Các khái niệm cơ bản về thang thời gian
Gọi X là không gian Banach thực hoặc phức với chuẩn k.k Không gian tuyến tính L(X) bao gồm các tự đồng cấu liên tục trên X, với chuẩn được xác định bởi kTk = sup{kxk=1} kTxk.
Kí hiệu GL(X) đại diện cho tập hợp các đẳng cấu tuyến tính trên không gian X, trong khi I X là ánh xạ đồng nhất trên X Theo định nghĩa 1.1, thang thời gian T được xác định là một tập con đóng, không rỗng của tập số thực R.
Tập số thực R, tập số nguyên Z, tập số tự nhiên N và tập số nguyên dương
N0, là các thang thời gian Tập các số hữu tỷ, các số vô tỷ, khoảng mở (0,1) không là thang thời gian.
Ta sẽ định nghĩa đạo hàm f ∆ của một hàm f xác định trên T sao cho
(i) f ∆ =f 0 là đạo hàm thông thường nếu T=R
Toán tử nhảy tiến và nhảy lùi trên thang thời gian mô phỏng sự biến thiên của thời gian Định nghĩa 1.2 nêu rõ rằng, với thang thời gian T, toán tử nhảy tiến σ được xác định bởi σ(t) = inf {s ∈ T: s > t}, trong khi toán tử nhảy lùi ρ(t) được xác định bởi ρ(t) = sup {s ∈ T: s < t}.
Nếu σ(t) > t, thì t được gọi là điểm rời rạc phải; ngược lại, nếu ρ(t) < t, thì t là điểm rời rạc trái Các điểm vừa rời rạc trái vừa rời rạc phải được gọi là điểm cô lập.
Nếu σ(t) = t ta nói t là điểm trù mật phải và ρ(t) = t ta nói t là điểm trù mật trái.
Những điểm vừa trù mật phải vừa trù mật trái gọi là trù mật. Định nghĩa 1.3 Giả sử T có một điểm cô lập trái lớn nhất m, khi đó tập
T nếu supT=∞. Định nghĩa 1.4 Ánh xạ à:T → R + xỏc định bởi à(t) =σ(t)− t gọi là hàm hạt graininess.
Ví dụ 1.1 (i) Nếu T=R thì với mọi t ∈R σ(t) =inf {s ∈R:s > t}=inf(t, ∞) =t.
(ii)Nếu T=Z thì với mọi t ∈Z σ(t) =inf {s ∈Z: s > t}=inf(t+ 1, t+ 2, t+ 3 ) =t+ 1.
Hàm graininess à(t) =σ(t)− t= 1. Định nghĩa 1.5 (eT , e à ) là thang thời gian rời rạc nếu Te ={t k } k∈ Z , ∃ h 0 , h >0 sao cho h 0 ≤e à (t k+1 , t k )≤ h, k ∈Z (1.1)
Với các số thực h 0 , h > 0 và thang thời gian T thì S h h
0(T) là tập hợp tất cả các thang thời gian rời rạc (eT, e à) với Te ⊆ T thỏa mãn điều kiện (1.1) Hơn nữa, một (h0, h)-thang thời gian (T, ≤, à) được xác định nếu với mỗi điểm t0 ∈ T, tồn tại các điểm tk, t−k ∈ T, với k ∈ N, thỏa mãn {tk}k∈Z ∈ Shh.
0(T) Với bất kì thang thời gian mà khụng bị chặn trờn và dưới, hàm hạt graininess à xỏc định, gọi là một (h 0 , h) - thang thời gian với h 0 >0 và h ≥ h 0 +sup t∈ T à(t).
Ví dụ 1.2 (i) R là một (h 0 , h) - thang thời gian với 0< h 0 ≤ h.
Thang thời gian rời rạc hZ với h > 0 được định nghĩa bởi σ(t) = t + h và à(t) = h, trong đó hZ là một thang thời gian (h0, h) với h ≤ h0 ≤ h Định nghĩa 1.6 nêu rõ rằng nếu hàm f : T → R khả vi tại t ∈ T κ, thì với mọi ε > 0, sẽ tồn tại một lân cận U của t.
Khi đó f ∆ (t) là đạo hàm của hàm f tại t Kí hiệu là f ∆ (t).
Ví dụ 1.3 (i) Giả sử f : T → R xác định bởi f(t) = α, t ∈ T, trong đó α ∈ R là hằng số, khi đó f ∆ = 0 Bởi vì với mọi ε >0,
= 0≤ ε|σ(t)− s|, s ∈T (ii) Giả sử f :T → R xác định bởi f(t) =t, t ∈T, thì f ∆ = 1 Bởi vì với ∀ε >0,
= 0≤ ε|σ(t)− s|, s ∈T Định nghĩa 1.7 Ánh xạ φ : T −→ X được gọi là khả vi (tại t 0 ∈ T), nếu tồn tại duy nhất đạo hàm φ ∆ (t 0 ) ∈ X, sao cho với mọi ε >0, khi đó kφ(σ(t 0 ))− φ(t)− à(σ(t 0 ), t)φ ∆ (t 0 )k ≤ ε|à(σ(t 0 ), t)|, ∀t ∈ U với U là lân cận của t 0
• Giả sử T=hZ , h > 0 do đó φ ∆ (t) = (φ(t+h)− φ(t) h Định lý 1.1 Giả sử f : T → R là một hàm và t ∈T κ Khi đó,
(i) Nếu f khả vi tại t, thì f liên tục tại t.
(ii) Nếu f liên tục tại t và t là điểm cô lập phải, thì f khả vi tại t với f ∆ (t) = f (σ(t))− f(t) à(t) (1.3)
(iii) Nếu t là điểm trù mật phải, khi đó hàm f khả vi tại t nếu tồn tại giới hạn hữu hạn lims→t f(t)− f(s) t − s (1.4)
Trong trường hợp này đạo hàm f ∆ (t) = lim s→t f(t)− f(s) t − s (iv) Nếu f khả vi tại t, thỡ f(σ(t)) =f(t) +à(t)f ∆ (t). Định lý 1.2 Giả sử f, g: T → R là các hàm khả vi tại t ∈T κ Khi đó
(i) Tổng các hàm f+g :T → R cũng là hàm khả vi tại t với
(f +g) ∆ (t) =f ∆ (t) +g ∆ (t). (ii) Với bất kì hằng số α, αf : T → R khả vi tại t với
(αf) ∆ (t) =αf ∆ (t). (iii) Tích của các hàm f g:T → R cũng là hàm khả vi tại t với
(iv) Giả sử f(t)f(σ(t))6= 0, thì 1 f khả vi tại t với
(v) Giả sử g(t)g(σ(t))6= 0, thì f g cũng là hàm khả vi tại t với f g
∆(t)g(t)− f(t)g ∆ (t) f(t)f(σ(t)) Định nghĩa 1.8 Hàm f :T → R gọi là rd - liên tục nếu thỏa mãn
(i) Hàm f liên tục tại điểm trù mật phải t ∈T
(ii) Tồn tại hữu hạn lim s→t − f(s) tại điểm trù mật phải t ∈T.
Tập hợp các hàm rd - liên tục kí hiệu là C rd
Chú ý 1.1 (i) Giả sử f :T → R Khi đó
• Nếu hàm f liên tục, thì hàm f là rd - liên tục.
• Toán tử nhảy tiến σ là rd - liên tục.
Trên thang thời gian T=R, hàm rd - liên tục được hiểu là liên tục, trong khi trên T=hZ với h > 0, mọi hàm đều là rd - liên tục Định nghĩa 1.9 nêu rõ rằng hàm p: T → R được gọi là regressive nếu điều kiện 1 + à(t)p(t) ≠ 0 được thỏa mãn.
Tập hợp các hàm quay ngược và rd - liên tục kí hiệu là R=R(T) =R(T , R). Định lý 1.3 Giả sử hàm f ∈Crd , và a, b ∈T
(iii) Giả sử [a, b] chỉ gồm những điểm cô lập khi đó
−Pb−1 t=a f(t) nếu a > b. Định nghĩa 1.10 Giả sử p ∈ R khi đó, ta định nghĩa hàm số mũ trên thang thời gian như sau e p (t, s) = exp
Ta có e a⊕b (t, s) =e a (t, s)e b (t, s), t, s ∈T (xem [7]). Định lý 1.4 Hàm e p(t, s) có các tính chất sau
(i) Giả sử hàm p ∈ R khi đó e p(t, τ)e p(τ, s) =e p(t, s), ∀τ, s, t ∈T
(iii) Giả sử hàm p ∈ R + thì e p (t, t 0 ) >0, với mọit ∈T
(v) Nếu T=R thì e p (t, s) =e R s t (p(τ ))dτ Hơn nữa giả sử p là hằng số, dẫn đến e p(t, s) =e p(t−s)
(vi) Nếu T=Z thì e p (t, s) = Π t−1 τ =s (1 +p(τ)) Hơn nữa giả sử T=hZ , h > 0 và p là hằng số nên e p (t, s) = (1 +hp) (t−s)/h Định lý 1.5 Giả sử các hàm p, q ∈ R Khi đó ta có các công thức
Ngoài ra ta có một số kí hiệu sau.
R(T) := TX là khoảng biến thiên của T.
C rd (T , X ) là tập các ánh xạ rd-liên tục từ T vào X.
C rd R(T , L (X)) :={A ∈ C rd (T , L (X)) :I X +à(t)A(t)∈ GL(X), t ∈T } là tập hợp các ánh xạ quay ngược.
C rd R + (T , R) := {a ∈ C rd (T , R) : 1 +à(t)a(t)>0, t ∈T } là tập hợp các nhóm quay ngược dương với phép toán
Ta kí hiệu bac:=inf t∈ T a(t), dae:=sup t∈ T a(t). Định nghĩa 1.11 Giả sử a, b:T → R, a / bkhi và chỉ khi0< bb − ac.
Khi đú a ∈ C rd R + (T , R) gọi là rời rạc bị chặn dưới nếu Γ (a) := 1 +b àac >0.
Trong phộp cộng a gọi là rời rạc bị chặn trờn nếu Γ (a) := 1 +b àac < ∞. Với a ∈ C rd R + (T κ , R) ta có bất đẳng thức Becnuli e a (t, τ)≥1 +
Với hằng số a(t) ≡ α ∈ R à(t) , t ∈T κ khi đú e a (t, τ) ≥1 +αà(t, τ), t, τ ∈T Với h >0, ta định nghĩa số phức Hilger, trục số thực Hilger như sau
Ta định nghĩa phép biến đổi trụ. Định nghĩa 1.12 ξ h : Ch → Zh xác định bởi ξ h (z) = log (1 +zh) h , h >0 gọi là phép biến đổi trụ.
Nghịch đảo của phép biến đổi trụ ξ −1 :Zh →Ch xác định bởi ξ h −1 = e zh −1 h
Các công thức hàm số mũ khác trên thang thời gian có thể được tìm thấy trong tài liệu [2] Chúng ta kết thúc bài viết này với hai kết quả liên quan đến hàm mũ thực: đầu tiên là việc xem xét hàm mũ trên tập con đóng bị chặn của T, và thứ hai là việc phân tích hàm mũ trên các thang thời gian khác.
Bổ đề 1.1 Giả sử số thực 0 < h 0 ≤ h và các hàm a, b ∈ C rd R + (T , R) Khi đó, các hằng số
(i) Giả sử 0 / a, khi đú với C ∈ R tồn tại cỏc số thực 0< h 0 ≤ h, dàe ≤ h thỏa mãn C ≤ E a − (h 0 , h).
(ii) Với b bị chặn trên thì E b + (h 0 , h) < ∞.
Bổ đề 1.2 Giả sử Te = {t k } k∈ T là thang thời gian rời rạc với Te ⊆ T và e c, de∈
C rd R + (Te , R) Khi đó, c 0 , d 0 :T → R , c 0 (t) := ϑ à(t) sup ln(1 +à(t k+1 , t k )e c (t k )) à(t k+1 , t k ) d 0 (t) := ϑ à(t) inf ln(1 +à(t k+1 , t k )de(t k )) à(t k+1 , t k ) là quay ngược dương và thỏa mãn ee e c(t k , t l ) ≤ e c 0(t k , t l ), e e d e(t k , t l ) ≤ e d 0 (t k , t l ) (1.6) trong đó e e e c là hàm mũ thực trên Te
Bổ đề được chứng minh.
Nhị phân mũ của phương trình vi phân và sai phân
Xét phương trình ˙ x=A(t)x (1.7) trong đó x ∈R d , A ∈ C (R , R d ), t ∈R và X(t, s) là nghiệm của (1.7). Định nghĩa 1.13 Hệ (1.7) gọi là có nhị phân mũ α, K trên R nếu tồn tại phép chiếu P(t), t ∈R thỏa mãn
|X(t, s)Q(s)| ≤ Ke α(t−s) , t ≤ s, Q(t) =I − P(t), trong đó α, K là các hằng số, α >0, K ≥1.
Xét phương trình x n+1 =A n x n , x ∈R n , n ∈ Z (1.8) Định nghĩa 1.14 Phương trình (1.8) được gọi là có nhị phân mũ nếu tồn tại
N ≥1, λ ≥0, họ phép chiếuP n thỏa mãn sup n kP n k 1 là các số thực và a, b thuộc không gian CrdR+(T, R) với a ≤ b.
Ví dụ 1.4 Giả sử α, β, h ≥0 là những số thực với α < β Trên thang thời gian thuần nhất với à(t)≡ h và A(t) ≡ t trờn T ta cú
(i) Trong trường hợp h = 0, phương trình (1.9) có nhị phân mũ với α, β, nếu phổ σ(A)⊆C được tách rời khỏi dải dọc
(2) Tương tự, trong trường hợp h > 0 phương trình (1.9) có nhị phân mũ với α, β nếu phổ σ(I X +hA) không giao với hình khuyên
{λ ∈C: α ≤ |λ| ≤ β}, và phép chiếu bất biến được đưa ra bởi phổ {λ ∈C: |λ| ≤ α}.
Trong định nghĩa nhị phân mũ, các hàm tăng trưởng a và b không được coi là các hằng số, điều này đã được nghiên cứu trong các phương trình vi phân thường Thêm vào đó, trong nhị phân mũ, chúng ta không yêu cầu điều kiện hyperbolic như a /0/ b Do đó, khái niệm nhị phân mũ đang được xem xét ở đây là khái niệm nhị phân mũ giả hyperbolic.
Bổ đề 1.3 đề cập đến một hệ tuyến tính (1.9) và x4 = B(t)x (1.12) với B thuộc C rd (T , L (X)) Giả sử c là một hàm rời rạc bị chặn trên trong C rd R + (T , R) Nếu tồn tại một số thực C ≥ 1 và một hàm bị chặn trong C rd (T , R) thỏa mãn điều kiện kΦ A (t, τ)k ≤ Ce c (t, τ) với τ ≤ t (1.13) và kA(t)− B(t)k ≤ (t) (1.14), thì ta có kΦ B (t, τ)−Φ A (t, τ)k ≤ C.
Chứng minh Từ giả thiết ta có toán tử dịch chuyển Φ B (t, τ) của hệ tuyến tính (1.12) thỏa mãn kΦ B (t, τ)k ≤ Ce c+Cε (t, τ), τ ≤ t (1.15)
Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 1.4 Giả sử C 1 , C 2 > 1 là những số thực và c ∈ C rd R + (T , R) Nếu hệ tuyến tính (1.9)và (1.12) có các toán tử dịch chuyển tương ứng thỏa mãn kΦ A (t, τ)k ≤ C 1 e c (t, τ), τ ≤ t, kΦ B (t, τ)k ≤ C 2 e c (t, τ), τ ≤ t.
Bổ đề được chứng minh.
Bổ đề 1.5 Giả sử K 1 , K 2 , L 1 , L 2 ≥ 1, ≥ 0 là những số thực và a, b, c, d ∈
C rd R + (T , R) thỏa mãn a / c / d / b Giả sử
(i) Phương trình tuyến tính(1.9) có nhị phân mũ với a, b, K 1 , K 2 và phép chiếu bất biến P.
(ii) Phương trình tuyến tính (1.12) có nhị phân mũ với c, d, L 1 , L 2 và phép chiếu bất biến Q.
Khi đó phép chiếu bất biến P, Q thỏa mãn kP(t)− Q(t)k ≤ max{L 1 , L 2 }C a,b (c, d), t ∈T , trong đó C a,b (c, d) := K 1 bd − ac + K 2 bc − ac +max
Chứng minh Với phương trình tuyến tính(1.9) và phép chiếu P, hàm Green được xác định như sau
Xét phương trình tuyến tính không thuần nhất x ∆ = A(t)x + r s,x 0 (t) với s ∈ T và x 0 ∈ X, trong đó r s,x 0 được xác định bởi r s,x 0 = [B(t)− A(t)]G B (t, s)x 0 Hàm v s,x 0 cũng được định nghĩa là v s,x 0 = [G B (t, s)− G A (t, s)]x 0 Theo định nghĩa hàm Green, khoảng (c, d) tựa bị chặn, dẫn đến việc kr s,x 0 (t)k = k[B(t)− A(t)]G B (t, s)x 0 k.
Nên r s,x 0 ∈ X c,d ± với kr s,x 0 k ± s,c,d ≤ εmax{L 1 , L 2 }kx 0 k.
Bổ đề được chứng minh. Định lý 1.6 Giả sử (eT , ≤, e à ) là một thang thời gian rời rạc và ỏnh xạ
Ae: Te → L (X). Phương trình tuyến tính x ∆ =Ae(t)x có nhị phân mũ e a, eb, K 1 , K 2 trên Te và một phép chiếu bất biến Pe, trong đó eb bị chặn trên.
Hơn nữa, giả sửe c, de∈ C rd R + (eT , R) vớie a / e c / d /e eb và giả sử ánh xạBe: Te → L (X) thỏa mãn k Be(t)− Ae(t)k ≤ với số thực ≥0 sao cho C e a,e b(e c, de) 0 chứ ko phải khẳng định của định lý.
Trong các tài liệu [8, định lý 3.1], [11, định lý 2] và [18, hệ quả 2], đã chứng minh định lý vững của nhị phân mũ cho phương trình vi phân hữu hạn chiều dưới các giả định tương tự như (2.33) Định lý 2.1 là đủ cho trường hợp [8, định lý 3.1] và cũng được đề cập trong [15].
Trong không gian metric (Q, d), giả sử ánh xạ A : T × Q → L(X) rd là liên tục với các điều kiện K1, K2 ≥ 1, C1C2 ≥ 0 và α, β thuộc (0,1] Các hàm a, b, c1, c2 thuộc C rd R + (Te, R) và a/b, b bị chặn, với mọi q ∈ Q, ta có bất đẳng thức Holder kA(t, q)− B(t, q)k ≤ L(q, q) α cho t ∈ T và q ∈ Q.
(ii) Hệ tuyến tính (2.24) có c + - tăng bị chặn với hằng số C 1
(iii) Hệ tuyến tính (2.24)có nhị phân mũ với a, b, K 1 , K 2 và phép chiếu bất biến
Ngoài ra, lấy bất kì và cố định các hàm c, d ∈ C rd R + (eT , R) như trong (2.26) thì ta cú thể chọn cỏc số thực 0< h 0 ≤ h, dàe ≤ h đủ lớn.
(v) (eT , ≤, e à ) là (h 0 , h) - thang thời gian rời rạc.
Khi đó, tồn tại các số thực 0 , 1 >0 phụ thuộc vào h 0 , h, a, b, c, d, c 1 , c 2 , d 2 , C 1 ,
C 2 , K 1 , K 2 sao cho ánh xạ q ∗ : T → Q thỏa mãn
(vi) Điều kiện Holder d(q ∗ (t), q ∗ (τ))≤ θ|à(t, τ)| β t, τ ∈T , (2.36) trong đó θ ≥0 thỏa mãn Lθ α h αβ ≤ 0, Lθ α h αβ max{K 1 , K 2 }C a,b (c, d) ≤ 1
Hệ phương trình tuyến tính x 4 = A(t, q ∗ (t))x có (c 2 , d 2) - tăng bị chặn với C 2 Đồng thời, hệ phương trình này cũng có nhị phân mũ với c, d : T → R được xác định như trong (2.22), với các điều kiện L 1 , L 2 ≥ 1 và phép chiếu bất biến Q : T → L (X).
Tính chất q ∗ :T → Q biến đổi chậm theo thời gian được áp dụng trong điều kiện Holder (2.36) trong không gian Banach Q và ánh xạ khả vi q ∗ Định lý giá trị trung bình trên thang thời gian cho thấy (2.36) thỏa mãn với β = 1, nếu đạo hàm q ∗ ∆ : T → Q có giá trị đủ nhỏ Điều này thường được sử dụng trong ứng dụng lý thuyết nhiễu của phương trình động lực trên thang thời gian.
(ii) Ta có thể sử dụng hệ quả (2.2) như là một tiêu chuẩn cho nhị phân mũ của hệ tuyến tính (1.9) Trong thực tế ta giả sử rằng
• h ≤ à(t)≤ H với mọi t ∈T và cỏc số thực h, H >0.
• Tồn tại số thực α < β, α ∈R h thỏa mãn phổ của A(t 0 ) ∈ L(X), t 0 ∈T có thể được phân tích thành những tập đóng rời nhau σ 1(t 0), σ 2(t 0) với sup λ∈σ 1 (t 0
R H λ, t 0 ∈T , và từ đó hệ bất biến thời gian x ∆ =A(t 0)x, t 0 ∈T cố định, có nhị phân mũ Ở đây
Phần thực Hilger được định nghĩa bởi công thức |1 + tz| −1 t, với z thuộc tập hợp số phức C và điều kiện 1 + hz ≠ 0 Trong hệ quả (2.2) khi Q = T, các metric được xác định là d(t, τ) := |à(t, τ)| và q*(t) := t Để cú nghĩa (1.9) được áp dụng, giả thiết kA(t) − A(τ)k ≤ L|à(t, τ)| α cần được thỏa mãn với t, τ thuộc T và L ≥ 0 phải đủ nhỏ.