194 câu vận dụng cao từ các trường năm 2021

Lượng giác

 thỏa cos 2 x  cos 2 y  2sin  x  y   2 Tìm giá trị nhỏ nhất của

Ta có cos 2 x  cos 2 y  2sin  x  y    2 sin 2 x  sin 2 y  sin  x  y  Suy ra: x   y 2 Áp dụng bđt: a 2 b 2  a b  2 m n m n

Câu 2: [TRƯỜNG THPT ĐỒNG HẬU-VĨNH PHÚC LẦN 1] Với giá trị nào của m để phương trình msin 2 x3sin cosx x m 1có đúng 3 nghiệm 0;3 x  2 

Hướng dẫn giải Đáp án C

PT đã cho Û m ( sin 2 x - 1 ) - 3sin cos x x - = 1 0 Û 3sin cos x x + cos 2 x + = 1 0

Dễ thấy cosx0 PT tan 2 x3 tanx  m 1 0 Để PT đã cho có ba nghiệm thuộc 0;3

  thì PT t 2    3t m 1 0 có hai nghiệm trái dấu

Câu 3: Tìm m để phương trình sin 4 x+ cos 4 x+ cos 4 2 x= m có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn

Phương trình đã cho tương đương 3 cos4 cos 4 2 4cos 4 2 cos4 4 3 1 ( )

+ + = Û + = - Đặt t = cos4 x Phương trình trở thành: 4 t 2 + = t 4 m - 3, 2 ( ) , (2)

4 4 x é- p pù ê ú ẻ ờở ỳỷ thỡ t ẻ - [ 1;1 ] Vỡ một giỏ trị t ẻ - [ 1;1 ] sẽ tạo ra hai giỏ trị ;

4 4 x é- p pù ê ú ẻ ờở ỳỷnờn phương trình (1) có 4 nghiệm phân biệt ;

4 4 x é- p pù ê ú ẻ ờở ỳỷkhi và chỉ khi phương trỡnh (2) cú 2 nghiệm phõn biệt t ẻ - [ 1;1 3 ]( )

Xét hàm số ( ) 4 2 ví i t [ 1;1 , ) ( ) 8 1; ( ) 0 1 g t = t + t ẻ - g t = t+ g t = Û = -t 8

Dựa vào bảng biến thiên suy ra (3) xảy ra 1 4 3 3 47 3

Vậy giá trị của m phải tìm là: 47 3

Tổ hợp

Câu 4: (THPT Chuyên Đại Học Vinh - Nghệ An - 2018) Có bao nhiêu số có 4 chữ số được viết từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 sao cho số đó chia hết cho 15 ?

Gọi số số cần lập có dạng: ¥  abcd  1 a b c d , , , 9 

• Chọn a có 9 cách, chọn b có 9 cách chọn thì:

+ Nếu a b 5 chia hết cho 3 thì c   3;6;9   c có 3 cách chọn

+ Nếu a b 5 chia cho 3 dư 1 thì c   2;5;8   c có 3 cách chọn

+ Nếu a b 5 chia cho 3 dư 2 thì c   1; 4;7   c có 3 cách chọn

Vậy, theo quy tắc nhân ta có: 9.9.3243 số

Câu 5: (MEGABOOK-ĐỀ 3) Từ các chữ số 0,1, 2,3, 4,5, 6có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có

5 chữ số khác nhau và chia hết cho 15

Gọi số cần tìm là abcde Số mà chia hết cho 15 thì phải chia hết cho 3 và 5

Trường hợp 1 Số cần tìm có dạng abcd0, để chia hết cho 3 thì a b c d, , , phải thuộc các tập sau

Do đó trong trường hợp này có 5.4! 120 số

Trường hợp 2 Số cần tìm có dạng abcd5, để chia hết 3 thì a b c d e, , , , phải thuộc các tập sau

Nếu a b c d, , , thuộc B B B 1 , 2 , 3 ,thì có 3.3.3.254, số a b c d, , , thuộc B B 4 , 5 thì có 2.4! 48 Tổng lại có 120 54 48 222   số

Câu 6: Tổng T= C 1 2018 + C 2018 2 + C 2018 3 +K + C 2018 2018 bằng bao nhiêu?

 Tự luận: Khai triển nhị thức Niu tơn

Câu 7: (THPT VIỆT ĐỨC) Trong hệ tọa độ Oxy có 8 điểm nằm trên tia Ox và 5 điểm nằm trên tia

Khi nối một điểm trên tia Ox và một điểm trên tia Oy, ta tạo ra 40 đoạn thẳng Câu hỏi đặt ra là có bao nhiêu giao điểm của 40 đoạn thẳng này nằm trong góc phần tư thứ nhất của hệ trục tọa độ xOy, với điều kiện không có ba đoạn thẳng nào đồng quy tại một điểm.

Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 điểm trong 13 điểm đã cho là C C 2 8 5 2 280

Mỗi tứ giác đó có hai đường chéo cắt nhau tại 1 điểm thuộc góc phần tư thứ nhất của hệ tọa độ Oxy

Vậy số giao điểm là 280

Một khối lập phương có cạnh dài 2cm được chia thành 8 khối lập phương nhỏ, mỗi khối có cạnh 1cm Câu hỏi đặt ra là có bao nhiêu tam giác có thể được tạo thành từ các đỉnh của khối lập phương 1cm này.

Có tất cả 8.2 6.2 4 3 2 2 2      49 bộ ba điểm thẳng hàng

Câu 9: ( TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH) Tìm số tự nhiên n thỏa mãn

Câu 10: (TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH) Cho đa thức

     1   8   1   9   1   10   1   11 1   12 p x x x x x x Khai triển và rút gọn ta được đa thức:

Phương pháp: Áp dụng công thức khai triển tổng quát:  

 n  n n k n k k k a b C a b Đối với bài toán này ta áp dụng công thức  

 n  n n k n k k k x C x Sau đó dựa vào khai triền bài toán cho P x  a 0a x a x 1  2 2   a x 2 12 ta tìm được hệ số a 8 (đi theo x 8 )

Vậy Hệ số cần tìm là: a 8 C 8 8 C 9 8 C 10 8 C 11 8 C 12 8   1 9 45 165 495715

Câu 11: (THPT Lê Văn Thịnh- Bắc Ninh-Lần 1) Tìm hệ số củ a số hạng chứa x 3 trong khai triển

Số hạng chứa x 3 trong khai triển là hệ số x 3 trong khai triển  1 2  x    80 0

Khi đó số hạng chứa x 3 trong khai triển là: C 60 3  1 80 3  2  x 3  8.C x 60 3 3

Câu 12: (TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH) Cho đa thức

     1   8   1   9   1   10   1   11 1   12 p x x x x x x Khai triển và rút gọn ta được đa thức:

P x a a x a x a x Tính tổng các hệ số a i i , 0,1, 2, ,12

Sử dụng công thức tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân 1  1

S u q q Áp dụng khai triển nhị thức Newton   2

Câu 13: (THPT Chuyên Bắc Ninh - Bắc Ninh - Lần 1 - 2018) Tìm tất cả số tự nhiên n thỏa mãn

Trong trò chơi "Chiếc nón kỳ diệu" tại THPT Phạm Công Bình - Vĩnh Phúc, chiếc kim của bánh xe có khả năng dừng lại ở mười vị trí khác nhau với xác suất đồng đều Để tính xác suất mà trong ba lần quay, chiếc kim dừng lại ở ba vị trí khác nhau, ta cần xem xét các khả năng của từng lần quay.

Quay 3 lần thì số kết quả thu được là 10 3

Kim của chiếc nón ở 3 vị trí khác nhau ở 3 lần quay có số kết quả là 10.9.8 720

Xác suất để kim của chiếc nón ở 3 vị trí khác nhau ở 3 lần quay là: 720 3 18 0, 72

Một nhóm học sinh gồm 6 nam, trong đó có Quang, và 4 nữ, trong đó có Huyền, được xếp ngẫu nhiên vào 10 ghế trên một hàng ngang để dự lễ sơ kết năm học Xác suất để có 2 bạn nữ ngồi gần nhau, giữa 2 bạn nam, và đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền là một bài toán xác suất thú vị.

Không gian mẫu (xếp 10 bạn bất kì): n     10!

Cách sắp xếp giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam là: 4!.6!

Nữ Nam Nam Nữ Nam Nam Nữ Nam Nam Nữ

Có 6 trường hợp hai bạn Nam, Nữ ngồi cạnh nhau

Giả sử Quang và Huyền ngồi cạnh nhau

Khi đó số cách chọn xếp được giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang ngồi cạnh Huyền là C 1 6 3!.5!

Vậy số cách chọn xếp được giữa 2 bạn nữ gần nhau có đúng 2 bạn nam, đồng thời Quang không ngồi cạnh Huyền là n A  4!.6!C 6 1 3!.5! 12960

Xác suất cần tìm là    

Câu 16 yêu cầu tính xác suất để một số tự nhiên được chọn ngẫu nhiên từ tập hợp A, gồm tất cả các số tự nhiên có tám chữ số khác nhau, chia hết cho 45 Để số này chia hết cho 45, nó phải chia hết cho cả 5 và 9 Do đó, chữ số cuối cùng phải là 0 hoặc 5, và tổng các chữ số phải chia hết cho 9 Việc xác định các số thỏa mãn điều kiện này trong tập hợp A là cần thiết để tính xác suất chính xác.

Gọi A là tập hợp các số a có 8 chữ số khác nhau chia hết cho 45

Khi đó a chia hết cho 5 và 9 (tổng các chữ số chia hết cho 9 và số hàng đơn vị bằng 0 hoặc 5)

Trường hợp 1: a có hàng đơn vị bằng 0; 7 chữ số còn lại có chữ số 9 và 3 trong 4 bộ số

Trường hợp 2: a có hàng đơn vị bằng 5; 7 chữ số còn lại có chữ số 4 và 3 trong 4 bộ số

* Không có bộ   0;9 , có 7! số

Trong cuộc thi cờ tướng giữa hai người ngang tài ngang sức, người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván, trong khi người chơi thứ hai chỉ thắng 2 ván Để tính xác suất người chơi thứ nhất giành chức vô địch, cần xác định khả năng thắng thêm một trong các ván tiếp theo cho đến khi đạt được 5 ván thắng.

Theo giả thiết hai người ngang tài ngang sức nên xác suất thắng thua trong một ván đấu là

Tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai thắng 2 ván, để người thứ nhất chiến thắng, họ cần thắng thêm 1 ván và người thứ hai không được thắng quá 2 ván Có ba khả năng xảy ra trong tình huống này.

TH1: Đánh 1 ván Người thứ nhất thắng xác suất là   0,5

TH2: Đánh 2 ván Người thứ nhất thắng ở ván thứ hai xác suất là   0, 5 2

TH3: Đánh 3 ván Người thứ nhất thắng ở ván thứ ba xác suất là   0, 5 3

Khi gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, kết quả được biểu diễn bằng hai số b và c, trong đó b là số chấm xuất hiện ở lần gieo đầu tiên và c là số chấm ở lần gieo thứ hai Các kết quả này sẽ được thay vào phương trình 2 0 *   để phân tích và tính toán.

  x bx c x Xác suất để phương trình (*) vô nghiệm là:

Hướng dẫn giải Đáp án B

Phương pháp: Xác suất của biến cố A là

 n A n trong đó n A là số khả năng mà biến cố A có thể xảy ra,n  là tất cả các khả năng có thể xảy ra

 x bx c x Để phương trình (*) vô nghiệm thì phương trình x 2  bx c   0 **   có 2 trường hợp xảy ra: TH1: PT (**) có 1 nghiệm x 1.

Vì c là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ 2 nên c  6 b 2 6 4, 9

Mà b là số chấm xuất hiện ở lần giao đầu nên b   1; 2;3; 4 

Với b2ta có: c    1 c  2;3; 4;5;6  có 5 cách chọn c

Với b4ta có: c    4 c   5;6 có 2 cách chọn c

Do đó có 6 5 4 2 17    cách chọn   b c ; để phương trình (**) vô nghiệm

Gieo con súc sắc 2 lần nên số phần tử của không gian mẫu n  6.636

Vậy xác suất đề phương trình (*) vô nghiệm là 1 17 1

Khi gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, ta ký hiệu b là số chấm xuất hiện trong lần gieo đầu và c là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai Kết quả b và c được thay vào phương trình bậc hai x² + bx + c = 0 Bài toán yêu cầu tính xác suất để phương trình này có nghiệm.

• Số phần tử của không gian mẫu là n     36

Gọi A là biến cố thỏa yêu cầu bài toán

Phương trình x 2 bx c 0 có nghiệm khi và chỉ khi  b 2 4c 0 b 2 4c

Xét bảng kết quả (L – loại, không thỏa ; N – nhận, thỏa yêu cầu đề bài)

Dựa vào bảng kết quả trên ta thấy số kết quả thuận lợi cho A là 19

Vậy xác suất của biến cố A là :   19

Dãy số

Dãy số \(a_n\) được xác định bởi \(a_1 = 5\) và \(a_{n+1} = q \cdot a_{n+3}\) với mọi \(n \geq 1\), trong đó \(q\) là hằng số, \(a \neq 0\) và \(q \neq 1\) Công thức số hạng tổng quát của dãy số này có thể được viết dưới dạng cụ thể.

Theo giả thiết ta có a 1 5,a 2 5q3 Áp dụng công thức tổng quát, ta được

Câu 21: [THPT Phạm Công Bình - Vĩnh Phúc - Lần 1] Gọi n 4 7 10 1 3 n.

      Khi đó S 20 có giá trị là

Hướng dẫn giải Đáp án D

Câu 22: (THPT LÊ VĂN THỊNH) Cho dãy số ( ) u n thỏa mãn

Câu 23: (MEGABOOK-ĐỀ 3) Cho tam giác ABC có độ dài các cạnh là a b c, , theo thứ tự lập thành một cấp số cộng Biết tan tan  , 

2 sin sin 2 sin 2 sin 4 sin 4 sin

A C A C A C A C A C A C cos  cos  cos cos cos cos

3sin sin 3 tan tan 1 tan tan 1

Giới hạn

Câu 24: [ME GA BOOK] Tính giới hạn 2 2 2 2 x n n n n

Câu 25: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ 10/2017) Đặt f n     n 2   n 1  2  1 Xét dãy số   u n sao cho

Câu 26: (THPT Việt Trì) Đặt f n     n 2   n 1  2  1 Xét dãy số  un sao cho

Câu 28: (THPT Lam Sơn – Thanh Hóa – Lần 1 – 2018) Cho là đa thức thỏa mãn

Hướng dẫn giải Đáp án B

Để tính giới hạn vô định dạng ∞/∞ với biểu thức chứa căn, ta có thể áp dụng phương pháp nhân liên hợp Bằng cách này, chúng ta sẽ loại bỏ nhân tử trong tử và mẫu, từ đó tạo ra hằng đẳng thức giúp đơn giản hóa bài toán.

Câu 29: (THTT - Lần 2 – 2018) Xác định giá trị thực k để hàm số

Lời giải Đáp án A Để f x   liên tục tại x1 thì     lim1 1 x f x f

Đạo hàm

Câu 30: Một chất điểm chuyển động theo phương trình S   t 3 9t 2  t 10 trong đó t tính bằng (s) và

S tính bằng (m) Thời gian vận tốc của chất điểm đạt giá trị lớn nhất là:

 Tự luận: Theo tính chất vật lí ta có đạo hàm của quãng đường là vận tốc vận tốc của chất điểm là vS 3t 2 18t1

Vận tốc chất điểm đạt giá trị lớn nhất bằng 28 tại t3s

Câu 31: (ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỊNH KỲ)

Cho hàm số yx 4 4x 2 3 có đồ thị   C Có bao nhiêu điểm trên trục tung từ đó có thể vẽ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị   C

Ta có điểm M 0; a    Oy Tiếp tuyến  qua M có dạng ykxa Điều kiện tiếp xúc

Suy ra x 4  4x 2   3  4x 3  8x x a   có 3 nghiệm phân biệt

     có 3 nghiệm phân biệt     a 3 0 a 3 (nên có 1 giá trị thỏa)

Phép biến hình

Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng d có phương trình x + y - 2 = 0 Để tìm phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đồng dạng, ta thực hiện liên tiếp hai phép biến hình: đầu tiên là phép vị tự tâm I (-1, 1) với tỉ số k = 2, sau đó là phép quay tâm O với góc -45 độ.

Hướng dẫn giải Đáp án D

  biến đường thẳng d thành đường thẳng đi qua 1 1

M  , có cùng vtpt  1;1 và có phương trình là 1 1

Phép quay tâm O góc quay  45 biến điểm N x y   ; thuộc đường thẳng x   y 0 thành điểm

Quan hệ vuông góc

Câu 33: (THPT CHUYÊN LAM SƠN-THANH HÓA LẦN 1 NĂM 2018) Xét tứ diện OABC có

Trong không gian ba chiều, các đường thẳng OA, OB, OC vuông góc với nhau, và các góc α, β, γ lần lượt là góc giữa các đường thẳng OA, OB, OC với mặt phẳng (ABC) Giá trị nhỏ nhất của biểu thức liên quan đến các góc này sẽ được xác định trong bối cảnh hình học này.

Cách 1: Đặt hệ trục tọa độ Oxyz  tọa độ các điểm A(a;0;0), B(0;b;0),C(0;0;c)

Dùng công thức tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng ta có được kết quả:

      2 2 2 sin cos ABC ; OA bc n u bc ca ab

Viết kết quả tương tự  sin 2   sin 2   sin 2   1

OH OA OB OC  OA  OB OC      

Dấu "=" xảy ra được nên có Mmin = 125 Đáp án C

Câu 34: (THPT Việt Trì) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B

AB  BC  a, AD  2a SA vuông góc với mặt phẳng đáy, SA a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SB và CD Tính cosin góc giữa MN và SAC  

Tam giác ACD có thể được chứng minh là vuông tại C, từ đó cho thấy CN vuông góc với mặt phẳng (SAC), tức là C là hình chiếu vuông góc của N trên (SAC) Đường thẳng MN cắt mặt phẳng (SAC) tại điểm J, do đó góc giữa MN và mặt phẳng (SAC) là góc NJC.

IN là đương trung bình trong tam giác ACD suy ra IN=a, IH là đường trung bình trong tam giác

IH BC a Dựa vào định lí Talet trong tam giác MHN ta được

IJ MH SA SA a Dựa vào tam giác JIC vuông tại I tính được  22

Tam giác NJC vuông tại C nên   55 cos 10

Câu 35: [THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ 2018 - LẦN 1] Cho hình hộp chữ nhật

ABCD A B C D có các cạnh AB  2, AD  3, AA  4 Góc giữa mặt phẳng  AB D    và

 A C D    là  Tính giá trị gần đúng của góc ?

Hai mặt phẳng \( (AB D'') \) và \( (A C D'') \) giao nhau tại đường thẳng EF Từ các điểm A' và D', ta kẻ hai đoạn vuông góc đến EF, tạo thành một điểm chung H Góc giữa hai mặt phẳng cần tìm chính là góc giữa hai đường thẳng AH' và DH.

Tam giác DE F’ lần lượt có 13 5

Theo hê rông ta có: DEF 61

  EF  Trong tam giác D A H' ' có

Cách 2: Gắn hình hộp chữ nhật ABCD A B C D ' ' ' ' vào hệ trục tọa độ như hình vẽ Khi đó

Gọi n 1 là véc tơ pháp tuyến của  AB D    Có n 1    AB AD ;      12; 8; 6  

Gọi n 2 là véc tơ pháp tuyến của  A C D    Có n 2    A C A D    ;      12;8; 6 

Gọi  là góc giữa hai mặt phẳng  AB D    và  A C D   

   Vậy giá trị gần đúng của góc α là 61, 6 

Câu 36: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a và cạnh bên SA vuông góc với đáy Biết 6

SAa Tính số đo góc giữa hai mặt phẳng  SBD  và mặt phẳng đáy  ABCD 

Gọi O là giao điểm của AC và BD

Ta có: BDAC ( do ABCD là hình vuông)

BDSA ( do SA   ABCD  )

Suy ra BD   SAC   BD  SO (do SO   SAC  )

SO SBD SO BD SBD ABCD SO AC SOA

Tam giác SAO vuông tại A nên

Câu 37: [ THPT Thuận Thành – Bắc Ninh – 2018] Cho hình hộp chữ nhật ABCD A’B’C’D’ có

AB a, AD   2a, AA’ 3a  Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, C’D’ và DD’ Tính khoảng cách từ A đến mp(MNP)

Gọi E là giao điểm của NP và CD Gọi G là giao điểm của NP và CC’ Gọi K là giao điểm của

MG và B’C’ Gọi Q là giao điểm của ME và AD Khi đó mặt phẳng (MNP) chính là mặt phẳng

(MEG) Gọi d , d 1 2 lần lượt là khoảng cách từ C, A đến mặt phẳng (MEG) Do AC cắt (MEG) tại điểm H (như hình vẽ) nên 1

2 d HC d  HA Do tứ diện CMEG là tứ diện vuông tại C nên

   Ta có QD ED 1 QD a

Trong bài toán hình học, cho hình chóp S ABCD với đáy là hình vuông ABCD có tâm O và cạnh AB = a Đường cao SO vuông góc với mặt đáy và có độ dài SO = a Câu hỏi đặt ra là khoảng cách giữa đoạn thẳng SC và cạnh AB.

Hướng dẫn giải Đáp án D

Vỡ AB / / ( SCD ) ị khoảng cỏch d giữa AB bằng khoảng cỏch giữa AB và ( SCD )

Gọi M N , lần lượt là trung điểm của AB CD , khi đó AB^ ( SMN )

Kẻ đường cao MH của DSMN ị MH là khoảng cỏch giữa ABvà SC

Trong bài toán hình học này, cho hình chóp S.ABC với đáy ABC là tam giác đều có cạnh a, và SA vuông góc với mặt phẳng đáy với SA = a Nhiệm vụ là tính khoảng cách giữa hai đường thẳng SA và BC.

Lăng trụ ABC A B C có đáy là tam giác đều cạnh a, với hình chiếu vuông góc của điểm A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm của tam giác ABC Thể tích của khối lăng trụ này được xác định dựa trên các thông số đã cho.

3 3 4 a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng '

Hướng dẫn giải Đáp án D

Ta có d AA BC  , d AA BB C C  ,     d A BBC C  ,    

Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm BC và B’C’, G là trọng tâm của tam giác ABC

Theo giả thiết ta có BC AM BC  AA G  BC AA

  , nên tứ giác BB’C’C là hình chữ nhật có cạnh BC = a

Câu 41: (THPT Chuyên Đại Học Vinh - Nghệ An - 2018) Cho hình lăng trụ tam giác đều

ABC.A'B'C' có AB  a, AA '  2a Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB' và A'C

• Gọi I M , lần lượt là trung điểm của A B BC  ,  IM A C //   A C  //  AB M  

Tứ diện ABCD có cạnh AB dài x và các cạnh còn lại dài 2 Gọi S là diện tích tam giác ABC và h là khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC) Cần xác định giá trị của x để biểu thức V = S.h đạt được.

 3 đạt giá trị lớn nhất

Gọi K là trung điểm của AB, do ∆CAB và ∆DAB là hai tam giác cân chung cạnh đáy AB nên

Kẻ DHCK ta có DH   ABC 

V S.h CK.AB DH CK.DH AB

Dễ thấy  CAB   DAB  CK  DK hay  KDC cân tại K Gọi I là trung điểm CD, suy ra

KI KC CI AC AK CI 4 1 12 x

Suy ra S KDC 1 KI.CD 1 12 x 2

      Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x 12 x hay x 2  6

Trong bài toán hình học này, chúng ta xem xét một hình chóp tứ giác đều S ABCD với cạnh đáy bằng a Điểm M và N lần lượt là trung điểm của SA và BC Đáng chú ý, góc giữa đoạn thẳng MN và mặt phẳng ABCD là 60 độ Nhiệm vụ là xác định khoảng cách giữa hai đường thẳng BC và DM.

Gọi H là trung điểm OAMH//SO mà SO   ABCD   MH   ABCD   MH là hình chiếu vuông góc của MN lên mặt phẳng  ABCD  Do đó,  MN ;  ABCD    MNH  60 0

 ;   ;     ;     ;    2  ;    d BC DM d BC ADM d BC SAD d N BC SAD d O SAD

Gọi I là trung điểm AD , ta có  SAD    SOI  theo giao tuyến SI Kẻ

Câu 44: (THPT Việt Trì) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  4 cm.

Tam giác SAB đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với  ABC  M thuộc SC sao cho

CM 2MS Khoảng cách giữa hai đường AC và BM là?

Gọi I là điểm thuộc SA sao cho 1 //

Gọi H là trung điểm của AB Ta có

SAB ABC AB SH ABC

AC SAB IM SAB IM BI BIM

BI AB AI  ABAIc       c  BI  3

S  BIM  BI IM  AC AC

Ứng dụng đạo hàm

Câu 45: [Trường THPT Hải Hậu – Lần 1] Bất phương trình 2x 3 3x 2 6x 16  4 x 2 3 có tập nghiệm là   a;b Hỏi tổng a + b có giá trị là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải Đáp án là A

    Suy ra hàm số f x  đồng biến trên tập xác định

Ta nhận thấy phương trình 2x 3 3x 2 6x 16  4 x 2 3 có một nghiệm x 1

Suy ra trong đoạn   1,4 thì bất phương trình đã cho luôn đúng (vì hàm số đồng biến)

Câu 46: [THPT Phạm Công Bình - Vĩnh Phúc - Lần 1] Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình 3sin 2 cos 2 2 1 sin 2 4 cos 1 x x x x m

Hướng dẫn giải Đáp án D

3sin 2x cos 2x 3sin 2x cos 2x y sin 2x 4cos x 1 sin 2x 2cos 2x 3

Và sin 2x  2 cos 2x     3 0; x i Xét phương trình y 3sin 2x cos 2x sin 2x 2 cos 2x 3

sin 2x 2cos2x 3 y 3sin 2x cos2x y 3 sin 2x 2y 1 cos2x 3y

Phương trình trên có nghiệm nên  y  3   2  2y 1    2   3y  2  5y 2  10y 10   9y 2

Suy ra giá trị lớn nhất của y là 5 65

Phương trình 3sin 2x cos 2x m 1 sin 2x 2 cos 2x 3

  nghiệm đúng với mọi số thực x khi

Câu 47: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ Lần 05) Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số cot cot

Lời giải Đáp án C Đặt t  2 cot x thì t  t x ( )  2 cot x nghịch biến trên ;

  và tập giá trị của t là  0;2 

Bài toán trở thành tìm m để hàm số f t ( )   t 3 ( m  3) t  3 m  2, t   0;2 ,  nghịch biến trên nửa khoảng  0;2  Ta có 2  

Vậy với m 9 thì hàm số đã cho đồng biến trên ;

Câu 48: [THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ 2018 - LẦN 1] Hàm số

   3  3 3 y xm  xn x (tham số m n, ) đồng biến trên khoảng    ;  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  4  m 2  n 2    m n bằng

Hàm số đồng biến trên ;  0 0

Do vai trò của m n, là như nhau nên ta chỉ cần xét trường hợp m0

TH2: mn   0 m  0; n  0(Do vai trò của m n, như nhau)

P   16 Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi 1 ; 0 m  8 n  hoặc 0; 1 m  n  8

 , hàm số đồng biến trên  3;   khi:

  Để hàm số đồng biến trên  3;  

Câu 50: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ 10/2017) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số

Lời giải Đáp án B Đặt sin , 0;   0;1

Ta có f t '    3 t 2   6 t m Để hàm số f t   đồng biến trên   0;1 cần: f t '    0,   t   0;1

Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy với m0 thì hàm số f t   đồng biến trên   0;1 , hàm số

Câu 51: (THPT C NGHĨA HƯNG-NAM ĐỊNH Lần 1) Tìm tất cả các tham số m để hàm số

Ta có y ' 3   m   1   2 m  1 sin  x để hàm số nghịch biến trên thì y '  0 với mọi x xét BPT

3 m 1 2m1 sinx0 Nếu 1 m   2 BPT luôn đúng Với 1 m   2 BPT 3 1   sin 2 1 x m m

 để hàm số luôn nghịch biến với mọi x thì 3 1  

 để hàm số luôn nghịch biến với mọi x thì 3 1  

Kết hợp hai trường hợp ta có 2 m  5

Câu 52: (THPT B Hả i Hậu - Nam Đi ̣nh - Lầ n 1 - 2018) Bất phương trình

2x 3x 6x 16  4 x 2 3 có tập nghiệm là   a;b Hỏi tổng a + b có giá trị là bao nhiêu?

    Suy ra hàm số f x  đồng biến trên tập xác định

Ta nhận thấy phương trình 2x 3 3x 2 6x 16  4 x 2 3 có một nghiệm x 1 Suy ra trong đoạn   1,4 thì bất phương trình đã cho luôn đúng (vì hàm số đồng biến)

Trong bài toán này, hai vị trí A và B nằm cùng phía bờ sông với khoảng cách lần lượt từ A đến bờ sông là 118m và từ B đến bờ sông là 478km Người đi từ A đến bờ sông để lấy nước và mang về B cần tìm đoạn đường ngắn nhất để thực hiện việc này.

Hướng dẫn giải Đáp án C

Cách 1: Giải bằng hàm số Đặt CM  x x   0 

Từ đề bài ta có: f x    x 2  118 2   492 x   2  487 2

Quãng đường ngắn nhất người đó có thể đi  Giá trị nhỏ nhất của f x   trên  0;492 

Ta có bảng biến thiên

Vậy quãng đường ngắn nhất mà người đó có thể đi là: 779,8

Cách 2: Giải bằng hình học

Gọi B’ là điểm đối xứng của B qua D

Dễ thấy AM + MB = AM + MB’

Dễ thấy theo bất đẳng thức tam giác: AM + MB’ ≥ AB’

AM + MB’ ngắn nhất  AM + MB’ = AB’

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi A, M, B’ thẳng hàng

Câu 54 từ đề thi THPT Chuyên Quang Trung lần 1 đề cập đến hàm số y = x^4 - 2mx^2 - 2m^2 + m^4 với đồ thị (C) Đồ thị (C) có ba điểm cực trị A, B, C và tạo thành hình thoi ABDC, trong đó điểm D có tọa độ (0; 3) và điểm A nằm trên trục tung Câu hỏi đặt ra là xác định khoảng giá trị của m.

Ta có y '  4x 3  4mx Để đồ thị có ba điểm cực trị thì phương trình y '   0 4x 3  4mx  0 phải có 3 nghiệm phân biệt

     Khi đó điều kiện cần là m 0. Ta có ba nghiệm là x 0, x m, x  m

Do A thuộc trục tung nên A 0; m  4  2m 2  Giả sử điểm B nằm bên phải của hệ trục tọa độ, khi đó B  m; m 4  3m 2   , C  m; m 4  3m 2 

Ta kiểm tra được ADBC Do đó để ABDC là hình thoi thì trước hết ta cần AB  CD Ta có

Do điều kiện để có ba điểm cực trị là m 0 nên ta chỉ có m 1 hoặc m  3

Với m 1 thì A 0; 1 , B 1; 2 ,C       1; 2  Ta có AB   1; 1    AB  2 Tương tự ta có

BD  CD  CA  2 Như vậy ABDC là hình thoi Vậy m 1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

      nên các đáp án A, B, C đều sai

Với m  3 Trong trường hợp này B  4 3; 0 , C    4 3; 0 , A 0;3    Ta kiểm tra được

ABBDDCCA 9 3 Do đó ABDC cũng là hình thoi và m  3thỏa mãn yêu cầu bài toán

Trong bài toán thi trắc nghiệm, để tiết kiệm thời gian, chỉ cần xem xét trường hợp m = 1 Từ đó, chúng ta có thể kết luận rằng đáp án cần chọn là D mà không cần phải kiểm tra thêm trường hợp m = 3.

Đồ thị hàm số y = x^4 - 2mx^2 + 2 có 3 điểm cực trị tạo thành 3 đỉnh của một tam giác vuông cân Từ đó, chúng ta cần tính giá trị của biểu thức P = m^2 + 2m + 1.

Các điểm cực trị là A (0; 2); B( m; 2m 2 ); C(- m; 2 - m ) 2

Tam giác ABC luôn cân tại A, tam giác ABC vuông khi và chỉ khi BC 2  2 AB 2

Câu 56: (ĐỀ THI CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH KSCL HK1 2018) Cho hàm số y  f x   có đạo hàm f '   x  x 2  x  1  x  4  2 Khi đó số điểm cực trị của hàm số y  f x   2 là

Từ (1) và (2) suy ra g '   x  2 x 5  x 2  1  x 2  4  2  Bảng biến thiên (tự vẽ)

Dựa vào BBT, suy ra hàm số y  g x   có 3 điểm cực trị x  0, x   1

Câu 57: (MEGABOOK-ĐỀ 3) Cho đồ thị hàm số y  f x   có đồ thị đạo hàm như hình vẽ Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y  f x   3 là:

  Dựa vào đồ thị đạo hàm ta thấy   3 3 3 3

Do đó khi vẽ bảng biến thiên của y  f x   3 chỉ có 2 điểm  x  0, x  3 4  làm đạo hàm của nó đổi dấu nên có 2 điểm cực trị

Câu 58: [THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ 2018 - LẦN 1] Đồ thị hàm số

3 2 y  ax  bx  cx  d có hai điểm cực trị A  1; 7 ,    B 2; 8   Tính y    1 ?

Theo bài cho ta có:

Câu 59: [TRƯỜNG THPT ĐỒNG HẬU-VĨNH PHÚC LẦN 1] Cho hàm số

  3  2 1  2  2  2 f x  x m x  m x Tìm tất cả các giá trị của m để hàm số y  f   x có 5 điểm cực trị

Hướng dẫn giải Đáp án A

Hàm số f x ( ) có năm điểm cực trịÛ f x ( ) có hai cực trị có giá trị trái dấu

D = - - - = - - > Û êê ê > ờở Dựa trên điều kiện của D' ta đã có thể chọn đáp án

Câu 60: [THPT PHAN CHU TRINH ĐAKLAK LẦN 2 - 2018] Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y 3x 4 4x 3 12x 2 m có 5 điểm cực trị

Ta có bảng biến thiên

 neáu neáu Nên từ bảng biến thiên của hàm số y  f x   suy ra hàm số y 3x 4 4x 3 12x 2 m có 5 điểm cực trị khi và chỉ khi 32 0

Do đó có 27 giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y 3x 4 4x 3 12x 2 m có 5 điểm cực trị

Câu 61: Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số y  x 3  2 mx 2  m x 2  2 đạt cực tiểu tại x1

Phương pháp: Điểm x  x 0 là điểm cựa tiểu của hàm số bậc ba y  f x   nếu     0

Ta có: y '  3 x 2  4 mx  m 2  y ''  6 x  4 m Để x1là điểm cực tiểu của hàm số bậc ba với hệ số x 3 dương thì:

Nhiều HS sẽ nhầm lẫn điều kiện để điểm x 0 là điểm cực tiểu là f ''  x 0 0dẫn đến chọn đáp án m3là sai

Câu 62: (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 1) Cho hàm số

 3    Để hàm số đạt cực trị tại x ; x 1 2 thỏa mãn

Để phương trình y' = x² - 2ax - 3a có hai điểm cực trị x₁ và x₂, cần thỏa mãn điều kiện phương trình y' = 0 có hai nghiệm phân biệt Điều này xảy ra khi và chỉ khi a² - 3a > 0, tức là a(a - 3) > 0, từ đó suy ra a < 0 hoặc a > 3.

              Khi đó áp dụng định lý Vi-et ta nhận được x1 x2 2a 2   Chú ý x 1 là nghiệm của   1 và sử dụng   2 nên

Tương tự ta có x 2 2 2ax 1 9a4a 2 12a

Để tìm tất cả các giá trị của tham số m, chúng ta cần phân tích đồ thị hàm số y = x^4 - 2mx^2 + 2m + m^4 Đồ thị này có 3 điểm cực trị, và chúng ta yêu cầu rằng 3 điểm này tạo thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 2 lần bán kính đường tròn nội tiếp Việc xác định các giá trị của m sẽ giúp chúng ta hiểu rõ hơn về hình học của tam giác được tạo ra từ các điểm cực trị của hàm số.

Ta có y '  4 x 3  4 mx  4 x x  2  m  để tồn tại ba điểm cực trị thì m0 khi đó tọa độ ba điểm cực trị là A  0; m 4  2 m  , B  m m ; 4  m 2  2 m C   ,  m m ; 4  m 2  2 m 

    , BC  2 m gọi M là trung điểm

BCMB mAM  AB MB  m   m m m

Câu 64: (ĐỀ THI CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH KSCL HK1 2018) Cho hàm số f x    ax 4  bx 2  c vớia0,c2017 vàa b c  2017 Số cực trị của hàm số y  f x    2017 là:

Xét f x    ax 4  bx 2  c a   0  ta có:     1 2017   1   0

Dựa vào 2 dạng của đồ thị hàm số bậc 4 trùng phương khi a0

Suy ra hàm số y  f x   có 3 điểm cực trị và PT: f x    2017 có 4 nghiệm phân biệt

 có 7 nghiệm phân biệt do đó hàm số có 7 cực trị

Câu 65: (THPT CHUYÊN BẮC NINH) Cho hàm số y  f x  với đạo hàm f x    có đồ thị như hình vẽ Hàm số     3 2 2

3 g x  f x  x   x x đạt cực đại tại điểm nào?

Từ đồ thị hàm số f x '   ta thấy: f ' 0     1  0 1   2 nên x  0là một nghiệm của g x '( ).

Vậy phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt x 1  0, x 2  1, x 3  2.

Vẽ đồ thị hàm số y   x  1  2 trên cùng mặt phẳng tọa độ với y  f ' ( x )ta thấy:

Trong khoảng(0;1) thì đồ thị hàm số y  f ' ( x ) nằm phía trên đồ thị hàm số y   x  1  2 nên

Trong khoảng(1; 2) thì đồ thị hàm số y  f ' ( x ) nằm phía dưới đồ thị hàm số y   x  1  2 nên

Vậy x1 là điểm cực đại của hàm số y  g x ( )

Câu 66: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình, lần 1 – 2018) Cho hàm số

( 1) ( 1) 1 y  m  x  m  x  Số các giá tri ̣ nguyên của m để hàm số có mô ̣t điểm cực đa ̣i mà không có điểm cực tiểu là:

Ta có y '  4  m  1  x 3  2  m  1  x  2 x    m  1  x 2   m  1    Để hàm số có một điểm cực đại mà không có điểm cực tiểu thì

Câu 67: (THPT Việt Trì) Cho hàm số y 1 x -ax 3 2 3ax 4

 3   với alà tham số Biết a 0 là giá trị của tham số a để hàm số đã cho đạt cực trị tại hai điểm x , x 1 2 thỏa mãn

  Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Hàm số có hai điểm cực trị  y  0 có hai nghiệm phân biệt  x 2  2 ax  3 a  0 (*) có hai nghiệm phân biệt       0 a 2 3 a      0 a  ; 3   0; (1)

Khi đó hàm số đạt cực trị tại hai điểm x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình (*)

Ta có x 1 2 2ax 1 3a 0 x 1 2 2ax 1 3a; tương tự x 2 2 2ax 2 3a

Một đoàn cứu trợ lũ lụt tại vị trí A ở tỉnh miền Trung cần đến xã C để cung cấp lương thực và thuốc men Đoàn phải di chuyển theo lộ trình từ A đến B và sau đó từ B đến C.

Đoàn cứu trợ không thể di chuyển bằng xe từ A đến B do nước ngập, nhưng có thể chèo thuyền từ A đến D với tốc độ 4 km/h và sau đó đi bộ từ D đến C với tốc độ 6 km/h Khoảng cách giữa A và B là 5 km, trong khi khoảng cách giữa B và C là 7 km Cần xác định vị trí D cách A bao xa để đoàn cứu trợ đến C nhanh nhất.

A AD 2 5km B AD 3 5km C AD 5 2km D AD 5 3km

Gọi AD  x  5   x 74  Khi đó thì BD x 2 25CD 7 x 2 25

Tổng thời gian đi từ A đến C là   7 2 25

AD CD x x f x       Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm f x   này trên  5; 74 

Câu 69: (THPT Chuyên Đại Học Vinh - Nghệ An - 2018) Cho x y, thỏa mãn 2x 3 y 3 4.

Tìm giá trị nhỏ nhất của P x 2 y9

Câu 70: [THPT CHUYÊN HÙNG VƯƠNG - PHÚ THỌ 2018 - LẦN 1] Cho hàm số y  f x   có đồ thị y  f x    như hình vẽ Xét hàm số     1 3 3 2 3 2018

3 4 2 g x  f x  x  x  x  Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Căn cứ vào đồ thị y  f x    ta có

Ngoài ra, vẽ đồ thị   P của hàm số 2 3 3

2 2 y  x  x  trên cùng hệ trục tọa độ như hình vẽ bên (đường màu đỏ), ta thấy   P đi qua các điểm   3;3 ,     1; 2 , 1;1    với đỉnh 3 ; 33

Từ những nhận định trên, ta có bảng biến thiên của hàm y  g x    trên    3;1 như sau:

Câu 71: (THPT CHUYÊN QUANG TRUNG LẦN 1) Cho hàm số y x m x 1

 (m là tham số thực) thỏa mãn

Mệnh đề nào dưới đây đúng?

Với m 1 thì y  1 do đó m 1 không thỏa mãn yêu cầu bài toán

Với m 1 khi đó ta có y x m 1 m 1 x 1 x 1

Nếu m 1 lý luận tương tự ta cũng có

    Trong trường hợp này không tồn tại giá trị của mthỏa mãn yêu cầu bài toán

Câu 72: (THPT CHUYÊN LAM SƠN-THANH HÓA LẦN 1 NĂM 2018) Xét hàm số

  2 f x  x ax b , với a, b là tham số Gọi M là giá trị lớn nhất của hàm số trên   1;3  Khi

M nhận giá trị nhỏ nhất có thể được, tính ab

  1 1 f    a b ; f   3   9 3 a b  ; f   1    1 a b Xét 4 số f         1 ; f 1 ; f 3 ; f  1 có tổng T          1 a b 1 a b 9 3 a b    1 a b 8 *    có một trong 4 số không bé hơn 2  M  2

- Nếu M = 2 thì điều kiện cần là mỗi số f         1 ; f 1 ; f 3 ; f  1 không lớn hơn M = 2  tổng

Kết hợp với (*)  dấu "=" ở (*) phải xảy ra, đồng thời cả 4 số f         1 ; f 1 ; f 3 ; f  1 đều bằng 2

- Ngược lại khi a   2; b   1 , kiểm tra cụ thể f x    x 2  2 x  1 thỏa mãn M = 2 

Câu 73: [TRƯỜNG THPT YÊN DŨNG 3] Cho các số thực x, y thỏa mãn

  x    y 1 2 x   2 y  3 Giá trị lớn nhất của xy

Hướng dẫn giả i Đáp án A

Sử dụng BĐT buhinhacopski ta có  x   2 y  3  2     1 1 x     2 y 3   2 x   y  2

Tức là ta có  x   y 1  2  4 2   x  y   2  Đặt t   x y Chú ý rằng t 1

Ta có  t  1  2          8 t 8 t 2 6 t 7 0 1 t 7 Vậy maxt7 xảy ra khi

Câu 74: (THPT SƠN TÂY) Cho các số thực dương x y, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

Câu 75: (THPT C NGHĨA HƯNG-NAM ĐỊNH Lần 1) Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn

2 x y xy xy xy2 Giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Cho x y ,  0 thỏa mãn 2  x 2  y 2   xy   x  y  (2  xy )

 ta đc PT bậc II: 2 u 2    v 2  u   3 0 gải ra ta được

  với x y, thỏa mãn điều kiện (*)

Một sợi dây kim loại dài 60 cm được chia thành hai đoạn: một đoạn uốn thành hình vuông và đoạn còn lại uốn thành hình tròn Để tìm chiều dài đoạn dây uốn thành hình vuông khi tổng diện tích của hình vuông và hình tròn đạt giá trị nhỏ nhất, cần xác định các công thức tính diện tích và chiều dài các đoạn dây Tính toán này sẽ cho ra kết quả chính xác với độ chính xác đến hàng phần trăm.

Hướng dẫn giải Đáp án A

Gọi độ dài cỏc sợi dõy uốn thành hỡnh vuụng và hỡnh trũn lần lượt là x y , ị x + y = 60và x y, chính là chu vi của các hình trên

Diện tích hình vuông là

S =ổ ửữỗỗ ữỗố ứữ = ; Diện tớch hỡnh trũn là

= ỗỗố ứữữ Tổng diện tích hai hình

S p p x y S p p ổ ửữ ỗ ữ ị + =ỗỗỗố + ữữứ + ³ + = ị ³ + Đạt được khi 60 15 15.16 33, 61

Câu 77: [TRƯỜNG THPT ĐỒNG HẬU-VĨNH PHÚC LẦN 1] Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng 500 3

Để xác định kích thước hồ nước có đáy hình chữ nhật với chiều dài gấp đôi chiều rộng nhằm tối ưu hóa chi phí thuê nhân công, ta cần tính toán dựa trên giá thuê 500.000 đồng/m² Chi phí thuê nhân công sẽ đạt mức thấp nhất khi chiều dài và chiều rộng được xác định hợp lý.

A 65 triệu đồng B 75 triệu đồng C 85 triệu đồng D 45 triệu đồng

Hướng dẫn giải Đáp án B

Chi phí thấp nhất khi diện tích xây dựng S là thấp nhất Gọi độ dài hai kích thước đáy là

, 2 a a độ dài cạnh bên là b thì diện tích xây dựng là

Vậy chi phí thấp nhất là: 150.0, 5 = 75 trệu đồng

Một công ty dự định xây dựng một đường ống dẫn dầu từ kho A trên bờ đến vị trí B trên một hòn đảo cách bờ biển 6 km Điểm C được xác định trên bờ sao cho BC vuông góc với bờ biển, với khoảng cách từ A đến C là 9 km Công ty cần xác định vị trí D trên đoạn AC để lắp đặt ống dẫn theo đường gấp khúc ADB, nhằm tối ưu hóa chi phí Chi phí lắp đặt mỗi km ống trên bờ là 100 triệu đồng, trong khi dưới nước là 260 triệu đồng Câu hỏi đặt ra là khoảng cách từ A đến D là bao nhiêu km để giảm thiểu tổng chi phí.

Chi phí xây dựng đường ống là: T  100 9   x   260 x 2  36 (triệu đồng)

T  T  T   2  Suy ra khoảng cách từ A đến D là 6, 5km

Một công ty dự định xây dựng một đường ống dẫn dầu từ kho A trên bờ biển đến vị trí B trên hòn đảo, cách bờ biển 6km Điểm C trên bờ được xác định sao cho BC vuông góc với bờ biển, với khoảng cách từ A đến C là 9km Cần xác định vị trí D trên AC để lắp đặt ống dẫn theo đường gấp khúc ADB Mục tiêu là tính khoảng cách AD sao cho chi phí thấp nhất, với giá lắp đặt mỗi km đường ống trên bờ là 100.000.000 đồng và dưới nước là 260.000.000 đồng.

Ta đặt x Khi đó ta có CD=9 x  km   Do BCD vuông tại C nên áp dụng định lý Py-ta- go ta nhận được BD 2  BC 2  CD 2  6 2    9 x  2  x 2  18 x 117   BD  x 2  18 x 117 

Chi phí lắp đặt là

100.000.000x+260.000.000 x 18x+11720.000.000 5x+13 x 18x+117 Để chi phí là thấp nhất thì ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm

Như vậy giá trị x  11, 5 bị loại Ta kiểm tra được f ' x    0 trên (6, 5;9) và f ' x    0 trên

(0; 6, 5) do đó f x      f 6,5 , x     0;9 Như vậy hàm f x   đạt giá trị nhỏ nhất tại x  6, 5

Khi đó chi phí lắp đặt sẽ nhỏ nhất Do đó khoảng cách AD tìm được khi chi phí thấp nhất là 6,5km

Một chiếc bể chứa nước hình khối hộp chữ nhật không nắp cần được xây dựng với thể tích 500 m³.

Đáy hồ hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng, với giá thuê thợ xây là 100.000 đồng/m Để tối ưu hóa chi phí thuê nhân công, cần xác định kích thước của hồ sao cho chi phí là thấp nhất.

A 15 triệu đồng B 11 triệu đồng C 13 triệu đồng D 17 triệu đồng Lời giải

Gọi h là chiều cao của bể chứa Đáy hồ có chiều rộng là x và chiều dài là 2x

Theo giả thiết ta có   2 2  

Do bể chứa không nắp nên chi phí thuê nhân công chính là chi phí thuê nhân công để xây dựng mặt đáy với các mặt xung quanh

Diện tích mặt đáy là x 2x    2x 2   m 2

Có 4 mặt xung quanh với tổng diện tích là h.x h 2x     h.x h 2x     6xh

Tổng diện tích mặt xung quanh và mặt đáy được tính bằng công thức S = 2 + 6xh Để giảm thiểu chi phí thuê nhân công, cần xác định cực trị của hàm S(x) Bằng cách thay giá trị vào công thức, ta có thể tìm ra kết quả tối ưu.

  x   Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho ba số 2 250 250

      Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 2x 2 250 x 5.

 x   Khi đó chi phí thuê nhân công là

Mũ – logarit

Câu 103: ( THPT QUẾ VÕ 2 ) Cho hàm số 1

 có đồ thị   C Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để đường thẳng d: 1

  cắt đồ thị   C tại hai điểm phân biệt A, B sao cho OA 2  OB 2 đạt giá trị nhỏ nhất (O là gốc tọa độ )

Xét phương trình hoành độ giao điểm:

Khi đó giao điểm của 2 đồ thị là 1 1

      ( vì m  0, theo Cauchy ta có m 1 2

 m  Dấu bằng xảy ra khi 1 m

Câu 104: ( THPT QUẾ VÕ 2 ) Cho hàm số f x  có đạo hàm là f x    Đồ thị của hàm số y  f    x được cho như hình sau

Biết rằng f     0  f 3 = f     2  f 5 Giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của f x   trên đoạn

Dựa vào đồ thị của hàm số y  f    x ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có giá trị nhỏ nhất của f x   trên đoạn   0;5 là f   2

Do đó giá trị lớn nhất của f x   trên đoạn   0;5 là f   5

Trong bài thi thực hành huấn luyện quân sự tại THPT Việt Đức, có một tình huống yêu cầu chiến sĩ bơi qua một con sông rộng 100 m để tấn công mục tiêu nằm cách bờ bên kia 1 km theo đường chim bay Vận tốc bơi của chiến sĩ chỉ bằng một phần ba vận tốc chạy trên bộ Để đạt được mục tiêu nhanh nhất, chiến sĩ cần tính toán khoảng cách bơi cần thiết, đảm bảo hiệu quả trong việc tiếp cận mục tiêu.

- Gọi vận tốc bơi là a (không đổi ) vận tốc chạy bộ là 3a

- Thời gian bơi từ E đến H là x a

- Thời gian chạy từ H đến G là:

   với 100 x 1000  ta được f x   đạt GTNN khi 75 2

Hàm số y = f(x) trong đồ thị của Câu 106 thuộc đề thi THPT Chuyên Hùng Vương - Phú Thọ 2018 (lần 1) Tập hợp S bao gồm các giá trị nguyên dương của tham số m mà hàm số này nhận.

 1  y f x m có 5 điểm cực trị Tổng giá trị tất cả các phần tử của S bằng

Nhận xét: Số giao điểm của   C : y  f x   với Ox bằng số giao điểm của   C  : y  f x    1 với Ox

Vìm0nên  C  : y  f x    1  m có được bằng cách tịnh tiến   C  : y  f x    1 lên trên m đơn vị

TH1:0 m 3.Đồ thị hàm số có 7 điểm cực trị Loại

TH2:m3.Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị Nhận

TH3:3 m 6.Đồ thị hàm số có 5 điểm cực trị Nhận

TH4:m6.Đồ thị hàm số có 3 điểm cực trị Loại

Vậy tổng giá trị tất cả các phần tử củaS bằng 12

Một con cá hồi cần bơi ngược dòng nước với vận tốc dòng chảy là 6 km/h để vượt qua khoảng cách 300 km Giả sử vận tốc bơi của cá trong nước yên lặng là v km/h Năng lượng tiêu hao của cá trong t giờ được tính theo một công thức nhất định.

E  cv t 3 ; c là hằng số cho trước, đơn vụ của R là Jun Vận tốc v của cá khi nước đứng yên để năng lượng của cá tiêu hao ít nhất là:

Hướng dẫn giải Đáp án A

Câu 108: (TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH) Gọi M a b ( ; ) là điểm trên đồ thị hàm số

 y x x mà có khoảng cách đến đường thẳng d y :  3 x  6 nhỏ nhất Khi đó

Sử dụng công thức tính khoảng cách từ điểm đến đường thẳng, đưa về khảo sát hàm số để tìm giá trị nhỏ nhất - giá trị lớn nhất

Tính các giá trị f     1 4; f      3 8 và    

Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số f a   bằng 4  a 1

Câu 109: (THPT B Hả i Hậu - Nam Đi ̣nh - Lầ n 1 - 2018) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho bất phương trình 3  1   x 3  x   2  1  x  3  x   m nghiệm đúng với mọi

Giải phương trình trên ta thu được nghiệm quy nhất x = 1

Lại có f   1  6 2  4, f     1 f   3  6, do đó hàm số đạt cực tiểu tại x = 1 Từ đây ra suy ra với m  6 2  4 thì bất phương trình đã cho có nghiệm đúng với mọi x    1;3 

Câu 110: [TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐẠI HỌC VINH]

Gọi x y, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện log9 xlog6 ylog4  x y  và

  , với a b , là hai số nguyên dương Tính ab

• Ta đặt tlog9 xlog6 ylog4  x y   x 9 ; t y6 ; t x y 4 t

Câu 111: (MEGABOOK-ĐỀ 3) Cho các số thực x y, thỏa mãn x 2  2 xy  3 y 2  4 Giá trị lớn nhất của biểu thức Plog2  xy  2 là:

A max P  3log 2 2 B max P  log 12 2 C maxP12 D maxP16

       ( Xét P4) Để phương trình có nghiệm:     0  2 P  4   2  2 P  4  3.2 p  4   0

Vậy giá trị lớn nhất của P là log 12 2

Câu 112: [THPT Lương Thế Vinh - Hà Nội] Cho a b c , ,  1 Biết rằng biểu thức

P bc  ac  ab đạt giá trị nhỏ nhất bằng m khi log b c n  Tính giá trị m n 

      log a log b 4log c log a log a log b 4log b 4log c

Ta có: log a b  log b a  2;log a c  4log c a  4;log b c  4log c b  4

Dấu bằng xảy ra log a 4 log c log a 2 log b 2 a b a b a b c a c c

Câu 113: (THPT Lê Văn Thịnh- Bắc Ninh-Lần 1) Cho a b , là các số thực và

   ln 2017  2    1  sin 2018  2 f x a x x bx x Biết f  5 log 6 c   6, tính giá trị củ a biểu thức

Ta có 5 log 6 c  6 log 5 c    x 6 log 5 c   x

Khi đó f     x a ln 2017  x 2    1 x  bx sin 2018 x  2

Câu 114: [THPT THUẬN THÀNH SỐ 3] Giả sử ta có hệ thức a 2  b 2  11ab a   b,a, b  0  Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?

| | log log 2 log log log

Câu 115: (TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH) Cho x y, là các số thực dương thỏa mãn

 x y x y x y Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcT  1 2 x y

Sử dụng phương pháp hàm đặc trưng để suy ra mối liên hệ giữa hai biến, tiếp theo áp dụng phương pháp thể và khảo sát hàm số nhằm tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của biểu thức.

Xét hàm số f t  log3 t t trên khoảng  0;    f t   là hàm số đồng biến trên  0;  

Do đó h a   nghịch biến trên 0; 1     0 1 0, 0; 1

  h a h a   nên phương trình h a    0 vô nghiệm trên 1

     g a g Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là T min  6

Câu 116: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình, lần 1 – 2018) Cho a b c , , là các số thực thuộc đoạn

  1;2 thỏa mãn log 3 2 alog 3 2 blog 3 2 c1 Khi biểu thức

Pa b  c a  b  c đạt giá trị lớn nhất thì giá trị của tổng a b c  là

Trắc nghiệm: Biểu thức P đạt được giá trị lớn nhất tại các điểm biên của đoạn   1;2 thỏa mãn

2 2 2 log alog blog c1 và do a b c , , có vai trò bình đẳng nên ta được a   b 1, c  2

+ Đặt xlog2 a y, log2 b z, log2 cx y z, ,  0;1 và x 3    y 3 z 3 1

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi  x y z ; ;    0;0;1  và các hoán vị của nó

 a b c ; ;    1;1;2  và các hoán vị của nó    a b c 4

Câu 117: [THPT Chuyên Vĩnh Phúc lần 3] Số nghiệm của phương trình

TH2 Nếu v  0,tương tự TH1

TH3 Nếu u0; v0 ,khi đó  8 u  1 v    8 v  1 u    0   * vô nghiệm

TH4 Nếu u0; v0 ,tương tự TH3

TH5 Nếu u0; v0 , khi đó  8 u  1 v    8 v  1 u    0   * vô nghiệm

TH6 Nếu u0; v0 , tương tự TH5

Vậy phương trình đã cho có 4 nghiệm phân biệt

Câu 118: (TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH) Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để phương trình 4 x  2 2 m x    m 2 0 có 2 nghiệm phân biệt

Phương pháp: Đặt 2 x  t t   0 , đưa về phương trình bậc 2 ẩn t , tìm điều kiện của phương trình bậc 2 ẩn t để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt

Cách giải: Đặt 2 x  t t   0 khi đó phương trình trở thành t 2  2 mt m    2 0 *   Để phương trình ban đầu có 2 nghiệm phân biệt thì phương trình   * có 2 nghiệm dương phân biệt

Nhiều học sinh thường quên điều kiện t > 0 sau khi đặt ẩn phụ, dẫn đến việc chỉ tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Câu 119: ( THPT Chuyên Lê Hồng Phong – Nam Định – 2018 ) Tìm giá trị nguyên của m để phương trình 4 1  x  4 1  x   m  1 2   2  x  2 2  x   16 8  m có nghiệm trên   0;1 ?

Câu 120: (MEGABOOK-ĐỀ 3) Tổng các nghiệm của phương trình

Phương trình biến đổi thành:

Câu 121: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ 10/2017) Biết x 1 , x 2 là hai nghiệm của phương trình

  x x x x x và x 1  2 x 2  1 4  a  b  với a b , là hai số nguyên dương Tính a b

Lời giải Đáp án C Điều kiện

    ln 7   f t t t f t t với t0 Vậy hàm số đồng biến

Câu 122: (THPT Chuyên Thái Bình – Thái Bình, lần 1 – 2018) Số các giá trị nguyên của tham số m để phương trình log ( 2 x 1) log ( 2 mx8) có hai nghiệm thực phân biê ̣t là:

2 9 log ( 1) log ( 8) ( 1) 8 x x x pt mx mx x x m x x mx x mx x mx x

  x     Bảng biến thiên Để Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt  Đường thẳng y m cắt đồ thị hàm số

( ) y  f x trên (1;  ) tại hai điểm phân biệt  4 m 8

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn

Câu 123: (MEGABOOK-ĐỀ 3) Tính giá trị

Với n2007ta thấy p.án C đúng

Cáp tròn truyền dưới nước tại THPT Kim Liên, Hà Nội, bao gồm một lõi đồng được bao bọc bởi lớp cách nhiệt.

Tỉ lệ giữa bán kính lõi và độ dày của vật liệu cách nhiệt, ký hiệu là h, có thể được xác định thông qua các phép đo thực nghiệm Theo nghiên cứu, vận tốc truyền tải tín hiệu được mô tả bởi phương trình v = x² ln(1).

 x với 0 x 1 Nếu bán kính lõi là 2 cm thì vật liệu cách nhiệt có bề dày h cm   bằng bao nhiêu để tốc độ truyền tải tín hiệu lớn nhất?

1 1 0 1 ln ln ' 2 ln 0 1 ln 2 x loai v x x x v x x x x x x x e

Câu 125: (TOÁN HỌC TUỔI TRẺ 10/2017) Gọi x y, là các số thực dương thỏa mãn điều kiện

   x a b y với a b , là hai số nguyên dương Tính a b

Lời giải Đáp án A Đặt log 9 x  t

Theo đề ra ta có

Câu 126: (THPT Lê Văn Thịnh- Bắc Ninh-Lần 1) Cho các số thực x y z, , thỏa mãn

Gọi S  xy  yz  zx Khẳng đi ̣nh nào đúng?

Câu 127: [THPT PHAN CHU TRINH ĐAKLAK LẦN 2 - 2018] Cho   2   2

       1 2 3 2017  m n f f f f e với $m,n$ là các số tự nhiên và m n tối giản Tính m  n 2

Câu 128: [Thử sức trước kì thi- Đề 07] Cho x y, là các số thực thỏa mãn điều kiện

          Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

3 x  xy y    xy log x y log 2 2xy 3 x y  log x y 3  xy log 2 2xy

Xét hàm số f t  3 log t 2 ttrên khoảng  0;  , có   2

Suy ra f t  là hàm số đồng biến trên  0;   mà f    x y   2    f  2 2  xy     x 2 y 2 2

Khi đó M  2  x 3  y 3   3 xy  2  x y      x y   2  3 xy    3 xy

Xét hàm số f a     2 a 3  3 a 2  12 a  6 trên   0; 4 , suy ra

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức M là 13

Câu 129: (THPT Lê Văn Thịnh- Bắc Ninh-Lần 1) Cho 0  x y ,  1 thỏa mãn

  x y x y y Gọi M m , lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất củ a biểu thức S   4 x 2  3 y  4 y 2  3 x   25 xy Khi đó M  m bằng bao nhiêu?

Suy ra f t   là hàm đồng biến trên  0;  mà f x    f  1     y  x y 1

16x y 12 x y 3xy x y 34xy16x y 12 1 3 xy 34xy16x y 2xy12

Câu 130: Cho mlog a ab với

, 1 2 54 log b a b  và P  log b  a Khi đó giá trị của m để Pđạt giá trị nhỏ nhất?

Ta có log 1 1 log log 2 1

Câu 131: (THPT CHUYÊN BẮC NINH) Cho x, y là các số thực dương thỏa mãn

 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 1 2

Xét hàm số f t  log3 t t trên khoảng  0;    f t   là hàm số đồng biến trên  0;  

Do đó h a   nghịch biến trên 0; 1     0 1 0, 0; 1

  h a h a   nên phương trình h a    0 vô nghiệm trên 1

     g a g Vậy giá trị nhỏ nhất cần tìm là T min  6