Các dạng bài toán về đồ thị đạo hàm ôn thi thpt quốc gia

ĐƠN ĐIỆU

Câu 1 Cho hàm số f x   có đạo hàm f '   x xác định, liên tục trên và f '   x có đồ thị như hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số đồng biến trên  1;  

B Hàm số đồng biến trên    ; 1  và  3;  

C Hàm số nghịch biến trên    ; 1 

D Hàm số đồng biến trên     ; 1   3;  

Lời giải Chọn B Trên khoảng    ; 1  và  3; đồ thị hàm số f '   x nằm phía trên trục hoành

Câu 2 Cho hàm số f x   có đạo hàm f    x xác định, liên tục trên và f '   x có đồ thị như hình vẽ bên Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số f x   đồng biến trên   ;1 

B Hàm số f x   đồng biến trên   ;1  và  1;  

C Hàm số f x   đồng biến trên  1;  

D Hàm số f x   đồng biến trên

Lời giải Chọn C Trên khoảng  1;  đồ thị hàm số f '   x nằm phía trên trục hoành

Câu 3 Cho hàm số y  f x   liên tục và xác định trên Biết f x   có đạo hàm f '   x và hàm số y  f '   x có đồ thị như hình vẽ, khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số f x   đồng biến trên

B Hàm số f x   nghịch biến trên

C Hàm số f x  chỉ nghịch biến trên khoảng   0;1

D Hàm số f x   đồng biến trên khoảng  0;  

Lời giải Chọn C Trong khoảng   0;1 đồ thị hàm số y  f '   x nằm phía dưới trục hoành nên hàm số f x   nghịch biến trên khoảng   0;1

Câu 4 Cho hàm số f x   xác định trên và có đồ thị hàm số f '   x là đường cong trong hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số f x   nghịch biến trên khoảng1;1  B Hàm số f x   đồng biến trên khoảng   1; 2

C Hàm số f x   đồng biến trên khoảng   2;1  D Hàm số f x   nghịch biến trên khoảng  0; 2 

Lời giải Chọn D Cách 1: sử dụng bảng biến thiên Từ đồ thị của hàm số y  f '   x ta có bảng biến thiên như sau: x y

Cách 2: Quan sát đồ thị hàm số y  f '   x

Trong khoảng K, nếu đồ thị của hàm số f' (x) nằm trên trục hoành, hàm số f(x) sẽ đồng biến Ngược lại, nếu đồ thị của f' (x) nằm dưới trục hoành, thì f(x) sẽ nghịch biến Nếu đồ thị của f' (x) vừa có phần nằm dưới trục hoành vừa nằm trên trục hoành, phương án này sẽ bị loại.

Trên khoảng  0; 2 ta thấy đồ thị hàm số y  f '   x nằm bên dưới trục hoành

Câu 5 Cho hàm số f x   xác định trên và có đồ thị của hàm số f    x như hình vẽ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số y  f x   đồng biến trên khoảng    ; 2 ; 0;     B Hàm số y  f x   nghịch biến trên khoảng   2; 0 

C Hàm số y  f x   đồng biến trên khoảng    3;  D Hàm số y  f x   nghịch biến trên khoảng   ; 0 

Lời giải Chọn C Trên khoảng  3;  ta thấy đồ thị hàm số f    x nằm trên trục hoành

Câu 6 Cho hàm số f x   xác định trên và có đồ thị của hàm số f    x như hình vẽ Mệnh đề nào sau đây đúng?

A Hàm số y  f x   đồng biến trên khoảng   4; 2 

B Hàm số y  f x   đồng biến trên khoảng    ; 1 

C Hàm số y  f x   đồng biến trên khoảng   0; 2

D Hàm số y  f x   nghịch biến trên khoảng    ; 4  và  2;  

Lời giải Chọn B Trong khoảng    ; 1  đồ thị hàm số f    x nằm trên trục hoành nên hàm số đồng biến    ; 1 

Cõu 7 Cho hàm số f x ( )= ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e ( a ạ 0 ) Biết rằng hàm số f x ( ) cú đạo hàm là f x ' ( ) và hàm số

'( ) y = f x có đồ thị như hình vẽ bên Khi đó nhận xét nào sau đây là sai? x y

A Trên (- 2;1) thì hàm số f x ( ) luôn tăng B Hàm f x ( ) giảm trên đoạn [- 1;1]

C Hàm f x ( ) đồng biến trên khoảng (1;+ ¥ ) D Hàm f x ( ) nghịch biến trên khoảng (- ¥ - ; 2)

Lời giải Chọn C Trên khoảng [ - 1;1 ]đồ thị hàm số f x ' ( ) nằm phía trên trục hoành

Câu 8 Cho hàm số y  f x   liên tục và xác định trên Biết f x   có đạo hàm f '   x và hàm số y  f '   x có đồ thị như hình vẽ, khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số f x   đồng biến trên

B Hàm số f x   nghịch biến trên

C Hàm số f x  chỉ nghịch biến trên khoảng   ; 0 

D Hàm số f x   nghịch biến trên khoảng  0;  

Lời giải Chọn D Trong khoảng  0;   đồ thị hàm số y  f '   x nằm phía dưới trục hoành nên hàm số f x   nghịch biến trên khoảng  0;  

Hàm số y = f(x) là hàm liên tục và xác định trên khoảng ¡, với đạo hàm f'(x) tồn tại Đồ thị của hàm số y = f'(x) được mô tả như hình vẽ Trong khoảng (-π, π), cần xác định khẳng định nào là đúng.

A Hàm số f x ( ) đồng biến trên khoảng ( - π π ; )

B Hàm số f x ( ) nghịch biến trên khoảng ( - π π ; )

C Hàm số f x ( ) nghịch biến trên khoảng ;

D Hàm số f x ( ) đồng biến trên khoảng ( 0; π )

Lời giải Chọn D Trong khoảng ( 0; π ) đồ thị hàm số y = f ' ( ) x nằm phía trên trục hoành nên hàm số f x ( ) đồng biến trên khoảng ( 0;π )

Câu 10 Cho hàm số y= f x ( ) Đồ thị hàm số y = f x ¢ ( ) như hình bên Khẳng định nào sau đây sai?

A Hàm số f x ( ) đồng biến trên ( - 2;1 ) B Hàm số f x ( ) đồng biến trên ( 1;+ ¥ )

C Hàm số f x ( ) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 2 D Hàm số f x ( ) nghịch biến trên ( - ¥ - ; 2 )

Lời giải Chọn C Dựa vào đồ thị của hàm số y = f x ' ( ) ta thấy:

1 x x é- < < ờ ắ ắđ ê > ở f x ( ) đồng biến trờn cỏc khoảng (- 2;1), (1;+ Ơ Suy ra A đỳng, B đỳng )

● f x'( )< 0 khi x< - 2ắ ắđ f x ( ) nghịch biến trờn khoảng (- Ơ -; 2) Suy ra D đỳng

Dùng phương pháp loại trừ, ta chọn C

Câu 11 Cho hàm số y  f x   Hàm số y  f '( ) x có đồ thị như hình bên Hàm số y  g x    f ( 2  x ) đồng biến trên khoảng

Hàm số đồng biến khi   0  2  0 2 1 3

Câu 12 Cho hàm số y = f x ( ) Đồ thị hàm số y = f x ¢ ( ) như hình bên dưới

Hàm số g x ( )= f (3 2- x ) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Chọn C Dựa vào đồ thị, suy ra ( ) 0 2 2

Vậy g x ( ) nghịch biến trên các khoảng 1 5;

Cách 2 Ta có ( ) ( ) theo do thi ' ( )

3 2 5 21 f x x x g x f x x x x x éê é - = - êê ê ê Â = Û Â - = ơ ắ ắ ắ ắ đ ờờờở == Û ờờờờ == - ờờở

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C

Chú ý: Dấu của g x ¢ ( ) được xác định như sau: Ví dụ ta chọn 0 1; ,1 x= ẻ -ổỗỗỗố 2ửữữữứ suy ra 3 2- x= 3

Nhận thấy các nghiệm của g x ¢ ( ) là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu

Câu 13 Cho hàm số y = f x ( ) Đồ thị hàm số y = f x ¢ ( ) như hình bên dưới

Chọn D Dựa vào đồ thị, suy ra ( ) 0 1

Vậy g x ( ) đồng biến trên các khoảng 1;0

2 f x x x x g x f x x x x x x é = ê é - = - ê = ê ê ê - = ê Â = Û - Â - = ơ ắ ắ ắ ắ đ ờ ờ - ờ ờ ờở - = = Û ờ ờ ờ ờ ờ = - = - ờở Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn D

Chỳ ý: Dấu của g x  ( ) được xỏc định như sau: Vớ dụ chọn x= ẻ2 (1;+ Ơ ), suy ra 1 2- x= - 3

Nhận thấy các nghiệm 1; 0 x= - 2 x= và xủa g x ¢ ( ) là các nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu; nghiệm 3 x= - 2 là nghiệm kép nên qua nghiệm không đổi dấu

Câu 14 ĐỀ CHÍNH THỨC 2018 - 103 Cho hai hàm số y  f x   , y  g x   Hai hàm số y  f    x và

  yg x có đồ thị như hình vẽ bên, trong đó đường cong đậm hơn là đồ thị của hàm số y  g x   

Hàm số    4  2 3 h x  f x g x2 đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

Lời giải Chọn B Cách 1: Đặt X   x 4, 3

Y  x  Ta có h x    f    X 2 g Y    Để hàm số    4  2 3

Cách 2: Kẻ đường thẳng y10 cắt đồ thị hàm số y  f    x tại A a  ;10  , a   8;10 

Cách 3: Kiểu đánh giá khác: Ta có    4  2 2 3 h x  f x  g x2 Dựa vào đồ thị, 9

2 4 h x  f x  g x   x   Do đó hàm số đồng biến trên 9

Câu 15 Cho hàm số y  f x   Hàm số y  f    x có đồ thị như hình vẽ bên Hàm số y  f x   2 đồng biến trong khoảng

Lời giải Chọn C Đặt g x    f u u   ,   x 2 0 thì g x     2 x f    u nên

       Lập bảng xét dấu của hàm số g x   

             x  2; 1    1; 2 và ngược lại tức là những khoảng còn lại f    u  0 x

- O x khoảng nào trong các khoảng sau?

Lời giải Chọn C Ta có g x ¢ ( ) = 2 xf x ¢ ( ) 2

0 f x x x f x x x g x x x x x f x ộỡ >ùùờùớ ộỡ >ùùờớ ờù Â > ờù ờùùợ ờùợ- < < Ú > ê ớ đ > ớ ởớởủủởủợởủ đủủựỡ < < ẩ ắ ắ ắ ắ Ẽ ởởởợởủớủủủựỡ ắ ắ ắ ắ ắđ1 theo do thi ' f x ( ) f xÂ( ) 2 > 0 ( ) 2

Từ ( ) 1 và ( ) 2 , suy ra g x ¢ ( ) = 2 xf x ( ) 2 > 0 trên khoảng (1;+ ¥ nên ) g x ¢ ( ) mang dấu +

Nhận thấy các nghiệm của g x ¢ ( ) là nghiệm bội lẻ nên qua nghiệm đổi dấu

Câu 17 Cho hàm số y  f x   Hàm số y  f    x có đồ thị như hình vẽ

Hàm số y  f x   2 có bao nhiêu khoảng nghịch biến

Lời giải Chọn B Ta có y     f x   2     2 x f x   2

Vậy hàm số y  f x   2 có 3 khoảng nghịch biến

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B

Chú ý: Dấu của g x ¢ ( ) được xác định như sau: Ví dụ xét trên khoảng (2;+ ¥ )

 x ẻ ( 2; + Ơ đ ) x 2 > Với 4 x 2> ắ ắ ắ ắ ắđ4 theo do thi ' f x ( ) f xÂ( ) 2 >0 ( ) 2

Từ ( )1 và ( ) 2 , suy ra g x ¢ ( ) = 2 xf x ( ) 2 > 0 trên khoảng (2;+ ¥ nên ) g x ¢ ( ) mang dấu +

Nhận thấy các nghiệm của g x ¢ ( ) là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu

Câu 18 Cho hàm số y  f x    ax 4  bx 3  cx 2  dx e  , đồ thị hình bên là đồ thị của hàm số y  f    x Xét hàm số g x    f x  2  2  Mệnh đề nào dưới đây sai?

A Hàm số g x   nghịch biến trên khoảng    ; 2  B Hàm số g x   đồng biến trên khoảng  2;  

C Hàm số g x   nghịch biến trên khoảng   1; 0  D Hàm số g x   nghịch biến trên khoảng   0; 2

Từ đồ thị của y f( )x suy ra f x  ( 2    2) 0 x 2        2 2 x  ; 2   2;   và ngược lại

Câu 19 Cho hàm số y = f x ( ) Đồ thị hàm số y = f x ¢ ( ) như hình bên dưới

Hỏi hàm số g x ( ) = f x ( 2 - 5 ) có bao nhiêu khoảng nghịch biến?

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn C

Câu 20 Cho hàm số y= f x ( ) Đồ thị hàm số y = f x ¢ ( ) như hình bên Hỏi hàm số g x ( ) = f ( 1 - x 2 ) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau?

Chọn B Ta có g x ¢ ( ) = - 2 xf ¢ ( 1 - x 2 ) Hàm số g x ( ) nghịch biến ( ) ( )

1 0 x f x g x x f x ộỡ -ùùờù > ớờù Â - < ờùùợờ Û ¢ < Û ờỡ -ùờùù < ớờù Â - > ờùùợở

1 0 1 1 2 : vo nghiem x x f x x ì - > ì ù ù < ùù Û ù í í ù Â - < ù < - < ù ùợ ùợ

1 2 f x x x g x x x f x x é = é =ê ê ê Â = Û ờờở Â - = ơ ắ ắ ắ ắ đ -ờờờở- == Û Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên và đối chiếu với các đáp án, ta chọn B

Chỳ ý: Dấu của g x  ( ) được xỏc định như sau: Vớ dụ chọn x= ẻ1 (0;+ Ơ ).

 x= đ -1 1 x 2= ắ ắđ0 fÂ(1- x 2 )= fÂ( )0 ắ ắ ắ ắ ắđtheo do thi ' f x ( ) fÂ( )0 = >2 0 ( ) 2

Từ ( )1 và ( )2 , suy ra g¢ < trên khoảng ( )1 0 (0;+ ¥ ).

Nhận thấy nghiệm của g x ¢ ( ) = 0 là nghiệm đơn nên qua nghiệm đổi dấu

Câu 21 Cho hàm số y  f x   Biết rằng hàm số y  f    x có đồ thị như hình vẽ bên dưới

Hàm số y  f  3  x 2  đồng biến trên khoảng

Từ đồ thị hàm số suy ra  

Lập bảng xét dấu của hàm số y  f  3  x 2  ta được hàm số đồng biến trên   1;0 

Cách 2: Lời giải Ta có g x ¢ ( ) = - 2 xf ¢ ( 3 - x 2 ) Hàm số g x ( ) đồng biến ( ) ( )

3 0 x f x g x x f x ộỡ >ùùờù ớờù Â - < ờùùợờ Û ¢ > Û ờỡ ờùùợở

3 2 f x x x x x x x ộỡ >ùùờ ùờù ộ- < - ớờ ờùờù ờ ùờ - < -ờ < ù ởợờ ơ ắ ắ ắ ắ đ Û ờỡùờù < ùờù ộ- < - < - ờớ ờùờù ờ ờù -ù ởợởờ >

1 x x x x x x x x x x ộỡ >ùùờ ùờù ộ > í é ờùờ ờ > ờù ờù ờ ờù ởợờ > > ờ > > Û ờờỡờùùờùờớ ờờùùùờù ờù ởợởộờ - x 1 Đặt t= -1 x, bất phương trình trở thành f t ¢ > - ( ) t

Kẻ đường thẳng y = - x cắt đồ thị hàm số f x ' ( ) lần lượt tại ba điểm x= - 3; x= - 1; x=3.

Quan sát đồ thị ta thấy bất phương trình

1 3 1 1 3 2 0 t x x f t t t x x é< - é- < - é > ê ê ê Â > - Û ờở< < ị ờở< - < Û ờở- < < Đối chiếu đáp án ta chọn B

Cách khác: - Từ đồ thị hàm số y  f    x , có f    x    x 0

2 y f x  x x nghịch biến trên các khoảng    ; 1  và   0;4

2 y f x  x x cũng sẽ nghịch biến trên khoảng     1;3  0;4

Hàm số y = f(x) có đạo hàm và thỏa mãn điều kiện f(2) = 0 Đồ thị của hàm số y = f'(x) có hình dạng cụ thể Câu hỏi đặt ra là hàm số y = (f(x))^2 nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng đã cho.

Lời giải Chọn D Ta có f '   x    0 x 1; x   2 ; f   2  f     2 0 Ta có bảng biến thiên :

0 f x x g x f x f x f x x ỡ Â ù > ộ < - ù ờ Â < Û Â < Û ớ ù ù ợ < Û ờ ở <