PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ ANH.[r]
Trang 1PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
NĂM HỌC 2012-2013
Môn Toán
Thời gian làm bài: 150 phút
Ngày thi: 17/4/2013
Câu 1: Cho biểu thức M = ( a
2
+a −2
a n +1 − 3 a n)[(a+2)2− a2
4 a2− 4 −
3
a2− a](nN❑)
a rút gọn M
b b Với a>2 chứng minh rằng 0< M<1
Câu 2: tìm x để: 1) (x2-1)2 = 4x + 1
2) x4 + 2013x2 + 2012x + 2013 = 0
Câu 3 :
1) Cho đa thức: P(x) = (x+2)(x+4)(x+6)(x+8) + 2013 và Q(x) =x2 + 10x + 21
Tìm số dư trong phép chia của P cho Q
2) Cho 0<x<y và 2x2+ 2y2=5xy Tính giá trị của P = 2012 x+2013 y 3 x − 2 y
Câu 4: Cho tam gíc ABC vuông tại A(AC>AB), đường cao AH Trên tia HC lấy D sao
cho HD = HA Đường vuông góc với BC tại D cắt AC tại E M là trung điểm của BE
1) Chứng minh tam giác BEC đồng dạng với tam giác ADC
2) Tính số đo góc AHM
Câu 5: Cho tam giác ABC, qua điểm M trên cạnh AC kẻ các đường thẳng song song với
các cạnh BC, AB và cắt các cạnh AB, AC tại E và F Xác định vị ttrí của điểm M để diện
tích tứ gáic BEMF lớn nhất
LỜI GIẢI Câu 1
a)
b)
Câu 2
1)
2)
Ta có M=(a+2) (a −1)
a n
(a −3) 4 (a − 3)
4 a (a− 1)=
a+2
a n +1
Với a>2⇒ a+2 và an+1>0 Do đó a+2
a n+1>0 (1) với a>2 ⇒a+2<2a và an+1a2 Do đó a+2
a n+1<1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra 0<M<1.
(x2-1)2 = 4x + 1
Cộng 4x2 vào hai vế của phương trình ta có:
(x2-1)2+4x2 = 4x2+4x + 1⇔(x2+1)2-(2x+1)2=0 ⇔ x2-2x=0
x2+2x+2=0
+) với x(x-2)=0 ⇔x=0 hoặc x=2
+) Với x2+2x+2=0⇔(x+1)2+1=0 vô lý
Vậy tập nghiệm của phương trình là S={x=0 ; x=2}
x4 + 2013x2 + 2012x + 2013
⇔x4+x2+1+2012x2+2012x+2012=0
Ta có: x4+x2+1=(x2+1
2)+
3
4>0
Trang 2Câu 3
1)
2)
Câu 4
a)
b)
Câu 5
x2+x+1=(x+12)2+34>0
Vậy không có giá trị nào của x thoã mãn Phương trình đã cho vô nghiệm
Cho đa thức: P(x) = (x+2)(x+4)(x+6)(x+8) + 2013 và Q(x) =x2 + 10x + 21
Tìm số dư trong phép chia của P cho Q
P(x) = (x+2)(x+4)(x+6)(x+8) + 2013=(x2+10x+16)( x2+10x+24)+2013
Đặt t=x2 + 10x + 21(t0 ⇔ x ≠− 3 ; x ≠ −7)
⇒ P(x)= (t+5)(t-3)+2013=t2+2t-1998
Do đó khi chia P cho Q ta được s ố dư là 1998
Cho 0<x<y và 2x2+ 2y2=5xy Tính giá trị của P = 2012 x+2013 y
3 x − 2 y
Ta có: 2x2+ 2y2=5xy ⇔(2x-y)(x-2y)=0 (*)
Vì 0<x<y nên x<2y ⇔x-2y<0
để (*) bằng 0 thì 2x-y=0⇔2x=y
vậy P=2012 x+2013 2 x 3 x − 2 2 x =−6038
xét ΔCDE ∞ ΔCAB (Hai tam gíac vuông đồng dạng)
⇒CD
CA=
CE
CB
Xét ΔBEC và ΔADC có ∠C chung; CDCA=CE
CB ⇒ ΔBEC ∞ ΔADC(c-g-c).
ΔBEC ∞ ΔADC ⇒∠ A1=∠B1 , ΔAHD vuông cân tại H nên ∠HAD=450 ⇒∠A1+∠A4=450⇒
∠B1+∠A4=450 ⇒B2=450
⇒ΔABE vuông cân tại A⇒ΔAME vuông cân tại M ⇒EA2=2AM2⇒AMAE = 1
√2 (1)
Mặt khác ΔAHD vuông cân tại H ⇒ AD2=2AH2 ⇒AHAD= 1
√2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra AM
AE =
AH
AD (*)
Ta lại có ∠A1∠A3 ( = 450-∠ A2) (**)
Từ (*) và (**) suy ra ΔAHM∞ΔADE (c-g-c)
⇒ ∠AHM =∠ADE Mà ∠ADE =450 ∠ADE Vậy ∠AHM = 450
Ta có: SBEMF = SAEM + SMFC
Vậy để diện tích tứ giác BEMF lớn nhất thì SAEM + SMFC nh ỏ nhất
Ta có: ΔAEM ∞ ΔABC ⇒
SAEM
SABC
=AM2
AC2 ⇒ SAEM=AM2.SABC
AC2 .
¿
¿
Tương tự: SMFC=MC2.SABC
AC2
Trang 3Ta có: SAEM + SMFC = AM2.SABC
AC2 + MC
2
.SABC
AC2 ¿(AM
2
+MC2).SABC
AC2 (AM+ MC)2
SABC
AC2 =
AC2
2 .
SABC
AC2=
SABC
2 Dấu bằng xẩy ra khi AM = MC, hay M là trung điểm của AC