Một số dạng toán và phương pháp giải về phân số lớp 5

Nếu nhân hoặc chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho một số tự nhiên khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho.. Nếu cộng cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng mộ

Các dạng bài toán, và phương pháp giải

Sau khi tìm hiểu kĩ về nội dung, phân phối chương trình của lớp 4, 5, ta có thể chia thành các dạng bài sau

- Dạng bài về cấu tạo phân số

- Dạng bài về so sánh và sắp xếp phân số

- Dạng bài về rèn kĩ năng 4 phép tính phân số

- Dạng bài về giải toán có lời văn điển hình về Phân số

A Dạng 1: Các bài toán về cấu tạo phân số

Một số kiến thức cần lưu ý

1 Để kí hiệu phân số có tử số bằng a, mẫu số bằng b(với a, b êN và ≠ 0),ta viết

b a

Mẫu số b chỉ phần bằng nhau được chia ra từ 1 đơn vị, tử số a chỉ số phần được lấy đi Phân số

b

a

còn hiểu là thương của phép chia a : b ( còn dấu gạch ngang của phân số là dấu chỉ phép chia)

2 Mọi số tự nhiên a đều có thể coi là một phân số có mẫu số bằng 1

a =

1

a

và có mẫu số khác nhau 5 =

3

15 =  4

20

…

3 Phân số a/b có:

a> b → phân số > 1 a< b → phân số < 1 a= b → phân số = 1

4 Nếu nhân hoặc chia cả tử số và mẫu số của một phân số cho một số tự nhiên khác 0 thì ta được một phân số mới bằng phân số đã cho

5 Phân số không rút gọn được nữa gọi là phân số tối giản, phân số có mẫu số là 10, 100,1000 gọi là phân số thập phân

6 Nếu cộng cả tử số và mẫu số của một phân số với cùng một số hoặc trừ cả tử và mẫu

số đi cùng một số thì giữa tử số và mẫu số không thay đổi,

7 Quy đồng mẫu số các phân số:

a Quy đồng mẫu số các phân số là làm cho các phân số ấy cùng mẫu số chung mà giá trị của chúng không thay đổi

b Muốn quy đồng mẫu số các phân số, ta làm như sau:

Bước 1: Tìm mẫu số chung Bước 2 : Chia mẫu số chung cho từng mẫu số để tìm thừa số phụ Bước 3 : Lần lượt nhân cả tử số và mẫu số của từng phân số với thừa số phụ tương ứng

c Ba cách tìm mẫu số chung :

Quy tắc 1 : Nhân tất cả mẫu số với nhau Quy tắc 2 : Nếu mẫu số lớn nhất chia hết cho các mẫu số khác thì lấy luôn mẫu số lớn nhất đó làm mẫu số chung

Quy tắc 3 : Đem mẫu số lớn nhất lần lượt nhân với 2, 3, 4, cho đến khi tích chia hết cho các mẫu số còn lại thì lấy tích đó làm mẫu số chung

Sau khi tóm tắt các kiến thức, tôi đưa các ví dụ và hướng dẫn học sinh cách giải từng loại bài :

I Loại bài : Rút gọn phân số :

1 Dựa vào dấu hiệu chia hết cho 2, 3, 5, 9

VD: Rút gọn phân số

4

3 8

6  cùng chia cả tử số và mẫu số cho 2

2 Chia dần từng bước hoặc gộp các bước (theo quy tắc chia một số cho một tích)

VD: Rút gọn phân số

204 132

102

66 4 : 204

2 : 132 204

132



51

33 2 : 102

2 : 66

 ,

17

11 3 : 51

3 : 33



Vậy

17

11 204

133 

Hoặc gộp: vì 2 x 2 x 3 = 12 nên

17

11 12 : 204

12 : 132 204

3 Dùng cách thử chọn theo các bước:

VD: Rút gọn phân số

65 26

Bước 1: 26 : 13 = 2

Bước 2: 65 : 13 = 5

Bước 3: Cùng chia cho 13

5

2 13 : 65

13 : 26 65

4 Phân số có dạng đặc biệt:

111

11

ax

ax aaaa

10101

101

abx

abx ababab

abab 

Rút gọn các phân số sau:

3

2 333

222

 (cùng chia tử số và mẫu số cho 111) VD2: Rút gọn các phân số:

a

1442

1133

Bước 1: 1133 : 11 = 103

Bước 2: 1442 : 14 = 103

Bước 3: Chia cả tử số và mẫu số cho 103

14

11 103 : 1442

103 : 1133 1442

1133





b

95

9999

9

1999

(100 chữ số 9 ở tử số và 100 chữ số 9 ở mẫu số)

Ta nhận xét: 99….95 = 5 x 19999 9 (100 chữ số 9)

Vậy

5

1 95

9999

9

1999



II Loại bài : Tìm số chưa biết khi thêm bớt tử số và mẫu số :

Vận dụng tính chất ở mục 6 phần những kiến thức cần lưu ý, ta có ví dụ sau :

VD1 : Cho phân số

28

17 Tìm 1 số tự nhiên sao cho bớt một số tự nhiên đó ở tử số

và thêm số đó vào mẫu số ta được 1 phân số mới Rút gọn phân số mới, ta được phân số tối giản

4

1

Giải

Khi bớt 1 số tự nhiên ở tử số và thêm số đó vào mẫu số thì tổng của tử số và mẫu số của phân số đó là không thay đổi

Tổng của tử số và mẫu số của phân số đó là:

17 + 18 = 45

Ta có sơ đồ: ?

MS mới:

Tử số mới là: 45 : (1 + 4) x 1 = 9

Số tự nhiên cần tìm là: 17 - 9 =8

Đáp số : 8

VD2 : Cho phân số

21

33 phải cùng bớt đi ở tử số và mẫu số với số nào để được phân

số mới có giá trị là

3

5

?

Giải

Tương tự như ví dụ 1 nhưng lưu ý : khi bớt ở cả tử số và mẫu số của cùng một phân số với 1 số tự nhiên khác 0 thì hiệu giữa tử số và mẫu số không thay đổi

Hiệu giữa tử số và mẫu số của phân số đã cho là:

33 - 21 = 12

HS giải và tìm được số tự nhiên cần tìm là:

21 - 18 = 3 Đáp số: 3

III Loại bài: Tìm phân số ban đầu:

VD1: Tìm 1 phân số biết rằng nếu nhân tử số của phân số với 2 và giữ nguyên mẫu

số thì ta được 1 phân số mới hơn phân số ban đầu là

36

7

Gợi ý: Khi ta nhân 1 phân số với số tự nhiên, ta chỉ việc nhân tử số của phân số

với số tự nhiên đó và giữ nguyên mẫu số Vậy nhân tử số của phân số với 2 , giữ nguyên mẫu số tức là ta gấp phân số đó lên 2 lần Bài toán được chuyển về dạng: tìm 2 số biết hiệu và tỉ số

Giải

Nếu nhân tử số của phân số với 2 và giữ nguyên mẫu số thì ta được phân số mới gấp 2 lần phân số ban đầu Ta có sơ đồ sau:

Phân số ban đầu:

36 7

Phân số mới:

Phân số ban đầu là:

36

7 : (2 - 1) =

36 7

Thử lại:

36

7 36

7 36

2 7





x

Tương tự với bài: chia mẫu số của phân số với a và giữ nguyên tử số thì ta giảm số chia đi

3 lần hay giá trị của phân số đó gấp lên 3 lần Do đó phân số mới gấp 3 lần phân số ban đầu, bài toán đưa về dạng tìm hai số khi biết hiệu và tỷ

B Dạng hai : So sánh phân số

Một số kiến thức cần lưu ý

1 Khi so sánh 2 phân số

- Có cùng mẫu số, ta so sánh 2 tử số, phân số nào có tử số lớn hơn thì phân số đó lớn hơn

- Không cùng mẫu số, ta quy đồng mẫu số rồi so sánh như trên

2 Các phương pháp thường dùng khi so sánh 2 phân số

- So sánh 2 phấn số cùng mẫu ( như mục 1)

- Nếu 2 phân số có cùng tử số, phân số nào có mẫu số nhỏ hơn thì phân số đó sẽ lớn hơn

- So sánh qua một phân số trung gian:

d

c b

a và

f

e d

c  thì

f

e b

a 

- So sánh 2 “phần bù” với 1 của mỗi phân số:

d

c b

a





d

c b

a



- So sánh 2 phần “lớn hơn” với 1 của mỗi phân số:

1

1 



d

c b

a

thì

d

c b

a 

- So sánh bằng sơ đồ đoạn thẳng

- So sánh bằng cách nhân tử số và mẫu số của phân số kia, so sánh rồi rút ra kết luận

d

c

b

a

 suy ra a x d < c x d

- So sánh bằng cách rút gọn phân số

- So sánh phân số nghịch đảo

d

c b

a

: 1 :

c

d a

b  thì

d

c b

a 

c Dạng 3: Thực hành 4 phép tính trên phân số:

Một số kiến thức cần lưu ý:

1 Phép cộng:

- Muốn cộng 2 phân số cùng mẫu số, ta cộng tử số với tử số, giữ nguyên mẫu số (tương tự với phép trừ phân số)

- Muốn cộng hai phân số khác mẫu số, ta quy đồng mẫu số của chúng, sau đó cồng tử số với tử

số và giữ nguyên mẫu số

d b

c b d

a

d

c

b

a













2 Phép trừ: tương tự như phép cộng

3 Phép nhân, phép chia: như SGK

4 Các tính chất của phép tính trên phân số:

a Tính chất giao hoán:

b

a d

c d

c b

a  

b

a d

c d

c b

a







b Tính chất kết hợp:































 

f

e d

c b

a f

e d

c b

a

và       

f

e d

c b

a f

e d

c b a

c Tính chất phân phối:



















f

e d

c b

a

f

e b

a d

c b

a  

d.Một số nhân với một hiệu:



















f

e d

c b

a

f

e b

a d

c b

a  

e Tính chất phân phối của phép chia đối với phép cộng và phép trừ:

n

m d

c n

m b

a n

m d

c b

a

: :











 

m d

c n

m b

a n

m d

c b

a

: :











 

Một số loại toán:

Loại 1: Viết phân số

b

a

(a, b N và 0 < a < b) dưới dạng tổng của các phân số có tử số là 1, mẫu số khác nhau

VD: Hãy viết các phân số sau dưới dạng tổng các phân số có tử số là 1, mẫu số khác nhau

35

13

; ;

12

5

;

35

6

Giải

35

1 5

1 7

1 35

1 35

7 35

5 35

1 7 5 35

Tương tự với

12

5

có

12

1 3

1 12

1 12

4 12

1 4 12

5













35

1 7

1 35

1 35

5 35

1 5 35

Loại 2: Tính tổng của phân số:

* Bài: 2 thừa số ở mẫu hơn kém nhau 1 đơn vị:

7 6

1 6 5

1 5 4

1 4 3

1 3 2

1 2

1

1





















1 6

1 6

1 5

1 5

1 4

1 4

1 3

1 3

1 2

1 2

1

1          

=1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 +

7 1

=

7

6 7

1

1 

Tổng quát:

1 1

1 1

1 1 ) 1 (

1

5 4

1 4 3

1 3 2

1 2 1

1







































n n

n n n

n n

*Bài : Thừa số ở mẫu hơn kén nhau 2 đơn vị:

VD: tính tổng:

11 9

2 9 7

2 7 5

2 5 3

2 3 1

2

















1 9

1 9

1 7

1 7

1 5

1 5

1 3

1 3

1

1        

=

11

10 11

1

1 

*Bài 3: Mẫu số của số hạng sau gấp đôi , gấp 3 số hạng đứng trước:

VD: Tính tổng:a) S =

279

1 243

1 81

1 27

1 9

1 3

1

Ta có: S x 3 =

243

1 81

1 27

1 9

1 3

1 1

3     

Vậy S x 3 - S =

729

1

3

S x 2 =

729

2186 suy ra S =

729

1093 2

: 729

2186



b) S =

128

1 64

1 32

1 16

1 8

1 4

1











Cộng thêm

2

1 vào biểu thức đã cho, có:

S +

2

1

=

128

1 64

1 32

1 16

1 8

1 4

1 2

1













Nhận xét:

4

1 1 4

3 4

1 2

1   

8

1 1 8

7 8

1 4

1 2

1    

S +

2

1

=

128

127 128

1

1 

S =

128

63 128

64 127 2

1 128

127









d Dạng 4: Các dạng toán có lời văn điển hình:

Loại 1: Tìm tỉ số của 2 số:

Loại 2: Tìm 1 phân số của một số:

VD: Ba người chia nhau 720 ngàn đồng Người thứ nhất được

6

1

số tiền, người thứ hai được

8

3

số tiền, còn lại bao nhiêu của người thứ 3 Tính số tiền của người thứ 3

Giải

Phân số chỉ số tiền của người thứ ba là:

24

11 8

3 6

1









 

Số tiền của người thứ 3 là: 330

24 11

720  (ngàn)

Đáp số: 330 ngàn

Loại 3: Tìm 1 số khi biết giá trị một phân số của số ấy

Loại 4: Tìm các số biết tổng và tỉ số của chúng

Loại 5: Tìm hai số biết hiệu và tỉ số của chúng

Loại 6: Tìm số trung bình cộng

VD: Tìm 4 phân số tối giản biết rằng:

- Trung bình cộng của số thứ 1 và thứ 2 là

12 5

- Trung bình cộng của số thứ 2, số thứ 3 và số thứ 1 là

36 19

- Trung bình cộng của cả 4 số là

20

143

và số đầu kém số trung bình cộng của 2 số cuối là

40

11 đơn

vị

Giải

Tổng của hai số đầu là:

12

10 2 12

5



Tổng của 3 số đầu là:

12

19 3 36

19



Tổng của 4 số là:

60

143 4 240

143 

Từ (1) và (2), ta thấy số thứ 3 là:

5

4 60

48 12

10 12

19







Từ (2) và (3), ta thấy số cuối là:

40

31 2 : 5

4 4

3













 

Số đầu là:

2

1 40

20 10

11 40

31  

Theo (1), số thứ 2 là:

3

1 12

4 2

1 12

10







Đáp số:

5

4

; 4

3

; 3

1

; 2 1

Loại 7: Làm tròn phân số thành đơn vị:

VD: Cô Tư bán

8

5 tấm vải theo giá 20 000đ/mét lãi 200 000đồng Hôm nay cô Tư bán phần còn lại của tấm vải theo giá 18 000 đồng/mét thì lãi 90 000đồng Hỏi tấm vải dài bao nhiêu mét?

Giải

(Làm tròn: Hôm nào cũng bán hết cả một tấm vải) Hôm sau bán được:

8

3 8

5 8

8  (tấm vải) Nếu hôm qua bán được cả tấm thì lãi

200.000 :

8

5 = 320.000 ( đồng)

Nếu hôm nay bán được cả tấm thì lãi

90.000 :

8

3 = 240.000 ( đồng )

Vậy hôm qua lãi nhiều hơn hôm nay là 320.0 - 240.000 = 80.000 ( đồng) Mỗi mét hôm qua bán lãi hơn hôm nay là 20.000 - 18.000 = 2.000 ( đồng)

Tấm vải dài : 80.000 : 2.000 = 40 ( mét ) Đáp số 40 (mét)

Loại 8 Giả thiết tạm về phân số

Loại 9: Loại khử về phân số

VD: Cả đàn trâu bò có tất cả 50 con Biết rằng nếu đem

5

2

số trâu và

4

3

số bò gộp lại thì

được 27 con Hỏi số trâu và số bò?

Giải

Ta có :

Trâu + Bò = 50 (1)

5

2 Trâu +

4

3

Bò = 27 (2)

Muốn khử số trâu, ta nhân 2 vế của (1) với

5 2 thì thấy

2

Trâu +

5

2

Bò = 20 ( 3 )

5

2

Trâu +

4

3

Bò = 27 (4)

Đem cả hai vế của (4) trừ 2 vế của (3) ta có











  5

2 4

3

Bò = 27 - 20 = 7









  5

2 4

3

= 20

7 nên ta có

20

7

số Bò là 7 con

Vậy số Bò là 7 :

20

7

= 20 ( Con)

Số Trâu là : 50 - 20 = 30 ( Con) Đáp số :Trâu 30 Con, Bò 20 Con

Loại 10 Tính ngược về phân số

VD Tìm 1 số biết rằng nếu đem số đó chia cho 3 được bao nhiêu trừ đi

7

2 thì còn

2 7

Giải

3

 -

7 2

 

2 7

A B C

Biết C =

2

7

ta có thể đi ngược lại để tìm a bằng cách đảo ngược các phép tính

-7

2 bằng +

2

7 : 3

thành x 3 như sau

4

4

53 

2 7

3

 +

7

2

