Phương pháp ổn định Lyapunov nghiên cứu sự ổn định toàn cục của một số mô hình dịch tễ học

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM NGUYỄN HỮU THẮNG PHƯƠNG PHÁP ỔN ĐỊNH LYAPUNOV NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH TOÀN CỤC CỦA MỘT SỐ MÔ HÌNH DỊCH TỄ HỌC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN HỮU THẮNG

PHƯƠNG PHÁP ỔN ĐỊNH LYAPUNOV NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH TOÀN CỤC CỦA

MỘT SỐ MÔ HÌNH DỊCH TỄ HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN-2020

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

NGUYỄN HỮU THẮNG

PHƯƠNG PHÁP ỔN ĐỊNH LYAPUNOV NGHIÊN CỨU SỰ ỔN ĐỊNH TOÀN CỤC CỦA

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực

và không trùng lặp với đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc

Thái Nguyên, tháng 11 năm 2020

Người viết luận văn

Nguyễn Hữu Thắng

Mặc dù đã rất cố gắng để luận văn đượ c hoàn thiện một cách tốt nhất nhưng

do điều kiện thời gian và năng lực của bản thân còn hạn chế, luận văn này không tránh khỏi những thiếu sót Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô

và các bạn để luận văn này được hoàn thiện hơn

MỤC LỤC

Lời cảm ơn i

Lời cam đoan ii

Mục lục iii

Danh sách hình vẽ iv

Mở đầu 1

1 Kiến thức chu ẩn bị 4

1.1 Bài toán giá trị ban đầu 4

1.2 Định lý ổn định Lyapunov 7

1.3 Phương pháp Ru nge-Kutta bốn nấc kinh điển 9

1.4 Một số mô hình dịch tễ học cổ điển 10

2 Tính chất ổn định toàn cục của các mô hình dịch tễ SIR, SIRS, SIS và S I với các biến điều khiển phản hồi 13

2.1 Các mô hình SIR và SIRS 13

2.1.1 Phân tích ổn định 14

2.1.2 Các mô phỏng số 17

2.2 Mô hình SIS cổ điển 19

2.2.1 Phân tích ổn định 19

2.2.2 Các mô phỏng số 20

2.3 Mô hình SIS với tỷ lệ mắc bệnh chuẩn 22

2.3.1 Mô hình toán học 22

2.3.2 Phân tích ổn định 24

2.3.3 Các mô phỏng số 25

2.4 Các mô hình SI với các biến điều khiển phản hồi 27

2.4.1 Mô hình toán học 27

2.4.2 Phân tích ổn định 28

2.4.3 Các mô phỏng số 31

Kết luận chung 33

Tài liệu tham khảo 34

DANH SÁCH HÌNH VẼ

1.1 Sơ đồ lan truyền của mô hình SIS đơn giản 11

2.1 Sơ đồ lan truyền của mô hình SIS đơn giản 14

2.2 Nghiệm của mô hình trong Ví dụ 2.1 18

2.3 Nghiệm của mô hình trong Ví dụ 2.2 18

2.4 Sơ đồ lan truyền của mô hình SIS (2.14) 19

2.5 Nghiệm của mô hình trong Ví dụ 2.3 21

2.6 Nghiệm của mô hình trong Ví dụ 2.4 22

2.7 Nghiệm của mô hình (2.19) trong Ví dụ 2.5 26

2.8 Nghiệm của mô hình (2.19) trong Ví dụ 2.6 26

2.9 Nghiệm của mô hình (2.34) với các tham số cho bởi (2.42) 31

2.10 Nghiệm (S, I) của mô hình với điều khiển phản hồi 32

2.11 Nghiệm (u 1, u 2) của mô hình với điều khiển phản hồi 32

MỞ ĐẦU

Các phương trình vi phân đạo hàm thường có một vai trò nổi bật trong

cả lý thuyết lẫn ứng dụng Chúng thường được sử dụng để mô hình hóa mộtcách hiệu quả nhiều hiện tượng và quá trình quan trọng nảy sinh trong thếgiới thực Một cách tổng quát, một phương trình vi phân thường có thể viếtdưới dạng

trong đó y˙ ký hiệu cho đạo hàm theo biến t (biến thời gian) của hàm y(t),

I ⊂R, U ⊂ Rn là các tập mở, hàm vế phải f : I × U → Rn được giả thiết làhàm trơn, tức là khả vi liên tục Việc nghiên cứu các phương trình vi phânthường nảy sinh trong các lĩnh vực ứng dụng có một vai trò đặc biệt quantrọng Chủ đề này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà nghiên cứu

ở nhiều lĩnh vực khác nhau trong suốt nhiều năm qua, chẳng hạn, thiết lập

mô hình, nghiên cứu định tính và các lời giải số

Một trong những ứng dụng nổi bật và rất quan trọng của phương trình

vi phân thường là để mô hình toán học các bệnh truyền nhiễm trong dịch tễhọc (epidemic models) Như chúng ta đã biết, dịch tễ học là một môn khoahọc nghiên cứu tình trạng sức khỏe, bệnh tật và các yếu tố liên quan ở cấp

độ dân số Dịch tễ học là khoa học nền tảng của y tế công cộng với vai trò

cơ bản là nâng cao sức khỏe cộng đồng Một số thành tựu quan trọng củadịch tễ học có thể kể đến như thanh toán bệnh đậu mùa, điều trị nhiễm độcMethyl thủy ngân, điều trị bệnh sốt thấp tim và bệnh thấp tim, kiểm soátlây truyền và phòng ngừa các bệnh truyền nhiễm,

Trong toán học, sự lan truyền của nhiều bệnh truyền nhiễm, tiêu biểunhư sởi, quai bị, rubella, thủy đậu, có thể được mô hình thông qua các

hệ phương trình vi phân thường Việc thiết lập mô hình toán học và nghiêncứu các tính chất của chúng giúp chúng ta hiểu rõ các cơ chế lây lan củabệnh dịch, từ đó đề xuất các chính sách hiệu quả để phòng ngừa, kiểm soát

và điều trị bệnh tật Nói riêng, việc nghiên cứu tính chất ổn định tiệm cậntoàn cục của các mô hình dịch tễ học có vai trò đặc biệt quan trọng trongthực tế Bài toán này đã thu hút được sự quan tâm của nhiều nhà toán học,

kỹ thuật, sinh học, dịch tễ học trong suốt nhiều thập kỷ qua Một trongnhững cách tiếp cận thành công nhất tới bài toán này là phương pháp ổnđịnh Lyapunov Phương pháp này nghiên cứu sự ổn định của các hệ độnglực dựa trên việc xác định một hàm số phù hợp, được gọi là hàm Lyapunov.Cho tới nay, sự ổn định của rất nhiều các hệ phương trình vi phân quantrọng nảy sinh trong các lĩnh vực ứng dụng nói chung và các mô hình dịch

tễ học nói riêng đã được thiết lập thành công dựa trên phương pháp ổn địnhLyapunov Các kết quả thu được là rất quan trọng trong cả lý thuyết địnhtính của phương trình vi phân cũng như trong khía cạnh ứng dụng

Chính vì những lý do trên, đề tài "Phương pháp ổn định Lyapunov nghiêncứu sự ổn định toàn cục của một số mô hình dịch tễ học" được thực hiện vớimục tiêu tìm hiểu việc sử dụng phương pháp ổn định Lyapunov cho một số

mô hình dịch tễ học Các ý nghĩa thực tế thu được từ việc thiết lập ổn địnhcho các mô hình này cũng được nghiên cứu và tìm hiểu Ngoài việc tìm hiểu

về mặt lý thuyết, các mô phỏng số cũng được trình bày để minh họa cho cáckết quả lý thuyết

Ngoài phần "Mở đầu", "Kết luận" và "Tài liệu tham khảo", các kết quả

SIRS, SIS và SI với các biến điều khiển phản hồi

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Nội dung của chương này trình bày một số kiến thức chuẩn bị quan trọngbao gồm bài toán giá trị ban đầu đối với phương trình vi phân cấp một, định

lý ổn định Lyapunov, phương pháp Runge-Kutta bốn nấc kinh điển và một

số mô hình dịch tễ học cổ điển Phần trình bày của chương này được dựatrên các tài liệu [1, 3, 7, 9, 10, 11]

(t, y)trong đótlà một vô hướng thực (real scalar) và giả sử rằng f : D → Rn

là một hàm trơn, tức là khả vi liên tục Một phương trình vi phân thường làmột phương trình có dạng

I ⊂R nếu y là một hàm khả vi liên tục xác định trên I, (t, y(t)) ∈ D, t ∈ I

và y thỏa mãn (1.1) trên I

Khi một phương trình vi phân được sử dụng để mô tả sự tiến hóa củamột biến trạng thái trong một quá trình vật lý, một bài toán cơ bản và quantrọng là xác định các giá trị tương lai của biến trạng thái từ giá trị ban đầucủa nó Trong trường hợp này, mô hình toán học được cho bởi cặp phươngtrình

˙

y = f (t, y), y(t0) = y0, (1.3)trong đó phương trình thứ hai được gọi là điều kiện ban đầu Bài toán (1.3)còn được gọi là bài toán giá trị ban đầu, hoặc bài toán Cauchy

Các vấn đề cơ bản của lý thuyết chung về phương trình vi phân là sự tồntại, tính duy nhất và sự phụ thuộc liên tục vào dữ liệu đầu của bài toán giátrị ban đầu

Mệnh đề 1.1 Bài toán (1.3) là tương đương với phương trình tích phân

|f (t, y) − f (t, ˆy| ≤ L|y − ˆy|, ∀(t, y), (t, ˆy) ∈ D

3 Tổng quát hơn, nếu yˆ thỏa mãn phương trình với vế phải có nhiễu

t, khi đó bài toán (1.3) trở thành

dy

dt = f (y), y(t0) = y0

và ta gọi (1.3) là hệ ô-tô-nôm hoặc dừng

Ví dụ 1.1 Phương trình phân rã tuyến tính

˙

y = λy, y(0) = y0,

có nghiệm duy nhất xác định bởi

y(t) = y0eλt

Ví dụ 1.2 Xét mô hình hai loài bao gồm động vật ăn thịt và con mồi Giả

sử u(t) biểu thị số lượng động vật ăn thịt con mồi tại thời điểm t và v(t) biểuthị số lượng con mồi tại thời điểm t Dưới một số giả thiết hợp lý, sự pháttriển của quần thể được mô tả bởi hệ Lotka-Volterra sau đây

˙u = au − buv, ˙v = −cv + duv,

trong đó a, b, c và d là các hằng số dương Trong trường hợp này, chúng takhông thể tìm được nghiệm chính xác của mô hình Tuy nhiên, chúng ta cóthể tìm được nghiệm xấp xỉ cho mô hình nhờ các phương pháp xấp xỉ bao gồmcác phương pháp giải tích và các phương pháp số.

ta luôn có thể giả thiết rằng y∗ = 0, tức là gốc tọa độ Thật vậy, giả sử

y∗ 6= 0, sử dụng phép đổi biến z(t) = y(t) − y∗ ta thu được

˙z = ˙y = f (z + y∗) = g(z)

Rõ ràng, điểm cân bằng của hệ mới là z∗ = 0

Định nghĩa 1.3 ([11]) Một điểm cân bằng y∗ của (1.1) được gọi là ổn địnhnếu với mỗi  > 0 tồn tại số δ > 0 sao cho mọi nghiệm y(t) của (2.1) vớigiá trị ban đầu y(0) = y0 ∈ Rn với

Định nghĩa 1.4 ([11]) Một điểm cân bằng y∗ được gọi là ổn định tiệm cậnđịa phương nếu nó là ổn định và tồn tại γ > 0 sao cho

khả vi liên tục sao cho

Chứng minh Xem ([11]).

triệt để (radially unbounded)

Về mặt lý thuyết ta có thể chỉ ra sự tồn tại và duy nhất nghiệm của bàitoán giá trị ban đầu nhưng nói chung việc tìm nghiệm chính xác là rất khókhăn và phức tạp, thậm chí là không thể Nói chung việc giải gần đúng bàitoán giá trị ban đầu là hầu như không thể tránh khỏi Vì thế các phươngpháp gần đúng bao gồm phương pháp giải tích và các phương pháp số đượcnhiều nhà toán học quan tâm phát triển

Trong các mô phỏng số của luận văn, chúng tôi sử dụng phương phápRunge-Kutta bốn nấc kinh điểm để giải số bài toán giá trị ban đầu Để giảigần đúng bài toán (1.1), đầu tiên chúng tôi sử dụng lưới điểm

t0 < t1 < t2 < < tN = T,

để rời rạc hóa thời gian [t0, T ] Để đơn giản, ta giả thiết lưới là đều, tức là

tn+1 − tn = h Giả sử yn là xấp xỉ của nghiệm chính xác tại nút tn Phươngpháp xác định như dưới đây được gọi là phương pháp Runge-Kutta bốn nấckinh điển [3]

y1, y2, Các phân tích toán học chỉ ra rằng phương pháp Runge-Kuttabốn nấc kinh điển là chính xác cấp 4 [3].

Trong mục này chúng tôi giới thiệu một số mô hình dịch tễ học cổ điểnbao gồm các mô hình SI, SIR và SIRS

Các bệnh truyền nhiễm như sởi, quai bị, rubella, thủy đậu có thể được

mô hình hóa bằng cách phân loại các cá thể trong cộng đồng tùy theo trạngthái của họ đối với bệnh tật: khỏe mạnh, bị lây nhiễm và miễn dịch Cácbệnh do vi-rút hoặc vi khuẩn gây ra không được mô hình hóa ở cấp độ dân

số mà chỉ gián tiếp thông qua số cá thể bị nhiễm bệnh Các trạng thái bệnh

S, I và R được định nghĩa như sau [1]:

bệnh nhưng có thể bị nhiễm bệnh và trở thành người truyền bệnh

khả năng truyền bệnh cho người khác

hồi phục và những người có miễn dịch vĩnh viễn, hoặc bị cô lập (khôngthể truyền bệnh cho người khác) cho đến khi hồi phục và miễn dịch vĩnhviễn xảy ra

Các mô hình với ba trạng thái này được gọi là các mô hình dịch tễS − I − R

Có một vài biến thể của các mô hình dịch tễ SIR, tùy thuộc vào việc các cáthể phục hồi và phát triển miễn dịch:

1 SI - không có sự hồi phục S → I

3 SIRS - Chỉ có miễn dịch tạm thời S → I → R → S.

Ví dụ 1.3 (Mô hình SIS đơn giản [1, 10])

trong đó α, β là các hằng số dương Mô hình (1.13) được gọi là mô hình dịch

tễ SIS và có thể nói đây là mô hình đơn giản nhất trong dịch tễ toán học

Mô hình (1.13) được liên kết với điều kiện ban đầuS(0) = S0 và I(0) = I0

Ký hiệu N (t) := S(t) + I(t) Từ hệ (1.13) ta nhận được N = 0˙ Điều đó có

nghĩa là tổng quy mô dân số luôn là không đổi và bằng N := S0 + I0

Sơ đồ lan truyền của mô hình (1.13) được mô tả như trong Hình 1.1 dướiđây

Hình 1.1: Sơ đồ lan truyền của mô hình SIS đơn giản.

Ví dụ 1.4 (Mô hình SI đơn giản [1, 10])

Chương 2

Tính chất ổn định toàn cục của các

mô hình dịch tễ SIR, SIRS, SIS và

SI với các biến điều khiển phản hồi

Trong chương này trình bày các hàm Lyapunov cho các mô hình dịch tễSIR, SIRS, SIS và SI, tính chất ổn định toàn cục của các điểm cân bằng.Các kết quả lý thuyết được hỗ trợ bởi các mô phỏng số Phần trình bày củachương này được dựa trên các tài liệu [2, 4, 5, 6, 8, 12]

Dựa trên các giả thiết cổ điển đề xuất trong [2, 4, 5], toàn bộ dân số kíchthước N được chia thành các quần thể con theo ý nghĩa dịch tễ: S-lớp nhạycảm,I-lớp bị nhiễm bệnh, R-lớp được loại bỏ, với kích thướcS, I và R tương

chuyển từ lớp S sang lớp I và sau đó là lớp R Giả thiết rằng sự hồi phục(do điều trị) sẽ kéo theo miễn dịch bền vững hoặc miễn dịch tạm thời Ởtrường hợp sau, sẽ có một số cá thể từ lớp R được chuyển về lớp S Một môhình dựa trên các giả thiết trên được biết đến là mô hình SIR (có sự miễndịch bền vững) hoặc mô hình SIRS (không có sự miễn dịch bền vững) Sơ đồchuyển trạng thái của mô hình được mô tả trong hình 2.1

Hình 2.1: Sơ đồ lan truyền của mô hình SIS đơn giản.

Dựa trên một số giả thiết cần thiết, chúng ta nhận được mô hình vi phândưới đây

Chứng minh Giả sử (S, I) là một điểm cân bằng của hệ (2.1) Khi đó (S, I)

Giải và biện luận hệ trên ta thu được điều phải chứng minh

Để xây dựng hàm Lyapunov cho hệ (2.1), trước hết chúng ta thực hiệnphép đổi biến

N

R∗0, I

ˆδ

Dễ dàng kiểm tra rằng P∗ và I∗ thỏa mãn

Dễ dàng kiểm tra rằng điểm (P∗, I∗) là điểm tới hạn duy nhất của hàm V

và V đạt nhỏ nhất tại điểm (P∗, I∗) Do vậy

Ta thấy V ≤ 0˙ với mọi P, I ≥ 0 Hơn nữa đẳng thức V = 0˙ chỉ xảy ra khi và

chỉ khi P = P∗ Mặt khác, do điểm cân bằng (P∗, I∗) là tập bất biến dương

tiệm cận toàn cục ([9]) ta kết luận được rằng điểm cân bằng (P∗, I∗) là ổnđịnh tiệm cận toàn cục

Định lý 2.2 ([8]) Nếu R0 > 1 thì điểm cân bằng trong E∗ của mô hình(2.1) là ổn định tiệm cận toàn cục.

(P0, 0) với mọi giá trị của tham số Để nghiên cứu tính chất ổn định toàn

P N (1 −

P

P0)

2 − ˆγ(1 − R0)I ≤ 0,

với mọi P, I ≥ 0 Hơn nữa V = 0˙ khi và chỉ khi P = P0 và I = 0 Do vậy,

nhờ định lý ổn định Lyapunov ta kết luận được rằng E0 là ổn định tiệm cậntoàn cục

Định lý 2.3 ([8]) Nếu R0 ≤ 1, thì điểm cân bằng biên (S0, I0) của mô hình(2.1) là ổn định tiệm cận toàn cục

là ổn định tiệm cận toàn cục Nghiệm số thu được từ phương pháp Kutta với h = 10−5 và t ∈ [0, 100] trong trường hợp này được biểu diễn trongHình 2.2 Rõ ràng E∗ là ổn định tiệm cận toàn cục

0 200 400 600 800 1000 1200 1400

E*

Hình 2.2: Nghiệm của mô hình trong Ví dụ 2.1.

Ví dụ 2.2 Xét mô hình (2.1) với các tham số cho bởi

γ = 0.2, α = 0.25, β = 0.2, p = 0.25, σ = 0.1, δ = 0.16, N = 1000

(2.13)Trong ví dụ này R0 = 1.2245 > 1 nên điểm cân bằng E∗ = (1048.3, 162.8) là

ổn định tiệm cận toàn cục Nghiệm số thu được từ phương pháp Runge-Kuttavới h = 10−5 và t ∈ [0, 100] trong trường hợp này được biểu diễn trong Hình2.3 Rõ ràng E∗ là ổn định tiệm cận toàn cục

S

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600

E*

Hình 2.3: Nghiệm của mô hình trong Ví dụ 2.2.

2.2 Mô hình SIS cổ điển

Hình 2.4: Sơ đồ lan truyền của mô hình SIS (2.14).

một điểm cân bằng trong E∗ = (S∗, I∗) xác định bởi

trong đó R0 = βγ/(δ + σ +  − pγ) Điểm cân bằng trong tồn tại nếu R0 > 1

Dễ dàng kiểm tra được rằng

βS

∗I∗

N = γN + (δ − pγ)I

∗ − σS∗ = (δ + σ +  − pγ)I∗ (2.15)Trong định lý dưới đây ta giả sử rằng δ − pγ > 0

cận toàn cục

nên theo định lý ổn định toàn cục ta có điều phải chứng minh.

sinh học Tuy nhiên bằng cách tiếp cận tương tự như trong mục 2.1, bằngphép đổi biến (S, I) → (P, I), trong đó P = S −δ − pγ

Ví dụ 2.3 Xét mô hình (2.14) với các tham số cho bởi

γ = 0.5,  = 0.0001, β = 0.5, p = 0.25, σ = 0.1, δ = 0.1, N = 1000

(2.17)Trong ví dụ này R0 = 3.3289 > 1 nên điểm cân bằng E∗ = (150.2, 4844.8) là

ổn định tiệm cận toàn cục Nghiệm số thu được từ phương pháp Runge-Kuttavới h = 10−5 và t ∈ [0, 100] được biểu diễn trong trường hợp này được biểudiễn trong Hình 2.5 Rõ ràng E∗ là ổn định tiệm cận toàn cục

S

0 500 1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500

5000

E*

Hình 2.5: Nghiệm của mô hình trong Ví dụ 2.3.

Ví dụ 2.4 Xét mô hình (2.14) với các tham số cho bởi

γ = 0.6,  = 0.0001, β = 0.6, p = 0.25, σ = 0.1, δ = 0.1, N = 1000

(2.18)Trong ví dụ này R0 = 7.1856 > 1 nên điểm cân bằng E∗ = (83.5, 5910.4) là

ổn định tiệm cận toàn cục Nghiệm số thu được từ phương pháp Runge-Kuttavới h = 10−5 và t ∈ [0, 100] được biểu diễn trong trường hợp này được biểudiễn trong Hình 2.6 Rõ ràng E∗ là ổn định tiệm cận toàn cục