Sang kien kinh nghiem dinh ly Vi et toan 9

Do đó chỉ đề cập đến một số loại bài toán đó là: a ứng dụng của định lý Viét trong giải toán tìm điều kiện của tham số để bài toán thoả mãn các yêu cầu đặt ra b ứng dụng của định lý tron[r]

Một số ứng dụng của định lý viét trong việc giải toán

-A Đặt vấn đề.

1 lý do chọn đề tài

Trong chơng trình sách giáo khoa mới Toán lớp 9 THCS, học sinh đợc làm quen với phơng trình bậc hai: Công thức tính nghiệm của phơng trình bậc hai, đặc biệt là định lý Viét và ứng dụng trong việc giải toán

Song qua việc giảng dạy Toán 9 tại trờng T.H.C.S tôi nhận thấy các em vận dụng hệ thức Viét vào giải toán cha thật linh hoạt, cha biết khai thác và sử dụng hệ thức Viét vào giải nhiều loại bài toán, trong khi đó hệ thức Viét có tính ứng dụng rất rộng rãi trong việc giải toán

Đứng trớc vấn đề đó, tôi đi sâu vào nghiên cứu đề tài: “ Một số ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán” với mong muốn giúp cho học sinh nắm vững và sử dụng thành thạo định lý Viét, đồng thời làm tăng khả năng, năng lực học toán và kích thích hứng thú học tập của học sinh

2 đối tợng và phạm vi nghiên cứu.

Trong đề tài này, tôi chỉ đa ra nghiên cứu một số ứng dụng của định lý Viét trong việc giải một số bài toán thờng gặp ở cấp T.H.C.S Do đó chỉ đề cập

đến một số loại bài toán đó là:

a) ứng dụng của định lý Viét trong giải toán tìm điều kiện của tham số

để bài toán thoả mãn các yêu cầu đặt ra

b) ứng dụng của định lý trong giải bài toán lập phơng trình bậc hai một

ẩn, tìm hệ số của phơng trình bậc hai một ẩn

c) ứng dụng của định lý Viét trong giải toán chứng minh

d) áp dụng định lý Viét giải phơng trình và hệ phơng trình

e) Định lý Viét với bài toán cực trị

B nội dung.

Định lý Viét:

Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) thì:

¿

x1+x2=− b

a

x1 x2=c

a

¿ {

¿

* Hệ quả: (trờng hợp đặc biệt)

a) Nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) có a + b + c = 0 thì phơng

c

a trình có một nghiệm là: x1 = 1 còn nghiệm kia là: x2 =

b) Nếu phơng trình ax2 + bx + c = 0 (a  0) có a - b + c = 0 thì phơng

− c

a trình có một nghiệm là: x1 = - 1 còn nghiệm kia là: x2 =

¿

u+v=S

u v=P

¿ {

¿

* Nếu có hai số u và v thoả mãn điều kiện:

thì u, v là hai nghiệm của phơng trình: x2 – Sx + P = 0

điều kiện để có hai số u, v là: S2 – 4P  0

Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho việc ứng dụng của định lý Viét trong giải một số dạng toán

I ứng dụng của định lý viét trong giải toán tìm điều kiện của tham số để bài toán thoả mãn các yêu cầu đặt ra.

1 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Tìm giá trị của m để các nghiệm x1, x2 của phơng trình

mx2 - 2(m - 2)x + (m - 3) = 0 thoả mãn điều kiện

¿

x12+x22=1

¿

Bài giải:

Điều kiện để phơng trình có hai nghiệm (phân biệt hoặc nghiệm kép):

m  0 ; ' ≥ 0

' = (m - 2)2 - m(m - 3) = - m + 4

'  0  m  4

Với 0  m  4, theo định lý Viét, các nghiệm x1; x2 của phơng trình có liên hệ:

x1 + x2 = 2(m−2)

m−3 m

Do đó: 1 = x12+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 =

m− 2¿2

¿

4 ¿

¿

- 2(m−3)

m

 m2 = 4m2 - 16m + 16 - 2m2 + 6m

 m2 - 10m + 16 = 0

 m = 2 hoặc m = 8 Giá trị m = 8 không thoả mãn điều kiện 0  m  4

Vậy với m = 2 thì x12+x22 = 1

Ví dụ 2: Cho phơng trình x2 - 2(m - 2)x + (m2 + 2m - 3) = 0 Tìm m để

phơng trình có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn 1

x1

+ 1

x2

=x1+x2

5

Bài giải:

Ta phải có:

−(m− 2)¿2−(m2+2m −3)>0

¿

x1 x2≠ 0

¿

¿

Δ '

= ¿

¿ (1)  ' = m2 - 4m + 4 - m2 - 2m + 3 = - 6m + 7 > 0  m < 7

6

(2)  m2 + 2m - 3  0  (m - 1)(m + 3)  0  m  1; m  - 3

(3)  x1+x2

x1 x2=

x1+x2

5 ⇔(x1+x2)(5 − x1 x2)=0

 Trờng hợp: x1 + x2 = 0  x1 = - x2  m = 2 không thoả mãn điều kiện (1)

 Trờng hợp: 5 - x1.x2 = 0  x1.x2 = 5

Cho ta: m2 + 2m - 3 = 5  (m - 2)(m + 4) = 0

m=2 (loại) m=− 4 (thoảmãn ĐK)

⇔¿ Vậy với m = - 4 phơng trình đã cho có 2 nghiệm x1, x2 phân biệt thoả mãn

1

x1+

1

x2=

x1+x2

5

Ví dụ 3: Cho phơng trình: mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0 (m là tham số)

a) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn

x1 + 4x2 = 3

b) Tìm một hệ thức giữa x1; x2 mà không phụ thuộc vào m

Bài giải:

a) Ta phải có:

x1+x2=2(m+1)

m

x1 x2=m− 4

m

x1 +4 x2 =3

m≠ 0

¿

¿

−¿

¿

¿

Từ (1) và (3) tính đợc: x2=m−2

3 m ;x1 =5 m+8

3 m

Thay vào (2) đợc (m− 2)(5 m+8)

9 m2 =

m− 4

m  2m2 - 17m + 8=0

Giải phơng trình 2m2 - 17m + 8 = 0 đợc m = 8; m = 1

2 thoả mãn điều kiện (4) 1

2 Vậy với m = 8 hoặc m = thì các nghiệm của phơng trình thoả mãn

x1 + 4x2 = 3

(1) (2) (3) (4)

b) Theo hệ thức Viét:

x1 + x2 = 2 + 2

m

x1 + x2 = 1 - 4

Thay 2

m = x1 + x2 - 2 vào (*) đợc x1x2 = 1 - 2(x1 + x2 - 2)

Vậy x1.x2 = 5 - 2(x1 + x2)

Ví dụ 4: Với giá trị nào của m thì hai phơng trình sau có ít nhất một

nghiệm chung:

Bài giải:

Gọi x0 là nghiệm chung nào đó của 2 phơng trình khi đó ta có

x02

+2 x0+m=0

x02+ mx0+2=0

Trừ theo từng vế hai phơng trình ta đợc (m - 2)x0 = m - 2

Nếu m = 2 cả hai phơng trình là x2 + 2x + 2 = 0 vô nghiệm

Nếu m  2 thì x0 = 1 từ đó m = - 3

Với m = - 3: (1) là x2 + 2x – 3 = 0; có nghiệm x1 = 1 và x2 = - 3

Và (2) là x2 - 3x + 2 = 0; có nghiệp x3 = 1 và x4 = 2

Rõ ràng với m = - 3 thì hai phơng trình có nghiệm chung x = 1

2 Bài tập:

Bài 1 : Cho phơng trình x2 - (m + 3)x + 2(m + 1) = 0 (1) Tìm giá trị của tham số m để phơng trình có (1) có nghiệm x1 = 2x2

Bài 2: Cho phơng trình mx2 - 2(m + 1)x + (m - 4) = 0

a) Tìm m để phơng trình có nghiệm

b) Tìm m để phơng trình có 2 nghiệm trái dấu Khi đó trong hai nghiệm, nghiệm nào có giá trị tuyệt đối lớn hơn?

c) Xác định m để các nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn: x1 + 4x2 = 3 d) Tìm một hệ thức giữa x1, x2 mà không phụ thuộc vào m

Bài 3:

a) Với giá trị nào m thì hai phơng trình sau có ít nhật một nghiệm chung Tìm nghiệm chung đó?

x2 - (m + 4)x + m + 5 = 0 (1)

x2 - (m + 2)x + m + 1 = 0 (2) b) Tìm giá trị của m để nghiệm của phơng trình (1) là nghiệm của

ph-ơng trình (2) và ngợc lại

II ứng dụng của định lý viét trong bài toán lập

ph-ơng trình bậc hai một ẩn, tìm hệ số của phph-ơng trình bậc hai một ẩn số:

1 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho x1 = √3+1

2 ; x2 =

1 1+√3

Lập phơng trình bậc hai có nghiệm là: x1; x2

Ta có: x1 = √3+1

2 ; x2 =

1 1+√3 =

1−√3

√3− 1

2

Nên x1.x2 = √3+1

2

1 1+√3 =

1 2

x1 + x2 = √3+1

2 +

1 1+√3 = √3

Vậy phơng trình bậc hai có 2 nghiệm: x1; x2 là x2 - √3 x+ 1

2 = 0

Hay 2x2 - 2 √3 x + 1 = 0

Ví dụ 2: Cho phơng trình: x2 + 5x - 1 = 0 (1)

Không giải phơng trình (1), hãy lập một phơng trình bậc hai có các nghiệm là luỹ thừa bậc bốn của các nghiệm phơng trình (1)

Cách giải:

Gọi x1; x2 là các nghiệm của phơng trình đã cho theo hệ thức viét, ta có:

x1 + x2 = -5; x1.x2 = - 1 Gọi y1; y2 là các nghiệm của phơng trình phải lập, ta có:

y1 + y2 = x14+x24

y1 y2 = x14 x24

Ta có:

¿

x14

+x24

¿ = (x1 + x2 )2 - 2x1 x2 = 729 – 2 = 727

x14 x24 = (x1.x2)4 = (- 1)4 = 1 Vậy phơng trình cần lập là: y2 - 727y + 1 = 0

Ví dụ 3: Tìm các hệ số p và q của phơng trình: x2 + px + q = 0 sao cho

hai nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn hệ: { x1− x2=5

x13− x23=35

Các giải:

Điều kiện  = p2 - 4q  0 (*) ta có:

x1 + x2 = -p; x1.x2 = q Từ điều kiện:

{ x1− x2=5

x13− x23=35  { (x1− x2)2=25

(x1− x2)(x12+x1x2+x22)=35

 { (x1+x2)2− 4x1x2=25

5((x1+x2)2−2 x1x2+x1x2)=35  {p❑1

− 4 q=25

p2−q=7

Giải hệ này tìm đợc: p = 1; q = - 6 và p = - 1; q = - 6 Cả hai cặp giá trị này đều thoả mãn (*)

2) Bài tập:

Bài 1: Lập phơng trình bậc hai có 2 nghiệm là √3 + √2 và 1

√3+√2

Bài 2: Lập phơng trình bậc hai thoả mãn điều kiện:

Có tích hai nghiệm: x1.x2 = 4 và x1

x1−1 +

x2

x2−1 =

k2−7

k2− 4

Bài 3: Xác định có số m, n của phơng trình: x2 + mx + n = 0

Sao cho các nghiệm của phơng trình làm m và n

Iii ứng dụng của định lý viét trong giải toán chứng minh.

1 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Cho a, b là nghiệm của phơng trình: x2 + px + 1 = 0 và b, c là nghiệm của phơng trình x2 + qx + 2 = 0

Chứng minh: (b - a)(b - c) = pq - 6

Hớng dẫn học sinh giải Đây không phải là một bài toán chứng minh

đẳng thức thông thờng, mà đây là một đẳng thức thể hiện sự liên quan giữa các nghiệm của 2 phơng trình và hệ số của các phơng trình đó Vì vậy đòi hỏi chúng ta phải nắm vững định lý Viét và vận dụng định lý Viét vào trong quá trình biến đổi vế của đẳng thức, để suy ra hai vế bằng nhau

Cách giải:

a,b là nghiệm của phơng trình: x2 + px + 1 = 0

b,c là nghiệm của phơng trình: x2 + qx + 2 = 0 Theo định lý viét ta có:

{a+b=- p a b=1 và {b+c=- q b c=2

Do đó: (b – a)(b – c) = b2 + ac - 3 (1)

pq = (- p)(- q) = (a + b)(b + c) = b2 + ac + 3 Suy ra: pq - 6 = b2 + ac +3 – 6 = b2 + ac - 3 (2)

Từ (1) và (2) suy ra (b - a)(b - c) = pq - 6 (đpcm)

Vídụ 2: Cho các số a,b,c thoả mãn điều kiện:

a + b + c = - 2 (1); a2 + b2 + c2 = 2 (2) Chứng mình rằng mỗi số a, b, c đều thuộc đoạn [−4

3;0] khi biểu diễn trên trục số:

Cách giải:

Bình phơng hai vế của (1) đợc:

a2 + b2 + c2 + 2(ab + bc + ca) = 4

Do (2) nên: ab + bc + ca = (4 - 2): 2 = 1

 bc = 1 - a(b + c) = 1 - a(- 2 - a) = a2 + 2a + 1

Ta lại có: b + c = - (a + 2), do đó b, c là nghiệm của phơng trình:

X2 + (a + 2)X + (a2 + 2a + 1) = 0 (*)

Để (*) có nghiệm thì ta phải có:

 = (a+2)2 - 4(a2+2a+1)  0

 a(3a + 4)  0  - 4

3  a  0

Chứng minh tơng tự ta đợc: - 4

3  b  0; -

4

3  c  0

2 Bài tập:

Bài 1: Gọi a, b là hai nghiệm của phơng trình bậc hai: x2 + px + 1 = 0 Gọi c, d là hai nghiệm của phơng trình: y2 + qy + 1 = 0

Chứng minh hệ thức: (c-a)(a-b)(b-c)(b-d) = (p-q)2

Bài 2: Chứng minh rằng khi viết số x = ()200 dới dạng thập phân, ta đợc chữ số liền trớc dấu phẩy là 1, chữ số liền sau dấu phẩy là 9

iii áp dụng định lý viét giải phơng trình và hệ phơng trình.

1 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phơng trình: x(5 − x x +1) (x + 5 − x

Hớng dẫn:

ĐKXĐ: {xR  x  - 1}

x +1

x +1

 {u +ν=? u ν =?

Tính: u, v, rồi từ đó tính x

Bài giải:

ĐKXĐ: {x  R  x  - 1}

x +1

x +1

(*)  {u +ν=(x 5− x

x +1)+(x + 5 − x

x +1)

u ν=(x 5− x

x +1).(x+ 5 − x

x+1)  {u+ν=5 u ν=6

u, v là nghiệm của phơng trình: x2 - 5x + 6 = 0

 = 25 – 24 = 1

x1 = 5+1

2 = 3

x2 = 5 − 1

2 = 2

u = 3 thì v = 2 hoặc u = 2 thì v = 3

Nếu: {u=3 ν=2 thì (*) trở thành: x2 - 2x + 3 = 0

' = 1 – 3 = - 2 < 0 Phơng trình vô nghiệm:

Nếu: {u=2 ν=3 thì (*) trở thành: x2 - 3x + 2 = 0

Suy ra: x1 = 1; x2 = 2

Vậy phơng trình có hai nghiệm x1 = 1; x2 = 2

Ví dụ 2: Giải các hệ phơng trình:

a) {xy=31x + y=11

b) {xyx + y +yx=72+x2y=12

Bài giải:

a) x,y là nghiệm của phơng trình: x2 - 11x +31 = 0

=(-11)2 - 4.1.31 = 121 – 124 = - 3 < 0 Phơng trình vô nghiệm

Vậy hệ phơng trình đã cho vô nghiệm

b) Đặt x + y = S và xy = P

Ta có hệ: {S P=12 S+ P=7

Khi đó S và P là hai nghiệm của phơng trình: t2 – 7t + 12 = 0

Giải phơng trình này đợc t = 4 và t = 3

+ Nếu S = 4 thì P = 3 khi đó x, y là nghiệm của phơng trình:

u2 - 4u + 3 = 0  u = 1 và u = 3 Suy ra (x = 1; y = 3) và (x = 3; y = 1) + Nếu S = 3 thì P = 4 khi đó x, y là nghiệm của phơng trình:

v2 – 3v + 4 = 0 Phơng trình này vô nghiệm vì  = 9 - 16 = - 7 < 0

Vậy hệ đã cho có hai nghiệm số là:

(x = 1; y = 3) và (x = 3; y =1)

2 Bài tập:

Bài 1: Giải phơng trình: x3 + 9x2 + 18 + 28 = 0

Bài2: Giải các hệ phơng trình sau:

a)

x + y=9

¿+y2 =4

x2

¿

b) {x4x+ y=3+y4=17

V Định lý viét với bài toán cực trị:

1 Các ví dụ:

Ví dụ 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình:

x2 - (2m - 1)x + m – 2 = 0

Tìm m để x12

+x22 có giá trị nhỏ nhất

Bài giải:

Xét:  = 4m2 - 4m + 1 - 4m + 8 = 4m2 - 8m + 9 = 4(m - 1)2 + 5 > 0 Nên phơng trình đã cho có hai nghiệm với mọi m

Theo định lý Viét ta có: x1 + x2 = 2m - 1; x1.x2 = m - 2

 x12

+x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = (2m - 1)2 - 2(m - 2)

=4m2 - 6m + 5 = (2m - 3

2 )2 +

11

4 

11 4

Dấu “=” xảy ra khi m = 3

4

Vậy Min(x1 + x2 ) = 11

4 khi m =

3 4

Ví dụ 2: Gọi x1; x2 là nghiệm của phơng trình:

2x2 + 2(m + 1)x + m2 + 4m + 3 = 0

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A =x1x2 - 2x1 - 2x2

Cách giải:

Để phơng trình đã cho có nghiệm thì:

' = (m + 1)2 - 2(m2 + 4m + 3) = - (m + 1)(m + 5)  0

 - 5  m  - 1 (*)

Khi đó theo hệ thức Viét ta có: x1 + x2 = - m - 1

x1 .x2 = m2

+4 m+3

2

Do đó: A =  m2+8 m+7

Ta có: m2 + 8m + 7 = (m + 1)(m + 7) với điều kiện (*) thì:

(m + 1)(m + 7)  0

Suy ra: A = − m2+8 m−7

m+4¿2

¿

9 −¿

¿

 9 2

Dấu bằng xảy ra khi (m + 4)2 = 0 hay m = - 4

Vậy A đạt giá trị lớn nhất là: 9

2 khi m = - 4, giá trị này thoả mãn điều

kiện (*)

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của

A=(x4 + 1) (y4 + 1), biết x, y  0; x + y =

Cách giải:

A = (x4 + 1)(y4 + 1) = x4 + y4 + y4x4 + 1

Ta có: x + y =  x2 + y2 = 10 - 2xy

 x4 + y4 + 2y2x2 = 100 - 40xy + 4x2y2

 x4 + y4 = 100 - 40xy + 2x2y2

Đặt : xy = t thì x4 + y4 = 100 - 40t + 2t2

Do đó A = 100 - 40t + 2t2 + t4 + 1 = t4 + 2t2 – 40t + 101

a) Tìm giá trị nhỏ nhất:

A = t4 - 8t2 + 16 + 10t2 - 40t + 40 + 45 = (t2 - 4)2 + 10(t - 2)2 + 45  45 Min(A) = 45  t = 2, khi đó xy = 2; x + y = nên x và y là nghiệm của phơng trình X2 - X + 2 = 0

Tức là x = √10+√2

2 ; y = √

10 −√2

2 hoặc x = √

10 −√2

2 ; y =

√10+√2

2

b) Tìm giá trị lớn nhất:

Ta có: 0  xy  (x+ y2 )2 = (√102 )2 = (52)  0  t  (52) (1) Viết A dới dạng: A = t(t3 + 2t - 40) + 101

Do (1) nên t3  125

8 ; 2t  5  t3 + 2t - 40 

125

8 + 5 - 40 < 0 còn

t  0 nên A  101

Max(A) = 101 khi và chỉ khi t = 0 tức là x = 0; y = hoặc x = ; y = 0

2 Bài tập:

Bài 1: Gọi x1, x2 là các nghiệm của phơng trình

x2 + 2(m - 2)x - 2m + 7 = 0

Tìm m để

¿

x12+x22

¿

có giá trị nhỏ nhất

Bài 2: Cho phơng trình: x2 - m + (m - 2)2 = 0

Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức

A = x1x2 + 2x1 + 2x2

Bài 3: Cho phơng trình: x2 - 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (m là tham số)

Tìm m sao cho 2 nghiệm x1; x2 của phơng trình thoả mãn 10x1x2 +

¿

x12+x22

¿ đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị đó

C Kết luận.

ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán là một vấn đề lớn, đòi hỏi ngời học phải có tính sáng tạo, có t duy tốt và kỹ năng vận dụng lý thuyết một cách linh hoạt Chính vì lẽ đó, trong quá trình giảng dạy, ngời giáo viên cần chuẩn bị chu đáo, tỉ mỉ, rõ ràng từng thể loại bài tập cụ thể để học sinh hiểu sâu bản chất và cách vận dụng Xây dựng cho các em niềm đam mê, hứng thú trong học tập, tôn trọng những suy nghĩ, ý kiến và sáng tạo của các em Cần thờng xuyên kiểm tra, đánh giá kết quả học tập, bổ sung thiếu sót kịp thời, dạy sâu, dạy chắc và kết hợp nhuần nhuyễn, lôgic giữa các bài khác nhau

Nghiên cứu đề tài “ứng dụng của định lý Viét trong việc giải toán” không chỉ giúp cho học sinh yêu thích học bộ môn toán, mà còn là cơ sở giúp cho bản thân có thêm kinh nghiệm trong giảng dạy Mặc dù đã rất cố gắng khi thực hiện đề tài, song không thể tránh khỏi thiếu sót về cấu trúc, ngôn ngữ và kiến thức khoa học Vì vậy, tôi mong sự quan tâm của các đồng chí, đồng nghiệp góp ý kiến chân thành để đề tài này hoàn thiện hơn

Xin chân thành cảm ơn!

Ngày 25 - 4 - 2006.