Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục Oy, đi qua A và cắt mặt phẳng ABC theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất... Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm...[r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2013
_ Thời gian làm bài 180 phút, không kể thời gian phát đề
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH
Câu 1 (2,0 điểm) Cho hàm số 3 ( ) 2
y= −x 3 m 1 x+ +12mx−3m+4 (1), với m là tham số thực
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 0
b) Tìm m để hàm số có cực trị tại x1 và x2 thoả mãn: x1 −x2 =2
Câu 2 (1,0 điểm) Giải phương trình 2
2sin x−sin 2x+sin x+cos x 1 0− =
Câu 3 (1,0 điểm) Giải hệ phương trình
x y 5x y
x y 3
x, y ∈ R
Câu 4 (1,0 điểm) Tính tích phân
e 2 1
2x 1
I ln xdx
x
+
=∫
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC, SA tạo với đáy (ABC) một góc 600 Tam giác ABC vuông tại B, 0
ACB=30 , AC = 2a Hình chiếu vuông góc của điểm S lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm G của ∆ABC Tính thể tích khối chóp S.ABC theo a
Câu 6 (1,0 điểm) Tìm các giá trị của m để phương trình sau có nghiệm
m 1 x+ + 1 x− + +3 2 1 x− − =5 0
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu 7a (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(1;0), B(−2;4), C(−1;4), D(3;5) Tìm toạ
độ điểm M thuộc đường thẳng ∆: 3x− − =y 5 0 sao cho hai tam giác MAB và MCD có diện tích bằng nhau
Câu 8a (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua các
điểm A(0;1;2), B(2;−2;1), C(−2;0;1) và có tâm thuộc mặt phẳng (P): 2x +2y+ − =z 3 0
Câu 9a (1,0 điểm) Cho khai triển Niutơn ( )2 n
1− 3x = +a a x+a x + + a x , n ∈ N*
Tính hệ số a9 biết n thoả mãn hệ thức 2 3
2 14 1
C + 3C = n
B Theo chương trình Nâng cao
Câu 7b (1,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho ∆ABC cân tại đỉnh A, phương trình
CB : x+ + =y 1 0 Đường cao qua đỉnh B là: ∆: x−2y− =2 0, điểm M(2;1) thuộc đường cao đi qua đỉnh C Viết phương trình cạnh AB và AC của ∆ABC
Câu 8b (1,0 điểm) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho A(1;0;0), B(2;−1;2), C(−1;1;−3) Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc trục Oy, đi qua A và cắt mặt phẳng (ABC) theo một đường tròn có bán kính nhỏ nhất
Câu 9b (1,0 điểm) Giải phương trình: ( )2 ( )3
log x 1+ + =2 log 4− +x log 4+x
- HẾT - Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: ……… ; Số báo danh: ………
Trang 2SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ TĨNH ĐÁP ÁN THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN 1 NĂM 2013
a) (1,0 điểm)
Với m = 0 ta có hàm số 3 2
y= x −3x +4 Tập xác định: D = R
Sự biến thiên: y’ = 3x2− 6x; y’ = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 2 0.25đ
Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞;0) và (2;+∞), nghịch biến trên khoảng (0;2)
Cực trị: Hàm số đạt cực đại tại x = 0 với yCĐ = 4, đạt cực tiểu tại x = 2, yCT = 0
Giới hạn:
xlim y , lim yx ,
Bảng biến thiên:
x −∞ 0 2
+∞ y’ + 0 − 0 +
y
0.25đ
Đồ thị:
0.25đ
b) (1,0 điểm)
Ta có: 2 ( )
y '=3x −3 m 1 x 12m+ + Hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 khi và chỉ khi y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ m ≠ 1 0.25đ
Khi đó ta có: x1 = 2; x2 = 2m 0.25đ
Do đó x1−x2 = ⇔2 m 1− =1 0.25đ
1
(2đ)
2sin x sin 2x sin x cos x 1 0 2sin x 2sin x.cos x sin x cos x 1 0
sin x 1 2sin x 1 cos x 2sin x 1 0
2
(1đ)
1 sin x
2 cos x sin x 1
0.25đ
4
0
+∞
−∞
4
2
5
-1
2 O
Trang 3x k2
sin x
5 2
6
π
= + π
= + π
0.25đ
x k2 cos x sin x 1
2
= − + π
Vậy phương trình đã cho có nghiệm là:
x= πk2 , x k2
2 3
0.25đ
x y 3
3x 3y 5x y x y
x y 3
x 2y
y 2x
x y
=
⇔ = −
= −
0.25đ
0.25đ
3
(1đ)
x y 3
y 1
x y 3
y 1
x y 3
y x
v« nghiÖm v« nghiÖm
=
= −
0.50đ
2
I 2 ln xdx ln xdx
Với
e
2 e
1
1
I 2 ln xdx ln x 1
x
Với
e
1
ln x
x
=∫ , đặt
2
dx
u ln x du
x dx
1 dv
v x
x
ta có
e
1
e
I ln x
1
4
(1đ)
2
e
1
e
5
(1đ)
Trang 4B
S
E
Ta có: AB = a, AC = a 3 diện tích ∆ABC là
2 ABC
S AB.AC a
Gọi E là trung điểm BC ta có:
AE AB BK
2
3
Vì góc giữa SA và đáy bằng 600 nên ta có
SAG=60 SG AG 3 a 7
3
Thể thích khối chóp là:
3 ABC
V S SG
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
6
(1đ)
Điều kiện: x∈ [−1;1]
t= 1 x− + 1 x+ ⇒2 1 x− = −t 2 với t∈ 2;2
Phương trình đã cho trở thành: ( ) 2 t2 7
m t 3 t 7 0 m
t 3
− + + + − = ⇔ =
+ (*)
Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi phương trình (*) có nghiệm t∈ 2;2
Xét ( ) t2 7
f t
t 3
− +
= + trên 2;2, ta có ( ) (2 )2
t 6t 7
t 3
− − −
+ ⇒ f(t) nghịch biến
trên 2;2
Do đó phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi ( ) ( ) 3 15 5 2
−
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
7a
(1đ) Ta có: AB= −( 3;4)⇒AB=5,CD=( )4;1 ⇒CD= 17
AB : 4x+3y− =4 0,CD : x−4y 17+ =0
M∈∆⇒ M(t; 3t−5)
Theo bài ra ta có: d M, AB AB( ) =d M,CD CD( )
4t 3 3t 5 4 t 4 3t 5 17
M 9; 32
t 9 13t 19 37 11t 19 19 17
− −
= −
0.25đ
0.25đ
0.50đ
8a
(1đ)
Gọi (S) là mặt cầu có tâm thuộc (P) và qua A, B, C
(S) có phương trình dạng: 2 2 2
x + y + +z 2ax+2by+2cz+ =d 0 (S) có tâm I(−a;−b;−c)
I∈ (P) ⇔ − −2a 2b− − = ⇔c 3 0 2a+2b+ = −c 3 1( )
A∈ (S) ⇔ 5 0a+ +2b+4c+ =d 0 (2)
B∈ (S) ⇔ 9+4a−4b+2c+ =d 0 (3)
C ∈ (S) ⇔ 5 4a− +0b+2c+ =d 0 (4)
Từ (1), (2), (3), (4) ta có hệ phương trình
0.25đ
0.25đ
Trang 5B
A
C H
2a 2b c 3 d 2b 4c 5 a 2
5 0a 2b 4c d 0 2a 2b c 3 b 3
9 4a 4b 2c d 0 2a 3b c 2 c 7
5 4a 0b 2c d 0 2a b c 0 d 27
Vậy phương trình mặt cầu (S): 2 2 2
x + y + −z 4x−6y 14z+ −27=0
0.25đ
0.25đ
9a
(1đ) Điều kiện: n ≥ 3, n ∈ N*
Ta có:
4 n 2 28 n 3n 2
C +3C = ⇔n n n 1 + n n 1 n 2 = ⇔n − + = − +
2
n 7n 18 0 n 9
Vậy n = 9
Với n = 9 ta có nhị thức cần khai triển là ( )18
1− 3x
Số hạng tổng quát trong khai triển nhị thức là ( )k
a x =C − 3 x vậy ( )9
9
9 18
a =C − 3 = −3938220 3
0.25đ
0.25đ
0.25đ 0.25đ
7b
(1đ)
Gọi d là đường thẳng qua M song song với BC, cắt ∆ tại N
ta có d: x + − =y 3 0
N = d ∩∆ N 8 1;
3 3
⇒ gọi I, H lần lượt là trung điểm MN, BC
ta có ∆ABC cân nên tứ giác A∈IH
Ta có I 7 2;
3 3
nên IH có phương trình:
5
x y 0
3
− − =
H = IH ∩ BC H 1; 4
3 3
B = ∆∩ BC ( ) 2 5
B 0; 1 C ;
3 3
−
Vậy AC: 2x y 1 0
3
+ + = , AB: x+2y+ =2 0
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
8b
(1đ)
Mặt phẳng ABC có phương trình: x− − − =y z 1 0
Gọi (S) là mặt cầu có tâm I∈Oy và cắt (ABC) theo một đường tròn có bán kính r
nhỏ nhất
Vì I ∈ Oy nên I(0;t;0), gọi H là hình chiếu của I trên (ABC) khi đó là có bán kính
đường tròn giao của (ABC) và (S) là 2 2
r= AH= IA −IH
Ta có 2 2
IA = +t 1, IH = d(I,(ABC))= t 1
3
+
r t 1
Do đó r nhỏ nhất khi và chỉ khi t 1
2
= Khi đó 1 2 5
I 0; ;0 , IA
do đó phương trình mặt cầu cần tìm là:
2
0.25đ
0.25đ
0.25đ
0.25đ
Trang 69b
(1đ)
Điều kiện: x∈ − − ∪ −( 4; 1) ( 1; 4)
log x 1 2 log 4 x log 4 x
log x 1 2 log 4 x log x 4
log 4x 4 log 16 x 4x 4 16 x
x 2 4x 4 16 x x 4x 12 0
x 6 4x 4 x 16 x 4x 20 0
x 2 2 6
=
Đối chiếu điều kiện là có nghiệm của phương trình đa cho là x 2
x 2 2 6
=