Lý thuyết và bài tập phương trình hệ phương trình toán 10

Trong các phương trình sau đây, phương trình nào khôngphải là hệ quả của phương trình  1?. Nếu phương trình vô nghiệm thì a0.. Nếu phương trình vô nghiệm thì b0.. Lời giải C

Trang 1

Lý thuyết và Bài tập Toán đại số chương 3

Trang 2

PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§ 1 Đại cương về phương trình



KIẾN THỨC CƠ BẢN

 Khái niệm phương trình một ẩn

— Cho hai hàm số y f x( ) và yg x( ) có tập xác định lần lượt là D và f D g Đặt

.

D D D Mệnh đề chứa biến " ( )f x g x( )" được gọi là phương trình một ẩn, x gọi là ẩn và

D gọi tập xác định của phương trình

— Số x oD gọi là 1 nghiệm của phương trình f x( ) g x( ) nếu " ( )f x o g x( )"o là 1 mệnh đề đúng

 Phương trình tương đương

— Hai phương trình gọi là tương đương nếu chúng có cùng 1 tập nghiệm Nếu phương trình

1 ( ) 1 ( )

f x g x tương đương với phương trình f x2( ) g x2( ) thì viết f x1( ) g x1( )  f x2( ) g x2( ).

— Định lý 1: Cho phương trình f x( ) g x( ) có tập xác định D và y h x ( ) là một hàm số xác định trên D Khi đó trên miền D, phương trình đã cho tương đương với mỗi phương trình sau:

(1) : ( )f x h x( ) g x( ) h x( ) (2) : ( ) ( )f x h x g x h x( ) ( ) với h x( ) 0,   x D.

 Phương trình hệ quả

— Phương trình f x1( ) g x1( ) có tập nghiệm là S được gọi là phương trình hệ quả của phương 1

trình f x2( ) g x2( ) có tập nghiệm S nếu 2 S1S2 Khi đó viết: f x1( ) g x1( ) f x2( ) g x2( ).

— Định lý 2: Khi bình phương hai vế của một phương trình, ta được phương trình hệ quả của

phương trình đã cho: f x( ) g x( )  f x( )   2 g x( ) 2

x x

Trang 3

x x x

x x

Trang 4

x x

x x x

Câu 13: Hai phương trình được gọi là tương đương khi:

A Có cùng dạng phương trình B Có cùng tập xác định

C.Có cùng tập hợp nghiệm D Cả A, B, C đều đúng

HOCMAI.VN

Trang 5

A  3 tương đương với  1 hoặc  2 B  3 là hệ quả của  1

C. 2 là hệ quả của  3 D Cả A, B, C đều sai





   

 hệ vô nghiệm

Câu 19: Phương trình x21 x–1x 1 0 tương đương với phương trình:

Trang 6

Vì hai phương trình có cùng tập nghiệm T  5

Câu 21: Cho hai phương trình 2

1 0

x   x  1 và 1 x x 1 2 2 Khẳng định đúng nhất trongcác khẳng định sau là :

A  1 và  2 tương đương

B Phương trình  2 là phương trình hệ quả của phương trình  1

C.Phương trình  1 là phương trình hệ quả của phương trình  2

x x x x

  

HOCMAI.VN

Trang 7

Vậy TXĐ: 7  

2; \ 32

x x

x x x

22

x x





  



Thay x0 và x2 vào phương trình thỏa mãn.Vậy tập nghiệm: T 0 ; 2

Câu 29: Tậpnghiệm của phương trình x

x x x

Trang 8

Câu 30: Cho phương trình 2x2 x 0 1 Trong các phương trình sau đây, phương trình nào không

phải là hệ quả của phương trình  1 ?

A 2 0

1

x x

x x x

Vì hai phương trình có cùng tập nghiệm T  0;3

Câu 32: Khẳng định nào sau đây sai?

111

x x x





 có điều kiện xác định là x1

Câu 33: Khi giải phương trình 3x2 1 2x1 1 , ta tiến hành theo các bước sau:

Bước 1: Bình phương hai vế của phương trình  1 ta được:

2

3x 1 2x1 2 

Bước 2: Khai triển và rút gọn  2 ta được: x24x  0 x 0 hayx–4

Bước 3: Khi x0, ta có 2

3x  1 0 Khix 4, ta có 2

3x  1 0 Vậy tập nghiệm của phương trình là: 0; –4

Cách giải trên đúng hay sai? Nếu sai thì sai ở bước nào?

HOCMAI.VN

Trang 9

C. Sai ở bước 2 D Sai ở bước 3

Lời giải

Chọn D

Vì phương trình  2 là phương trình hệ quả nên ta cần thay nghiệm x0 ; x 4 vào phương trình  1 để thử lại

Câu 34: Khi giải phương trình x2  5 2 x  1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau:

 1 để thử lại

Câu 35: Khi giải phương trình x 2 2x3 1 , một học sinh tiến hành theo các bước sau:

A Sai ở bước 1 B Sai ở bước 2

Trang 10

Bước 4:Vậy phương trình có tập nghiệm là:T  3; 4

Cách giải trên sai từ bước nào?

Lời giải

Chọn B

Vì biến đổi tương đương mà chưa đặt điều kiên

Câu 37: Khi giải phương trình 5 4

03



Bước 3:    x 5 x 4

Bước 4:Vậy phương trình có tập nghiệm là:T  5; 4

Lời giải

Chọn B

Vì biến đổi tương đương mà chưa đặt điều kiên

Câu 38: Khi giải phương trình 1 2 3

x x

Bước 4:Vậy phương trình có tập nghiệm là:T   2

Lời giải

Chọn D

Vì không kiểm tra với điều kiện

Câu 39: Cho phương trình: 2x2 –x0 1 Trong các phương trình sau, phương trình nào không phải

là hệ quả của phương trình  1 ?

A 2 0

1

x x

Trang 11

C mọi x đều là nghiệm D.có nghiệm duy nhất

Trang 12

Ta có: x x  x1 0

1

x x





   

 phương trình vô nghiệm

Câu 48: Tập nghiệm của phương trình  2 

Câu 49: Cho phương trình x1(x2)0 1 và x x  1 1 x1 2

Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau là:

A  1 và  2 tương đương B  2 là phương trình hệ quả của  1

C  1 là phương trình hệ quả của  2 D. Cả A, B, C đều đúng





  2  x 1.Vậy  1 là phương trình hệ quả của  2

Câu 50: Cho phương trình 2

A  1 và  2 tương đương B  2 là phương trình hệ quả của  1

C  1 là phương trình hệ quả của  2 D. Cả A, B, C đều đúng

Trang 13

PHƯƠNG TRÌNH

HỆ PHƯƠNG TRÌNH

§ 2 Phương trình bậc nhất một ẩn



Giải và biện luận phương trình ax b   0 ax b ( )i

b ( )i nghiệm đúng với mọi x.

Bài toán tìm tham số trong phương trình bậc nhất ax b  0 ( )ii

 Để phương trình ( )ii có nghiệm duy nhất  a 0.

 Để phương trình ( )ii có tập nghiệm là (vô số nghiệm) 0

0

a b

 

   

 Để phương trình ( )ii có nghiệm  có nghiệm duy nhất hoặc có tập nghiệm là

0 0 0

a a b

Bước 2 Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét 2 trường hợp:

 Trường hợp 1: a 0, ta giải và biện luận ax b  0.

 Trường hợp 2: a 0. Ta lập 2

   Nếu   0 thì ( )i vô nghiệm

Bước 3 Kết luận

Trang 14

 Phương trình ( )i có nghiệm 0

0

a b

Câu 1 Cho phương trình ax b 0 Chọn mệnh đề đúng:

A Nếu phương trình có nghiệm thì a khác 0

B Nếu phương trình vô nghiệm thì a0

C Nếu phương trình vô nghiệm thì b0

D Nếu phương trình có nghiệm thì b khác 0

Lời giải Chọn B

Nếu a0 thì phương trình có nghiệm x b

a

  Nếu a0 và b0 thì phương trình có vô số nghiệm

Nếu a0 và b0 thì phương trình có vô nghiệm

Bởi vậy chọn B

a b

Với a0 để phương trình có nghiệm duy nhất khi 0

A Có 2 nghiệm trái dấu B Có 2nghiệm âm phân biệt

C Có 2 nghiệm dương phân biệt D Vô nghiệm

Lời giải Chọn C

Phương trình có nghiệm khi m0

Bởi vậy chọn C

Câu 5 Cho phương trình ax2bx c 0 1 Hãy chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

HOCMAI.VN

Hệ thống giáo dục HỌC MÃI Tổng đài tư vấn: 1900 6933

Trang 15

A Nếu P0 thì  1 có 2 nghiệm trái dấu.

B Nếu P0 và S0 thì  1 có 2 nghiệm

C Nếu P0và S0 và  0 thì  1 có 2 nghiệm âm

D Nếu P0và S0 và  0 thì  1 có 2 nghiệm dương

A  0 và P0 B  0và P0 và S0

C  0và P0 và S0 D  0và S0

Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi

000

S P

3 1 x  2 5 x 2 30 Hãy chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A Phương trình vô nghiệm B Phương trình có2 nghiệm dương

C Phương trình có 2 nghiệm trái dấu D Phương trình có 2 nghiệm âm

Ta có: P 2 30 nên pt có 2 nghiệm trái dấu

Câu 8 Hai số 1 2 và 1 2 là các nghiệm của phương trình:

A x2– 2 –1 0 x  B x22 –1 0x  C x22x 1 0 D x2– 2x 1 0

Lời giải Chọn A

Ta có: 2

1

S P

Câu 9 2 và 3 là hai nghiệm của phương trình :

6

S P

Trang 16



  



Bởi vậy chọn D

Câu 11 Câu nào sau đây sai ?

Xét đáp án A : Khi m2 phương trình có dạng 0.x 0 0 có nghiêm vô số nghiệm

Nên chọn A

Câu 12 Khẳng định đúng nhất trong các khẳng định sau là :

A Phương trình: 3x 5 0 có nghiệm là 5

3

x 

B Phương trình: 0x 7 0 vô nghiệm

C Phương trình : 0x 0 0 có tập nghiệm

D Cả a, b, c đều đúng

Lời giải Chọn D

Phương trình: 3x 5 0 có nghiệm là 5

3

x  Phương trình: 0x 7 0 vô nghiệm

Phương trình : 0x 0 0 có tập nghiệm

Nên chọn D

Câu 13 Phương trình : a– 3x b 2 vô nghiệm với giá tri , a b là :

A a3, b tuỳ ý B a tuỳ ý, b2 C a3, b2 D a3, b2

Ta có: a– 3x b 2a– 3x 2 b

Phương trình vô nghiệm khi 3

2

a b





 



Câu 14 Cho phương trình :x27 – 260 0x   1 Biết rằng  1 có nghiệmx1 13 Hỏi x2 bằng bao

nhiêu :

Ta có: x1x2  7 x2     7 x1 20

Câu 15 Phương trình m2 – 4m3xm2– 3m2 có nghiệm duy nhất khi:

A m1 B m3 C m1và m3 D m1và m3

Lời giải HOCMAI.VN

Trang 17

Chọn C

Phương trình có nghiệm khi m2 – 4m30 1

3

m m





  



Câu 16 Phương trình m2 – 2m x m2 – 3m2 có nghiệm khi:

A m0 B m2 C m0và m2 D.m0

Phương trình có nghiệm khi 2

0– 2

2

m m





  



Câu 17 Tìm m để phương trình m2 – 4xm m 2 có tập nghiệm là :

A m2 B m 2 C m0 D m 2 và m2

Phương trình có vô số nghiệm khi

Câu 18 Phương trình m2 – 3m2xm24m 5 0 có tập nghiệm là khi:

A m 2 B m 5 C m1 D Không tồn tại m

Phương trình có vô số nghiệm khi

2 2

Câu 19 Phương trình m2 – 5m6xm2 – 2m vô nghiệm khi:

A m1 B m6 C m2 D m3

Phương trình có vô nghiệm khi

2 2

m m





  



Bởi vậy chọn A

Câu 21 Điều kiện để phương trình (m x m  3) m x(  2) 6 vô nghiệm là:

A m2 hoặc m3 B m2 và m3 C m2 hoặc m3 D m2 hoặc m3

HOCMAI.VN

Trang 18

Ta có m x m   3 m x  2 6 2

0.x m 5m 6

    Phương trình vô nghiệm khi 2

3

m m





  



Câu 22 Phương trìnhm–1x2+3x–10 Phương trình có nghiệm khi:

Với m1 ta được phương trình 3 1 0 1

3

x   x Với m1 Phương trình có nghiệm khi 2   5

4

Câu 23 Cho phương trình x22m2x– 2 –1 0m   1 Với giá trị nào của m thì phương trình

 1 có nghiệm:

A m 5 hoặc m 1 B m 5 hoặc m 1

C    5 m 1 D m1 hoặc m5

Phương trình có nghiệm khi  2

 



   



Câu 24 Cho phương trình mx2 – 2m– 2xm– 3 0 Khẳng định nào sau đây là sai:

A Nếu m4 thì phương trình vô nghiệm

B Nếu 0 m 4 thì phương trình có nghiệm: x m 2 4 m

Với m0 ta được phương trình 4x 3 0 3

4

x

  Với m0 ta có  2  

mx  m x  m có 2 nghiệm phân biệt?

A m4 B m4 C m4 và m0 D m0

Phương trình có 2 nghiệm phân biệt khi

m m

Trang 19

Phương trình có 3 nghiệm phân biệt khi 2

m

   Bởi vậy chọn D

m x  m x m   1 Với giá trị nào sau đây của m thì

phương trình  1 có nghiệm kép?

Phương trình có nghiệm kép khi

m

  

2 x  1 x mx1 có nghiệm duy nhất:

Với m2 phương trình có nghiệm duy nhất khi

2

m m

m

Câu 29 Để hai đồ thị y  x2 2x3 và yx2m có hai điểm chung thì:

A m 3,5 B m 3,5 C m 3,5 D m 3,5

2

m

   Bởi vậy chọn D

Câu 30 Nghiệm của phương trình x2– 3x 5 0 có thể xem là hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm

số:

A yx2và y  3x 5 B yx2và y  3x 5

C yx2và y3x5 D yx2và y3x5

HOCMAI.VN

Trang 20

Ta có: x2– 3x5 0 x23x 5

x  mx m  có 2 nghiệm âm phân biệt:

A m0 B m0 C m0 D m0

Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt khi và chỉ khi

Câu 32 Gọi x x là các nghiệm của phương trình 1, 2 x2– 3 –1 0x  Ta có tổng 2 2

1 2

x x bằng:

Ta có: x1x2 3;x x1 2  1 2 2  2

1 2 1 2 2 1 2 11

Câu 33 Gọi x x là 1, 2 2 nghiệm của phương trình 2x2– 4 –1 0x  Khi đó, giá trị của T  x1x2 là:

Câu 34 Nếu biết các nghiệm của phương trình: 2

Gọi x x1, 2 là nghiệm của x2  px q 0

Gọi x x3, 4 là nghiệm của x2 mx n 0

Khi đó x1x2  p, x3x4  m, x x3 4 n

Theo yêu cầu ta có

3

1 3 3

Câu 35 Phương trình :3m4x 1 2x2m– 3có nghiệm có nghiệm duy nhất, với giá trị của m

Ta có: 3m4x 1 2x2m– 33m10x2m7

Phương trình có nghiệm có nghiệm duy nhất khi 3 10 0 10

3

m    m Bởi vậy chọn C

HOCMAI.VN

Trang 21

Câu 36 Tìm m để phương trình : m2 – 2 x  1 x 2 vô nghiệm với giá trị của m là :

A.m  0 B.m  1 C.m  2 D m   3

m m

 

 

 



Câu 37 Để phương trình m2x–14x5m4 có nghiệm âm, giá trị thích hợp cho tham số m là :

A m–4 haym–2 B – 4 m –2 hay– 1 m 2

C m–2 haym 2 D m–4 haym–1

4 0

04

Câu 38 Điều kiện cho tham số m để phương trình m1x m 2 có nghiệm âm là :

A m1 B m1 C 1 m 2 D m2

Phương trình có nghiệm âm khi 2 0

1

m m

 

   1 m 2 Bởi vậy chọn C

Câu 39 Cho phương trình :m x3  mx  m2–m Để phương trình có vô số nghiệm, giá trị của tham

số m là :

A m0 hay m1 B m0 hay m 1

C m 1 hay m1 D Không có giá trị nào của m

00

m m





  



Câu 40 Cho phương trình bậc hai :x2– 2m6xm2 0 Với giá trị nào của m thì phương trình có

nghiệm kép và tìm nghiệm kép đó ?

A m –3 , x1 x2 3 B m–3, x1x2 –3

C m3, x1x2 3 D m 3, x1x2 –3

Ta có:  2 2

         m 3 x1 x2 3 Bởi vậy chọn A

m x m x m  Với giá trị nào của m thì

phương trình có nghiệm kép ?

HOCMAI.VN

Trang 22

phương trình có nghiệm kép khi

m

 

m x  m xm  vô nghiệm, với giá trị của m là

A m9 B m9 C m9 D m9 và m0

Với m0 phương trình thu được   6x 5 0 suy ra phương trình này có nghiệm

Với m0 phương trình vô nghiệm khi  2  

m m m     m 9 0 m 9 Bởi vậy chọn A

Câu 43 Giả sử x1 và x2 là hai nghiệm của phương trình :x23 –10 0x  Giá trị của tổng

Câu 44 Cho phương trình :x2– 2a x –1 –1 0  Khi tổng các nghiệm và tổng bình phương các

nghiệm của phương trình bằng nhau thì giá trị của tham số a bằng :

A 1

2

2–

a haya–2

a a

Câu 45 Khi hai phương trình: 2

1 0

x ax  và x2  x a 0 có nghiệm chung, thì giá trị thích hợp

của tham số a là:

A a2 B a–2 C a1 D a–1

Xét hệ :

2 2

1 0 0

a

x x a x





      12

x a

Trang 23

Câu 46 Có bao nhiêu giá trị của a để hai phương trình: 2

1 0

x ax  và x2– – 0x a  có một nghiệm chung?

Chọn D

Ta có:

2 2

a

x x a x

 



       21

x a

 



  



Câu 47 Nếu a b c d, , , là các số khác 0 , biết c và d là nghiệm của phương trình 2

c và d là nghiệm của phương trình 2

0

 

12

Câu 48 Cho phương trình x2px q 0, trong đó p0, q0 Nếu hiệu các nghiệm của phương

trình là 1 Thế thì p bằng:

A 4q1 B 4q1 C  4q1 D Một đáp số khác

Gọi x x1, 2 là nghiệm của 2

Câu 49 Cho hai phương trình: x2 – 2mx 1 0 và x2 – 2x m 0 Có hai giá trị của m để phương

trình này có một nghiệm là nghịch đảo của một nghiệm của phương trình kiA Tổng hai giá trị

ấy gần nhất với hai số nào dưới đây?

Gọi x x1; 2 là nghiệm của phương trình x2– 2mx 1 0 khi đó x1x2 2m

Gọi x x3; 4 là nghiệm của phương trình x2 – 2x m 0 khi đó x3x4 2

Ta có:

1 3

2 4

1

x x

Trang 24

Câu 50 Số nguyên k nhỏ nhất sao cho phương trình : 2x kx – 4 – x2 6 0 vô nghiệm là :

A k –1 B k 1 C k2 D k4

Ta có: 2x kx – 4 – x2 6 0   2

2k 1 x 8x 6 0

     phương trình : 2x kx – 4 – x2  6 0 vô nghiệm khi

k k

Trang 25

— Đờ̉ xác định sụ́ nghiợ̀m của ( ),  ta dựa vào sụ́ nghiợ̀m của ( )  và dṍu của chúng, cụ thờ̉:

 Đờ̉ ( )  vụ nghiợ̀m

( ) có 2 nghiệm âm

 Đờ̉ ( )  cú 1 nghiợ̀m    

  ( ) có nghiệm kép t 1 t 2 0  ( ) có 1 nghiệm bằng 0, nghiệm còn lại âm

 Đờ̉ ( )  cú 2 nghiợ̀m phõn biợ̀t   

 



( ) có nghiệm kép dương ( ) có 2 nghiệm trái dấu

 Đờ̉ ( )  cú 3 nghiợ̀m   ( ) cú 1 nghiợ̀m bằng 0 và nghiợ̀m cũn lại dương

 Đờ̉ ( )  cú 4 nghiợ̀m   ( ) cú 2 nghiợ̀m dương phõn biợ̀t

Mụ̣t sụ́ dạng phương trỡnh bọ̃c bụ́n quy vờ̀ bọ̃c hai

 Loại 1. 4 3 2

0

ax bx cx dx e  với

2 0.

Trang 26

  Phương pháp giải: Tạo 2 2

A B bằng cách thêm ở vế phải 1 biểu thức để tạo ra dạng bình phương:

hai vế của phương trình (2) một lượng: 2 2 2

 Lưu ý: Với sự hổ trợ của casio, ta hoàn toàn có thể giải được phương trình bậc bốn bằng

phương pháp tách nhân tử Tức sử dụng chức năng table của casio để tìm nhân tử bậc hai, sau đó lấy bậc bốn chia cho nhân tử bậc hai, thu được bậc hai Khi đó bậc bốn được viết lại thành tích của 2 bậc hai

Phân tích phương trình bậc ba bằng Sơ đồ Hoocner

Khi gặp bài toán chứa tham số trong phương trình bậc ba, ta thường dùng nguyên tắc nhẩm nghiệm sau đó chia Hoocner

— Nguyên tắc nhẩm nghiệm:

 Nếu tổng các hệ số bằng 0 thì phương trình sẽ có 1 nghiệm x 1.

 Nếu tổng các hệ số bậc chẵn bằng tổng các hệ số bậc lẻ thì PT có 1 nghiệm x  1.

 Nếu phương trình chứa tham số, ta sẽ chọn nghiệm x sao cho triệt tiêu đi tham số m và

thử lại tính đúng sai.

— Chia Hoocner: đầu rơi – nhân tới – cộng chéo

1

b a

x có nghiệm duy nhất khi:

A a 0 B a 0 C a 0và b 0 D a b 0

Hướng dẫn giải Chọn C

Điều kiện: x 1

1

b a

Phương trình 1 có nghiệm duy nhất

Phương trình 2 có nghiệm duy nhất khác 1

0

1

a

b a a

0

a

b a a

00

Trang 27

Hướng dẫn giải Chọn C

Điều kiện: x 1

Phương trình 2 3 3

x x

2

2x 5x 3 0

132

Phương trình 1 thành

21

Phương trình 1 có nghiệm duy nhất

Phương trình 2 có nghiệm duy nhất khác 1 và 1

HOCMAI.VN

Trang 28

21

m m m m m

022

01

Phương trình 2 có nghiệm duy nhất khác 1hoặc phương trình 2 có 2 nghiệm phân biệt

có một nghiệm bằng 1

a a a

Với a 2 2 2 phương trình có nghiệm là x 2 2

Với a 1 phương trình có nghiệm là 0

Định dạng
Số trang	56
Dung lượng	6,82 MB