Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác khơng cĩ cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằng 12.8.. Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được
Trang 1XÁC SUẤT
A – BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC, TỨ GIÁC
Câu 1 Cho đa giác cĩ 12 đỉnh Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đĩ Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác khơng cĩ cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằng
12.8
C C
3 12
12 12.8
C C
Câu 2. Cho đa giác ( )H cĩ n đỉnh (nỴ ¥, n> 4 ) Biết số các tam giác cĩ 3 đỉnh là đỉnh của
( )H và khơng cĩ cạnh nào là cạnh của ( )H gấp 5 lần số các tam giác cĩ 3 đỉnh là đỉnh của
( )H và cĩ đúng 1 cạnh là cạnh của ( )H Khẳng định nào sau đây đúng?
A n Ỵ [4;12 ] B n Ỵ [13;21 ] C n Ỵ [22;30 ] D n Ỵ [31;38 ]
Câu 3. Cho đa giác lồi ( )H cĩ 22 cạnh Gọi X là tập hợp các tam giác cĩ ba đỉnh là ba đỉnh
của ( )H Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X, xác suất để chọn được 1 tam giác cĩ đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác ( )H và 1 tam giác khơng cĩ cạnh nào là cạnh của ( )H bằng
Câu 4 Cho một đa giác đều gồm 2n đỉnh (n³ 2, nỴ ¥ Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số )
2n đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuơng là 1
5 Tìm n
Câu 5. Cho đa giác đều cĩ 20 đỉnh Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều, xác suất để 3
đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuơng khơng cân là
Câu 6. Cho đa giác đều cĩ 15 đỉnh Gọi M là tập tất cả các tam giác cĩ ba đỉnh là ba đỉnh
của đa giác đã cho Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M, xác suất để tam giác được chọn là một tam giác cân nhưng khơng phải là tam giác đều là
Câu 7. Cho đa giác đều 100 đỉnh nội tiếp một đường trịn Số tam giác tù được tạo thành từ
3 trong 100 đỉnh của đa giác là
A 13,45% B 40,45% C 80,70% D 85,40%
Trang 2Câu 11. Có 10 bạn ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau
xấp thì ngồi Xác suất để có đúng 4 người cùng đứng trong đó có đúng 2 người đứng liền kề bằng
Câu 15. Trên mặt phẳng Oxy, ta xét một hình chữ
nhật ABCD với các điểm A -( 2;0 ,) B -( 2;2 ,) C(4;2 ,)
(4;0)
chữ nhật đó tính cả trên cạnh hình chữ nhật sao cho
chân nó luôn đáp xuống mặt phẳng tại các điểm có
tọa độ nguyên (tức là điểm có cả hoành độ và tung độ
đều nguyên) Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm
Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ở góc phần tư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt; cứ thế
ở các góc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lần lượt lấy 3, 4, 5 điểm phân biệt (các điểm không nằm trên các trục tọa độ) Trong 14 điểm đó ta lấy 2 điểm bất kỳ Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đó cắt hai trục tọa độ
Trang 3Câu 19. Cho hai đường thẳng song song d và 1 d Trên 2 d có 6 điểm phân biệt, trên 1 d có n 2
điểm phân biệt (n³ 3, nÎ ¥ Tìm ) n , biết rằng có 96 tam giác có đỉnh là các điểm đã cho
A n =3 B n = 4 C n =6 D n = 8
Câu 20 Trong không gian cho 2n điểm phân biệt (4< Î ¥ trong đó không có ba điểm nào n ),
4 điểm nào ngoài 4 điểm trong n điểm này là đồng phẳng Tìm giá trị của n sao cho từ 2n
điểm đã cho tạo ra đúng 505 mặt phẳng phân biệt
C – BÀI TOÁN BỐC BI
Câu 21. Một hộp chứa 6 quả bóng đỏ (được đánh số từ 1 đến 6), 5 quả bóng vàng (được đánh
số từ 1 đến 5), 4 quả bóng xanh (được đánh số từ 1 đến 4) Lấy ngẫu nhiên 4 quả bóng Tính xác suất để 4 quả bóng lấy ra có đủ ba màu mà không có hai quả bóng nào có số thứ tự trùng nhau
Câu 22 Trong một cái hộp có đựng 40 quả bóng, gồm 10 quả bóng xanh được đánh số từ 1
đến 10; 10 quả bóng đỏ được đánh số từ 1 đến 10; 10 quả bóng vàng được đánh số từ 1 đến 10
và 10 quả bóng trắng được đánh số từ 1 đến 10 Hai quả bóng cùng màu mang số 1 và số 10 được gọi là '' cặp may mắn '' Người ta lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 6 quả bóng Xác suất để trong
6 quả bóng lấy ra có ít nhất một '' cặp may mắn '' là
Câu 26 Cho tập hợp A= 1; 2; 3; 4; 5{ } Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số trong đó
chữ số 3 có mặt đúng ba lần, các chữ số còn lại có mặt không quá một lần Chọn ngẫu nhiên
một số từ S , xác suất để số được chọn chia hết cho 3 bằng
Trang 4Câu 27 Cho tập hợp A= 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6{ } Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ số đôi
một khác nhau và luôn có mặt chữ số 5 được lập từ các chữ số thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên
một số từ S , xác suất để số được chọn chia hết cho 5 bằng
Câu 28 Cho tập hợp A = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ
số được lập từ các chữ số thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để số được
Câu 30. Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số và chia hết cho 9 Chọn ngẫu nhiên
một số từ S , xác suất để các chữ số của nó đôi một khác nhau bằng
Câu 31. Một tổ học sinh lớp X có 12 học sinh trong số đó có An và Bình Cô giáo thực hiện
phân nhóm ngẫu nhiên thành 3 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 thành viên để thực hiện nhiệm vụ học tập Xác suất để An và Bình cùng nhóm là
-Câu 32. Trong buổi sinh hoạt nhóm của lớp, tổ một có 12 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong
đó có Hoa và 8 học sinh nam trong đó có Vinh Chia tổ thành 3 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 học sinh và phải có ít nhất 1 học sinh nữ Xác suất để Hoa và Vinh cùng một nhóm là
F – BÀI TOÁN VỀ MÃ ĐỀ THI
Câu 33. Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp Cán bộ hỏi thi đưa cho mỗi thí
sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3 phong bì trong đó để xác định câu hỏi thi của mình Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành cho các thí sinh là như nhau,
xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn có ít nhất 1 câu hỏi giống nhau là
Câu 34. An và Bình cùng tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia 2018, trong đó có 2 môn thi trắc
có mã khác nhau Đề thi được sắp xếp và phát cho các thí sinh một cách ngẫu nhiên Xác suất
để trong 2 môn thi đó An và Bình có chung đúng một mã đề thi bằng
Trang 5và mã đề thi của các môn khác nhau thì khác nhau Xác suất để An và Bình chỉ có chung đúng một môn thi tự chọn và một mã đề thi là
G – BÀI TOÁN VỀ ĐỀ THI
Câu 36 Một phiếu điều tra về vấn đề tự học của học sinh gồm 10 câu trắc nghiệm, mỗi câu có
4 phương án trả lời Phiếu thu lại được coi là hợp lệ nếu được trả lời 10 câu, mỗi câu chỉ chọn
1 đáp án Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu phiếu hợp lệ để trong số đó luôn có ít nhất 2 phiếu trả lời giống hệt nhau cả 10 câu hỏi ?
A 41 B 10001 C 1048576 D 1048577
Câu 37. Từ một ngân hàng 20 câu hỏi, trong đó có 4 câu hỏi khó Người ta xây dựng hai đề thi mỗi đề thi gồm 10 câu và các câu trong một đề được đánh số thứ tự từ Câu 1 đến Câu 10 Hỏi có bao nhiêu cách xây dựng hai đề thi mà mỗi đề thi đều gồm 2 câu hỏi khó
A 77220 B 77221 C 5080320 D ( )2 2 8
4 1610! C C
Câu 38. Đề cương ôn tập môn Lịch sử có 30 câu Đề thi được hình thành bằng cách chọn ngẫu nhiên 10 câu trong 30 câu trong đề cương Một học sinh chỉ học thuộc 25 câu trong đề cương, xác suất để trong đề thi có ít nhất 9 câu hỏi nằm trong 25 câu mà học sinh đã học thuộc là
C
B ( )
20 20 5 5 0
0 3.4
C
30 20 5 5 0
0 3.4
C
D ( )
10 40 5 5 0
0 3.4
C
Câu 40 Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương án trả lời
Xác suất để một học sinh làm bài thi được ít nhất 8 câu hỏi là
A 108
40
C B 108
10.4
C C 108 2
10
.3.4
262144
Câu 41. Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh A dự thi hai môn thi trắc nghiệm Vật lí và
Hóa học Đề thi của mỗi môn gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn; trong đó
có 1 phương án đúng, làm đúng mỗi câu được 0,2 điểm Mỗi môn thi thí sinh A đều làm hết
các câu hỏi và chắc chắn đúng 45 câu, 5 câu còn lại thí sinh A chọn ngẫu nhiên Xác suất để tổng điểm 2 môn thi của thí sinh A không dưới 19 điểm là
C
5 5 10 10
3.4
3 câu bạn loại trừ được mỗi câu một đáp án chắc chắn sai Do không còn đủ thời gian nên An bắt buộc phải khoanh bừa các câu còn lại Xác suất bạn An được 9,4 điểm là
Trang 6H – BÀI TOÁN VỀ CẶP ĐÔI
Câu 43. Một trường THPT có 10 lớp 12 , mỗi lớp cử 3 học sinh tham gia vẽ tranh cổ động Các lớp tiến hành bắt tay giao lưu với nhau (các học sinh cùng lớp không bắt tay với nhau) Tính số lần bắt tay của các học sinh với nhau, biết rằng hai học sinh khác nhau ở hai lớp khác nhau chỉ bắt tay đúng 1 lần
Câu 44 Trong một buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp vợ chồng Chọn ngẫu
nhiên 3 người để biểu diễn một tiết mục văn nghệ Xác suất để 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào là
Câu 46 Hai tổ chuyên môn của một trường trung học phổ thông có 9 giáo viên nam và 13
giáo viên nữ trong đó có đúng 2 cặp vợ chồng Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 người trong
số 22 người đó nhưng không có cặp vợ chồng nào ?
A 24054 B 24072 C 24090 D 25704
Câu 47 Có 20 cặp vợ chồng tham gia dự thi '' cặp đôi hoàn hảo '' Trong giờ giải lao, ban tổ
chức chọn ra ngẫu nhiên 4 người để tham gia văn nghệ Xác suất để 4 người được chọn không
Câu 48 Có 12 người xếp thành một hàng dọc (vị trí của mỗi người trong hàng là cố định)
Chọn ngẫu nhiên 3 người trong hàng Tính xác xuất để 3 người được chọn không có 2 người
Câu 49 Xếp 10 cuốn sách tham khảo khác nhau gồm: 1 cuốn sách Văn, 3 cuốn sách tiếng
Anh và 6 cuốn sách Toán (trong đó có hai cuốn Toán T và Toán 1 T ) thành một hàng ngang 2trên giá sách Xác suất để mỗi cuốn sách tiếng Anh đều được xếp ở giữa hai cuốn sách Toán, đồng thời hai cuốn Toán T và Toán 1 T luôn được xếp cạnh nhau bằng 2
Câu 50. Một tổ có 9 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có hai em Thảo, My và 5 học sinh
các em nữ còn lại không đứng cạnh nhau và cũng không đứng cạnh Thảo và My bằng
A 2!.9! 2!.8!.- B 2!.9! 3.8!.- C 2!.9! 3!.8!.- D 3.9! 2.8!
Trang 7-Câu 52. Sắp xếp 12 học sinh của lớp 12A gồm cĩ 6 học sinh nam và 6 học sinh nữ vào một bàn dài gồm cĩ hai dãy ghế đối diện nhau (mỗi dãy gồm cĩ 6 chiếc ghế) để thảo luận nhĩm
Tính xác suất để hai học sinh ngồi đối diện nhau và cạnh nhau luơn khác giới
Câu 53. Cĩ 3 bi xanh, 3 bi đỏ, 3 bi trắng và 3 bi vàng (các viên bi cùng màu giống nhau) Hỏi
cĩ bao nhiêu cách xếp 12 viên bị thành một hàng ngang sao cho các bi cùng màu khơng cạnh nhau?
Câu 55 Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 5 học sinh nam (trong đĩ cĩ Hồng) và 5 học sinh
nữ (trong đĩ cĩ Lan) thành một hàng ngang Xác suất để trong 10 học sinh trên khơng cĩ hai học sinh cùng giới đứng cạnh nhau, đồng thời Hồng và Lan cũng khơng đứng cạnh nhau
D 80640 B 108864 C 145152 D 322560
Câu 57. Cĩ 1 viên bi xanh, 2 viên bi vàng và 3 viên bi đỏ (các viên bi cĩ bán kính khác nhau) Hỏi cĩ bao nhiêu cách xếp 6 viên bi thành một hàng ngang sao cho các viên bi cùng màu khơng xếp cạnh nhau ?
Câu 58 Một nhĩm gồm 11 học sinh trong đĩ cĩ 3 bạn An, Bình, Cúc được xếp ngẫu nhiên vào
một bàn trịn Xác suất để 3 bạn An, Bình, Cúc khơng cĩ bạn nào được xếp cạnh nhau bằng
Câu 60 Cĩ 4 cặp vợ chồng cần xếp ngồi vào một bàn trịn Tính số cách xếp sao cho cĩ vợ
chồng nhà A là ngồi cạnh nhau cịn các cặp vợ chồng khác thì hai người là vợ chồng của nhau thì khơng ngồi cạnh nhau
- HẾT -
XÁC SUẤT
Trang 8A – BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC, TỨ GIÁC
Bài tốn 1. Cho đa giác cĩ n đỉnh Xét tam giác cĩ 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác
và cĩ đúng 1 cạnh chung với đa giác ¾ ¾®n n( - 4 )
và cĩ đúng 2 cạnh chung với đa giác ¾ ¾®n
và khơng cĩ cạnh chung với đa giác ¾ ¾®C n3- n n n- ( - 4 )
Bài tốn 2 Cho đa giác đều cĩ 2n đỉnh
Số tam giác vuơng cĩ 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác ¾ ¾®n n(2 - 2 )
Bài tốn 3 Cho đa giác đều cĩ n đỉnh Số tam giác tù được tạo thành từ 3 trong n đỉnh
của đa giác là
n chẵn 2
2 2
n
n C
1 2
n
n C
Bài tốn 4 Cho đa giác đều cĩ n đỉnh Số tam giác nhọn được tạo thành từ 3 trong n đỉnh
n
C
Câu 1 Cho đa giác cĩ 12 đỉnh Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đĩ Xác suất để 3 đỉnh
được chọn tạo thành một tam giác khơng cĩ cạnh nào là cạnh của đa giác đã cho bằng
12.8
C C
3 12
12 12.8
C C
12 12
Số tam giác cĩ 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và 1 cạnh là cạnh của đa giác: Trước tiên ta chọn
1 cạnh trong 12 cạnh của đa giác nên cĩ 12 cách chọn; tiếp theo chọn 1 đỉnh cịn lại trong 8 đỉnh (trừ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn và 2 đỉnh liền kề với cạnh đã chọn) Do đĩ trong trường hợp này cĩ 8.12 tam giác
Câu 2. Cho đa giác ( )H cĩ n đỉnh (nỴ ¥, n> 4 ) Biết số các tam giác cĩ 3 đỉnh là đỉnh của
( )H và khơng cĩ cạnh nào là cạnh của ( )H gấp 5 lần số các tam giác cĩ 3 đỉnh là đỉnh của
( )H và cĩ đúng 1 cạnh là cạnh của ( )H Khẳng định nào sau đây đúng?
A n Ỵ [4;12 ] B n Ỵ [13;21 ] C n Ỵ [22;30 ] D n Ỵ [31;38 ]
Lời giải Số tam giác tạo thành cĩ 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác là 3
n
C
Số tam giác tạo thành cĩ đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác là n
Số tam giác tạo thành cĩ đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là n n -( 4) (điều kiện n Ỵ ¥ và
4
n < )
¾ ¾® số tam giác tạo thành khơng cĩ cạnh nào là cạnh của đa giác là C n3- n n n- ( - 4)
=êë
thỏa mãn
Câu 3. Cho đa giác lồi ( )H cĩ 22 cạnh Gọi X là tập hợp các tam giác cĩ ba đỉnh là ba đỉnh
của ( )H Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong X, xác suất để chọn được 1 tam giác cĩ đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác ( )H và 1 tam giác khơng cĩ cạnh nào là cạnh của ( )H bằng
Trang 9Câu 4 Cho một đa giác đều gồm 2n đỉnh (n³ 2, nÎ ¥ Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số )
2n đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác vuông là 1
2
n n
Câu 5. Cho đa giác đều có 20 đỉnh Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều, xác suất để 3
đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuông không cân là
● Số tam giác vuông là 10.18
● Số tam giác vuông cân: Cứ mỗi cách chọn 1 đường kính là có 2 tam giác cân ( 2 điểm tạo nên tam giác cân là giao điểm của đường thẳng qua tâm vuông góc với đường kính đã chọn với đường tròn) Do đó có 10.2 tam giác vuông cân
Câu 6. Cho đa giác đều có 15 đỉnh Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba đỉnh
của đa giác đã cho Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M xác suất để tam giác được ,chọn là một tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều là
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đều Xét một đỉnh A bất kỳ của đa giác:
Có 7 cặp đỉnh của đa giác đối xứng với nhau qua đường thẳng OA , hay có 7 tam giác cân tại
đỉnh A Như vậy, với mỗi một đỉnh của đa giác có 7 tam giác nhận nó làm đỉnh tam giác cân
Số tam giác đều có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác là 15
Trang 10 n chẵn 2
2 2
n
n C
1 2
n
n C
Câu 7. Cho đa giác đều 100 đỉnh nội tiếp một đường tròn Số tam giác tù được tạo thành từ
3 trong 100 đỉnh của đa giác là
A 44100 B 58800 C 78400 D 117600
Lời giải Đánh số các đỉnh là A A1, , ,2 A100
Xét đường chéo A A của đa giác là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác đều chia 1 51
đường tròn ra làm hai phần, mỗi phần có 49 điểm: từ A đến 2 A và 50 A đến 52 A 100
Khi đó, mỗi tam giác có dạng A A A là tam giác tù nếu 1 i j A và i A cùng nằm trong nửa đường j
Số tam giác tù 117600, Số tam giác vuông 50.98= 4900
Suy ra số tam giác nhọn: 3
Bài toán 6. Cho đa giác có n đỉnh Xét tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác
và có đúng 1 cạnh chung với đa giác ¾ ¾® ´n Céêën2-4- (n- 5)ùúû= A
và có đúng 3 cạnh chung với đa giác ¾ ¾® =n C
và không có cạnh chung với đa giác ¾ ¾®C n4- (A B C+ + )
Bài toán 7 Cho đa giác đều có 2n đỉnh
Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và tạo thành HÌNH CHỮ NHẬT ¾ ¾®C n2
Bài toán 8 Cho đa giác đều có 4n đỉnh
Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và tạo thành HÌNH VUÔNG ¾ ¾®n
Chứng minh
Tứ giác có đúng 1 cạnh chung với đa giác
Trang 11Chọn 1 cạnh trong n cạnh của đa giác nên có n cách
Chọn 2 đỉnh còn lại trong n - 4 đỉnh (tham khảo hình vẽ trên) nên có 2
4
n
C- nhưng 2 đỉnh này không được liên tiếp nên trừ cho n - 5 (vì 2 đỉnh liên tiếp sẽ tạo nên 1 cạnh mà có n - 4
đỉnh còn lại nên có n - 5 cạnh)
Vậy trong trường hợp này có n C´ éêën2-4- (n- 5)ùúû tứ giác
Tứ giác có đúng 2 cạnh chung với đa giác
Trường hợp 1: Tứ giác có hai cạnh kề trùng với cạnh của đa giác
Vì hai cạnh kề cắt nhau tại 1 đỉnh, mà đa giác có n đỉnh nên có n cách chọn hai cạnh kề
trùng với cạnh của đa giác
Chọn 1 đỉnh còn lại trong n - 5 đỉnh (bỏ 3 đỉnh tạo nên hai cạnh kề và 2 đỉnh hai bên, tham khảo hình vẽ)
Do đó trường hợp này có n n -( 5) tứ giác
Trường hợp 2: Tứ giác có hai cạnh đối thuộc cạnh của đa giác
Chọn 1 cạnh trong n cạnh của đa giác nên có n cách
Trong n - 4 đỉnh còn lại (bỏ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn ở trên và 2 đỉnh liền kề cạnh đã chọn, tham khảo hình vẽ) sẽ tạo nên n - 5 cạnh Chọn 1 cạnh trong n - 5 cạnh đó nên có 5
Tứ giác có đúng 3 cạnh chung với đa giác
Đánh số thứ tự các đỉnh của đa giác, ta có n bộ 4 số:
(1;2;3;4 , 2;3;4;5 , , ) ( ) (n- 3;n- 2;n- 1; , n) (n- 2;n- 1; ;1 , n ) (n- 1; ;1;2 , ;1;2;3 n ) (n )
Trang 123 2
1
Vậy trường hợp này có n tứ giác thỏa mãn
Câu 9. Cho đa giác có 20 đỉnh Có bao nhiêu tứ giác được tạo thành mà có các đỉnh là các đỉnh của đa giác và có đúng 1 cạnh chung với đa giác ?
Bài tập tương tự Cho đa giác có 20 đỉnh Có bao nhiêu tứ giác được tạo thành mà có các đỉnh
là các đỉnh của đa giác và có đúng 2 cạnh chung với đa giác ? Đáp số: 450
một cách ngẫu nhiên sẽ cắt nhau bên trong đa giác Đáp số: 57
C P
Câu 11. Có 10 bạn ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau
xấp thì ngồi Xác suất để có đúng 4 người cùng đứng trong đó có đúng 2 người đứng liền kề bằng
.256
Biến cố của bài toán được phát biểu lại như sau: '' số tứ giác được tạo thành từ đa giác có 10
đỉnh và có đúng 1 cạnh chung với đa giác ''
Câu 12. Có 8 bạn ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như nhau (cân đối và đồng chất) Tất cả 8 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu xấp thì ngồi Xác suất để không có hai bạn liền kề cùng đứng là
( )
8
.256
Không có bạn nào đứng: có 1 khả năng
Có 1 bạn đứng (7 bạn còn lại ngồi): có 8 khả năng
Trang 13 Có 2 bạn đứng nhưng không cạnh nhau: Đầu tiên chọn 1 người trong 8 người để đứng nên có 8 cách; tiếp theo chọn 1 trong 5 người còn lại đứng (trừ người đã đứng ở trước và hai người hai bên) nên có 5 cách Hai người đứng này không phân biệt nên trường hợp này có 8.5
20
Có 3 bạn đứng nhưng không có 2 bạn nào trong 3 bạn đứng cạnh nhau Bài toán quy về cho đa giác có 8 đỉnh, số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác và không có cạnh chung với đa giác ¾ ¾® có 3
1.33
Bài tập tương tự Cho một đa giác đều 2n đỉnh nội tiếp đường tròn Biết rằng số tam giác có
các đỉnh là 3 trong 2n đỉnh nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật có các đỉnh là 4 trong 2n
Câu 15. Trên mặt phẳng Oxy, ta xét một hình chữ
nhật ABCD với các điểm A -( 2;0 ,) B -( 2;2 ,) C(4;2 ,)
(4;0)
chữ nhật đó tính cả trên cạnh hình chữ nhật sao cho
chân nó luôn đáp xuống mặt phẳng tại các điểm có
tọa độ nguyên (tức là điểm có cả hoành độ và tung độ
đều nguyên) Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm
x y
ìï Î ïí
-ï Îïî
Trang 14Để con châu chấu đáp xuống các điểm M x y có ( , ) x+ y< 2 thì con châu chấu sẽ nhảy trong
2; 1;0;1;2
.0;1;2
x y
ìï Î ïí
ìï £ïí
x y
ìï Î ïí
ï Î ïî
-Suy ra n W =( ) 9.9= 81
,42
,,
Nhận thấy các điểm cần tìm nằm trên các đường thẳng y m= với m = 0;1;2; ;10
Ứng với mỗi đường y= m, tương ứng có 101 giá trị của x thỏa mãn ( x = 0;1;2; ;100)
Trang 15 Trên đường y = lần lượt cĩ 1 90 điểm thỏa mãn (x = 0;1;2; ;89)
M
Trên đường y = 10 lần lượt cĩ 81 điểm thỏa mãn (x = 0;1;2; ;80)
Suy ra n A =( ) 91 90 81 946.+ + + =
Câu 18. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, ở gĩc phần tư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân biệt; cứ thế
ở các gĩc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lần lượt lấy 3, 4, 5 điểm phân biệt (các điểm khơng nằm trên các trục tọa độ) Trong 14 điểm đĩ ta lấy 2 điểm bất kỳ Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đĩ cắt hai trục tọa độ
Lời giải Khơng gian mẫu là số cách chọn 2 điểm bất kỳ trong 14 điểm đã cho
14 91
C
Gọi A là biến cố '' Đoạn thẳng nối 2 điểm được chọn cắt hai trục tọa độ '' Để xảy ra biến cố
A thì hai đầu đoạn thẳng đĩ phải ở gĩc phần tư thứ nhất và thứ ba hoặc phần tư thứ hai và
Câu 19. Cho hai đường thẳng song song d và 1 d Trên 2 d cĩ 6 điểm phân biệt, trên 1 d cĩ n 2
điểm phân biệt (n³ 3, nỴ ¥ Tìm ) n , biết rằng cĩ 96 tam giác cĩ đỉnh là các điểm đã cho
A n =3 B n = 4 C n =6 D n = 8
Lời giải Cứ 3 điểm khơng thẳng hàng là tạo thành 1 tam giác
Do đĩ số tam giác được tạo thành từ n +6 điểm gồm: 6 điểm (thẳng hàng) thuộc d và n 1
= êë
-thỏa mãn
Bài tập tương tự Cho hình vuơng ABCD Trên các cạnh AB BC CD DA lần lượt lấy , , , 1, 2, 3
và n điểm phân biệt (n³ 3, nỴ ¥ khác ) A B C D, , , Tìm n , biết số tam giác lấy từ n +6
Câu 20. Trong khơng gian cho 2n điểm phân biệt (4< Ỵ ¥ trong đĩ khơng cĩ ba điểm nào n ),
4 điểm nào ngồi 4 điểm trong n điểm này là đồng phẳng Tìm giá trị của n sao cho từ 2n
điểm đã cho tạo ra đúng 505 mặt phẳng phân biệt