Viết phương trình mặt phẳng Q song song với mặt phẳng P và cắt mặt cầu S theo giao tuyến là ñường tròn có diện tích là 9π.. Người ñó bắn hai viên ñạn một cách ñộc lập.[r]
Trang 1SỞ GD & ðT BẮC GIANG
TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC GIANG
(ðề thi gồm có 01 trang)
ðỀ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN I Năm học 2012 – 2013
MÔN TOÁN - KHỐI B
Thời gian làm bài: 180 phút
I- PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7 ñiểm )
Câu I (2,0 ñiểm) Cho hàm số 2 1
1
x y x
−
=
− ( 1 )
1 Khảo sát và vẽ ñồ thị (C) của hàm số (1)
2 Gọi I là giao ñiểm của 2 tiệm cận; M là ñiểm bất kỳ trên (C), tiếp tuyến của (C) tại M cắt các tiệm cận tại A, B Chứng minh diện tích tam giác IAB không ñổi khi M chạy trên (C)
Câu II (2,0 ñiểm)
1 Giải phương trình: 1 3cos+ x+cos 2x−2cos x3 =4 sin sin 2x x
2 Giải phương trình:
1+ 1−x2. (1+x)3 − (1−x)3= +2 1−x2
Câu III (1,0 ñiểm) Tìm nguyên hàm của hàm số
2 cos
8 ( )
sin 2 cos 2 2
x
f x
π
+
=
Câu IV (1,0 ñiểm) Cho lăng trụ tam giác ABC.A1B1C1 có các mặt bên là các hình vuông cạnh a Gọi D, E, F lần lượt là trung ñiểm của các cạnh BC, C1A1, C1B1 Tính thể tích tứ diện ABC1A1 và khoảng cách giữa 2 ñường thẳng DE, A1F theo a
Câu V (1,0 ñiểm) Cho 3 số thực a,b,c thoả mãn: 2 2 2
1
a +b +c = Chứng minh rằng
3
II PHẦN RIÊNG(3 ñiểm) Thí sinh chỉ ñược chọn một trong hai phần A hoặc B
A Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 ñiểm )
1 Trong mặt phẳng Oxy cho hình vuông có một ñỉnh là (- 4; 8), một ñường chéo có phương trình: 7x – y + 8 = 0 Viết phương trình các cạnh của hình vuông
2 Trong không gian Oxyz cho tam giác ABC vuông cân có BA = BC Biết toạ ñộ các ñiểm A(5;3;-1), C(2;3;-4) và ñiểm B nằm trong mặt phẳng (P): x + y – z – 6 = 0 Tìm toạ ñộ ñiểm B
Câu VII.a (1,0ñiểm ) Giải bất phương trình 2 2 1 2 2 1 4
x − x+ x− x−
−
B Theo chương trình nâng cao
Câu VI.b (2,0 ñiểm )
1 Trong mặt phẳng Oxy cho hình bình hành ABCD có diện tích bằng 4 Biết A(1;0), B(0;2)
và giao ñiểm I của 2 ñường chéo nằm trên ñường thẳng y = x Tìm toạ ñộ ñỉnh C và D
2 Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) có phương trình x2+y2+z2−2x+4y−6z= và 0 mặt phẳng (P): 2x+2y− +z 17= Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt 0 phẳng (P) và cắt mặt cầu (S) theo giao tuyến là ñường tròn có diện tích là 9π
Câu VII.b (1,0 ñiểm )
Xác suất bắn trúng mục tiêu của một vận ñộng viên là 0,6 Người ñó bắn hai viên ñạn một cách ñộc lập Tính xác suất ñể người ñó bắn trúng mục tiêu một viên và bắn trượt mục tiêu một viên
………Hết………
Thí sinh không ñược sử dụng tài liệu cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh
Số báo danh………Lớp………
Trang 2ðÁP ÁN ðÈ THI THỬ ðẠI HỌC LẦN I
MÔN TOÁN – KHỐI B
I 1
+ TXð
+ Sự biến thiên
+ Bảng biến thiên
+ ðồ thị
0.5ñ 0.25ñ 0.25ñ
I 2
+ Gọi ;2 1
1
a
M a
a
−
(a ≠1) + Tiếp tuyến của (C) tai M:
( )2( )
1 1
a
a a
−
−
+ Giả sử 1; 2
1
a A a
−
, B(2a −1; 2)
+ Diện tích tam giác IAB là 1 1 2 2 2 1 2
a
a
−
0.25ñ
0.25ñ
0.5ñ
II 1
1 3cos+ x+cos 2x−2 cos 3x=4 sin sin 2x x
1 3cosx cos 2x 2 cos(2x x) 4sin sin 2x x
1 cosx cox x2 0
2 2 3
π π
= +
= ± +
ℤ
Kết luận……
0.25ñ
0.5ñ
0.25ñ
II 2
ðK: 1− ≤ ≤ ðặt x 1 u= 1+ ; x v= 1− ( ,x u v ≥0)
Ta có hệ:
2 2
3 3
2
u v
Ta có:
2 2
2
2 2
1
2
u v
u v
0.25ñ
0.25ñ
0.5ñ
III
+ Biến ñổi
( )
dx
2
cos 2
ln 1 sin(2 ) cot(
3
x
dx
π
0.5ñ
0.5ñ
Trang 3IV
+ Theo gt lăng trụ ñã cho là lăng trụ ñều
1 1 1
3 3 4
ABCA B C
a V
ABC A BACC BB A C
V = V = V
1 1 1
3
3 ABCA B C 12
a V
+ Ta có d(DE,A,F) = d(A1F,(ADE))
Lấy I, J lần lượt là trung ñiểm
AD, A1F => A1F ⊥ (EIJ)
Trong (EIJ) kẻ JK ⊥ IE thì JK = d(A1F;(ADE))
1
17
17
a
d DE A F
0.25ñ
0.25ñ
0.25ñ
0.25ñ
V
Vì a,b,c > 0 và a2+b2+c2= nên a,b,c ∈ (0; 1 ) 1
Ta có
3
a a a a a
a a
3
Xét hàm số: f x( )= − + với ∀x ∈ ( 0;1 ) có: x3 x (0;1) ( ) 2 3
9
Max f x =
2 3 ( ) ( ) ( )
3
f a f b f c
3
a= = =b c
0.25ñ 0.25ñ
0.25ñ
0.25ñ
VI a
1 Giả sử A(-4; 8) => BD: 7x – y + 8 = 0; => AC: x + 7y – 52 = 0
Gọi (d) là ñường thẳng qua A và có vecto pháp tuyến: n=( ; )a b
=> pt (d): ax + by + 4a – 5b = 0
d hợp với ñường thẳng AC một góc 45 => a = 3; b = – 4 0
hoặc a = 4; b = 3 Giả sử AB: 3x – 4y + 44 = 0, AD: 4x + 3y - 8 = 0
Gọi I = AC∩ BD => I 2 186;
25 25
−
=>
96 172
;
25 25
=> BC: 20x + 15y - 180 = 0 ; CD: 15x – 20y + 16 = 0
KL:
0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ
0,25ñ
2 Ta có AC =3 2 , => BA = BC = 3
=> Toạ ñộ B thoả mãn hệ: 2 2 2
6 0
x y z
+ − − =
B(2; 3; -1) hoặc B(3;1;-2)
0,5ñ
0,25ñ
0.25ñ
J I
E
F D
C 1
B1
C
A1
K
Trang 4Bpt ⇔(2+ 3)x2− 2x+(2− 3)x2− 2x ≤ 4
ðặt t=(2+ 3)x2−2x ( t > 0)
Ta có bpt 1 2
t
⇔ −2 3≤ ≤ +t 2 3⇒ −1 2 ≤ ≤ +x 1 2
Kết luận……
0.25ñ
0,25ñ
0,25ñ 0,25ñ
VIb 1 Ta có AB= (-1; 2) =>AB= 5 , pt ñường thẳng AB: 2x + y – 2 = 0
Giả sử I(a;a) => C(2a–1; 2a); D(2a; 2a-2)
ABCD
S = 4 => d(C; AB) = 4
5 =
| 6 4 | 5
a −
⇒
4 3 0
a
a
=
=
=> 5 8; , 8 2;
C D
hoặc C(−1; 0 ,) (D 0; 2− )
0.25ñ
0.5ñ
0.25ñ
2 Mặt cầu (S) có tâm I(1;-2;3) và bán kính R = 14
Từ gt suy ra ñường tròn giao tuyến có bán kính là r = 3
Suy ra k/c từ tâm mặt cầu (S) ñến mp(Q) là d = 5
Mặt phẳng (Q) có phương trình dạng: 2x+2y− + = (z d 0 d ≠17)
Suy ra có hai mặt phẳng (Q) thoả mãn ycbt là: 2x+2y− + +z 6 3 5= 0
2x+2y− + −z 6 3 5= 0
0.25ñ
0.5ñ
0.25ñ
VII b Gọi A là biến cố: “Viên ñầu trúng mục tiêu” , B là biến cố: “ Viên thứ hai trúng mục tiêu” , H
là biến cố: “Một viên trúng mục tiêu và một viên trượt mục tiêu” Khi ñó H =AB∪AB
Suy ra (P H)=P A P B( ) ( )+P A P B( ) ( )
= 0,6.0,4 +0,4.0,6 = 0,48
0.25ñ 0.25ñ
0.5ñ