100 bài tập vận dụng cao lượng giác 2021 có lời giải

Biểu diễn tập nghiệm của phương trình cosx+cos 2x+ cos 3x= 0 trên đường tròn lượng giác ta được số điểm cuối là Câu 18C. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 5x+ 2 cos2x=1 có dạng

LƯỢNG GIÁC VẬN DỤNG CAO

Mục lục

1 Ôn tập những vấn đề cơ bản……….……….………

2 Tìm nghiệm của phương trình………

3 Nghiệm dương nhỏ nhất – nghiệm âm lớn nhất……… …

4 Số nghiệm của phương trình………

5 Tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [ a b ; ] ……… …………

6 Tìm m để phương trình có nghiệm……….………

7 Tìm m để phương trình đúng n có nghiệm thuộc ( a b ; ) …….… …

8 Kỹ thuật hàm đặc trưng ……….……….…

9 Tìm GTLN-GTNN của hàm số……… ……… ………

10 Bài toán GTLN-GTNN có chứa tham số m ………

Vấn đề 1 Ôn tập những vấn đề cơ bản

Câu 1 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Hàm số 20182

1 tan

y

x

= + có tập xác định là D= ¡ .

B Hàm số sin

3 cos

x y

x

=

- có tập xác định là D= ¡ \ 3 { }

C Hàm số y= cosx+ có tập xác định là 1 D= ¡

D Hàm số 2

sin2

x y

số được liệt kê ở bốn phương án A, B,

C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số

Câu 6 Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5m, trục của nó

cách mặt nước 2m Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) từ một

chiếc gầu gắn tại điểm A của guồng đến mặt nước được tính theo công

ë û với x là thời gian quay

của guồng với x ³ 0 tính bằng phút Ta quy ước rằng y > khi gầu ở trên 0

mặt nước và y < khi gầu ở dưới nước Vậy chiếc gầu ở vị trí cao nhất 0

khi nào?

.4

.2

A n =1 B n = 45 C n = 46 D n = 91

Câu 9. Cho góc a thỏa 0

4

p a

P =

-Câu 10. Cho góc a thỏa mãn 4

tan

3

a = - và 3

;22

.5

P =

Vấn đề 2 Tìm nghiệm của phương trình

Câu 11 Cho phương trình 5

.2

Câu 13 Phương trình 2 sin2x- 4 sin cosx x+4 cos2x=1 tương đương với phương trình nào trong các phương trình sau?

C cos 2x- 2sin 2x= - 2 D sin 2x- 2 cos 2x= - 2

Câu 14 Cho hai phương trình cos3x - =1 0 1( ) và cos2 1 2 ( )

p p

Câu 17 Biểu diễn tập nghiệm của phương trình cosx+cos 2x+ cos 3x= 0 trên đường tròn lượng

giác ta được số điểm cuối là

Câu 18. Có bao nhiêu giá trị của a thuộc [0;2p để ba phần tử của ] S= {sin ,sin 2 ,sin 3a a a} trùng với

ba phần tử của T= {cos ,cos 2 ,cos 3 a a a}

Câu 19 Phương trình 2n+1cos cos 2 cos 4 cos8 cos 2x x x x n x=1 với n Î ¥* có tập nghiệm trùng với tập nghiệm của phương trình nào sau đây?

A sinx = 0 B sinx= sin 2 n x C sinx= sin 2n+ 1x D sinx= sin 2n+ 2x

Câu 20 Tính diện tích của đa giác tạo bởi các điểm trên đường tròn lượng giác biểu diễn các nghiệm của phương trình tan tan 1

Vấn đề 3 Nghiệm dương nhỏ nhất Nghiệm âm lớn nhất

Câu 21 Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 5x+ 2 cos2x=1 có dạng a

b

p

với a b, là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau Tính S= +a b

Câu 28 Cho phương trình 2017( 2018 2018 ) ( ) cos 2

Câu 31 Phương trình 2 cos2x+2 cos 22 x+ 2 cos 32 x- 3= cos 4 2 sin 2x( x+1) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;2018 ? )

p

.2

p

Câu 37 Tổng tất cả các nghiệm của phương trình cos sin( x = trên đoạn ) 1 [0;2p bằng ]

Câu 38 Cho phương trình 2 ( ) 2 9

4

x - a- x+ a- a- = Gọi S là tập các giá trị của

tham số a thuộc đoạn [0;4p để phương trình có nghiệm kép Tổng các phần tử của tập S bằng ]

p

C 37 .70

p

D 36 .35

C 14701

.6

p

D 14850

.3

p

C 412485

.2

p

D 824967

.4

4230

4235

mÎ éê ùú

40; 3

p

a a

ç+ ççè - ÷÷ø

=+ Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của

a thuộc đoạn [0;2p để phương trình có nghiệm Tổng các phần tử của tập S bằng ]

Câu 51 Cho phương trình 2 32

mÎ -æçç ö÷÷

÷

çè ø D m Î -( 1;4 )

Câu 53 Cho phương trình cos 2x- (2m+1 cos) x m+ + =1 0 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ;3

Câu 54 Cho phương trình cos2x+ 2 1(- m)cosx+ 2m- 1 0.= Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

số m thuộc đoạn [- 10;10] để phương trình có nghiệm?

Câu 55 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos 4x= cos 32 x+ msin2x có nghiệm thuộc khoảng 0;

mÎ æçç ö÷÷

÷

çè ø C m Î ( )0;1 D 1

1; 4

m > - C - £1 m£ 3 D - <1 m< 3

Câu 57 Cho phương trình mx2+ 4p2= 4p2cos x Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để

phương trình có nghiệm thuộc khoảng 0;

Câu 58 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 3cos( 1) 1

2

m

f éë x+ + ùû= - có nghiệm?

Câu 59 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ

Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình f(2 sinx+1)= f m( ) có nghiệm?

x < - , có đồ thị như hình bên Có bao nhiêu giá

trị nguyên của tham số m để phương trình

'

f x ( )

Vấn đề 7 Tìm m để phương trình có đúng n nghiệm

Câu 61 Cho phương trình 2 cos 32 x+(3 2- m)cos 3x m+ - 2= 0 Tìm tất cả các giá trị thực của tham

số m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng ;

Câu 63 Cho phương trình msin2x- 3sin cosx x m- - 1 0.= Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên m

thuộc đoạn [- 5;5] để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc 0;3

Câu 64 Cho phương trình (cosx+1 4 cos 2)( x m- cosx)= msin 2x Số các giá trị nguyên của tham số

m để phương trình có đúng 2 nghiệm thuộc đoạn 0;2

Câu 65 Có bao nhiêu số thực m để phương trình (sinx- 1 2 cos) ( 2x- (2m+1 cos) x+ m)= 0 có đúng

4 nghiệm thuộc đoạn [0;2p ? ]

Câu 66 Cho phương trình sin4x+ cos4x+cos 42 x= m Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m

để phương trình có 4 nghiệm thuộc đoạn ;

Câu 67 Cho phương trình (sinx- 1 cos) ( 2x- cosx m+ )= 0 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m để phương trình có đúng 5 nghiệm thuộc đoạn [0;2 p ]

Câu 70 Cho phương trình (m+1 cos) x+(m- 1 sin) x= 2m+3 Có bao nhiêu giá trị của tham số m

để phương trình có hai nghiệm x x thỏa mãn 1, 2 1 2 2

3

x - x = p

Vấn đề 8 Kỹ thuật hàm đặc trưng

Câu 71 Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình m+ sin(m+ sin 3x)= sin 3sin( x)+4 sin3x có nghiệm thực?

Câu 72 Cho phương trình ( 3 )3

8sin x m- =162 sinx+27 m Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số

m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng 0;

Câu 82 Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )= 2 cos3x- cos 2x trên đoạn ;

Câu 83 Gọi m M, lần lượt là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số ( )2018

y= - x Giá trị của M+m bằng

.4

.8

9

11

Câu 91 Có bao nhiêu giá trị của tham số thực a để hàm số cos sin 1

x a x y

x

=

+ có giá trị lớn nhất bằng 1 ?

è ø è ø (với là tham số) Gọi m M, lần lượt

là giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn 2

8

2

-D 5 3 5.2+

Câu 97 Cho hai số thực x y thuộc 0;,

2

5

p

Câu 98 Cho a b c, , là các số thực thỏa mãn a2+ b2+ c2= 4 Tìm giá trị lớn nhất M trong tất cả các

hàm số y= +a b sinx+ c cosx với 0;

-Câu 100 Cho hai số thực dương a b, thỏa mãn cos(x+ +y 1)+ =3 cos 3( xy)+ 9xy- 3x- 3 y Giá trị nhỏ nhất của biểu thức S= x y( + 2) bằng

A 11 4 7

.9

+

.21

+

.21

+

- HẾT -

LƯỢNG GIÁC VẬN DỤNG CAO

Mục lục

1 Ôn tập những vấn đề cơ bản……….……….……… 02

2 Tìm nghiệm của phương trình……… 04

3 Nghiệm dương nhỏ nhất – nghiệm âm lớn nhất……… … 07

4 Số nghiệm của phương trình……… 10

5 Tổng các nghiệm của phương trình trên đoạn [ a b ; ] ……… ………… 12

6 Tìm m để phương trình có nghiệm……….……… 16

7 Tìm m để phương trình đúng n có nghiệm thuộc ( a b ; ) …….… … 21

8 Kỹ thuật hàm đặc trưng ……….……….… 27

9 Tìm GTLN-GTNN của hàm số……… ……… ……… 31

10 Bài toán GTLN-GTNN có chứa tham số m ……… 34

Vấn đề 1 Ôn tập những vấn đề cơ bản

Câu 1 Khẳng định nào sau đây là đúng?

B Hàm số sin

3 cos

x y

x y

x

=

- có tập xác định là D= ¡ .Lời giải Chọn C

Câu 2 Cho các hàm số 1 sin 23

;cos 2

Lời giải Kiểm tra ta có y và 1 y là các hàm số lẻ Chọn B 3

Câu 3 Trong các hàm số y1=sin ; x y2 =sin 2 ; x y3= tan ; x y4= cotx có bao nhiêu hàm số thỏa mãn tính chất f x( + k p)= f x( ), " Îx ¡ , kÎ ¢

Lời giải Chọn C Đó là các hàm số y y y 2; ; 3 4

Câu 4 Đường cong trong hình bên là

đồ thị của một hàm số trong bốn hàm

số được liệt kê ở bốn phương án A, B,

C, D dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số

nào?

A y= sin 2x B y= cos x C y= - sinx D y= - cos x

Lời giải Khi x = 0 thì y =1 Chọn B

Câu 5 Đường cong trong hình bên mô tả đồ thị của

Ta thấy A = 0 không thỏa mãn hệ Do đó ( )3 sin 1

3

B A

p a

a

p a

p a

Câu 6 Một chiếc guồng nước có dạng hình tròn bán kính 2,5m, trục của nó

cách mặt nước 2m Khi guồng quay đều, khoảng cách h (mét) từ một

chiếc gầu gắn tại điểm A của guồng đến mặt nước được tính theo công

thức h= y trong đó: 2,5sin 2 1 2

4

y= éêpæççx- ö÷÷ùú+

֍

ë û với x là thời gian quay

của guồng với x ³ 0 tính bằng phút Ta quy ước rằng y > khi gầu ở trên 0

mặt nước và y < khi gầu ở dưới nước Vậy chiếc gầu ở vị trí cao nhất 0

khi nào?

.4

.2

Cách trắc nghiệm thay từng đáp án vào và bấm máy so sánh

Câu 7 Gọi n là số nguyên thỏa mãn (1 tan1 1 tan 2+ 0) ( + 0) (L 1 tan 45+ 0)= 2 n Khẳng định nào sau đây đúng?

cos1 sin1 cos 2 sin 2 cos 45 sin 45

cos 44 cos 43 cos 2 cos1 sin 90

< < và sin cos 5

2

a+ a= Tính P= sina- cos a

Vấn đề 2 Tìm nghiệm của phương trình

Câu 11 Cho phương trình 5

.2Lời giải Đặt sin cos 2 cos

t t

Câu 13 Phương trình 2 sin2x- 4 sin cosx x+4 cos2x=1 tương đương với phương trình nào trong các phương trình sau?

C cos 2x- 2sin 2x= - 2 D sin 2x- 2 cos 2x= - 2

Lời giải Phương trình tương đương với (2 sin2x+ 2 cos2x)- 2.2 sin cosx x+(2 cos2x- 1)= 0

2 2sin 2x cos 2x 0 cos 2x 2 sin 2x 2

p p

ë û Chọn C

Câu 17 Biểu diễn tập nghiệm của phương trình cosx+cos 2x+ cos 3x= 0 trên đường tròn lượng

giác ta được số điểm cuối là

Lời giải Ta có cosx+ cos 2x+cos 3x= 0Û 2 cos 2 cosx x+ cos 2x= 0

¢ và các điểm này không trùng nhau nên tập

nghiệm của phương trình đã cho có 6 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác Chọn D

Câu 18. Có bao nhiêu giá trị của a thuộc [0;2p để ba phần tử của ] S= {sin ,sin 2 ,sin 3a a a} trùng với

ba phần tử của T= {cos ,cos 2 ,cos 3 a a a}

A sinx = 0 B sinx= sin 2 n x C sinx= sin 2n+1x D sinx= sin 2n+2x

Lời giải Vì x= kp không là nghiệm của phương trình đã cho nên nhân hai vế phương trình cho

sin ,x ta được 2n+ 1(sin cos cos 2 cos 4 cos 8 cos 2x x) x x x n x= sinx

1 2

2 sin 2 cos 2 cos 4 cos8 cos 2 sin

2 sin 2 cos 2 cos 4 cos8 cos 2 sin

2 sin 2 cos 4 cos 8 cos 2 sin

x k

p p p

ç+ ççè + ÷÷ø= Û + - =

N

M

Câu 21 Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình sin 5x+ 2 cos2x=1 có dạng a

b

p

với a b, là các số nguyên và nguyên tố cùng nhau Tính S= +a b

¾ ¾® nghiệm dương nhỏ nhất là 3 3

17

1414

a

S b

x x

sin cos 1 2 sin

sin cos cos 2 0

¾ ¾® nghiệm âm lớn nhất là 1

3

44

a

S b

2sin 3 cos 2 2 sin 3 cos

é =êê

ê =êë

¾ ¾® có 6 điểm biểu diễn trên đường tròn lượng giác Chọn D

Câu 24 Cho phương trình sinx+ cos sin 2x x+ 3 cos 3x= 2 cos 4( x+ sin3x) Tổng nghiệm âm lớn nhất và nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình bằng

A S =7 B S = 8 C S =15 D S =17

Lời giải Phương trình Û 4 cos 3 cos 2x x+ 2 cos3x= 1

2 cos 5( cos ) 2 cos 3 1

 Nhận thấy sinx= 0Û x= k p (kÎ ¢ không thỏa mãn phương trình )

 Nhân hai vế cho sin x ta được 2 sin cosx x+2sin cos3x x+2 sin cos 5x x= sinx

k x

ê

êêë

¢

Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất là 1

8

77

a

S b

Hợp hai trường hợp ta được nghiệm của phương trỡnh đó cho là ( )

k

x= p+ p kẻ Â

ắ ắđ cú 4 điểm biểu diễn trờn đường trũn lượng giỏc Chọn B

Cõu 27 Nghiệm õm lớn nhất của phương trỡnh tan2018 cot2018 2 sin2017

x k

p

p p

a

S b

- ắ ắđớù =ùợ ắ ắđ = - Chọn A

Cõu 28 Cho phương trỡnh 2017( 2018 2018 ) ( ) cos 2

x

-Do đú phương trỡnh Û 22017(sin2018x+cos2018x) (sinx+ cosx)cosx= (sinx+ cosx)cosx

Û cosx(sinx+cos 2x)ộờở2017(sin2018x+cos2018x)- 1ựỳỷ= 0

a

S b

y= p x (có đồ thị là màu đỏ như hình vẽ)

Dựa vào hình vẽ ta thấy hai đồ thị hàm số cắt nhau tại 3 điểm phân biệt nên phương trình ( )1 có 3

nghiệm phân biệt ¾ ¾® đối chiếu điều kiện bài toán ta loại nghiệm x = 0 nên phương trình đã cho

có 2 nghiệm Chọn B

Vấn đề 4 Số nghiệm của phương trình

Câu 31 Phương trình 2 cos2x+2 cos 22 x+ 2 cos 32 x- 3= cos 4 2 sin 2x( x+1) có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (0;2018 ? )

Lời giải Điều kiện: (1 2 cos+ x)sinx¹ 0

ê = Þ =êë

2

.cos sin 2 cos

4

x x

Lời giải Điều kiện:

cos 2 0

cos 4 0

x x x

tan 4 tan 2 4 tan

p

.2

Lời giải Phương trình tương đương với sinx= k2 , p kÎ ¢

Vì - £1 sinx£ 1 nên suy ra k = 0, khi đó phương trình trở thành sinx= 0Û x= lp (l Î ¢ )

Vì xÎ [0;2p]¾ ¾® xÎ {0; ;2 p p} Suy ra tổng các nghiệm 0+ +p 2p= 3 p Chọn D

Câu 38 Cho phương trình 2 (2cos 3) 7 cos2 3cos 9 0.

4

x - a- x+ a- a- = Gọi S là tập các giá trị của

tham số a thuộc đoạn [0;4p để phương trình có nghiệm kép Tổng các phần tử của tập S bằng ]

4

( )

[ ]

[ ]

0;4 2

.2

p p

p p p

C 37.70

p

D 36.35

p

Lời giải Nhận thấy cosx = 0 không là nghiệm của phương trình

Nhân hai vế phương trình với cos x ta được

22sin 3 4 cos 3cos cos2sin 3 cos 3 cos

2

22

k x

p

C 14701

.6

p

D 14850

.3

cos 2 sin 1 sin 2 2 sin 1 0

p

C 412485

.2

p

D 824967

.4

p

Lời giải Phương trình ( ) ( )

Nhận thấy cosx = 0 không thỏa mãn phương trình

Chia hai vế phương trình cho cos x3 ta được ( )3 ( 2 )

tanx- 1 = 4 tanx tan x+1

4230

4235

3 p Lời giải Điều kiện cos2 0 ( )

2

x¹ Û x¹ p+ k p kÎ ¢ Phương trình Û sin2x- cos2xcos 2x= cos3x- cos2x+1

2

2cos

32

x k x

x

p p p p

êê

1 2 3

42253

mÎ éê ùú

40; 3

mÎ æçç ö÷÷

÷

çè øLời giải Phương trình 1 cos 2 1 cos2

p

a a

ç+ ççè - ÷÷ø

=+ Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của

a thuộc đoạn [0;2p để phương trình có nghiệm Tổng các phần tử của tập S bằng ]

ïï

ïî

Phương trình tương đương với 5 4 cos

3sin 2 3sin 2 sin 4 cos 5

Câu 51 Cho phương trình 2 32

Û 3 tan( 2x+ cot2x+1)+ tanx+ cotx= m

Đặt t= tanx+cot x Điều kiện: t ³ 2

mÎ -æçç ö÷÷

÷

çè ø D m Î -( 1;4 )

Lời giải Điều kiện cosx ¹ 0

Phương trình 2sin 2 cos 2 sin 4.sin cos cos 2 .sin .

p

ì ¹ïï

Câu 53 Cho phương trình cos 2x- (2m+1 cos) x m+ + =1 0 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số

m để phương trình có nghiệm thuộc khoảng ;3

10

+ ¥

+

-Lời giải Phương trình 2 ( )

1cos

Nhận thấy phương trình 1

cos2

x = không có nghiệm trên khoảng ;3

Câu 54 Cho phương trình cos2x+ 2 1(- m)cosx+ 2m- 1 0.= Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham

số m thuộc đoạn [- 10;10] để phương trình có nghiệm?

+

Xét hàm ( ) 2 2 1

mÎ æçç ö÷÷

÷

çè ø C m Î ( )0;1 D 1

1; 4

'

f t ( )

Û (cos 2x- 1)m= 4 cos 23 x- 4 cos 22 x- 3cos 2x+ 3 ( )*

3;1 ,2

3;1 ,2

ïïïïïîVậy để phương trình m= f t( ) có nghiệm khi và chỉ khi m Î ( )0;1 Chọn C

Câu 56 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 2 sinx m+ cosx= -1 m có nghiệm x

2 2

xÎ -éê p pùú

ë û thì sin x quét hết tập giá trị [- 1;1] nhưng với cos x thì không

Lời giải đúng Đặt tan

Do đó yêu cầu bài toán - 2£ 2m£ 6Û - £1 m£ 3 Chọn C

Câu 57 Cho phương trình mx2+ 4p2= 4p2cos x Tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m để

phương trình có nghiệm thuộc khoảng 0;

x m

Câu 58 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ

Có bao nhiêu số nguyên m để phương trình 3cos( 1) 1

'

f x ( )

Lời giải Đặt t= 3cos(x+1)+ ¾ ¾® -1 2£ £t 4.

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với t Î -[ 2;4] thì - £1 f t( )£ 3

Câu 59 Cho hàm số y= f x( ) có bảng biến thiên như hình vẽ

Có bao nhiêu số nguyên dương m để phương trình f(2 sinx+1)= f m( ) có nghiệm?

Lời giải Đặt t=2sinx+ ¾ ¾® - £ £1 1 t 3

Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với t Î -[ 1;3] thì - 2£ f t( )£ 2

Do đó để phương trình có nghiệm Û - 2£ f m( )£ 2 Cũng từ bảng biến thiên suy ta f m nhận mọi ( )

giá trị từ - 2 đến 2 khi và chỉ khi - £1 m£ 3

x < - , có đồ thị như hình bên Có bao nhiêu giá

trị nguyên của tham số m để phương trình

(3sin 2) ( )

f x+ = f m có nghiệm?

Lời giải Đặt t=3sinx+ ¾ ¾® - £ £2 1 t 5

Dựa vào đồ thị ta thấy f x đồng biến trên ( ) [- 1;5] nên f(3sinx+2)= f m( )Û 3sinx+ =2 m

Mà 3sinx+ Î -2 [ 1;5]¾ ¾®mÎ -[ 1;5]¾ ¾® có 7 giá trị nguyên Chọn B

Câu 61 Cho phương trình 2 cos 32 x+(3 2- m)cos 3x m+ - 2= 0 Tìm tất cả các giá trị thực của tham

số m để phương trình có đúng 3 nghiệm thuộc khoảng ;