Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn có mặt hai chữ số chẵn và hai chữ số lẻ.. Cho dãy số.[r]
Trang 1Môn thi: toán 11 THPT
Thời gian làm bài: 180 phút
Câu I: (2 điểm)
1.Giải phương trình: (1 t anx)cos x (1 cot x)sin x 3 3 2sin 2x.
2 Tìm các nghiệm trong khoảng ; của phương trình:
2 2sin 3x 1 8sin 2x cos 2x 4 Câu II: (3 điểm) 1 Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau trong đó có 3 số chẵn và 3 số lẻ ? 2 Cho k là số tự nhiên thỏa mãn 5 k 2011. Chứng minh rằng: C C05 k2011 C C15 k 12011 C C55 k 52011 Ck2016 3.Cho dãy số (un) xác định bởi : 1 1 11 10 1 9 n n u u u n, n N Tìm công thức tính un theo n Câu III: (2 điểm) 1 Cho Pn= (1 − 2 2 3)(1 − 2 3 4) (1− 2 (n+1)(n+2)) Gọi Un là số hạng tổng quát của Pn Tìm n →+∞lim Un 2.Tìm giới hạn: 2 3 x 0 (x 2012) 1 2x 2012 4x 1 lim x Câu IV: ( 3 điểm) 1 Cho tứ diện ABCD có AB = CD = a, AC = BD = b, AD = BC = c M là điểm tùy ý trên cạnh AB, (P) là mặt phẳng qua M và song song với AC và BD cắt BC, CD, DA lần lượt tại N, P, Q Tìm vị trí của M và điều kiện của a, b, c để thiết diện MNPQ là hình vuông, tính diện tích thiết diện trong trường hợp đó 2 Cho tam giác ABC có 3 góc nhọn Xác định điểm M bên trong tam giác sao cho MA + MB + MC nhỏ nhất
-Hết -Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Së GD&§T B ẮC GIANG
Trường THPT Nhã Nam
Kì thi h c sinh gi i toán l p 11 ọ ỏ ớ
N m h c 2012 2013 ă ọ –
ĐỀ ĐỀ XUẤT 1
Trang 2Sở Gd&Đt BẮC GIANG Kỳ thi chọn học sinh giỏi tỉnh lớp 11
Năm học 2012-2013 hớng dẫn và biểu điểm Chấm đề chính thức
(Hớng dẫn và biểu điểm chấm gồm 03 trang)
Môn: toán 11 THPT
1 (1.0 đ) ĐK: sin x cos x 0. Khi đú pt trở thành:
sinx cos x 2 sin x cos x (1)
0.25
ĐK: sinx cos x 0 dẫn tới
sinx 0;cos x 0. 0.25 Khi đú:
(1) sin 2x 1 x 4 k
0.25
KL nghiệm :
x 4 2m
0.25
2 (1.0 đ).ĐK:
4
(1) 0,25
Khi đú phương trỡnh đó cho tương đương với pt:
1 sin 2x
2
x 12 k ;
5
12
0.25
Trong khoảng ; ta nhận cỏc giỏ trị :
x 12
;
11
12
5 x 12
;
7
12
0.25
Kết hợp với đk (1) ta nhận được hai giỏ trị thỏa món là:
x 12
;
7
12
0,25
1 (1.0 đ)
TH1: Trong 3 số chẵn đú cú mặt số 0
Số cỏc số tỡm được là 5.C C 5! 3600024 35 (số)
Trang 3
0.5
TH2: Trong 3 số chẵn đó không có mặt số 0
Số các số tìm được là C C 6! 2880034 35 (số)
0.25
Đ/ số 36000 28800 64800 số 0.25
2 (1.0 đ) Dễ thấy 1 x 5 1 x 2011 1 x2016; và
M 1 x5 C05 C x1 15 C x52 2 C x3 35 C x54 4 C x55 5
N 1 x C C x C x C x
P 1 x C C x C x C x
0.25
0.25
Ta có hệ số của xk trong P là Ck2016.
Vì P M.N , mà số hạng chứa xk trong M.N là :
0 k k 1 k 1 k 1 2 2 k 2 k 2 3 3 k 3 k 3 4 4 k 4 k 4 5 5 k 5 k 5
5 2011 5 2011 5 2011 5 2011 5 2011 5 2011
0.25
nên
C C05 k2011 C C15 k 12011 C C55 k 52011 Ck2016
3 (1 điểm)
Ta có:
1
2
3
11 10 1
10 11 1 9 102 100 2
10 102 1 9 2 1003 1000 3
u
0.25
Chứng minh:
Ta có: u1 = 11 = 101 + 1 , công thức (1) đúng với n=1
Giả sử công thức (1) đúng với n=k ta có : uk = 10k + k 0.25
Ta có: uk + 1 = 10(10k + k) + 1 - 9k = 10k+1 + (k + 1) Công thức(1) đúng với n=k+1
III
2.0
1 (1 đ)
Ta có: 1− 2
(k +1)(k +2)=
k (k +3)
(k +1)(k+2)
0.25
Cho k=1,2,3,…,n ta được
n
0.25
Un=
(n 3) 3(n 1)
0.25
Trang 4
lim
n →+∞Un
=
(n 3) 1 lim
2.(1 điểm)
Ta có
3 3
x 0
1 2x 1 4x 1 1
L Lim x 1 2x 2012 2012
0.25
3
x 0
Lim x 1 2x 0
3
x x( 4x 1 1) 4x 1 1
0.5
Vậy
L 0 2012 2012.2
1.(2 đ)
+) Chứng minh được MNPQ là hình bình hành 0.5
+) MNPQ là hình vuông
MP NQ M là trung điểm của AB và a = c 1.0
+) Lúc đó SMNPQ =
2 1
4b 0.5
2.(1 đ) Dùng phép quay quanh A với góc quay 600 biến M thành M’; C thành C’ 0.25
Ta có MA+MB+MC = BM+MM’+M’C’
MA+MB+MC bé nhất khi bốn điểm B,M,M’,C’ thẳng hàng 0.5
Khi đó góc BMA=1200, góc AMC=1200
Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa
Trang 5Së GD&§T B ẮC GIANG
Trường THPT Nhã nam
K× thi chän häc sinh giái tØnh líp 11
N¨m häc 2012 2013–
Môn thi: to¸N 11 THPT
Thời gian làm bài: 180 phút
Bài 1 (2 điểm)
1 Giải phương trình: a)
2 2sin 2
2 cos 1 2 sin 1
Bài 2 (3 điểm)
1
* 1
4 1
4 4 1 2 9
u
Tìm công thức số hạng tổng quát u ncủa dãy số.
2 Cho n là số tự nhiên, n 2. Chứng minh đẳng thức sau:
2 0 12 1 22 2 22 n 2 12 n 1 ( 1)2 n 2
3 Có bao nhiêu số tự nhiên có 5 chữ số khác nhau và khác 0 mà trong mỗi số luôn có mặt hai chữ số chẵn và
hai chữ số lẻ.
Bài 3 (2 điểm)
1 Cho dãy số {x }k xác định bởi: k
Tính : limn x1nx2nx3n x2012n
2 Cho hàm số :
2
31 sin 1
0 ( )
víi víi
x
x
Tính đạo hàm của hàm số tại x = 0 và chứng minh rằng hàm số đạt cực tiểu tại x = 0.
Bài 4 (3 điểm)
Cho tam giác đều ABC
1 M là một điểm nằm trong tam giác sao cho MA2 MB2MC2 Hãy tính góc BMC
2 Một điểm S nằm ngoài (ABC ) sao cho tứ diện SABC đều , gọi I, K là trung điểm của các cạnh
AC và SB Trên đường thẳng AS và CK ta chọn các điểm P,Q sao cho PQ// BI
Tính độ dài PQ biết cạnh của tứ diện có độ dài bằng 1.
ĐỀ ĐỀ XUẤT 2
Trang 6Hết
Họ và tên : Số báo danh :
ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 11 CẤP TỈNH
MÔN: TOÁN NĂM HỌC: 2012 - 2013
Bài 1 1.(1 đ)
Điều kiện :
tan cot 2 0
x x
Ta có :
2
tan cot 2
Do đó phương trình đã cho tương đương với :
2 2 sin 2x 2 sin 2 x
sin 2x 1 2 sin 2 x 2 0
sin 2 1
2 sin 2
2
x x
sin 2 1
1 sin 2
2
x x
( Thỏa điều kiện (1) ) Giải các phương trình trên ta được :
x k x k x k k Z
2 (1 đ)
ĐK:
5
2
x
x
2
sin
1 cos 2 2sin tan 1 sin 2 2sin
2sin cos sin
1 sin 2 tan sin 2 1 1 sin 2 1 tan 0
cos
x
x
x
0.25đ
0.25đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
Trang 7
sin 2 1 4 tan 1
4
x x
4
x m m Z
là nghiệm phương trình đã cho.
0.25 đ
Bài 2
1 (1 đ) Đặt
*
1 2
x u n N
Ta có x n 0 và x n2 1 2 ,u n n N* hay
2 1 2
n n
x
u
1
4 4
n
x
Suy ra: 3x n1 x n 4 n N* ( Do x n 0 , n N*)
Hay 3n 1 1 3n 4.3 ,n *
y y n N
1 1 4 3n 3n 3 ,
n
n
n
x y y Suy ra:
* 1
1
3
Do đó
*
1 2 2
u n N
2 (1 đ)
0
n
n k
Đạo hàm hai vế của (1) ta được
1
0
n
n k
1 1
0
n
n k
1
0
n k
Thay x 1vào (3) ta được đpcm.
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ
0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ
Trang 83 (1 đ) Từ giả thiết bài toán ta thấy có C52 =10 cách chọn 2 chữ số chẵn (kể cả số có chữ số
0 đứng đầu ) và C53=10 cách chọn hai chữ số lẻ có C52
.C53 = 100 bộ 5 số được chọn.
Mỗi bộ 5 số như thế có 5! số được thành lập có tất cả C52 . C53 .5! = 12000 (số).
Mặt khác số các số được lập như trên mà có chữ số 0 đứng đầu là C14 C53 4 !=960 (số).
Vậy có tất cả 12000 – 960 = 11040 số thoả mãn YCBT.
0.25 đ 0.25 đ 0.25 đ
Bài 3 1.(1 đ)
Ta có:
k 1
(k 2)!
n
Mặt khác :
, k N * (k 1)! (k 1)! k! (k 1)!
Vậy:
n
Do đó:
n
1
2013!
2 (1 đ) ' 0 lim0 ( ) (0)
x
f x f f
x
3
2
3
lim
x
x x
Mặt khác với x 0, ta có
2
2
3
sin
x
Vì f x( ) liên tuc trên R nên từ đó suy ra f x
liên tục tại x 0.
0.25 đ
0.25đ
0.25đ
0.25 đ
0.5 đ
0.25 đ
0.25 đ
Trang 9Bài 4 1.(1 đ)
Dùng phép quay tâm C góc quay 3
thì ta có:
'
Vậy CMB CM A' CMBCM A' CMB CM A ' .
Ta có MB = M’A, MC = M’C = MM’, Vậy MB 2 + MC 2 = MA 2
Suy ra M’A 2 + MM’ 2 = MA 2 AM M' 90 ,0 CM M ' 600 BMC1500.
0.25 đ
0.25đ 0.25 đ 0.25đ
2.(2 đ)
Ta có PQ là giao tuyến của hai mặt phẳng : Mặt phẳng chứa CK và song song với BI và mặt
phẳng chứa SA và song song với BI.
Trong mặt phẳng (SBI) kẻ KE / / BI, CE cắt SA ở P
Qua A kẻ A F // BI (F thuộc BC) , CK cắt S F tại Q
Vậy PQ // BI
0.5đ
0.5đ
Trang 10Ta có I, E là các trung điểm của AC và SI
1 3
SP SA
Mà
PQ SP
AF SA
Ta có AF 2BI 3
Vậy
3 3
PQ
0.5đ 0.5đ
Chú ý: Học sinh giải cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa.