C với mọi k thuộc N(n 0 ) Theo Định lý 2.2.6, điều này chứng tỏ hệ thống là ổn định Hơn nữa, mỗi nghiệm x(k) = x(k, n 0 , x 0 ) cũng cho thấy tính ổn định.
Vậy hệ là ổn định tiệm cận.
Ngược lại: Với mọi x 0 : ||x(k)|| = ||Φ(k, n 0 )x 0 || → 0 khi k → ∞ do ổn định tiệm cận Từ đây, ta có ||Φ(k, n 0 )|| → 0.
(iv) Chiều thuận:||G(k, l)|| ≤ Ce −λ(k−l) với mọil ≤ k Doe −λ(k−l) < 1 nên
||G(k, l)|| ≤C với mọi l ≤ k Vậy theo (ii), hệ là ổn định đều Do x(k) = Φ(k, n 0 )x 0 = Φ(k, n 0 )Φ −1 (k 1 , n 0 )x(k 1 ) nên suy ra
(do ||x(k 1 )||, k 1 là ổn định) Do k 1 tùy ý, ổn định tiệm cận là đều.
Ngược lại: Nghiệm x(k) ≡ 0 của hệ (2.5) là ổn định tiệm cận đều Với một số η ∈ (0,1) tùy ý cho trước, do
||x(k)|| = ||G(k, k 1 )x(k1)|| ⇒ 0 khi k → +∞, với mọi k1 nên với mọi ε > 0, tồn tại k(ε) ∈ N(n0) sao cho
Bằng cách chọn x(k1) (theo tọa độ thích hợp), ta có thể lấy ε > 0 đủ nhỏ sao cho ||G(k, k 1 )x(k1)|| < ε, ∀k ≥k(ε), ∀ k1 ∈ N(n0), suy ra
k ≥k(ε) k ≥k 1 đều tồn tại số nguyên dương m (m ∈ N(n 0 )) sao cho k 1 +mk(ε) ≤ k ≤ k 1 + (m+ 1)k(ε).
(Điều này không ảnh hưởng đến quá trìnhk →+∞vì m dương tùy ý, cho m → +∞ ) Khi đó với k ∈ N(k 1 +mk(ε), k 1 + (m+ 1)k(ε)),m ∈ N(0), ta có
(do k ≤k 1 + (m+ 1)k(ε) ⇒(m+ 1)k(ε) ≥k−k 1 Lại do 0 < η < 1 nên từ đây η(m+ 1)k(ε) < η k−k 1 ) Đặt C 1 = Cη −1 , λ = − 1 k(ε) lnη Khi đó (**) trở thành
Nhận xét: Như vậy với hệ tuyến tính thuần nhất trong R p , ổn định tiệm cận đều kéo theo ổn định mũ. Định lý 2.2.9 Xét hệ (2.5) Nếu lim k→∞ k
Y l=0 λ max A(l) = 0 thì hệ (2.5) là ổn định tiệm cận.
Nếu tồn tại k ≥ n0 sao cho A(k) = 0, thì x(n) = 0 với mọi n ≥ k và mọi giá trị ban đầu, cho thấy hệ thống ổn định tiệm cận Ngược lại, nếu A(k) khác 0 với mọi k, ma trận A(k) = A^T(k)A(k) sẽ là đối xứng và xác định dương cho mọi k.
≤λ max [A T (k)A(k)]||x(k)|| 2 Để cho gọn, ta ký hiệu M(k) =λ max (A T (k)A(k)) Như vậy
Do ||x(0)|| cố định nên khi k−1
0 Từ đó suy ra, hệ là hút Do hệ là tuyến tính thuần nhất nên tính chất hút về 0 kéo theo tính ổn định tiệm cận.
Phương pháp hàm Lyapunov
Phương pháp nghiên cứu tính ổn định dựa vào hàm Lyapunov, một loại hàm bổ trợ quan trọng Hầu hết các dấu hiệu ổn định chỉ được diễn đạt dưới dạng điều kiện đủ, nhưng trong một số trường hợp đặc biệt, có thể xác định cả điều kiện cần, cho phép xây dựng hàm Lyapunov cho hệ thống Để bắt đầu, ta ký hiệu một lớp hàm số trong R, được gọi là lớp hàm Hahn.
K = {a(ã) : R + →R + sao cho a(0) = 0, liờn tục, đơn điệu tăng}. Định lý 2.2.10 Xét hệ sai phân trong R p : x n+1 = f(n, x n ) (2.6) f(n,0) = 0, với mọi n (2.7)
Nếu tồn tại hàm V :Z + ×R p → R + , sao cho
2) V(n, x) liên tục theo x (trong một lân cận U của x = 0).
3) Tồn tại hàm a(ã) ∈ K sao cho a(||x||) ≤ V(n, x), (∀ n ∈ Z + , ∀ x ∈ U), (2.9)
∆V(n, x n ) = V(n+ 1, x n+1 )−V(n, x n ) ≤0, (∀ n ∈ Z + ) (2.10) trong đó x n+1 xác định ở (2.6) Khi đó, nghiệm tầm thường x n ≡ 0 của (2.6) và (2.7) là ổn định Hơn nữa:
5) Nếu tồn tại thờm hàm c(ã) : R + →R + đơn điệu tăng và c(0) = 0 sao cho
∆V(n, x n ) ≤ −c(||x n ||) (2.11) thì x n ≡0 là ổn định tiệm cận.
Để chứng minh sự ổn định của hệ thống, ta giả sử có các điều kiện 1), 2), 3) và 4) Không mất tổng quát, đặt U = R^p Với ε > 0 và n_0 ∈ Z^+, ta dễ dàng thấy a(ε) > 0 Do V(n_0, 0) = 0 và V(n_0, x) liên tục theo biến thứ hai, ta có V(n_0, x) > 0 với mọi x khác 0 Điều này cho phép tồn tại một hình cầu mở B_δ(0) sao cho x ∈ B_δ(0) kéo theo V(n_0, x) < a(ε) Chọn x_n0 ∈ B_δ(0), ta sẽ có với mọi n ≥ n_0, từ 3) và 4): a(||x_n||) ≤ V(n, x_n) ≤ V(n_0, x_n0) < a(ε).
Nếu các điều kiện chỉ cho trên một lân cận U của x = 0, ta định nghĩa Bδ0(0) là hình cầu mở có bán kính δ0 lớn nhất chứa trong U và chọn δ ≤ δ0 Sự tồn tại δ0 > 0 được đảm bảo vì x ≡ 0 là điểm trong của U Theo định lý 2.2.11, điều kiện cần và đủ để nghiệm tầm thường x n ≡ 0 của hệ (2.6) ổn định đều là tồn tại một hàm V(ã,ã) : Z + ìR p →R + sao cho: a) a(||x||) ≤ V(n, x) ≤ b(||x||) với a, b ∈ K và x thuộc một lân cận của 0 trong R p; b) ∆V(n, x n ) = V(n+ 1, x n+1 ) − V(n, x n ) ≤ 0 với mọi x n.
Để chứng minh, ta xét điều kiện đủ với ε > 0 Vì a(0) = 0 và a(ε) là hàm đơn điệu tăng, liên tục nên a(ε) > 0 Hàm b(ε) cũng liên tục và đơn điệu tăng, do đó có khả năng nghịch Đặt δ(ε) = b^(-1)[a(ε)], với b(0) = 0 và b(ε) là hàm liên tục, đơn điệu tăng, ta có δ(ε) = b^(-1)[a(ε)] > 0.
Gọi xn là nghiệm của (2.6) thỏa mãn điều kiện ban đầu (n0, xn 0 ) Khi đó nếu ||x n 0 || < δ(ε) thì từ ∆V(n, xn) ≤ 0 với mọi n ≥ n0 (ở b)), ta có với n≥ n0:
Lại theo a), ta có a(||x n ||) ≤ V(n, xn) ≤V(n0, xn 0 ) ≤ b(||x n 0 ||) < b(δ(ε)) = b[b −1 a(ε)] = a(ε).
Do a(ã) đơn điệu tăng nờn từ a(||x n ||) < a(ε), ta suy ra
Điều kiện cần để chứng minh ổn định đều là ||x n || < ε với mọi n ≥ n0 Biểu thức δ(ε) = b −1 [a(ε)] không phụ thuộc vào n0, cho thấy rằng ổn định được duy trì đồng nhất cho mọi điểm ban đầu.
(n, x) ∈ Z + ×R p , (2.14) ta gọi nghiệm của (2.6) đi qua điểm này là x k (n, x), (k ≥ n) (2.15)
Ta chọn hàm V(n, x) như sau V(n, x) = sup k≥n
||x k (n, x)|| Ta cần chỉ ra sự tồn tại của cỏc hàm a(ã), b(ã) ∈ K thỏa món a) và ∆(V n ) ≤C.
+/ Chỉ ra sự tồn tại a(ã) ∈ K: Ta cú
Lấy a(||x||) := ||x||, với a(ã) ∈ K Ký hiệu xn(n0, xn 0) là nghiệm của (2.6) từ điểm khởi tạo (n0, xn 0), trong khi xn(n, x) hay xn(n, xn) là vector nghiệm tại thời điểm n Nghiệm xk(n, x) hay xk(n, xn) (k ≥ n) xuất phát từ điểm khởi tạo (n, xn) Do f(ã) là một ánh xạ đơn trị, nghiệm từ (n0, xn 0) tương ứng với nghiệm từ (n, xn) ≡ (n, x) Điều này có nghĩa là xk(n, xn) và xk+1(k + 1, xn+1) là cùng một nghiệm.
+/ Chỉ ra sự tồn tại hàm b(ã) ∈ K: Hệ (2.6) ổn định đều nờn với mọi ε > 0 tồn tại δ = δ(ε) (chứ không phải δ = δ(ε, n 0 )) sao cho:
Có thể chọn hàm δ(ε) cho biến ε > 0 trên R + \ {0} sao cho δ(ε) là hàm liên tục và đơn điệu tăng Giả sử 0 < ε1 < ε2, theo định nghĩa về ổn định đều, với mỗi εi có thể chọn δi = δ(εi) (i = 1, 2) Hàm δ(ε1) được xây dựng bằng cách lấy max{δ1, δ2} Do đó, hàm tổng quát δ(ε) được xác định là max εi ≤ ε{δi(εi)}.
Khi đú δ(ã) là đơn điệu tăng, liờn tục (do max của cỏc hàm liờn tục).
Hàm δ : R + ∗ → R + ∗ là một hàm đơn điệu tăng và khả nghịch, do đó tồn tại hàm ngược δ −1 : R + ∗ → R ∗ Hàm δ −1 cũng liên tục và đơn điệu tăng Theo định nghĩa, ta có δ = δ(ε) và δ −1 (δ) = δ −1 [δ(ε)] = ε Do đó, ε = ε(δ) là một hàm dương, liên tục và đơn điệu tăng trên R + ∗.
Theo định nghĩa ổn định đều, với điều kiện ban đầu (n, x), với ε > 0, tồn tại δ = δ(ε), ký hiệu δ −1 (ã) = ε(ã).
Do δ liờn tục, đơn điệu tăng trờn R + ∗ nờn b(ã) = δ −1 (ã) cũng vậy Vậy việc tồn tại hàm b(ã) ∈ K thỏa món a) đó được chứng minh.
Tiếp theo, ta cần kiểm tra ∆V(n, x) ≤ 0 với mọi x Nhắc lại: cũng chỉ là một (do là vector nghiệm xuất phát từ (n 0 , x n 0 ) tại t = ε) Do đó, ta có
Tóm lại V(n, x) xây dựng như trên là một hàm Lyapunov không chặt.
Việc xây dựng hàm Lyapunov chặt có thể thực hiện cho hệ ổn định tiệm cận đều, với kết quả hiện có chỉ cho trường hợp hàm f(n, x) là Lipschitz Định lý 2.2.12 chỉ ra rằng nếu hệ x_{n+1} = f(n, x_n) với f(n, 0) = 0 ổn định tiệm cận đều, thì tồn tại một số điều kiện cho mọi (n, x), (n, y) thuộc Z^+ × S_ρ.
Khi đó, tồn tại hàm Lyapunov chặt (theo nghĩa ∃c(.) ∈ K : ∆V(n, x) ≤ c(||x||) và V(ã,ã) cũng thỏa món điều kiện Lipschitz (với hằng số Lớpchitz có thể khác L).
Phương pháp bất đẳng thức
Bất đẳng thức Growall dạng sai phân.
Mệnh đề 2.2.13 Giả sử x(k), y(k) là các hàm dương trên N(a), C là một hằng số dương Khi đó nếu x(k) ≤ C + k−1
Việc chứng minh bổ đề này là dễ, có thể thực hiện theo nhiều cách. Sau đây, ta sẽ chứng minh bằng quy nạp.
Với k = a+ 1: có x(a+ 1) ≤ C +x(a)y(a), cần chỉ ra x(a+ 1) ≤ C +x(a)y(a) ≤ C(1 +y(a))
Giả sử mệnh đề đúng ở bước k, ta cần chỉ ra mệnh đề đúng ở bước k+ 1 Có x(k+ 1) ≤ C + k
Do mệnh đề đã đúng ở bước k, nghĩa là
(1 +y(l)) nên ta chỉ cần chỉ ra bất đẳng thức sau đúng là đủ:
Bất đẳng thức này cũng lại được thỏa mãn do mệnh đề đúng ở bước k Vậy mệnh đề được chứng minh.
Xét hai phương trình sai phân
1 Giả sử tồn tại hàm λ(k) ≥ 0 với mọi k ∈ N(a) sao cho
||f(k, u)−f(k, v)|| ≤λ(k)||u−v|| (2.25) với mọi (k, u), (k, v) ∈ N(a)×R p (hoặc N(a)×Ω, với Ω mở trong R p và 0∈ Ω).
2 Giả sử tồn tại hàm à(k) ≥0 với mọi k ∈ N(a) sao cho
Định lý 2.2.14 khẳng định rằng nếu các điều kiện (2.25) và (2.26) được thỏa mãn, thì mọi nghiệm u(k) và v(k) với điều kiện ban đầu tương ứng u0 và v0 của các phương trình (2.23) và (2.24) sẽ thỏa mãn bất đẳng thức ||g(k, u)|| ≤ à(k) đối với mọi (k, u) thuộc N(a)×R^p.
Chứng minh Từ (2.23): ∆u(k) =f(k, u(k)) có u(k+ 1) = u(k) +f(k, u(k)) (2.28) Thay lần lượt k bởi a, a+ 1, a+ 2, vào (2.28), ta có u(a+ 1) = u(a) +f(a, u(a)) u(a+ 2) = u(a) +f(a, u(a)) +f(a+ 1, u(a+ 1))
X l=0 à(l), x(k) = ||u(k)−v(k)||, y(k) =λ(k) Dễ thấy x(a) = ||u 0 −v 0 || ≤ C Khi đó, ta có
Xét hai phương trình sai phân thuần nhất: u(k + 1) = Au(k) và v(k + 1) = [A+B(k)]v(k) Định lý 2.2.15 cho biết rằng nếu các nghiệm của hệ phương trình đầu tiên (2.32) đều bị chặn trên Z+, thì nghiệm của phương trình thứ hai (2.33) cũng sẽ bị chặn, với điều kiện nhất định.
Chứng minh Giả sử N là số dương sao cho
Nghiệm thỏa mãn điều kiện ban đầu v(0) = v 0 của (2.33) là v(k) = A k v 0 + k
Do nghiệm của (2.32) là bị chặn nên tồn tại hằng số dương C sao cho sup k∈ N
Sử dụng bất đẳng thức Growall, ta có
Vế phải hữu hạn Ta có điều cần chứng minh.
Chương 2 tập trung vào khái niệm ổn định nghiệm của các phương trình sai phân, trình bày các phương pháp khảo sát định tính và chứng minh một số kết quả quan trọng Tiêu chuẩn ổn định Hurwitz được điều chỉnh để áp dụng cho hệ sai phân Ngoài ra, chương này cũng đề cập đến khả năng xây dựng hàm Lyapunov trong các trường hợp cụ thể.
Luận văn đã hoàn thành một số công việc:
- Trình bày một số kiến thức mở đầu về phương trình sai phân.
- Tìm cách ứng dụng kết quả về phương trình sai phân vào việc giải quyết một số bài toán trong Số học, Đại số, Giải tích.
Trong bài viết này, chúng ta sẽ khám phá lý thuyết định tính của các phương trình vi phân, đặc biệt chú trọng vào tính ổn định của hệ thống Bên cạnh đó, chúng tôi sẽ trình bày phương pháp tìm hàm Lyapunov cho các hệ sai phân ổn định đều, đồng thời đảm bảo rằng các điều kiện Lipschitz được thỏa mãn.
Luận văn này trình bày việc cụ thể hóa các công thức tổng quát và làm rõ các biểu thức chưa rõ ràng trong một số trường hợp cụ thể hoặc qua các ví dụ Đồng thời, luận văn cũng đề cập đến việc áp dụng tiêu chuẩn Hurwitz cho hệ vi phân trong bối cảnh hệ sai phân.
[1] Nguyễn Thế Hoàn và Phạm Phu, Cơ sở phương trình vi phân và lý thuyết ổn định, NXB Giáo dục, 2000.
[2] Vũ Ngọc Phát, Nhập môn Lý thuyết điều khiển Toán học, NXB Đại học Quốc gia Hà nội (2001).
[3] Lê Đình Thịnh(chủ biên), Phan Văn Hạp, Đặng Đình Châu , Lê Đình Định, Phương trình sai phân và một số ứng dụng NXB Giáo Dục (2001).
[4] L C Loi, N H Du, and P K Anh, On linear implicit non- autonomous systems of difference equations, J Difference Equ Appl.
[5] Nguyen Huu Du and Vu Hoang Linh, Stabily radii for linear time
- varying differential - algebraic equations with respect to dynamic pertubations, Diff Eq., 230(2000.), 579 - 599.
[6] B Aulback, N.V Minh and P Zabreiko, Structural stability of