60 bài tập vận dụng cao xác suất có lời giải

Xác suất để 3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác khơng cĩ cạnh nào là cạnh của đa giác đãcho bằng 12.8.. Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh trong số 2n đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được ch

XÁC SUẤT

A – BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC, TỨ GIÁC

Câu 1 Cho đa giác cĩ 12 đỉnh Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đĩ Xác suất để

3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác khơng cĩ cạnh nào là cạnh của đa giác đãcho bằng

12.8

C C

-C

3 12 3 12

12 12.8

C C

Câu 3 Cho đa giác lồi ( )H cĩ 22 cạnh Gọi X là tập hợp các tam giác cĩ ba đỉnh là

ba đỉnh của ( )H Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong , X xác suất để chọn được 1 tam

giác cĩ đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác ( )H và 1 tam giác khơng cĩ cạnh nào là

cạnh của ( )H bằng

A 69

23

748

35.10098

Câu 4 Cho một đa giác đều gồm 2n đỉnh (n³ 2, nỴ ¥ Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh)

trong số 2n đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác

vuơng là 1

5 Tìm n.

Câu 5 Cho đa giác đều cĩ 20 đỉnh Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều, xác

suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuơng khơng cân là

A 3

2

8

17.114

Câu 6 Cho đa giác đều cĩ 15 đỉnh Gọi M là tập tất cả các tam giác cĩ ba đỉnh là ba

đỉnh của đa giác đã cho Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M xác suất để,tam giác được chọn là một tam giác cân nhưng khơng phải là tam giác đều là

A 8

18

20

73.91

Câu 7 Cho đa giác đều 100 đỉnh nội tiếp một đường trịn Số tam giác tù được tạo

thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác là

Câu 8 Cho đa giác đều 100 đỉnh Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kỳ của đa giác, xác

suất để nhận được một tam giác nhọn là

25.33

Câu 9 Cho đa giác cĩ 20 đỉnh Cĩ bao nhiêu tứ giác được tạo thành mà cĩ các đỉnh

là các đỉnh của đa giác và cĩ đúng 1 cạnh chung với đa giác ?

Câu 10 Cho đa giác cĩ 60 đỉnh Người ta lập một tứ giác tùy ý cĩ 4 đỉnh là các đỉnh

của đa giác Xác suất để lập được một tứ giác cĩ 4 cạnh đều là đường chéo của đagiác đã cho gần nhất với số nào trong các số sau?

Câu 11 Cĩ 10 bạn ngồi xung quanh một cái bàn trịn, mỗi bạn cầm một đồng xu như

nhau Tất cả 10 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn cĩ đồng xu ngửa thì đứng, bạn

có đồng xu xấp thì ngồi Xác suất để có đúng 4 người cùng đứng trong đó có đúng 2người đứng liền kề bằng

Câu 12 Có 8 bạn ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như

nhau (cân đối và đồng chất) Tất cả 8 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng

xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu xấp thì ngồi Xác suất để không có hai bạn liền kềcùng đứng là

A 31

45

47

49.256

Câu 13 Cho một đa giác đều 12 đỉnh nội tiếp đường tròn Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh

của đa giác, xác suất để 4 đỉnh được chọn ra tạo thành một hình chữ nhật bằng

A 2

13

1

32.33

Câu 14 Cho đa giác đều có 20 cạnh Có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành

nhưng không phải là hình vuông, có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều đã cho ?

B – XÁC SUẤT HÌNH HỌC

Câu 15 Trên mặt phẳng Oxy ta xét một hình ,

chữ nhật ABCD với các điểm A -( 2;0 ,) B -( 2;2 ,)

(4;2 ,)

C D(4;0) (hình vẽ) Một con châu chấu

nhảy trong hình chữ nhật đó tính cả trên cạnh

hình chữ nhật sao cho chân nó luôn đáp xuống

mặt phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên (tức là

điểm có cả hoành độ và tung độ đều nguyên)

Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm M x y ( ; )

mà x y+ <2

A 1

3

4

8.21

Câu 16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, chọn ngẫu nhiên một điểm mà tọa độ là

số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hay bằng 4 Nếu các điểm đều có cùng xácsuất được chọn như nhau, vậy thì xác suất để chọn được một điểm mà khoảng cáchđến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2 là:

A 11

13

13

15.81

Câu 17 Trong mặt phẳng Oxy cho hình chữ nhật OMNP với , M(0;10 ,) N(100;10) và(100;0 )

P Gọi S là tập hợp tất cả các điểm A x y với ,( ; ) x yÎ ¢ nằm bên trong (kể cả,trên cạnh) của OMNP Lấy ngẫu nhiên một điểm A x y( ; )Î S Xác suất để x y+ £90bằng

kỳ Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đó cắt hai trục tọa độ

A 8

23

68

83.91

Câu 19 Cho hai đường thẳng song song d và 1 d Trên 2 d có 6 điểm phân biệt, trên1 2

d có n điểm phân biệt (n³ 3, n Î ¥ Tìm n, biết rằng có 96 tam giác có đỉnh là các)điểm đã cho

Câu 20. Trong không gian cho 2n điểm phân biệt (4< Î ¥ trong đó không có ban ),

điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đó có đúng n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng và không có 4 điểm nào ngoài 4 điểm trong n điểm này là đồng phẳng Tìm giá trị của n sao cho từ 2n điểm đã cho tạo ra đúng 505 mặt phẳng phân biệt.

C – BÀI TOÁN BỐC BI

Câu 21 Một hộp chứa 6 quả bóng đỏ (được đánh số từ 1 đến 6), 5 quả bóng vàng

(được đánh số từ 1 đến 5), 4 quả bóng xanh (được đánh số từ 1 đến 4) Lấy ngẫunhiên 4 quả bóng Tính xác suất để 4 quả bóng lấy ra có đủ ba màu mà không có haiquả bóng nào có số thứ tự trùng nhau

A 43

48

74

381.455

Câu 22 Trong một cái hộp có đựng 40 quả bóng, gồm 10 quả bóng xanh được đánh

số từ 1 đến 10; 10 quả bóng đỏ được đánh số từ 1 đến 10; 10 quả bóng vàng đượcđánh số từ 1 đến 10 và 10 quả bóng trắng được đánh số từ 1 đến 10 Hai quả bóngcùng màu mang số 1 và số 10 được gọi là ''cặp may mắn '' Người ta lấy ngẫu nhiên

từ hộp ra 6 quả bóng Xác suất để trong 6 quả bóng lấy ra có ít nhất một ''cặp maymắn '' là

A 1633

1408

2447

291484

.3838380

Câu 23 Các mặt của một con xúc sắc được đánh số từ 1 đến 6 Người ta gieo con

xúc sắc 3 lần liên tiếp và nhân các con số nhận được trong mỗi lần gieo lại với nhau.Tính xác suất để tích thu được là một số chia hết cho 6

Câu 24 Mỗi lượt, ta gieo một con súc sắc (loại 6 mặt, cân đối) và một đồng xu (cân

đối) Tính xác suất để trong 3 lượt gieo như vậy có ít nhất một lượt gieo được kết quảcon súc sắc xuất hiện mặt 1 chấm, đồng thời đồng xu xuất hiện mặt sấp

1331.1728

Câu 25 Một chuồng có 3 con thỏ trắng và 4 con thỏ nâu Người ta bắt ngẫu nhiên

lần lượt từng con ra khỏi chuồng cho đến khi nào bắt được cả 3 con thỏ trắng mớithôi Xác suất để cần phải bắt đến ít nhất 5 con thỏ là

2

1.15

Câu 27 Cho tập hợp A= 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6{ } Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 5 chữ

số đôi một khác nhau và luôn có mặt chữ số 5 được lập từ các chữ số thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để số được chọn chia hết cho 5 bằng

A 1

2

9

11.26

Câu 28 Cho tập hợp A ={1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9} Gọi S là tập hợp các số tự nhiên có 4 chữ số được lập từ các chữ số thuộc tập A Chọn ngẫu nhiên một số từ S , xác suất

để số được chọn chia hết cho 6 bằng

Câu 29. Gọi S là tập hợp tất cả các số tự nhiên có 5 chữ số Chọn ngẫu nhiên một

số từ tập ,S xác suất để chọn được một số chia hết cho 7 và chữ số hàng đơn vị bằng

1 là

A 3

1287

1286

7.500

Câu 30 Gọi S là tập tất cả các số tự nhiên có 7 chữ số và chia hết cho 9 Chọn

ngẫu nhiên một số từ S , xác suất để các chữ số của nó đôi một khác nhau bằng

A 171

198

207

396.6250

E – BÀI TOÁN VỀ NHÓM

Câu 31 Một tổ học sinh lớp X có 12 học sinh trong số đó có An và Bình Cô giáo

thực hiện phân nhóm ngẫu nhiên thành 3 nhóm, mỗi nhóm gồm 4 thành viên để thựchiện nhiệm vụ học tập Xác suất để An và Bình cùng nhóm là

-Câu 32 Trong buổi sinh hoạt nhóm của lớp, tổ một có 12 học sinh gồm 4 học sinh

nữ trong đó có Hoa và 8 học sinh nam trong đó có Vinh Chia tổ thành 3 nhóm, mỗinhóm gồm 4 học sinh và phải có ít nhất 1 học sinh nữ Xác suất để Hoa và Vinh cùngmột nhóm là

A 1

7

7

25.32

F – BÀI TOÁN VỀ MÃ ĐỀ THI

Câu 33 Hai thí sinh A và B tham gia một buổi thi vấn đáp Cán bộ hỏi thi đưa cho

mỗi thí sinh một bộ câu hỏi thi gồm 10 câu hỏi khác nhau, được đựng trong 10 phong

bì dán kín, có hình thức giống hệt nhau, mỗi phong bì đựng 1 câu hỏi; thí sinh chọn 3phong bì trong đó để xác định câu hỏi thi của mình Biết rằng bộ 10 câu hỏi thi dành

cho các thí sinh là như nhau, xác suất để 3 câu hỏi A chọn và 3 câu hỏi B chọn có ít

nhất 1 câu hỏi giống nhau là

Câu 34 An và Bình cùng tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia 2018, trong đó có 2 môn thi

trắc nghiệm là Vật lí và Hóa học Đề thi của mỗi môn gồm 6 mã khác nhau và cácmôn khác nhau có mã khác nhau Đề thi được sắp xếp và phát cho các thí sinh mộtcách ngẫu nhiên Xác suất để trong 2 môn thi đó An và Bình có chung đúng một mã

đề thi bằng

A 5

13

5

31.36

Câu 35 An và Bình cùng tham gia kỳ thi THPT Quốc Gia, ngoài thi ba môn Văn, Toán,

Anh bắt buộc thì An và Bình đều đăng ký thêm 2 môn tự chọn khác trong 3 môn: HóaHọc, Vật Lí, Sinh học dưới hình thức trắc nghiệm Mỗi môn tự chọn trắc nghiệm có 6

mã đề thi khác nhau và mã đề thi của các môn khác nhau thì khác nhau Xác suất để

An và Bình chỉ có chung đúng một môn thi tự chọn và một mã đề thi là

G – BÀI TOÁN VỀ ĐỀ THI

Câu 36 Một phiếu điều tra về vấn đề tự học của học sinh gồm 10 câu trắc nghiệm,

mỗi câu có 4 phương án trả lời Phiếu thu lại được coi là hợp lệ nếu được trả lời 10câu, mỗi câu chỉ chọn 1 đáp án Hỏi cần tối thiểu bao nhiêu phiếu hợp lệ để trong số

đó luôn có ít nhất 2 phiếu trả lời giống hệt nhau cả 10 câu hỏi ?

Câu 37 Từ một ngân hàng 20 câu hỏi, trong đó có 4 câu hỏi khó Người ta xây dựng

hai đề thi mỗi đề thi gồm 10 câu và các câu trong một đề được đánh số thứ tự từ Câu

1 đến Câu 10 Hỏi có bao nhiêu cách xây dựng hai đề thi mà mỗi đề thi đều gồm 2câu hỏi khó

4 1610! C C

Câu 38 Đề cương ôn tập môn Lịch sử có 30 câu Đề thi được hình thành bằng cách

chọn ngẫu nhiên 10 câu trong 30 câu trong đề cương Một học sinh chỉ học thuộc 25câu trong đề cương, xác suất để trong đề thi có ít nhất 9 câu hỏi nằm trong 25 câu

mà học sinh đã học thuộc là

A 323

3553

4346

8075.23751

Câu 39 Trong kỳ thi THPT Quốc Gia có môn thi bắt buộc là môn Toán Môn thi này thi

dưới hình thức trắc nghiệm với 4 phương án trả lời A, B, C, D Mỗi câu trả lời đúngđược cộng 0,2 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 0,1 điểm Bạn Hoa vì học rất kémmôn Toán nên chọn ngẫu nhiên cả 50 câu trả lời Xác xuất để bạn Hoa đạt được 4điểm môn Toán trong kỳ thi là

C B 20( )20

5 5 0

0 3.4

C C 20( )30

5 5 0

0 3.4

C D 40( )10

5 5 0

0 3.4

C

Câu 40 Một bài thi trắc nghiệm khách quan gồm 10 câu hỏi, mỗi câu có 4 phương

án trả lời Xác suất để một học sinh làm bài thi được ít nhất 8 câu hỏi là

C

C 108 210

.3.4

C

D 109

262144

Câu 41 Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh A dự thi hai môn thi trắc nghiệm Vật lí

và Hóa học Đề thi của mỗi môn gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4 phương án lựachọn; trong đó có 1 phương án đúng, làm đúng mỗi câu được 0,2 điểm Mỗi môn thi

thí sinh A đều làm hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 45 câu, 5 câu còn lại thí sinh

A chọn ngẫu nhiên Xác suất để tổng điểm 2 môn thi của thí sinh A không dưới 19

điểm là

A 5 ( )5

10 3

.40

C B 5 ( )5

10 10

3.4

10

81922.4

Câu 42 Trong kỳ thi THPT Quốc Gia, thí sinh An dự thi môn thi trắc nghiệm Toán Đề

thi gồm 50 câu hỏi; mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn; trong đó có 1 phương ánđúng, làm đúng mỗi câu được 0,2 điểm Bạn An làm chắc chắn đúng 42 câu, trong 8câu còn lại chỉ có 3 câu bạn loại trừ được mỗi câu một đáp án chắc chắn sai Dokhông còn đủ thời gian nên An bắt buộc phải khoanh bừa các câu còn lại Xác suấtbạn An được 9,4 điểm là

A 55

455

379

499.13824

H – BÀI TOÁN VỀ CẶP ĐÔI

Câu 43 Một trường THPT có 10 lớp 12, mỗi lớp cử 3 học sinh tham gia vẽ tranh cổ

động Các lớp tiến hành bắt tay giao lưu với nhau (các học sinh cùng lớp không bắttay với nhau) Tính số lần bắt tay của các học sinh với nhau, biết rằng hai học sinhkhác nhau ở hai lớp khác nhau chỉ bắt tay đúng 1 lần

Câu 44 Trong một buổi liên hoan có 10 cặp nam nữ, trong đó có 4 cặp vợ chồng.

Chọn ngẫu nhiên 3 người để biểu diễn một tiết mục văn nghệ Xác suất để 3 ngườiđược chọn không có cặp vợ chồng nào là

Câu 45 Một chi đoàn có 40 người, trong đó có 4 cặp vợ chồng Ban chấp hành cần

chọn ra 3 người để bầu vào các chức vụ: Bí thư, Phó bí thư 1, Phó bí thư 2 Xác suất

để 3 người được chọn không có cặp vợ chồng nào là

A 1

59

61

64.65

Câu 46 Hai tổ chuyên môn của một trường trung học phổ thông có 9 giáo viên nam

và 13 giáo viên nữ trong đó có đúng 2 cặp vợ chồng Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra

5 người trong số 22 người đó nhưng không có cặp vợ chồng nào ?

Câu 47 Có 20 cặp vợ chồng tham gia dự thi ''cặp đôi hoàn hảo '' Trong giờ giải lao,

ban tổ chức chọn ra ngẫu nhiên 4 người để tham gia văn nghệ Xác suất để 4 ngườiđược chọn không có cặp vợ chồng nào là

A 99

224

73

408.481

K – BÀI TOÁN VỀ XẾP VỊ TRÍ

Câu 48 Có 12 người xếp thành một hàng dọc (vị trí của mỗi người trong hàng là cố

định) Chọn ngẫu nhiên 3 người trong hàng Tính xác xuất để 3 người được chọnkhông có 2 người nào đứng cạnh nhau

A 6

1

21

7.110

Câu 49 Xếp 10 cuốn sách tham khảo khác nhau gồm: 1 cuốn sách Văn, 3 cuốn sách

tiếng Anh và 6 cuốn sách Toán (trong đó có hai cuốn Toán T và Toán 1 T ) thành một2hàng ngang trên giá sách Xác suất để mỗi cuốn sách tiếng Anh đều được xếp ở giữahai cuốn sách Toán, đồng thời hai cuốn Toán T và Toán 1 T luôn được xếp cạnh nhau2bằng

Câu 50 Một tổ có 9 học sinh gồm 4 học sinh nữ trong đó có hai em Thảo, My và 5

học sinh nam Xác suất để xếp 9 học sinh vào một hàng dọc sao cho Thảo và Myđứng cạnh nhau còn các em nữ còn lại không đứng cạnh nhau và cũng không đứngcạnh Thảo và My bằng

Câu 51 Một tổ có 10 học sinh trong đó có 3 bạn gồm An, Bình và Cúc Hỏi có bao

nhiêu cách xếp 10 học sinh đó vào một ghế dài có 10 chỗ trống sao cho An và Bìnhluôn ngồi cạnh nhau nhưng An và Cúc không ngồi cạnh nhau

A 2!.9! 2!.8!.- B 2!.9! 3.8!.- C 2!.9! 3!.8!.- D 3.9! 2.8!.

-Câu 52 Sắp xếp 12 học sinh của lớp 12A gồm có 6 học sinh nam và 6 học sinh nữ

vào một bàn dài gồm có hai dãy ghế đối diện nhau (mỗi dãy gồm có 6 chiếc ghế) đểthảo luận nhóm Tính xác suất để hai học sinh ngồi đối diện nhau và cạnh nhau luônkhác giới

Câu 53 Có 3 bi xanh, 3 bi đỏ, 3 bi trắng và 3 bi vàng (các viên bi cùng màu giống

nhau) Hỏi có bao nhiêu cách xếp 12 viên bị thành một hàng ngang sao cho các bicùng màu không cạnh nhau?

A 1

2

1

2.35640

Câu 54 Có 6 viên bi gồm 2 bi xanh, 2 bi đỏ, 2 bi vàng (các viên bi bán kính khác

nhau) Tính xác suất để khi xếp 6 bi trên thành một hàng ngang thì không có hai viên

bi cùng màu nào đứng cạnh nhau

Câu 55 Xếp ngẫu nhiên 10 học sinh gồm 5 học sinh nam (trong đó có Hoàng) và 5

học sinh nữ (trong đó có Lan) thành một hàng ngang Xác suất để trong 10 học sinhtrên không có hai học sinh cùng giới đứng cạnh nhau, đồng thời Hoàng và Lan cũngkhông đứng cạnh nhau bằng

A 1

1

4

8.1575

Câu 56 Cĩ 2 học sinh lớp A, 3 học sinh lớp B và 4 học sinh lớp C xếp thành một hàng

ngang sao cho giữa hai học sinh lớp A khơng cĩ học sinh lớp B Hỏi cĩ bao nhiêu cáchxếp hàng như vậy ?

Câu 57 Cĩ 1 viên bi xanh, 2 viên bi vàng và 3 viên bi đỏ (các viên bi cĩ bán kính

khác nhau) Hỏi cĩ bao nhiêu cách xếp 6 viên bi thành một hàng ngang sao cho cácviên bi cùng màu khơng xếp cạnh nhau ?

Câu 58 Một nhĩm gồm 11 học sinh trong đĩ cĩ 3 bạn An, Bình, Cúc được xếp ngẫu

nhiên vào một bàn trịn Xác suất để 3 bạn An, Bình, Cúc khơng cĩ bạn nào được xếpcạnh nhau bằng

A 7

4

7

11.15

Câu 59 Cĩ 5 học sinh nam, 8 học sinh nữ và 1 thầy giáo được xếp ngẫu nhiên vào

một bàn trịn Xác suất để thầy giáo xếp giữa hai học sinh nữ bằng

A 1

7

14

25.39

Câu 60 Cĩ 4 cặp vợ chồng cần xếp ngồi vào một bàn trịn Tính số cách xếp sao cho

cĩ vợ chồng nhà A là ngồi cạnh nhau cịn các cặp vợ chồng khác thì hai người là vợchồng của nhau thì khơng ngồi cạnh nhau

HẾT

-XÁC SUẤT

A – BÀI TỐN VỀ TAM GIÁC, TỨ GIÁC

Bài tốn 1 Cho đa giác cĩ n đỉnh Xét tam giác cĩ 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác

 và cĩ đúng 1 cạnh chung với đa giác ¾¾®n n( - 4 )

 và cĩ đúng 2 cạnh chung với đa giác ¾¾®n

 và khơng cĩ cạnh chung với đa giác ¾¾®C n3- n n n- ( - 4 )

Bài tốn 2 Cho đa giác đều cĩ 2n đỉnh

Số tam giác vuơng cĩ 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác ¾¾®n n(2 - 2 )

Bài tốn 3 Cho đa giác đều cĩ n đỉnh Số tam giác tù được tạo thành từ 3 trong n

đỉnh của đa giác là

 n chẵn 22

2 n

nC

1 2 n

nC

-¾¾®

Bài tốn 4 Cho đa giác đều cĩ n đỉnh Số tam giác nhọn được tạo thành từ 3 trong

n đỉnh của đa giác 3

n

C

= - (số tam giác tù + số tam giác vuơng)

Câu 1 Cho đa giác cĩ 12 đỉnh Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đĩ Xác suất để

3 đỉnh được chọn tạo thành một tam giác khơng cĩ cạnh nào là cạnh của đa giác đãcho bằng

12.8

C C

-C

3 12 3 12

12 12.8

C C

12 12

cách khác: tam giác cĩ 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp của đa giác tức là cĩ 2 cạnh là 2cạnh liên tiếp của đa giác, 2 cạnh này cắt nhau tại 1 đỉnh, mà đa giác này cĩ 12 đỉnhnên cĩ 12 tam giác thỏa trường hợp này)

 Số tam giác cĩ 3 đỉnh là đỉnh của đa giác và 1 cạnh là cạnh của đa giác: Trước tiên

ta chọn 1 cạnh trong 12 cạnh của đa giác nên cĩ 12 cách chọn; tiếp theo chọn 1 đỉnhcịn lại trong 8 đỉnh (trừ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn và 2 đỉnh liền kề với cạnh đãchọn) Do đĩ trong trường hợp này cĩ 8.12 tam giác

Câu 2 Cho đa giác ( )H cĩ n đỉnh (nỴ ¥, n>4 ) Biết số các tam giác cĩ 3 đỉnh làđỉnh của ( )H và khơng cĩ cạnh nào là cạnh của ( )H gấp 5 lần số các tam giác cĩ 3

đỉnh là đỉnh của ( )H và cĩ đúng 1 cạnh là cạnh của ( )H Khẳng định nào sau đây.đúng?

A nỴ [4;12 ] B nỴ [13;21.] C nỴ [22;30 ] D nỴ [31;38 ]

Lời giải Số tam giác tạo thành cĩ 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác là 3

n

C

Số tam giác tạo thành cĩ đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác là n.

Số tam giác tạo thành cĩ đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác là n n-( 4) (điều kiện nỴ ¥

và n< ) 4

¾¾® số tam giác tạo thành khơng cĩ cạnh nào là cạnh của đa giác là C n3- n n n- ( - 4).

ê

thỏa mãnloại Chọn D.

Câu 3 Cho đa giác lồi ( )H cĩ 22 cạnh Gọi X là tập hợp các tam giác cĩ ba đỉnh là

ba đỉnh của ( )H Chọn ngẫu nhiên 2 tam giác trong , X xác suất để chọn được 1 tam

giác cĩ đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác ( )H và 1 tam giác khơng cĩ cạnh nào là

cạnh của ( )H bằng

A 69

23

748

35.10098

Lời giải Ta cĩ ( )

3 22 2 1540

X C

n A C ´ C - ´ +

ìï = =ïï

Câu 4 Cho một đa giác đều gồm 2n đỉnh (n³ 2, nỴ ¥ Chọn ngẫu nhiên ba đỉnh)

trong số 2n đỉnh của đa giác, xác suất ba đỉnh được chọn tạo thành một tam giác

Theo đề bài ta cĩ phương trình ( )

3 2

-= Û = Chọn C.

Câu 5 Cho đa giác đều cĩ 20 đỉnh Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh của đa giác đều, xác

suất để 3 đỉnh được chọn là 3 đỉnh của một tam giác vuơng khơng cân là

A 3.

2

8

17.114

● Số tam giác vuông là 10.18

● Số tam giác vuông cân: Cứ mỗi cách chọn 1 đường kính là có 2 tam giác cân ( 2 điểm tạo nên tam giác cân là giao điểm của đường thẳng qua tâm vuông góc vớiđường kính đã chọn với đường tròn) Do đó có 10.2 tam giác vuông cân

Câu 6 Cho đa giác đều có 15 đỉnh Gọi M là tập tất cả các tam giác có ba đỉnh là ba

đỉnh của đa giác đã cho Chọn ngẫu nhiên một tam giác thuộc tập M xác suất để,tam giác được chọn là một tam giác cân nhưng không phải là tam giác đều là

A 8

18

20

73.91

 Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp của đa giác đều Xét một đỉnh A bất kỳ của

đa giác: Có 7 cặp đỉnh của đa giác đối xứng với nhau qua đường thẳng OA , hay có 7

tam giác cân tại đỉnh A Như vậy, với mỗi một đỉnh của đa giác có 7 tam giác nhận

nó làm đỉnh tam giác cân

 Số tam giác đều có 3 đỉnh là các đỉnh của đa giác là 15 5

nC

1 2 n

nC

-¾¾®

Câu 7 Cho đa giác đều 100 đỉnh nội tiếp một đường tròn Số tam giác tù được tạo

thành từ 3 trong 100 đỉnh của đa giác là

Lời giải Đánh số các đỉnh là A A1, , ,2 A100

Xét đường chéo A A của đa giác là đường kính của đường tròn ngoại tiếp đa giác1 51đều chia đường tròn ra làm hai phần, mỗi phần có 49 điểm: từ A đến 2 A và 50 A đến52 100

Giả sử A nằm giữa i A và 1 A thì tam giác j A A A tù tại đỉnh 1 i j A Mà i DA A A j i 1º DA A A1 i j

nên kết quả bị lặp hai lần

nC- = C =

Câu 8 Cho đa giác đều 100 đỉnh Chọn ngẫu nhiên 3 đỉnh bất kỳ của đa giác, xác

suất để nhận được một tam giác nhọn là

A 3

8

8.

25.33

Số tam giác tù 117600, Số tam giác vuông 50.98 4900.=

Suy ra số tam giác nhọn: 3

100 117600 4900 39200

Bài toán 6 Cho đa giác có n đỉnh Xét tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác

 và có đúng 1 cạnh chung với đa giác 2 ( )

 và có đúng 3 cạnh chung với đa giác ¾¾® =n C

 và không có cạnh chung với đa giác ¾¾®C n4- (A B C+ + )

Và ta có thể chứng minh được 4 ( ) 3

5.4

n

C A B C C

-¾¾® - + + =

Bài toán 7 Cho đa giác đều có 2n đỉnh

Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và tạo thành HÌNH CHỮ NHẬT ¾¾®C n2

Bài toán 8 Cho đa giác đều có 4n đỉnh

Số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và tạo thành HÌNH VUÔNG ¾¾®n

Chứng minh

Tứ giác có đúng 1 cạnh chung với đa giác

Chọn 1 cạnh trong n cạnh của đa giác nên có n cách.

Chọn 2 đỉnh còn lại trong n- 4 đỉnh (tham khảo hình vẽ trên) nên có 2

4

n

C- nhưng 2đỉnh này không được liên tiếp nên trừ cho n- 5 (vì 2 đỉnh liên tiếp sẽ tạo nên 1 cạnh

Tứ giác có đúng 2 cạnh chung với đa giác

Trường hợp 1: Tứ giác có hai cạnh kề trùng với cạnh của đa giác

Vì hai cạnh kề cắt nhau tại 1 đỉnh, mà đa giác có n đỉnh nên có n cách chọn hai cạnh

kề trùng với cạnh của đa giác

Chọn 1 đỉnh còn lại trong n- 5 đỉnh (bỏ 3 đỉnh tạo nên hai cạnh kề và 2 đỉnh haibên, tham khảo hình vẽ)

Do đó trường hợp này có n n-( 5) tứ giác.

Trường hợp 2: Tứ giác có hai cạnh đối thuộc cạnh của đa giác

Chọn 1 cạnh trong n cạnh của đa giác nên có n cách.

Trong n- 4 đỉnh còn lại (bỏ 2 đỉnh tạo nên cạnh đã chọn ở trên và 2 đỉnh liền kềcạnh đã chọn, tham khảo hình vẽ) sẽ tạo nên n- 5 cạnh Chọn 1 cạnh trong n- 5cạnh đó nên có n- 5 cách

Tuy nhiên trong trường hợp này số tứ giác mình đếm đến 2 lần

Tứ giác có đúng 3 cạnh chung với đa giác

Đánh số thứ tự các đỉnh của đa giác, ta có n bộ 4 số:

(1;2;3;4 , 2;3;4;5 , , ) ( ) (n- 3;n- 2;n- 1; , n) (n- 2;n- 1; ;1 , n ) (n- 1; ;1;2 , ;1;2;3 n ) (n )

Vậy trường hợp này có n tứ giác thỏa mãn.

Câu 9 Cho đa giác có 20 đỉnh Có bao nhiêu tứ giác được tạo thành mà có các đỉnh

là các đỉnh của đa giác và có đúng 1 cạnh chung với đa giác ?

 Biến cố chính là số tứ giác có 4 đỉnh được chọn từ 20 đỉnh của đa giác (vì cứ mỗi

tứ giác tạo thành sẽ có đúng một cặp đường chéo cắt nhau trong đa giác) nên

20

n A =C

Câu 10 Cho đa giác có 60 đỉnh Người ta lập một tứ giác tùy ý có 4 đỉnh là các đỉnh

của đa giác Xác suất để lập được một tứ giác có 4 cạnh đều là đường chéo của đagiác đã cho gần nhất với số nào trong các số sau?

Lời giải Ta có

( ) ( )

4

3 60

C P

Câu 11 Có 10 bạn ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như

nhau Tất cả 10 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng xu ngửa thì đứng, bạn

có đồng xu xấp thì ngồi Xác suất để có đúng 4 người cùng đứng trong đó có đúng 2người đứng liền kề bằng

A 35

25

35

75.512

Lời giải Ta có ( )

10 2 6

.256

Câu 12 Có 8 bạn ngồi xung quanh một cái bàn tròn, mỗi bạn cầm một đồng xu như

nhau (cân đối và đồng chất) Tất cả 8 bạn cùng tung đồng xu của mình, bạn có đồng

xu ngửa thì đứng, bạn có đồng xu xấp thì ngồi Xác suất để không có hai bạn liền kềcùng đứng là

A 31

45

47

49.256

 Không có bạn nào đứng: có 1 khả năng

 Có 1 bạn đứng (7 bạn còn lại ngồi): có 8 khả năng

 Có 2 bạn đứng nhưng không cạnh nhau: Đầu tiên chọn 1 người trong 8 người đểđứng nên có 8 cách; tiếp theo chọn 1 trong 5 người còn lại đứng (trừ người đã đứng

ở trước và hai người hai bên) nên có 5 cách Hai người đứng này không phân biệt nêntrường hợp này có 8.5 20

2 = khả năng.

 Có 3 bạn đứng nhưng không có 2 bạn nào trong 3 bạn đứng cạnh nhau Bài toánquy về cho đa giác có 8 đỉnh, số tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh của đa giác và không

có cạnh chung với đa giác ¾¾® có C - -83 8 8.4 16= khả năng

 Có 4 bạn đứng nhưng không có 2 bạn nào trong 4 bạn đứng cạnh nhau Bài toánquy về cho đa giác có 8 đỉnh, số tứ giác có 4 đỉnh là 4 đỉnh của đa giác và không cócạnh chung với đa giác ¾¾® có 3

3

8

4C = khả năng.

Câu 13 Cho một đa giác đều 12 đỉnh nội tiếp đường tròn Chọn ngẫu nhiên 4 đỉnh

của đa giác, xác suất để 4 đỉnh được chọn ra tạo thành một hình chữ nhật bằng

A 2

13

1

32.33

Lời giải Ta có ( )

( )

4 12 2 6

1.33

Câu 14 Cho đa giác đều có 20 cạnh Có bao nhiêu hình chữ nhật được tạo thành

nhưng không phải là hình vuông, có các đỉnh là đỉnh của đa giác đều đã cho ?

B – XÁC SUẤT HÌNH HỌC

Câu 15 Trên mặt phẳng Oxy, ta xét một hình

chữ nhật ABCD với các điểm A -( 2;0 ,) B -( 2;2 ,)

(4;2 ,)

C D(4;0) (hình vẽ) Một con châu chấu

nhảy trong hình chữ nhật đó tính cả trên cạnh

hình chữ nhật sao cho chân nó luôn đáp xuống

mặt phẳng tại các điểm có tọa độ nguyên (tức là

điểm có cả hoành độ và tung độ đều nguyên)

Tính xác suất để nó đáp xuống các điểm M x y ( ; )

mà x y+ <2

A 1.

3

4

8.21

Lời giải Số các điểm có tọa độ nguyên thuộc hình chữ nhật là 7.3 21= điểm vì

2; 1;0;1;2;3;4

.0;1;2

x y

ìï Î ïí

-ï Îïî

Để con châu chấu đáp xuống các điểm M x y có ( , ) x y+ < thì con châu chấu sẽ nhảy2trong khu vực hình thang BEIA Để M x y có tọa độ nguyên thì ( , ) { }

2; 1;0;1;2

.0;1;2

x y

ìï Î ïí

-ï Îïî

 Nếu x Î -{ 2; 1- }thì yÎ {0;1;2}Þ có 2.3 6= điểm

 Nếu x = thì 0 yÎ { }0;1 Þ có 2 điểm

Câu 16 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy chọn ngẫu nhiên một điểm mà tọa độ là,

số nguyên có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn hay bằng 4 Nếu các điểm đều có cùng xácsuất được chọn như nhau, vậy thì xác suất để chọn được một điểm mà khoảng cáchđến gốc tọa độ nhỏ hơn hoặc bằng 2 là:

Lời giải Gọi tọa độ điểm M x y thỏa ( ; ) x yÎ ¢, và 4

4

x y

ìï £ïí

,,

P Gọi S là tập hợp tất cả các điểm A x y với ( ; ) x yÎ ¢, , nằm bên trong (kể cả

trên cạnh) của OMNP Lấy ngẫu nhiên một điểm A x y( ; )Î S Xác suất để x y+ £90bằng

Nhận thấy các điểm cần tìm nằm trên các đường thẳng y m= với m=0;1;2; ;10.Ứng với mỗi đường y m= , tương ứng cĩ 101 giá trị của x thỏa mãn ( x =0;1;2; ;100).

 Trên đường y = lần lượt cĩ 91 điểm thỏa mãn (0 x =0;1;2; ;90)

 Trên đường y= lần lượt cĩ 90 điểm thỏa mãn (1 x =0;1;2; ;89)

M

 Trên đường y =10 lần lượt cĩ 81 điểm thỏa mãn (x =0;1;2; ;80)

Suy ra n A =( ) 91 90 81 946.+ + + =

Câu 18 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ở gĩc phần tư thứ nhất ta lấy 2 điểm phân,

biệt; cứ thế ở các gĩc phần tư thứ hai, thứ ba, thứ tư ta lần lượt lấy 3, 4, 5 điểm phânbiệt (các điểm khơng nằm trên các trục tọa độ) Trong 14 điểm đĩ ta lấy 2 điểm bất

kỳ Tính xác suất để đoạn thẳng nối hai điểm đĩ cắt hai trục tọa độ

A 8

23

68

83.91

Lời giải Khơng gian mẫu là số cách chọn 2 điểm bất kỳ trong 14 điểm đã cho.

Suy ra số phần tử của khơng gian mẫu là 2

phần tư thứ hai và thứ tư

● Hai đầu đoạn thẳng ở gĩc phần tư thứ nhất và thứ ba, cĩ 1 1

Lời giải Cứ 3 điểm khơng thẳng hàng là tạo thành 1 tam giác.

Do đĩ số tam giác được tạo thành từ n+ điểm gồm: 6 điểm (thẳng hàng) thuộc 6 d1

- - = Û ê

=-ê

thỏa mãnloại Chọn B.

Bài tập tương tự Cho hình vuơng ABCD Trên các cạnh AB BC CD DA lần lượt lấy, , ,

1, 2, 3 và n điểm phân biệt (n³ 3, nỴ ¥ khác , , , ) A B C D Tìm n, biết số tam giác lấy

từ n+ điểm đã cho là 439 Đáp số 6 n=10

Hướng dẫn Theo giả thiết, ta cĩ C n3+6- C33- C n3=439

Câu 20. Trong khơng gian cho 2n điểm phân biệt (4< Ỵ ¥ trong đĩ khơng cĩ ban ),

điểm nào thẳng hàng và trong 2n điểm đĩ cĩ đúng n điểm cùng nằm trên một mặt phẳng và khơng cĩ 4 điểm nào ngồi 4 điểm trong n điểm này là đồng phẳng Tìm giá trị của n sao cho từ 2n điểm đã cho tạo ra đúng 505 mặt phẳng phân biệt.