Gọi I là giao điểm của AD và BC a Chứng minh rằng tứ giác MCID nội tiếp b Chứng minh các đường thẳng AD, BC, MH đồng qui tại I c Gọi K là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác MCID, chứng mi[r]
Trang 1Chuyên đề 1: Biến đổi biểu thức đại số (4 tiết)
1 Một số kỹ năng cơ bản
Bài 1: Khai triển các hằng đẳng thức
1) ( 2 1) 2
2) ( 2 1) 2
3) ( 3 2) 2
4) ( 3 2) 2
5) ( 3 2)2
6) ( 3 2)2
7) (2 2 2) 2 8) (2 2 2) 2 9) 2 2 1
10) 2 2 1
11) ( 2 1)( 2 1) 12) 2 2 8
Bài 2: Phân tích thành các lũy thừa bậc hai
1) 8 2 15
2) 10 2 21
3) 5 24
4) 12 140
5) 14 6 5
6) 8 28 7) 9 4 2
8) 28 6 3 9) 17 18 2
10) 51 10 2
Bài 3: Phân tích thành nhân tử
1) 1 3 5 15
2) 10 14 15 21
3) 35 14 15 6
4) 3 18 3 8
5) 36x2 5
6) 25 – 3x2
7) x – 4 (x > 0)
8) 11 + 9x (x < 0)
9) 31 + 7x (x < 0)
Bài 4: Tính: A 21 6 6 21 6 6
HD: Ta có: 6 6 2 3.3 2 và và
21 ( 3) (3 2) Từ đó suy ra: A 6 2
Bài 5: Tìm giá trị của x để
1) x2 − 2x + 7 có giá trị nhỏ nhất
2) 2
1
x 2x 5 có giá trị lớn nhất
3)
2
2
2x 5
2x 1
có giá trị lớn nhất
4)
2 2
x 2x 1
x 4x 5
có giá trị nhỏ nhất
Bài 6: Tìm các giá trị của x Z để các biểu
thức sau có giá trị nguyên
1) A =
6
14 2x 3 3) C =
x 5
x 2
4x 3 2x 6
Bài 7: Giải các bất phương trình
1) 5(x − 2) + 3 > 1 − 2(x − 1) 2) 5 + 3x(x + 3) < (3x − 1)(x + 2)
3)
5x 2 1 2x
4)
11 3x 5x 2
Trang 3c) Tìm giá trị của x khi A = 5
HD: a) ĐK: x ≠ ±1: 2
4x A
1 x
; b) x 3 8 1 2 Khi đó: A = −2;
c) x1 5; 2
5 x 5
Bài 9: Cho biểu thức:
2
A
x 3 x x 6 x 2
a) Tìm điều kiện của x để A xác định b) Rút gọn biểu thức A
c) Tìm giá trị của x để A > 0
HD: a) a ≠ −3, a ≠ 2 ; b)
x 1 A
x 2
; c) A > 0
x > 2 hoặc x < −1
Bài 10: Cho biểu thức
2
2a a a 2 a 2 4a
C
a 3 a 2 a 2 4 a
a) Tìm điều kiện đối với a để biểu thức C xác định Rút gọn biểu thức C
b) Tìm các giá trị của a để C = 1
c) Khi nào thì C có giá trị dương? Có giá trị âm?
HD: a) a ≠ −3, a ≠ ±2; b)
2 4a C
a 3
; c) C = 1
a 1
3
a
4
; d) C > 0
a 0
a 2
a 3
; C < 0
a < −3
Bài 11: Cho biểu thức
a) Tìm điều kiện đối với x để biểu thức C xác định
b) Rút gọn biểu thức C
c) Tính giá trị của biểu thức C khi
x 6 20
d) Tìm các giá trị nguyên của x để C có giá trị nguyên
HD: a) x ≠ 1, x ≠ −2, x ≠ 0; b)
x 2 C
x 2
; c)
C 5 2 ; d) x {−1, −3, −4, −6, 2}
Bài 12: Cho biểu thức:
a a 1 a a 1 a 2
a 2
Trang 4a) Với giá trị nào của a thì biểu thức A
không xác định
b) Rút gọn biểu thức A
c) Với giá trị nguyên nào của a thì A có giá
trị nguyên?
HD: a) A không xác định a < 0, a = 0, 1, 2
b) Với a > 0, a ≠ 1, a ≠ 2:
2(a 2) A
a 2
; c)
có duy nhất a = 6 thỏa mãn
Bài 13: Cho biểu thức:
x 2x x
B
x 1 x x
a) Rút gọn biểu thức B
b) Tính giá trị của B khi x 3 8
c) Với giá trị nào của x thì B > 0? B< 0? B
= 0?
HD: a) ĐK x > 0, x ≠ 1: B x 1
b) x 3 8 ( 2 1) : B 2 2;
c) B > 0 x > 1; B < 0 x < 1; B = 0
x = 1
Bài 14: Cho biểu thức
a 3 3 a
B
2 a 6 2 a 6
a) Tìm điều kiện của a để B xác định Rút
gọn B
b) Với giá trị nào của a thì B > 1? B< 1?
c) Tìm các giá trị của x để B = 4
HD: a) a ≥ 0 và a ≠ 9:
a 9 B
a 9
b) B > 1 a > 9, B < 1 0 ≤ a < 9
c) B = 4 a = 15
Bài 15: Cho biểu thức A =
:
a) Rút gọn biểu thức A
b) Tính giá trị của A khi x = 7 + 4 3
c) Với giá trị nào của x thì A đạt giá trị nhỏ
nhất
HD: a) ĐK: x ≥ 0, x ≠ 1 Rút gọn ta được
1
A
x (1 x )
b)
x 7 4 3 (2 3) : A (3 3 5)
2
c) min A = 4 khi
1 x 4
Bài 16: Cho
2
x 1 x 2 x 1 2
1) Rút gọn P 2) Chứng minh : Nếu 0 < x < 1 thì P > 0 3) Tìm giá trị lớn nhất của P
HD: 1) Điều kiện để P có nghĩa : x ≥ 0 và x ≠
1 Kết quả: P x (1 x ) 2) Nếu 0 < x < 1 thì : 0 x 1 P > 0
3)
2
Dấu "=" xảy ra
Vậy:
max P x
Bài 17: Cho biểu thức
3
B
x 1 x x 1 x x 1
a) Tìm điều kiện để biểu thức B xác định b) Rút gọn biểu thức B
c) Tìm giá trị của x khi B = 4 d) Tìm các giá trị nguyên dương của x để
B có giá trị nguyên HD: a) x > 1 b) B x 2 x 1
c) B = 4 x = 10 d) B nguyên x = m2 + 1 (m Z)
x x x 1 x 2 x 1
a) Tìm điều kiện của x để A có nghĩa, rút gọn A
b) So sánh A với 1 HD: a) Điều kiện: x > 0 và x ≠ 1 Ta có:
2
1 x ( x 1) x 1
x ( x 1) x 1 x
b) Xét hiệu: A – 1 =
Vậy: A
< 1
Cách 2: Dễ thấy: A =
1
x
vì:
1 0
x
Chuyên đề 2: Hàm số và đồ thị (2 tiết) Bài 1: Xác định a và b để đường thẳng y = ax
+ b đi qua hai điểm A(1; −2) và B(2; 1)
Trang 5ĐS: a = 3 và b = −5
Bài 2 : Viết phương trình đường thẳng có hệ
số góc là −2 và đi qua điểm A(1; 5)
ĐS: y = −2x + 7
Bài 3: Viết PT đường thẳng đi qua điểm
B(−1; 8) và song song với đường thẳng y = 4x
+ 3
ĐS: y = 4x + 12
Bài 4: Viết phương trình đường thẳng song
song với đường thẳng y = −x + 5 và cắt trục
hoành tại điểm có hoành độ bằng 2
ĐS: y = −x + 2
Bài 5: Xác định hệ số a, b của hàm số y = ax
+ b trong mỗi trường hợp sau:
a) Đồ thị hàm số là một đường thẳng có hệ
số góc bằng 3 và đi qua điểm A(−1 ; 3)
b) Đồ thị của hàm số đi qua hai điểm B(2 ;
1) và C(1 ; 3)
c) Đồ thị của hàm số đi qua điểm A(1 ; 3)
và song song với đường thẳng y = 3x − 2
ĐS: a) (a ; b) = (3 ; 6) b) (a ; b) = (−2 ; 5)
c) (a ; b) (3 ; 0)
Bài 6: Cho Parabol (P): y = 2x2 và hai đường
thẳng: (d1): mx − y − 2 = 0 và (d2): 3x + 2y −
11 = 0
a) Tìm giao điểm M của (d1) và (d2) khi m
= 1
b) Với giá trị nào của m thì (d1) song song
với (d2)
c) Với giá trị nào của m thì (d1) tiếp xúc
với (P)
HD: a) M(3 ; 1); b)
3 m 2
c) (d1) tiếp xúc với (P) 2x2 − mx + 2 = 0
có nghiệm kép = 0 m2 = 16
m 4
m 4
Lưu ý: Khai thác việc tìm tham số m để hai
đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau
Bài 7 Tìm giá trị của m để ba đường thẳng
sau đồng qui:
a) (d1): 5x + 11y = 8 (d2): 10x −
7y = 74 (d3): 4mx + (2m − 1)y = m
+ 2
b) 3x + 2y = 13 (d2): 2x +
3y = 7 (d3): (d1): y = (2m − 5)x
− 5m
HD: a) ĐS: m = 0 b) m = 4,8
Bài 8 Tìm khoảng cách giữa hai điểm A và B
trên mặt phẳng tọa độ biết:
a) A(1 ; 1) và B(5 ; 4) b) A(−2 ; 2) và B(3 ; 5) HD: a) AB (5 1) 2 (4 1) 2 5 b) AB (3 2) 2 (5 2) 2 5,83
Bài tập về nhà
Bài 9: Xác định a và b để đường thẳng y = ax
+ b đi qua A(−2 ; 15) và B(3 ; −5)
Bài 10: Viết phương trình đường thẳng có hệ
số góc là −1 và đi qua gốc tọa độ
Bài 11: Xác định a và b để đường thẳng y =
ax + b song song với đường thẳng y = 3x và cắt đường thẳng tại điểm nằm trên trục tung
Bài 12: Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(1 ;
1) và cắt trục hoành tại điểm có hoành độ là
2005 Hãy viết phương trình đường thẳng (d)
Bài 13: Cho hàm số : y = x + m (D) Tìm các
giá trị của m để đường thẳng (D) : a) Đi qua điểm A (1 ; 2003) ; b) Song song với đường thẳng x - y + 3 = 0
; c) Tiếp xúc với parabol y = –1/4.x2
Bài 14: Cho hai hàm số y = 2x + 3m và y =
(2m + 1)x + 2m − 3 Tìm điều kiện của m để: a) Hai đường thẳng cắt nhau
b) Hai đường thẳng song song với nhau c) Hai đường thẳng trùng nhau
Chuyên đề 3: Phương trình và hệ phương
trình (6 tiết)
1 Hệ phương trình bậc nhất Bài 1: Giải các hệ phương trình:
1)
x 2y 3 2x y 1
3x 4y 2 2x 3y 7
3)
x 7y 2 2x y 11
2x 3y 10 3x 2y 2
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau bằng
phương pháp đặt ẩn phụ:
Trang 6a)
1 1 4
x y 5
1 1 1
x y 5
b)
15 7
9
x y
4 9
35
x y
c)
x y x y 8
x y x y 8
2 2x 3y 3x y
21 3x y 2x 3y
HD: a) ĐS:
10 (x ; y) 2 ;
3
b)
1 1
(x ; y) = ;
2 3
c) (x ; y) = (5 ; 3) d)
7 2
(x ; y) ;
66 11
Bài 3: Cho hệ phương trình
mx y 1
x y
334
2 3
a) Giải hệ phương trình khi cho m = 1
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình vô
nghiệm
HD: a) Với m = 1: (x ; y) = (2002 ; 2001)
b) Hệ đã cho vô nghiệm
3 m 2
Bài 4: Cho hệ phương trình:
x my 1
mx 3my 2m 3
a) Giải hệ phương trình với m = –3
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có
một nghiệm duy nhất
HD: a) Hệ có vô số nghiệm b) m ≠ 0 và
m ≠ –3
Bài 5: Cho hệ phương trình:
mx y 1
x y m
Chứng tỏ khi m = –1, hệ phương trình có vô
số nghiệm
HD: Thay m = –1 vào hệ đpcm
Bài 6: Cho hệ phương trình:
2mx y 5
mx 3y 1
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình có
một nghiệm duy nhất
HD: a) (x ; y) = (–2; 1); b) m ≠ 0
2 Phương trình bậc hai Bài 7: Giải các phương trình:
1) x2 – 4x + 3 = 0 2) x2 + 6x + 5 =
0 3) 3x2 – 4x + 1 = 0 4) x2 – 5x + 6 = 0
5) ( 2 1)x 2 x 2 0 6) 2
2x ( 2 1)x 1 0 7) 2
x ( 2 1)x 2 0 8) x4 – 11x2 + 10 = 0 9) 3x4 – 11x2 + 8 = 0 10) 9x4 – 22x2 + 13
= 0 11) (2x2 + x – 4)2 – (2x – 1)2 = 0 12) (x – 3)2 + (x + 4)2 = 23 – 3x
13)
2 2
2x x x 8
x 1 x 3x 4
14)
x 4 x 4 3 15) 3(x2 + x) – 2(x2 + x) – 1 = 0 16) (x2 – 4x + 2)2 + x2 – 4x – 4 = 0
Bài 8: Cho phương trình x2 3x 5 0
và gọi hai nghiệm của phương trình là x1, x2 Không giải phương trình, tính giá trị của các biểu thức sau:
a) 1 2
1 1
1 2
x x c) 12 22
1 1
3 3
1 2
x x HD: Đưa các biểu thức về dạng x1 + x2 và x1x2
rồi sử dụng hệ thức Viét
Bài 9: Cho phương trình: x2 – 2mx + m + 2 =
0 Tìm giá trị của m để phương trình có một nghiệm x1 = 2 Tìm nghiệm x2
HD: m = 2, x2 = 2
Bài 10: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x + m2
= 0 (1) a) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm các giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt và trong hai nghiệm đó có một nghiệm bằng −2
HD: a) PT (1) có hai nghiệm phân biệt 1
m 2
b) m = 0 hoặc m = 4
Bài 11: Cho phương trình (m + 1)x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0 (1)
Trang 7a) Chứng minh rằng m ≠ −1 phương trình
(1) luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm giá trị của m để phương trình có hai
nghiệm cùng dấu
HD: a) Chứng minh ' > 0
b) Phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu
m < −1 hoặc m > 3
Bài 12: Cho phương trình x2 − 2(m + 1)x + m
− 4 = 0 (1)
a) Giải phương trình (1) khi m = 1
b) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn
có nghiệm với mọi giá trị của m
c) gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương
trình (1) Chứng minh rằng A = x1(1 − x2) +
x2(1 − x1) không phụ thuộc vào giá trị của m
HD: a) Khi m = 1: PT có hai nghiệm
x 2 2 7
b) A = 2(m + 1) − 2(m − 4) = 10 A
không phụ thuộc vào m
Bài 13: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương
trình x2 − 2(m − 1)x + m − 3 = 0
a) Không giải phương trình hãy tính giá trị
của biểu thức P = (x1)2 + (x2)2 theo m
b) Tìm m để P nhỏ nhất
HD: a) P = (x1 + x2)2 − 2x1x2 = 4(m − 1)2 −
2(m − 3) = 4m2 − 10m + 10
c) P =
2 15 15 (2m 5)
4 4
Dấu "=" xảy
ra
5
m
2
Bài 14: Cho phương trình x2 − 6x + m = 0 (m
là tham số) (1)
a) Giải phương trình (1) với m = 5
b) Tìm giá trị của m để phương trình (1) có
2 nghiệm phân biệt x1 và x2 thỏa mãn 3x1 +
2x2 = 20
HD: a) Với m = 5 x1 = 1, x2 = 5
b) Đáp số: m = −16 (x1 = 8, x2 = −2)
Bài 15: Cho phương trình x2 − 4x + k = 0
a) Giải phương trình với k = 3
b) Tìm tất cả các số nguyên dương k để
phương trình có hai nghiệm phân biệt
HD: a) Với m = 3: x1 = 1, x2 = 3
b) ' = 4 − k > 0 k < 4 ĐS: k {1 ; 2 ;
3}
Bài 16: Cho phương trình : x2 − (m + 5)x − m
+ 6 = 0 (1)
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm các giá trị của m để phương trình
(1) có một nghiệm x = −2
HD: a) ĐS: x1 = 1, x2 = 5
b) ĐS: m = − 20
Bài 17: Cho phương trình: (m − 1)x2 + 2mx +
m − 2 = 0 (*) a) Giải phương trình (*) khi m = 1
b) Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt
HD: a) Khi m = 1:
1 x 2
; b) ĐS:
2
m , m 1 3
Bài 18: Cho phương trình x2 − 2mx + (m − 1)3 = 0
a) Giải phương trình với m = −1 b) Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt, trong đó có một nghiệm bằng bình phương của nghiệm còn lại
HD: a) Với m = −1 x1 = 2, x2 = −4 b) m = 0 hoặc m = 3
Chuyên đề 4: Giải bài toán bằng cách lập phương trình và hệ phương trình (4 tiết)
Bài 1: Một người đi xe máy từ A đến B với
vận tốc trung bình 30km/h Khi đến B, người
đó nghỉ 20 phút rồi quay trở về A với vận tốc trung bình 25km/h Tính quãng đường AB, biết rằng thời gian cả đi lẫn về là 5 giờ 50 phút
HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 0)
Ta có phương trình:
5
3025 3 6. Giải ra ta được: x = 75 (km)
Bài 2: Hai canô cùng khởi hành một lúc và
chạy từ bến A đến bến B Canô I chạy với vận tốc 20km/h, canô II chạy với vận tốc 24km/h Trên đường đi, canô II dừng lại 40 phút, sau
đó tiếp tục chạy với vận tốc như cũ Tính chiều dài quãng sông AB, biết rằng hai canô đến bến B cùng 1 lúc
HD: Gọi chiều dài quãng sông AB là x km (x
> 0)
Ta có phương trình:
x x 2
20 24 3 Giải
ra ta được: x = 80 (km)
Bài 3: Một ôtô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B
với vận tốc trung bình 40km/h Lúc đầu ôtô đi với vận tốc đó, khi còn 60km nữa thì đi được một nửa quãng đường AB, người lái xe tăng thêm vận tốc 10km/h trên quãng đường còn lại, do đó ôtô đến tỉnh B sớm hơn 1giờ so với
dự định Tính quãng đường AB
HD: Gọi độ dài quãng đường AB là x km (x > 120)
Trang 8Ta có phương trình:
60 : 40 60 : 50 1
ta được: x = 280 (km)
Bài 4: Một tàu thủy chạy trên một khúc sông
dài 80km, cả đi lẫn về mất 8giờ 20phút Tính
vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết
rằng vận tốc của dòng nước là 4km/h
HD: Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên
lặng là x km/h (x > 0)
Ta có phương trình:
8
x 4 x 4 3
Giải ra ta được: 1
4 x 5
(loại), x2 = 20 (km)
Bài 5: Một ca nô và một bè gỗ xuất phát cùng
một lúc từ bến A xuôi dòng sông Sau khi đi
được 24 km ca nô quay trở lại và gặp bè gỗ
tại một địa điểm cách A 8 km Tính vận tốc
của ca nô khi nước yên lặng biết vận tốc của
dòng nước là 4 km / h
HD: Gọi vận tốc canô khi nước yên lặng là x
km/h (x > 4)
Ta có phương trình:
24 16
2
x 4 x 4 Giải ra ta được x1 = 0 (loại), x2 = 20 (km/h)
Bài 6: Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh
B cách nhau 50 km Sau đó 1 giờ 30 phút,
một người đi xe máy cũng đi từ A và đến B
sớm hơn 1 giờ Tính vận tốc của mỗi xe, biết
rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 lần vận tốc xe
đạp
HD: Gọi vận tốc xe đạp là x km/h (x > 0)
Ta có phương trình:
50 50
(1,5 1)
x 2,5x . Giải ra ta được: x = 12 (thỏa mãn)
Bài 7: Nhà trường tổ chức cho 180 học sinh
khối 9 đi tham quan di tích lịch sử Người ta
dự tính: Nếu dùng loại xe lớn chuyên chở một
lượt hết số học sinh thì phải điều ít hơn nếu
dùng loại xe nhỏ 2 chiếc Biết rằng mỗi xe lớn
có nhiều hơn mỗi xe nhỏ là 15 chỗ ngồi Tính
số xe lớn, nếu loại xe đó được huy động
HD: Gọi số xe lớn là x (x Z+) Ta có PT:
180 180
15
x x 2 x1 = 4; x2 = –6 (loại)
Bài 8: Một đội xe cần chuyên chở 100 tấn
hàng Hôm làm việc, có hai xe được điều đi
làm nhiệm vụ mới nên mỗi xe phải chở thêm
2,5 tấn Hỏi đội có bao nhiêu xe? (biết rằng số
hàng chở được của mỗi xe là như nhau)
HD: Gọi x (xe) là số xe của đội (x > 2 và x N)
Ta có phương trình:
100 100 5
x 2 x 2 Giải
ra ta được: x1 = −8 (loại), x2 = 10 (thỏa mãn)
Bài 9: Để làm một chiếc hộp hình hộp không
nắp, người ta cắt đi 4 hình vuông bằng nhau ở
4 góc của một miếng nhôm hình chữ nhật dài 24cm, rộng 18cm Hỏi cạnh của các hình vuông đó bằng bao nhiêu, biết rằng tổng diện tích của 4 hình vuông đó bằng
2
5 diện tích đáy hộp?
HD: Gọi x (cm) là độ dài cạnh của hình vuông bị cắt ( 0 < x < 9)
2 2 4x (24 2x)(18 2x) 5
Giải ra ta được:
x1 = −18 (loại), x2 = 4 (thỏa)
Bài 10: Cho một số có hai chữ số Tìm số đó,
biết rằng tổng hai chữ số của nó nhỏ hơn số
đó 6 lần, nếu thêm 25 vào tích của hai chữ số
đó sẽ được một số viết theo thứ tự ngược lại với số đã cho
HD: Gọi số phải tìm là xy (0 < x, y ≤ 9 và x,
y Z)
Ta có hệ:
6(x y) 10x y x 5
xy 25 10y x y 4
Vậy số phải tìm là 54
Bài 11: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể
thì sau 1 giờ 20 phút bể đầy Nếu mở vòi thứ nhất chảy trong 10 phút và vòi thứ hai trong
12 phút thì đầy
2
5 bể Hỏi nếu mỗi vòi chảy một mình thì phải bao lâu mới đầy bể
HD: Gọi thời gian chảy một mình đầy bể của vòi I, II lần lượt là x, y phút (x, y > 80)
Ta có hệ:
80 80
1
x 120
x y
10 12 2 y 240
x y 15
Bài 12: Hai người thợ cùng làm một công
việc trong 16giờ thì xong Nếu người thứ nhất làm 3giờ và người thứ hai làm 6giờ thì họ làm được 25% công việc Hỏi mỗi người làm công việc đó một mình thì trong bao lâu sẽ hoàn thành công việc
HD: Gọi x, y (giờ) là thời gian người thứ nhất, hai làm một mình xong công việc (x > 0,
y > 16)
Trang 9Ta có hệ:
16 16
1
x 24
x y
3 6 1 y 48
x y 4
(thỏa mãn điều kiện đầu bài)
Bài 13: Một phòng họp có 360 ghế ngồi được
xếp thành từng dãy và số ghế của mỗi dãy đều
bằng nhau Nếu số dãy tăng thêm 1 và số ghế
của mỗi dãy cũng tăng thêm 1 thì trong phòng
có 400 ghế Hỏi trong phòng họp có bao
nhiêu dãy ghế và mỗi dãy có bao nhiêu ghế?
HD: Gọi số dãy ghế trong phòng họp là x dãy
(x Z, x > 0)
360
(x 1) 1 400
x
Giải ra ta được: x1 =
15, x2 = 24
ĐS: 15 dãy với 24 người/dãy, 24 dãy với 15
người/dãy
Bài 14: Theo kế hoạch hai tổ sản xuất 600 sản
phẩm trong một thời gian nhất định Do áp
dụng kĩ thuật mới nên tổ I đã vượt mức 18%
và tổ II đã vượt mức 21% Vì vậy, trong thời
gian qui định họ đã vượt mức 120 sản phẩm
Hỏi số sản phẩm được giao của mỗi tổ theo kế
hoạch
HD: Gọi x, y là số sản phẩm của tổ I, II theo
kế hoạch (x, y N*)
Ta có hệ phương trình:
0,18x 0, 21y 120 y 400
Bài 14: Một xe máy đi từ A đến B trong một
thời gian dự định Nếu vận tốc tăng thêm
14km/h thì đến sớm hơn 2 giờ, nếu giảm vận
tốc đi 4km/h thì đến muộn 1 giờ Tính vận tốc
dự định và thời gian dự định
HD: Gọi thời gian dự định là x và vận tốc dự
định là y (x, y > 0) Ta có hệ:
(x 1)(y 4) xy x 6
(x 2)(y 14) xy y 28
Chuyên đề 5: Một số bài toán hình học
tổng hợp (6 tiết)
Bài 1: Cho c.ABC (AB = AC), I là tâm
đường tròn nội tiếp, K là tâm đường tròn bàng
tiếp A, O là trung điểm của IK
a) Chứng minh rằng bốn điểm B, I, C, K
cùng thuộc một đường tròn tâm O
b) Chứng minh AC là tiếp tuyến của đường
tròn (O)
c) Tính bán kính của đường tròn (O), biết
AB = AC = 20cm, BC = 24cm HD: a) KBI KCI 180 0 (Tính chất phân giác) BICK nội tiếp (O)
b) C 1 OCI C 2 I1 900 OC AC
AC là tiếp tuyến của (O) c) AH AC2 HC2 202 122 16
(cm)
CH 12
AH 16
(cm)
(cm)
Bài 2: Cho hình vuông ABCD, điểm E thuộc
cạnh BC Qua B kẻ đường thẳng vuông góc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng
DE và DC theo thứ tự ở H và K a) Chứng minh rằng BHCD là tứ giác nội tiếp
b) Tính góc CHK c) Chứng minh KC.KD = KH.KB d) Khi điểm E chuyển động trên cạnh BC thì điểm
H chuyển động trên đường nào?
HD: a) BHD BCD 90 0 BHCD nội tiếp b) DHC DBC 45 0 CHK 45 0 c) KCH KDC (g.g) KC.KD = KH.KB
d) BHD 90 0 Khi E chuyển động trên đoạn BC
thì H chuyển động trên BC
Bài 3: Cho đường tròn (O, R) có hai đường
kính AB và CD vuông góc với nhau Trên đoạn thẳng AB lấy một điểm M (khác O)
Đường thẳng CM cắt đường tròn (O) tại điểm thứ hai N Đường thẳng vuông góc với AB tại
M cắt tiếp tuyến tại N của đường tròn ở điểm
P Chứng minh rằng:
a) Tứ giác OMNP nội tiếp b) Tứ giác CMPO là hình bình hành c) Tích CM.CN không phụ thuộc vị trí điểm M
d)* Khi M di động trên đoạn thẳng AB thì
P chạy trên một đoạn thẳng cố định HD: a) OMP ONP 90 0 ONMP nội tiếp b) OC // MP (cùng vuông góc với AB),
MP = OD = OC Suy ra: CMPO là hình bình hành
21 1 H
O A
K I
K H B
C
A
D
E
1 1 1 1
P
N
C
O
Trang 10c) COM CND (g.g) Suy ra:
CM CO
CD CN CM.CN = CO.CD =
Const
d) ONP = ODP (c.g.c) ODP 90 0
Suy ra: P chạy trên đường thẳng cố định
Vì M [AB] nên P [EF]
Bài 4: Cho nửa đường tròn (O) đường kính
AB Từ A kẻ hai tiếp tuyến Ax và By Qua
điểm M thuộc nửa đường tròn, kẻ tiếp tuyến
thứ ba, cắt tiếp tuyến Ax và By lần lượt ở E
và F
a) Chứng minh AEMO là tứ giác nội tiếp
b) AM ∩ OE ≡ P, BM ∩ OF ≡ Q Tứ giác
MPOQ là hình gì? tại sao?
c) Kẻ MH AB (H AB) Gọi K ≡ MH
∩ EB So sánh MK với KH
HD: a) EOA OME 180 0 AEMO nội
tiếp
b) MPOQ là hình chữ nhật vì có ba góc
vuông
c) EMK EFB:
EM EF
MK BF do MF =
BF
EM EF
MK MF
Mặt khác: ABE HBK:
EA AB
HK HB Vì:
EF AB
MF HB(Talet)
EM EA
MK KH Vì: EM = AE MK =
KH
Bài 5: Cho đường tròn (O) đường kính AB cố
định Điểm I nằm giữa A và O sao cho
2
AI AO
3
Kẻ dây MN AB tại I Gọi C là
điểm tùy ý thuộc cung lớn MN sao cho C
không trùng với M, N và B Nối AC cắt MN
tại E
a) Chứng minh tứ giác IECB nội tiếp
b) Chứng minh AME ACM và AM2
= AE.AC
c) Chứng minh AE.AC − AI.IB = AI2
HD: a) Dễ thấy BIE ECB 180 0 IECB nội tiếp
b) Ta có AM AN AME ABM
AME ACM (g.g)
AM2 = AE.AC (1) c) Ta có: MI2 = AI.IB (2) Theo (1) và (2)
và ĐL Pitago:
AI2 = AM2 − MI2 = AE.AC − AI.IB
Bài 6: Cho ABC có các góc đều nhọn,
A 45 Vẽ các đường cao BD và CE của
ABC Gọi H là giao điểm cảu BD và CE
a) Chứng minh tứ giác ADHE nội tiếp b) Chứng minh HD = DC
c) Tính tỉ số DE : BC d) Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp
ABC CM: OA DE
HD: a) Ta có: AEH ADH 180 0 đpcm b) v.AEC có A 45 0ACD 45 0
DCH vuông cân tại D HD = HC
c) ADE ABC (g.g)
BC AC AE 2 2 . d) Dựng tia tiếp tuyến Ax với đường tròn (O), ta có BAx BCA
mà BCA AED (cùng bù với DEB)
BAx AED DE // Ax OA DE
Bài 7: Cho hình bình hành ABCD có đỉnh D
nằm trên đường tròn đường kính AB Hạ BN
và DM cùng vuông góc với đường chéo AC
Chứng minh:
a) Tứ giác CBMD nội tiếp được trong đường tròn
b) Khi điểm D di động trên đường tròn thì
BMD BCD không đổi c) DB.DC = DN.AC HD: a) CBMD nội tiếp trong đường tròn đường kính CD
b) Khi điểm D thay đổi, tứ giác CBMD luôn là
tứ giác nội tiếp BMD BCD 180 0 c) Ta có: ANB 90 0 (gt) N (O) Mặt khác: BDN BAN (Cùng chắn BN)
K H
Q P
E
F
O
M
O' E
N
M
C
x
D
E
A
B
C
C
O
D