Viết phương trình đường tròn C có tâm thuộc C2, tiếp xúc với d và cắt C1 tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho AB vuông góc với d.. Theo chương trình nâng cao Câu VIIb 2 điểm.[r]
Trang 1SỞ GD & ĐT BẮC GIANG
TRƯỜNG THPT LẠNG GIANG SỐ 1
ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH KHÁ GIỎI LẦN 2
MÔN: TOÁN LỚP 10- KHỐI D
Năm học 2012-2013
Thời gian: 150 phút
I Phần chung cho tất cả các thí sinh (7 điểm)
Câu I (2 điểm) Cho hàm số y= − +x2 4x−3 có đồ thị là một parabol (P)
1) Tìm TXĐ, xét sự biến thiên, lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị (P) của hàm số
2) Tìm m để đường thẳng ( ) :d y= 2(x m− )cắt đồ thị (P) tại hai điểm A, B phân biệt sao cho tam giác OAB vuông tại O
Câu II (1 điểm) Giải phương trình 3 x2+ 3x = + (x 5)(2 −x)
Câu III (1 điểm) Giải bất phương trình x− + 7 x2− −x 12 < 0
Câu IV (1 điểm) Giải hệ phương trình
2
( 1)( 1) 3 4 1 1
+ + =
Câu V (1 điểm) Rút gọn biểu thức 1 os2 sin 2
1 os2 sin 2
A
=
Câu VI (1 điểm) Cho x, y, z là ba số dương và thỏa mãn 1 1 1 4
x+ + =y z
2x y z+ x 2y z+ x y 2z ≤
II Phần riêng (3 điểm) Thí sinh chỉ được làm phần 1 hoặc phần 2
1 Theo chương trình chuẩn
Câu VIIa (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC biết A( 4 ; 0 ) , (0;3)
B , diện tích tam giác bằng 22,5 Trọng tâm của tam giác thuộc đường thẳng
2 0
x− − =y
1 Viết phương trình đường thẳng chứa cạnh AB
2 Tìm tọa độ đỉnh C của tam giác
Câu VIIIa (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho các đường tròn
1
(C ) :x +y = 4, (C2) :x2+y2− 12x+ = 18 0 và đường thẳng d x: − − =y 4 0 Viết phương trình
đường tròn (C) có tâm thuộc (C 2 ), tiếp xúc với d và cắt (C 1 ) tại 2 điểm phân biệt A, B sao cho
AB vuông góc với d
2 Theo chương trình nâng cao
Câu VIIb (2 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh
( 4;1)
B − , trọng tâm G(1;1) và đường thẳng chứa phân giác trong của góc A có phương trình
1 0
x− − =y Tìm tọa độ đỉnh A và C
Câu VIIIb (1 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác đều ABC có điểm
(0; 2)
A trục đối xứng là Oy và diện tích bằng 49
4 3 Viết phương trình chính tắc của elip (E)
đi qua A, B, C
============================HẾT============================
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh……….Số báo danh………
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM KHẢO SÁT LẦN 2 – MÔN TOÁN LỚP 10
Lưu ý:
Dưới đây chỉ là hướng dẫn chấm, nếu học sinh làm cách khác đúng thì các đồng chí vận dụng hướng dẫn chấm này để cho điềm
1
+ Tập xác định
+ Sự biến thiên
+ Bảng biến thiên
+ Đồ thị
(Mỗi ý đúng được 0,25 điểm)
1 điểm
I
(2 đ)
2 Xét phương trình hoành độ giao điểm
− + − = − ⇔ − + − =
+ Đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm A, B phân biệt ⇔(1) có 2 nghiệm
phân biệt ⇔ ∆ '>0 ⇔2m-2>0 ⇔ m>1
+ Giả sử A x( ; 2(1 x1−m)); (B x2; 2(x2−m)) (x1, x2 là nghiệm của (1))
OAB
∆ vuông tại O ⇔ OA OB =0
⇔ x x1 2+ 4(x1−m x)( 2−m) = 0
1 2 1 2
5x x − 4 (m x +x ) + 4m = 0 (*)
Áp dụng định lý Viet cho phương trình (1): 1 2
1 2
2
3 2
+ =
= −
4
m − m+ = ⇔ =m + hoặc 9 21
4
m= − (TMĐK) Kết luận
(0,25 điểm) (0,25 điểm)
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
II
(1 đ)
Điều kiện x≥ 0 hoặc x≤ − 3(*)
Biến đổi phương trình về dạng 2 2
3 x + 3x+x + 3x− 10 = 0
Đặt 2
x + x=t t≥
Phương trình thành 2
t + −t = ⇔ =t (thỏa mãn t≥ 0) hoặc t=-5(loại)
4
x
x
=
+ = ⇔ + − = ⇔
= −
(thỏa mãn đk ) KL:…
(0,25 điểm)
(0,5 điểm)
(0,25 điểm) III
( 1 đ)
2 2
12 7
12 0
12 (7 ) 4
3 7 61 13 3 61 4
13
x x x
x x x x x x
⇔ − >
− − < −
≥
≤ −
⇔ <
<
≤ −
⇔
≤ <
(0,5 điểm)
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
IV
(1 đ) Hệ PT
2
1(2)
xy x x xy x x x
xy x x
⇔
+ = −
Trang 3Thế (2) vào (1) ta được
2
( 1)(2 1) ( 1)(3 1)
x x x x
⇔ x = 0 hoặc x = 1 hoặc x = -2
x=0 thay vào (2) thấy không thỏa mãn
x=1 thay vào (2) được y = -1
x=-2 thay vào (2) được y = -5/2
KL: Hệ có hai nghiệm (1; -1); (-2; -5/2)
(0,25 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm)
(0,25 điểm)
V
(1 đ)
2 2
2sin 2 sin cos
2 cos 2 sin cos
2 sin (sin cos )
2 cos (cos sin )
tan
A
a
−
=
−
−
=
−
= −
(0,5 điểm) (0,25 điểm) (0,25 điểm)
VI
(1 đ) Ta có
2x y z = (x y) (x z) ≤ 4 x y+x z ≤ 16 x+ +y z
+ + + + + + +
Tương tự
+ +
Cộng vế với vế của (1); (2) và (3) ta có ĐPCM
(0,5 điểm)
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
1 Đường thẳng chứa cạnh AB đi qua A(4;0) và B(0;3) nên phương trình
là:
1
x y
+ =
Kết luận:
(0,5 điểm)
(0,25 điểm) (0,25 điểm)
VIIa
(2 đ)
2 Gọi C(a; b)
+ Trọng tâm của ∆ABC là ( 4; 3)
Trọng tâm thuộc đường thẳng x – y – 2 =0 nên ta có PT: a – b – 5 = 0 (1)
+ Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB
( , )
5
a b
d C AB + −
= và AB=5
1
2
ABC
a b
Từ (1) và (2) ta có hệ
⇔
Giải hệ ta được
87 7 52 7
a b
=
=
hoặc
23 7 58 7
a b
−
=
−
=
Kết luận: Vậy có 2 điểm C thỏa mãn …
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
(0,25 điểm) VIIIa
(1 đ)
+(C1) có tâm là gốc tọa độ O Gọi I là tâm của đường tròn (C) cần viết
phương trình
Ta có AB⊥OI mà AB⊥d và O ∉ d nên OI song song với d
(0,25 điểm)
Trang 4Do đó OI có phương trình y = x
+Mặt khác I∈ (C2) nên tọa độ của I thỏa mãn hệ
2 2
3 (3;3) 3
I y
=
=
+ Do (C) tiếp xúc với d nên (C) có bán kính R = d(I, d) = 2 2
+ Vậy phương trình của (C) là 2 2
(x− 3) + − (y 3) = 8
(0,25 điểm)
(0,25 điểm) (0,25 điểm)
VIIb
(2 đ)
Gọi D(x;y) là trung điểm của AC ta có
4 3( 1) 7
1 3( 1) 2
Gọi E(x;y) là điểm đối xứng với B qua đường phân giác trong d:x-y-1=0
của góc A
Ta có EB vuông góc với d và trug điểm I của EB thuộc d nên tọa độ E là
nghiệm của hệ
1( 4) 1( 1) 0
3 0
(2; 5)
7 0
1 0
x y
E
x y
+ + =
− − =
Đường thẳng AC đi qua D và E có phương trình 4x – y -13=0
Tọa độ của A là nghiệm của hệ 4 13 0 (4;3)
1 0
x y
A
x y
− − =
⇒
− − =
(0,5 điểm)
(0,5 điểm) (0,5 điểm) (0,5 điểm)
VIIIb
(1 đ) Gọi Pt elip (E)
4
a + = với a> 2
Vì BC vuông góc với Oy nên phương trình Bc có dạng y= m ( -2< m< 2)
Ta có
( , ).
2
3
11
2
ABC
m
m
= −
⇔ = ⇔ − = ⇔ ⇒ = −
( vì tam giác ABC đều)
Giả sử 0 ( 7 ; 3)
2
2 3
B
x < ⇒B − − Khi đó thay tọa độ điểm B vào Pt (E) ta
được 2 28
3
a = (TMĐK) Vậy Pt elip (E):
2 2
1
28 4 3
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)
(0,25 điểm)