Với ĐK này bpt đã cho tương đương:.[r]
Trang 1* BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
BÀI 1: Giải bất phương trình:
2
1
GIẢI : điều kiện: -2 < x 18
Ta có:
2
1
2 x x <=> 2 x 4 418 x ( 1 )
Đặt t = 418 x => 2 + x = 20 – t4 , 0 t < 4 20 Bất phương trình ( 1 ) tương đương:
4
4 4
4
t
t
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: -2 < x 2
BÀI 2: Giải bất phương trình: 4 2
1 log x 4 x 3 < 4
1
GIẢI:
Điều kiện:
2 2
3
4
3 0
3 1
x
x x
x x
Bất phương trình đã cho tương đươngvới: 2
> 0
<=>
2
2
> 0 ( 1 ) log4
x x > 0 <=> x < 2 - 2 V x > 2 + 2
log4 ( x – 3 ) > 0 <=> x > 4
* Ta xét các trường hợp:
TH 1: x > 4, bpt ( 1 ) <=> log4
x x > log4 ( x – 3 ) <=> x2 4 x 3 > x – 3 <=> x2 – 4x + 3 > ( x – 3 )2 <=> x > 3 => ta nhận các nghiệm
x > 4
Trang 2TH 2: 2 + 2 < x < 4, log4 x2 4 x 3 > 0 và log4 ( x – 3 ) < 0 => bpt vô nghiệm.
TH 3: 3 < x < 2 + 2, bpt ( 1 ) <=> log4 x2 4 x 3 > log4 ( x – 3 )
<=> x2 4 x 3 > ( x – 3 ) <=> x2 – 4x + 3 > ( x – 3 )2 <=> x > 3, đúng với mọi x thuộc ( 3; 2 + 2)
Vậy tập nghiệm của bất phương trình là: S = ( 3; 2 + 2) ( 4; + )
GIẢI:
<=>
5
5
1
2 5
5
2 5 2
2
2
2
1 5
1
x
x
x
x
Vậy bất phương trình có tập nghiệm S = ( 0;
12
5 )
Trang 3BÀI 4: Giải bất phương trình:
2
1 1
3 3
( 1 )
GIẢI: Điều kiện:
2 2
1
2
3 1
1 0
2
2
x
x x
x
x
2 2
1
2 3
1
3
1 0
3
2
1 0
1 1
x
x
x
Ta xét các trường hợp:
TH 1: -1 < x < 0, bất phương trịnh vô nghiệm vì VT ( 1 ) < 0, VP ( 1 ) > 0
TH 2: 0 < x <
1
2 V 1 <x <
3
2 bấtphương trình nghiệm đúng vì VT ( 1 ) > 0, VP ( 1 ) < 0
TH 3: x >
3
2, bất phương trình ( 1 ) tương đương:
2
2
2
2
<=> x2 -5x > 0 <=> x < 0 V x > 5, kết hợp với điều kiện x >
3
2 ta được: x > 5
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = (0; 1 ) (1; ) 3 5;
Trang 4BÀI 5: Giải bất phương trình:
2
0
GIẢI: ĐK:
2
Với ĐK này bpt đã cho tương đương:
3 3
3
3
3
3
log 4
6
x x
x
x
do x x
x – 6 > 0 <=> x > 6; log3(x + 1) > 0 <=> x + 1 > 1 <=> x > 0, ta xét các trường hợp:
* -1 < x < 0 => x – 6 < 0 và log3(x + 1) < 0 => bpt vô nghiệm
* 0 < x < 6 => x – 6 < 0 và log3(x + 1) > 0 => bpt nghiệm đúng
* x > 6 => x – 6 > 0 và log3(x + 1) > 0 => bpt vô nghiệm
Vậy tập nghiệm của bpt là: S = ( 0; 6 )
BÀI 6: Giải bất phương trình:
2
log
x
x x
( 1 )
GIẢI: ĐK:
1 2 1 2
x x x
Với đk này, ta xét các trường hợp:
TH 1: x > 1 và x 2, bpt ( 1 ) <=>
2
x
x
Trang 52 2
TH 2:
1
2 < x < 1, bpt ( 1 ) tương đương với:
2
2
1
2
x
x
Vậy tập nghiệm của bpt đã cho là: 1 ; 1 3 1;2 2;3 7
2
BÀI 7: Giải bất phương trình:
2 2
2
4
x x
GIẢI:
2 2
2
4
x x
2
2
Bpt ( 1 )
Trang 6Bpt ( 2 )
x x
x
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S =
BÀI 8: Giải bất phương trình: 2 2 2
GIẢI: Đặt t = log2x ( t 3 ), bpt được viết:
2
2
2
3 0
3 0
1
t t
t
t
Với t 1,ta có: 2
1
2
x x
Với 3< t < 4, ta có: 3< log2x <4 <=> 8 < x < 16
Vậy tập nghiệm của bất phương trình đã cho là: S = ( 0; 1 8;16
2
BÀI 9: Giải bất phương trình:
2
2 log
2
( 1 )
Trang 7GIẢI: ĐK:
2
2
2
x
x x
x x
Ta xét 2 trường hợp sau:
Bpt ( 1 ) <=> x2 -10x + 22< 1 <=> x2 – 10x + 21 < 0 <=> 3 < x < 7, kết hợp điều kiện ( * ) ta được: 2 < x < 5 - 3
TH 2: x > 5 + 3 => log2 1
2
x
Bpt ( 1 ) <=> x2 -10x + 22 > 1 <=> x2 -10x + 21 > 0 <=> x < 3 V x > 7, kết hợp điều kiện ( * ) ta được: x > 7
Vậy bất phương trình đã cho có nghiệm: 2 < x < 5 - 3 V x > 7
BÀI 10: Giải bất phương trình: logx1 x2 x 6 2 4 *
GIẢI: ĐK:
2
x 2 + x – 6 > 0 <=> x < -3 V x > 2
Ta xét 3 trường hợp sau:
TH 1: - 1 < x < 0 => x 2 + x – 6 < 0 và 0 < x + 1 < 1, lúc đó bpt (*)<=>- (x 2 + x – 6) ( x +1)2
<=> 2x 2 + 3x – 50 <=> x -
5
2 V x 1 (VN )
TH 2: 0 < x <2 => x 2 + x – 6 < 0 và x + 1 > 1, , lúc đó bpt (*)<=>- (x 2 + x – 6) ( x +1)2
<=> 2x 2 + 3x – 5 0 <=> -
5
2 x 1 => 0 < x 1
TH 3: x > 2, bpt (*)<=> x 2 + x – 6 ( x +1)2 <=> x - 7 ( VN )
Vậy bất phương trình có nghiệm: 0 < x 1
BÀI 11: Giải bất phương trình:
2
log
x
x x
HD: Giải tương tự bài 6, với đk: x >
5
4 và x 2
Trang 8Nếu: x > 2 => 2 < x 5
Nếu:
5
4< x <2 => 6 1 x < 2
Vậy: 6 1 x < 2 V 2 < x 5
BÀI 12: Giải bất phương trình: 2 2
1
2 x x x ( 1 )
GIẢI: ĐK:
2
Bpt ( 1 ) <=>
2
( 2 )
Ta xét 2 trường hợp:
TH 1: x < 0, bpt ( 2 ) <=> - ( 2x – 1 ) x 2 – 2x <=> -1 x < 0
TH 2: x > 2, bpt ( 2 ) <=> 2x – 1 x 2 – 2x <=> x 2 – 4x + 1 0 <=> 2 < x 2 + 3
Vậy bất phương trình có nghiệm: -1 x < 0 V 2 < x 2 + 3
BÀI 13: Giải bất phương trình:
( 1 )
GIẢI: ĐK: x > 0 và 6 + x – x 2 0 => 0 < x 3 , bpt ( 1 ) tương đương với:
2
2 2
2
1
x
Xét: 0 < x 1, lúc này: log 2 x 0 => x log 2 x 0 => x log 2 x – 5 < 0 => bpt ( 2 ) vô nghiệm Xét: 1 < x 3 => 0 < log 2 x log 2 3
1 < x 3
=> x.log 2 x 3 log 2 3 => x.log 2 x - 5 log 2 27 – 5 < 0, do đó bpt ( 2 ) tương đương:
Trang 9
2
x
5
2 < x 3 Vậy bất phương trình có nghiệm:
5
2 < x 3
BÀI 14: Giải bất phương trình:
2
1
2
HD: đk: x > 3, đưa bpt đã cho về dạng: ( x – 2 ) ( x – 3 ) >
2 3
x x
<=> x 2 – 9 > 1 ĐS: x > 10