Lập phương trình tiếp tuyến d với đồ thị C tại giao điểm của C với trục Oy.. b 0,5đ Tính góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng ABC.[r]
Trang 1SỞ GD&ĐT TP HỒ CHÍ MINH ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II
TRƯỜNG THPT AN DƯƠNG VƯƠNG Môn Toán - Khối 11- Năm học: 2019 -2020
Thời gian: 90 phút
ĐỀ CHÍNH THỨC Câu 1: (1,5đ) Tính các giới hạn sau:
a) (0,75đ) lim 33 3 7
n A
4 1 3 lim
4 x
x B
x
Câu 2: (1đ) Cho hàm số:
3
2
3 2 , khi 1 1
1 , khi 1
2 10
1 , khi 1 12
x
x x
x
x
Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 1.
Câu 3: (1,5 đ)
a) (0,75đ) Tính đạo hàm của hàm số: sin 24 .
1
x y
x
b)(0,75đ) Cho hàm số: 1 3 2
3
y x m x m x Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình:y / 0 có 2 nghiệm phân biệt
Câu 4: (1,5đ)
a) (0,75đ) Chứng minh rằng phương trình: x 7 5 x 2 2 0 có nghiệm
b) (0,75đ) Cho hàm số:y x35x2 có đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến d với đồ thị (C) tại 4 giao điểm của (C) với trục Oy
Câu 5: (1đ) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại B Biết rằng
3 ; ' 6
AB a AA a
a) (0,5đ) Chứng minh: ABB A ' ' BCC B ' '
b) (0,5đ) Tính góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABC)
Câu 6: (3đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh 2 a H là trung điểm AB và
15.
SH a Biết rằng hai mặt phẳng (SCH) và (SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
a) (1đ) Chứng minh: SH ABCD và AD SAB.
b) (1đ) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)
c) (0,5đ) Tính góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD)
d) (0,5đ) Gọi I là trung điểm cạnh SD Tính khoảng cách giữa IC và AD
Câu 7: (0,5đ) Tính giới hạn của dãy số u n biết:
n u
HẾT
Trang 2SỞ GD&ĐT TP HỒ CHÍ MINH
TRƯỜNG THPT AN DƯƠNG VƯƠNG
ĐÁP ÁN ĐỀ KIỂM TRA HỌC KÌ II MÔN TOÁN KHỐI 11 (NH: 2019 – 2020)
1
(1,5đ)
Tính các giới hạn sau:
a) (0,75 đ)
3 3
lim
n A
3 3 3
7 3 lim
4 9 2
n n n
n n
2 3
7 3 lim
4 9 2
n
n n
3 0 3
.
2 0 0 2
b)
(0,75 đ) 2 2
4 1 3 lim
4 x
x B
x
2
lim
x
x
4 8 lim
x
x
2
lim
6
2 4 1 3
0,25
2
(1đ)
Cho hàm số:
3
2
3 2 , khi 1 1
1 , khi 1
2 10
1 , khi 1 12
x
x x
x
x
Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0 1.
* 1 1
12
f ;
lim ( ) lim
12
2 10
f x
x
0,25
*
f x
0,25
Trang 3 2
1
12
0,25
Ta có:
1 lim ( ) lim ( ) (1)
12
nên hàm số f(x)liên tục tại điểm x0 = 1
0,25
3
(1,5 đ)
a)
(0,75 đ) Tính đạo hàm của hàm số: 4
sin 2 1
x y
x
Ta có:
/
2 4
sin 2 1 sin 2 1 '
1
y
x
0,25
2 4
2 1 2 4 sin 2
1
x
0,25*2
b)
(0,75đ) Cho hàm số: 1 3 1 2 6 22 5.
3
y x m x m x Tìm tất cả giá trị của tham số m để phương trình:y / 0 có 2 nghiệm phân biệt
2
Phương trình:y / 0 có 2 nghiệm phân biệt / 0
0
a
2
4 21 0
Hien nhien
0,25
3 7
m m
Vậy
3 7
m m
thì thỏa yêu cầu bài toán
0,25
4
(1,5đ)
a)
(0,75 đ)
Chứng minh rằng phương trình: x 7 5 x 2 2 0 có nghiệm
Đặt f(x) = x 7 5 x 2 2.Vì f(x) là hàm đa thức nên f(x) liên tục trên
=> f(x) liên tục trên đoạn [0; 2] (1)
0,25
Ta có: (0) 2
(2) 106
f f
f(0) (2)f 212 0 (2)
0,25
Từ (1) và (2), suy ra phương trình f x 0có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0;2) Vậy phương trình f x 0 có nghiệm
0,25
b)
(0,75đ) Cho hàm số:
3 5 2 4
yx x có đồ thị (C) Lập phương trình tiếp tuyến
d với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục Oy
Gọi tiếp điểm là M x y ( , )0 0 0,25
Trang 4Vì M Oy nên x0 0 Ta có: x0 0 y0 4
2
0 y' 3 x 10 x y x '( ) y '(0) 0 0,25 Vậy tiếp tuyến d tại điểmM (0; 4) có phương trình:
4 0.( 0) 4.
y x y
0,25
5
(1 đ)
Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác ABC vuông cân tại
B Biết rằng AB 3 ; a AA ' a 6 a) 0,5 đ Chứng minh: ABB A ' ' BCC B ' '
Hình vẽ
3a 3a
a 6
A'
A
B'
B
C C'
'
' '
BC ABB A
' '
' '
0,25
b) 0,5 đ Tính góc giữa đường thẳng A’C và mặt phẳng (ABC)
3a 3a
a 6
A'
A B'
B
C C'
Ta có: A C ' ( ABC ) C và A A ' ABCtại A
CA là hình chiếu vuông góc của A’C lên mặt phẳng (ABC)
' ; ' ; ' .
A C ABC A C CA A CA
0,25
+ AC 3 a 2 Xét tam giác A’CA vuông tại A ta có:
tan '
3
3 2
A A a
A CA
AC a
A CA ' 30 0 Vậy:A C ABC ' ; 30 0
0,25
6
(3 đ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, cạnh trung điểm AB và SH a 15. Biết rằng hai mặt phẳng (SCH) và 2 a H là
Trang 5(SHD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD)
a) 1đ Chứng minh: SH ABCD và AD SAB.
Hình vẽ
a 15
2a 2a
S
C
D
B
A H
Ta có:
.
SH ABCD
( )
;
0,25
AD SAB
b) 1 đ Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD)
2a
2a
a 15 A
B
D
C
S
Ta có: SC ( ABCD ) C và SH ABCDtại H
CH là hình chiếu vuông góc của SC lên mặt phẳng (ABCD)
SC ABCD SC CH SCH
0,25 + H C H B 2 B C 2 a 5 0,25 Xét tam giác SCH vuông tại H ta có: 15
5
SH a SCH
CH a
0,25
60 0 SCH
Vậy: SC ABCD;
c) 0,5 đ Tính góc giữa mặt phẳng (SCD) và mặt phẳng (ABCD)
Gọi M là trung điểm CD
Ta có:
Trang 6
/
SCD ; ABCD SM MH; SMH.
Xét tam giác SMH vuông tại H ta có:
+ tan 15 15.
SH a SMH
SMH
Vậy:SCD ; ABCD
62 41'.0
0,25
d) 0,5 đ Gọi I là trung điểm cạnh SD Tính khoảng cách giữa IC và AD
2a
2a
A
B
D
C
S
I E
K
Ta có:
/ /
( )
AD BC
BC IBC
d AD IC ( ; ) d AD IBC ( ;( )) d A IBC ( ;( )).
Gọi E là trung điểm SA Ta có: IE / / BC(Cùng // với AD)
IE IBC
Kẻ AK BE tại K
;
AK IBC
tại K d A IBC( ;( )) AK.
0,25
+SA SH 2 HA 2 4 a Xét tam giác SHA vuông tại H, ta có: 15 1
SH
SA
Xét tam giác ABE, ta có:
ABE
a
S AB AE EAB a a SAH
Trang 7+ BE 2 AB 2 AE 2 2 ABAE cos EAB 4 a 2 4 a 2 2.2 2 cos a a SAH 6 a 2
6.
BE a
ABE ABE
BE
Vậy: ( ; ) 10.
2
a
d AD IC
0,25
7
(0,5đ) Tính giới hạn của dãy số u n biết:
n u
Ta có:
Tức là:
2 1 1 2 1 2
3 2 2 3 2 3
( n 1) n n n 1 n n 1
Suy ra: un 1 1 1 1 1 1 1 1
0,25
Ta có: lim 1 0 lim 1 0
Vậy: lim lim 1 1 1 lim 1 1
n u
0,25